人教版-数学-九年级下册-27.1 图形的相似 第二课时 练习(含答案)

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。

相似多边形
1. 若线段c满足a c
c b
，且线段a=4 cm，b=9 cm，则线段c=（）
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
2. 在下列四个命题中：①所有的等腰直角三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③
所有的正方形都相似；④所有的菱形都相似．其中真命题有（）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
3. 有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的周长为50 cm，其中一条边的长度为5 cm．经
测量，这条边的实际长度为15 m，则这块草坪的实际周长是（）
A．100 m B．150 m
C．200 m D．250 m
4. 图中的两个四边形是相似图形，若∠N＝125º，则∠Ｍ＝＿＿.
5．（2013枣庄）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．125º
551。

第27章相似专项训练专训1证明三角形相似的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性．．．”．利用平行线判定两三角形相似1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP PQ QR.(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD 并延长，与CE交于点E.1(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第4题)利用边角判定两三角形相似5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．(第5题)求证：△ABD∽△CAE.利用三边判定两三角形相似6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第6题)2专训2巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD 分别交AE，AF于点P，Q，求BP PQ QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF AF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BEEC的值．(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE ED＝2AF FB.(第3题)34过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BDEC .(第4题)过一点作平行线构造相似三角形5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一：(第5题①)作辅助线的方法二：(第5题②)作辅助线的方法三：(第5题③)作辅助线的方法四：(第5题④)专训3用线段成比例法解四边形问题名师点金：利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题、选择题、解答题，是中考热门命题点之一．一、选择题1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM ＝2，ME＝3，则AN＝()(第1题)A．3 B．4 C．5 D．62．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为()56(第2题)A .12B .98 C ．2 D ．43．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG ＝42，则△EFC 的周长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB ＝4，BC ＝2，那么线段EF 的长为________． 三、解答题5．如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1________S 2＋S 3(填“>”“＝”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．(第5题)6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于O.(1)求证：△COM ∽△CBA ； (2)求线段OM 的长度．(第6题)7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第7题)8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE 为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第8题)9．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(第9题)(1)CG＝BH；(2)FC2＝BF·GF；(3)FC2AB2＝GFGB.710．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF FA＝12，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．(第10题)专训4用线段成比例法解与圆有关问题名师点金：线段成比例法求解有关线段问题在三角形、四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题、填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现．一、选择题1．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3 B．4 C.256D.258(第1题)(第2题)2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()8A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE ＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3 B．2 3 C.21 D．3 5(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC 相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)三、解答题6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(第6题)7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.9(第7题)(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2＝AB·BE.8．如图，AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.(1)求证：EF与圆O相切；(2)若AB＝6，AD＝42，求EF的长．(第8题)9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．(第9题)1010．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．(第10题)11．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝1 2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第11题)答案专训11．解：(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形．∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，∴△BCP∽△BER，则PCRE＝BPBR＝BCBE＝12，∴BP＝PR，PCRE＝12.11∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.又PC∥DR，∴PQQR＝PCDR＝PCRE＝12.∴QR＝2PQ.又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，∴BP PQ QR＝31 2. 2．C3．证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.∴ACCD＝4.81.6＝3.又∵BCEC＝9.33.1＝3，∴ACCD＝BCEC.又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.(第4题) 4．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝12∠ACF＝12×120°＝60°.∴∠A＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.(2)解：如图，作BM⊥AC于点M，则AM＝CM＝3，BM＝3 3. ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝BM2＋MD2＝27.由△ABD∽△CED得BDED＝ADCD，即27ED＝2，∴ED＝7.∴BE＝BD＋ED＝37.5．证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA＝∠CAE，又∵AB AC＝BDAE＝3，∴△ABD∽△CAE.方法规律：本题运用了数形结合思想和演绎推理，通过已知条件寻找两边成比例并且夹角相等，从而证明两三角形相似．6．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BD.12又∵E，F分别是AB，AC的中点．∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．∴DE＝12AB，即DEAB＝12.同理DFAC＝12.∵EF为△ABC的中位线，∴EF＝12BC，即EFBC＝12.∴DEAB＝EFBC＝DFAC.∴△DEF∽△ABC.专训21．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝12AE.∴DF∥PE.∴△BEP∽△BFD.∴BEBF＝BPBD.∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴PQQD＝APDF.设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQ QD＝AP DF＝3 2.∴BP PQ QD＝53 2.(第1题)(第2题)2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.1314∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G. 又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG. ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2. ∵AB ∥CG.∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N. ∴AF FB ＝AEEN ，∠ECD ＝∠NBD.又∵∠CDE ＝∠BDN ，∴△EDC ∽△NDB.∴ED DN ＝CDBD .∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN. ∴AF FB ＝AE2ED .∴AE ED ＝2AF FB.(第3题)(第4题)4．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BDCF . ∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC .5．证明：(方法一)过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CDBD .∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.15∵CF ∥AB ，∴∠BAC ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CMF ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13. ∵CF BE ＝CD BD ，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD. 又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(方法二)过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴AE AF ＝AM AC .又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM. ∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE ＝14AB ，∴BFEF ＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BCCD ＝2.∴BC ＝2CD. (方法三)过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ， ∴△AEF ∽△ABC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.∵EF ∥CD ，∴△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MFMC .又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(方法四)过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AFBD .∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD. 由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM. 又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形．16专训3一、1.B 2.C 3.D 二、4. 5三、5.解：(1)＝(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ；选△BCF ∽△CDE ，证明：在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°，且点C 在边EF 上，∴∠BCF ＋∠DCE ＝90°.在矩形BDEF 中，∠F ＝∠E ＝90°，∴在Rt △BCF 中，∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBF ＝∠DCE ，∴△BCF ∽△CDE.(答案不唯一)6．(1)证明：由折叠可知，∠COM ＝90°，∴∠B ＝∠COM. 又∠MCO ＝∠ACB ，∴△COM ∽△CBA.(2)解：∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OC ＝12AC ＝5，∵△COM ∽△CBA ，∴OM AB ＝CO BC ，即OM 6＝58，∴OM ＝154.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，⎩⎨⎧∠AFD ＝∠C ，∠ADF ＝∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC.(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6.8．(1)证明：由AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF 得 △ADE ≌△DCF.(2)证明：易证△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝CE AD .因为CE AD ＝CE CD ＝12，所以CQ DE ＝CQCF ＝12，即点Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝QE AE ，所以CQCE ＝QEAE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△AEQ ∽△ECQ ，所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE ，所以S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2，所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2.因为EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1＋S 2＝S 3.179．证明：(1)∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴∠BAH ＋∠ABH ＝90°，CG ⊥BF.∴∠CBG ＋∠BCG ＝90°.∵在正方形ABCD 中，∠ABH ＋∠CBG ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG ，∠ABH ＝∠BCG.∵AB ＝BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH.(2)∵∠BFC ＝∠CFG ，∠BCF ＝∠CGF ＝90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴FC BF ＝GFFC ，即FC 2＝BF·GF.(3)∵∠CBG ＝∠FBC ，∠CGB ＝∠BCF ＝90°，∴△BCG ∽△BFC ，∴BC BF ＝BGBC ，即BC 2＝BG·BF.∵AB ＝BC ，∴AB 2＝BG·BF ，∴FC 2AB 2＝FG·BF BG·BF ＝FG BG ，即FC 2AB 2＝GF GB .10．(1)证明：∵点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点， ∴∠DAP ＝∠PAB ，AD ＝AB.在△APB 和△APD 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠PAB ＝∠PAD ，AP ＝AP ，∴△APB ≌△APD(SAS )．(2)解：①∵△APB ≌△APD ，∴DP ＝PB ，∠ADP ＝∠ABP.在△DFP 和△BEP 中，⎩⎨⎧∠FDP ＝∠EBP ，DP ＝BP ，∠FPD ＝∠EPB ，∴△DFP ≌△BEP(ASA )，∴PF ＝PE ，DF ＝BE.∵GD ∥AB ，∴△FDG ∽△FAB ，∴DF FA ＝GDAB .∵DF FA ＝12，∴GD AB ＝12，BE AB ＝13，∴DG BE ＝32.∵DG ∥BE ，∴△DPG ∽△EPB ，∴DP PE ＝DGEB .∵PE ＝PF ，∴32＝x y ，∴y ＝23x.②当x ＝6时，y ＝23×6＝4，∴PF ＝PE ＝4，DP ＝PB ＝6，∵△FDG ∽△FAB ，∴FG BF ＝DG AB ＝12，∴FG 10＝12，解得FG ＝5，故线段FG 的长为5.方法规律：本题运用了演绎推理，考查了相似三角形、全等三角形和函数知识，是一个综合性的问题．推出DG AB ＝12，BE AB ＝13是解题的关键．专训4一、1.D 2.B 3.C二、4.4 5.2三、6.(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠E.(2)解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝8，AB＝2×5＝10，∴BC＝AB2－AC2＝6.又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠E，∴△ABC∽△EAB，∴ACEB＝BCAB.∴8EB＝610.∴BE＝403.(第6题)(第7题)7．证明：(1)如图，连接OD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝BC，∴D为AC中点．∵O为AB中点，∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴∠ODE＝∠CED ＝90°，∴DE为半圆O的切线．(2)∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠DBA.又∠ADB＝∠DEB＝90°，∴△ADB∽△DEB.∴ABDB＝DBBE，即DB2＝AB·BE.8．(1)证明：连接OD，如图．因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因为AD平分∠BAC，所以∠OAD＝∠CAD，所以∠ODA＝∠CAD.所以OD∥AE.又因为EF垂直于AE，所以OD垂直于EF，所以EF与圆O相切．(2)解：如图，连接CD，BD，BC，则CD＝BD.因为AB是直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.又因为AB＝6，AD＝42，所以BD＝AB2－AD2＝62－（42）2＝2，所以CD＝2.因为∠OAD＝∠CAD，∠ADB＝∠E＝90°，所以△ADE∽△ABD，所以ABAD＝BDDE，所以642＝2DE，所以DE＝423.在Rt△CDE中，CE＝1819CD 2－DE 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫4232＝23.易得四边形CEDG 是矩形，所以DG ＝CE ，∠OGB ＝90°.所以DG ＝23，OG ＝3－23＝73.在Rt △OGB 中，GB ＝OB 2－OG 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫732＝423.因为∠ACB ＝∠E ＝90°，所以BC ∥EF ，所以△OGB ∽△ODF ，所以OG OD ＝GB DF ，所以733＝423DF ，所以DF ＝1227.所以EF ＝DE ＋DF ＝423＋1227＝64221.(第8题)(第9题)9．解：(1)ED 与⊙O 相切．证明：如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵AD 平分∠CAB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD ∥AE.∵AE ⊥DE ，∴OD ⊥DE.∵D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，则BD 2＝AB 2－AD 2＝11.∵∠3＝∠4，∠3＝∠2，∴∠2＝∠4.∵∠ADB ＝∠BDF ＝90°，∴△DFB ∽△DBA.∴BD AD ＝DF BD ，∴DF ＝BD 2AD ＝115.则AF ＝AD －DF ＝5－115＝145. 10．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵∠BAD ＝∠BED ，∠BED ＝∠DBC ，∴∠BAD ＝∠DBC ，∴∠BAD ＋∠ABD ＝∠DBC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠BAD ＝∠DBC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，∴BC CD ＝CABC，即BC 2＝AC·CD ＝(AD ＋CD)·CD ＝10， ∴BC ＝10.20(第11题)11．(1)证明：如图，连接OC.∵PE 与⊙O 相切，∴OC ⊥PE.∴∠OCP ＝90°.∵AE ⊥PE ，∴∠AEP ＝90°＝∠OCP.∴OC ∥AE.∴∠CAD ＝∠OCA.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠CAD ＝∠OAC.∴AC 平分∠BAD.(2)解：PB ，AB 之间的数量关系为AB ＝3PB.理由如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠ABC.∵∠PCB ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＝∠PAC.∵∠P ＝∠P.∴△PCA ∽△PBC.∴PCPB ＝PA PC.∴PC 2＝PB·PA.∵PB PC ＝12，∴PC ＝2PB.∴PA ＝4PB.∴AB ＝3PB. (3)解：过点O 作OH ⊥AD 于点H ，如图，则AH ＝12AD ＝32，四边形OCEH 是矩形．∴OC ＝HE.∴AE ＝32＋OC.∵OC ∥AE ，∴△PCO ∽△PEA.∴OC AE ＝POPA .∵AB ＝3PB ，AB ＝2OB ，∴OB ＝32PB.∴OC 32＋OC ＝PB ＋OB PB ＋AB ＝PB ＋32PBPB ＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB ＝5.∵△PBC ∽△PCA ，∴PB PC ＝BC AC ＝12，∴AC ＝2BC. 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(2BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝5，∴AC ＝2 5. ∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.。

九年级数学（下）自主学习达标检测[图形的相似、相似三角形]（时间60分钟 满分100分）一、选择题（每题4分，共32分）1．下列各种图形相似的是 （ ）A ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（1）、（3）D ．（1）、（4）2．下列图形相似的是 （ ）（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；（3）天空中两朵白云的照片；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组3．下列说法不一定正确的是 （ ）A ．所有的等边三角形都相似B ．有一个角是100°的等腰三角形相似C ．所有的正方形都相似D ．所有的矩形都相似4．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( ) A ．7.5米 B ．8米 C ．14.7米 D ．15.75米5．两个相似三角形的周长比为4︰9，则面积比为 （ ） A ．4︰9 B ．8︰18 C ．16︰81 D ．2︰36．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （ ） A ．小明的影子比小强的影子长 B ．小明的影子比小强的影子短 C ．小明的影子和小强的一样长 D ．谁的影子长不确定 7．如图，能使△ACD ∽△BCA 全等的条件是（ ） A ．BC AB CD AC =B ．CB CD AC •=2C ．CDBD AC AB =D ．BD AD CD •=28．如图所示的测量旗杆的方法，已知AB 是标杆，BC 表示AB 在太阳光下的影子，•叙述错误的是（ ）A ．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B ．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C ．可以利用△ABC ∽△EDB ，来计算旗杆的高D ．需要测量出AB 、BC 和DB 的长，才能计算出旗杆 的高二、填空题（每题4分，共32分）9． 下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 ．（填序号）(1)(2)(3)(4)BCDA第7题EDC BA第8题10． 若a ， x ，b ， y 成比例线段，则比例式为 ；若a =1，x =2，b =2.5，则y = ．11．三角形三边之比为3︰5︰7，与它相似的三角形最长边为21cm ，那么与它相似的三角形周长为 ．12．如图，∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，AC =5，AB =6，则AD =____ __． 13．直线CD ∥EF ，若OC =3，CE =4，则ODOF的值是 ． 14．如图，AD ∥EF ∥BC ，则图的相似三角形共有_____对．15．△ABC 的三边长为2，10，2，△A'B'C '的两边为1和5，若△ABC ∽△A'B'C'，则△A'B'C'的笫三边长为________．16．两个相似三角形的面积之比为1∶5，小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为___ __．三、解答题（共36分）17．在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形.18．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm 和14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．第12题BDA 第13题O FECD第14题BCD AE F19．如图，△A BC 中，EF ∥BC ，FD ∥AB ，AE ＝18，BE ＝12，CD ＝14，求线段EF的长．20．如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。

人教版九年级数学下册第27章相似专项训练2（含答案）专训1巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE EF＝1 2.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N 分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)专训2图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段﹨相似三角形的判定与性质﹨位似图形等都是命题的热点．成比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是()A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cmB．2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2．若a2＝b3＝c4＝d7≠0，则a＋b＋c＋dc＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01)．(第3题) 平行线分线段成比例4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与ADAF相等的是()A.ABEF B.CDEF C.BOOE D.BCBE(第4题)(第5题)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝ 3 cm，则EF＝________.6．如图，在△ABC中，AMMD＝4，BDDC＝23，求AEEC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE ED＝31，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF S四边形ABCE为()A．3 4 B．4 3 C．79 D．97(第7题)(第9题)8．若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．9．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立(BN)时的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm ﹨8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为12；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案专训11．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，CEC′E′＝OEOE′.又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，DED′E′＝OEOE′.∴∠CED＝∠C′E′D′，CEC′E′＝DED′E′.∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC 上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC 于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG 为△ABC的内接矩形，且DE EF＝1 2.3．解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与△ABC的高AD相交于点E.设正方形PQMN的边长为x mm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∵△APN与△ABC的对应点都经过点A，∴△APN与△ABC是以点A为位似中心的位似图形．∴AEAD＝PNBC.∴80－x80＝x120.解得x＝48.即这个正方形零件的边长是48 mm.点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题． 4．(1)证明：在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ＝AP AQ .同理△ACQ ∽△AEP ，∴PE QC ＝AP AQ .∴DP BQ ＝PE QC .(2)①解：MN ＝29. ②证明：∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°.∴∠B ＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC ＝90°，∴△BGD ∽△EFC.∴DG CF ＝BG EF . ∴DG·EF ＝CF·BG.又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF·BG.由(1)得DM BG ＝MN GF ＝EN CF .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫MN GF 2＝ DM BG ·EN CF ，即MN2FG2＝DM·EN BG·CF ，∴MN 2＝DM·EN.专训21．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图．易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25.∴DN CE ＝BD BC ＝25.∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AM MD ＝4.∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85.7．D 8.6，129．4或247 点拨：∵△ABC 沿EF 折叠，B 和B′重合，∴BF ＝B′F.设BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B′FC ∽△ABC 时，B′F AB ＝CF BC .∵AB ＝6，BC ＝8，∴x 6＝8－x 8，解得：x ＝247，即BF ＝247；当△FB′C ∽△ABC 时，FB′AB ＝FC AC ，则x 6＝8－x 6，解得：x ＝4.故BF ＝4或247.10．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴FB FD ＝FD FC.∴FD 2＝FB·FC. (2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3 5.11．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°.又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF.(2)解：易知∠CBD ＝45°.∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF.∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，∴CF ＝22－2.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2.∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2. ∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM MB ＝ME DM ，即DM 2＝ME·MB.∴ME·MB ＝4－2 2.12．解：设CD ＝x m ．∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m . 13．解：如图，过点C 作CM ∥AB ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．即横梁EF的长应为44 cm.(第13题)(第15题)14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)如图，四边形AA′C′C的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。

人教版数学九年级下册27.1图形的相似课时练习一、单选题（共15题）1.已知2x =5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A.25x y = B.52x y= C.25x y = D.52x y =答案：B知识点：比例的性质 解析：解答：∵2x=5y ，知识点: 比例的性质 解析：解答: 由3a =2b ，得出23a b =于是可设a =2k ，则b =3k ，代入a b a-=232k kk -=12- 故选：A ．分析: 本题考查了比例的基本性质，是基础题3. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab=cd ，改写成比例式错误的是（ ）A ． a dc b = B ． c b ad =C ．d b a c =D ．a c b d=答案：D知识点: 比例的性质． 解析：解答: A 、a dc b=ab cd ⇒=故A 正确B、c ba d=ab cd⇒=故B正确C、d ba c=ab cd⇒=故C正确D、a cb d=ad bc⇒=故D错误故选：D．分析: 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．4. 如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A．23±B．23C．43D．43±答案:C知识点: 比例线段解析：解答: 根据题意，可知a：b=b：c，b2=ac，当a=3，b=2时22=3c，3c=4，c=4 3故选：C．分析: 比例中项，也叫“等比中项”，即如果a、b、c三个量成连比例，即a：b=b：c，则b叫做a和c的比例中项．据此代数计算得解．5. 比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A．4×105m2 B．4×104m2 C．1.6×105m2D．2×104 m2答案:B知识点:比例线段解析：解答: 设实际面积为x cm2，则400：x=（1：1000）2，解得x=4×108．4×108cm2=4×104m2．故选B．分析: 根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．6、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A．2B．C．D2答案:D知识点:比例线段．解析：解答: 连接AC，设AO=x，则BO=x，CO=x，故x，x∴线段AP与AB:22故选：D．分析: 利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．7. 下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm答案:D知识点:比例线段．解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．故选D．分析: 四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．8. 已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC ：AB=（ ）A ．1):2B ．1):2C ．(3:2-D ．(3:2+ 答案:A知识点: 黄金分割．解析：解答: 根据黄金分割的定义，知AC ：AB=1):2故选A ．分析: 此题主要考查了黄金分割比的概念．9. 若P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为（ ） A ．0.191 B ．0.382 C ．0.5 D ．0.618 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: 由于P 为线段AB=1的黄金分割点， 且PA ＞PB ，则PA=0.618×1=0.618． 故选D ．分析: 根据黄金分割点的定义，知PA 是较长线段；则PA=0.618AB ，代入数据即可． 10. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点点C 处，则下列结论一定正确的是（ ） ∴AB ：AC=AC ：BC ； ∴AC≈6.18米；∴AC ＝1)米；∴BC ＝米或米． A ．∴∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴ 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: AB 的黄金分割点为点C 处，若AC ＞BC ，则AB ：AC=AC ：BC ，所以∴不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64，所以②错误；若AC 为较长线段时，AC=12AB=10），BC=10（BC 为较长线段时，BC=12AB=10-1），AC=10（），所以③不一定正确，④正确． 故选D ．分析:根据黄金分割的定义和AC 为较长线段或较短线段进行判断．11. 等腰∴ABC 中，AB=AC ，∴A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）∴∴BCD 是等腰三角形；∴点D 是线段AC 的黄金分割点；∴∴BCD∴∴ABC ；∴BD 平分∴ABC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案:D知识点: 黄金分割；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 解析：解答: ∴AB=AC ， ∴∴ABC=∴C=12（180°-∴A ）=12（180°-36°）=72°， ∴AD=BD ， ∴∴DBA=∴A=36°， ∴∴BDC=2∴A=72°， ∴∴BDC=∴C ，∴∴BCD 为等腰三角形，所以∴正确； ∴∴DBC=∴ABC-∴ABD=36°， ∴∴ABD=∴DBC ，∴BD 平分∴ABC ，所以∴正确； ∴∴DBC=∴A ，∴BCD=∴ACB ， ∴∴BCD∴∴ABC ，所以∴正确； ∴BD ：AC=CD ：BD ， 而AD=BD ，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以∴正确．分析: 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∴ABC=∴C=1 2（180°-∴A）=72°，再计算出∴BDC=72°，∴DBC=36°，则可对∴∴∴进行判断；利用∴BCD∴∴ABC得BD：AC=CD：BD，而AD=BD，则AD：AC=CD：AD，于是根据黄金分割的定义可对∴进行判断．12. 用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原来的2倍B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍C．△ABC放大后，周长是原来的2倍D．△ABC放大后，面积是原来的4倍答案:A知识点:相似图形解析：解答: ∴放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．故本题选A．分析: 用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变13. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变答案:D知识点:相似图形解析：解答：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析: 根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1 个B．2个C．3个D．4个答案: C解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析: 利用相似图形的性质分别判断得出即可．15. 下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似答案:C知识点:相似图形解析：解答：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．分析: 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．二、填空题（共5题）1. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有( )（填序号）．答案: ①②④⑤知识点:相似图形解析：解答: 下列几何图形：∴两个圆；∴两个正方形；∴两个矩形；∴两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．2. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是（）答案: 1：3知识点:相似图形．解析：解答: 由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．3. 若用一个2倍放大镜去看△ABC，则∠A的大小（）；面积大小为（）答案:不变，4倍知识点:相似图形．解析：解答: ∵放大后的三角形与原三角形相似∴∠A的度数不变∵放大前后，两相似三角形的相似比为1：2∴它们的面积比为1：4即放大后面积为原来的4倍．分析: 本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，面积比等于相似比的平方．4、如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙（）答案：相似知识点:相似图形．解析：解答：∵图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，∴图形甲与图形丙相似．故答案为：相似分析:本题考查了相似图形，熟记相似图形具有传递性是解题的关键．5. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b＝（）答案：2知识点:比例线段解析：解答：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．分析:根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．三、解答题（共5题）1. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，12ADDB=，DE=4cm，求BC的长答案：12cm知识点:平行线分线段成比例解析：解答: 解：∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，又∵12ADDB=∴13ADAB=，∴413BC=∴BC=12cm．故答案为：12cm．分析：本题考查了平行线分线段成比例定理，找出图中的比例关系是解题的关键．2. 如图，已知AB∴CD∴EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD=6，DF=3，BC=5，求BE的长答案：7.5知识点:平行线分线段成比例．解析：解答：∵AB∥CD∥EF，答案：m=2n+1知识点:平行线分线段成比例；旋转的性质．分析:本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．4.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两边的实际长度答案：都是20m．知识点:比例线段即其他两边的实际长度都是20m．分析: 设其他两边的实际长度分别为x m、y m，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．5.如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标。

人教版 九年级数学下册 第27章 相似 专题练习（含答案）一、单选题1.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）A.∠E =2∠KB.BC=2HIC.ABCDEFF GHIJKL 4C C =六边形六边形D.GHIJKL ABCDEFF六边形六边形S S =2.如图，点P 是□ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（ ）对A.0B.1C.2D.33.下列各选项中是相似多边形的是（ ） A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的等腰梯形D.所有的正方形4.如图，夏季的一天，身高1.6米的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA 由点B 到点A 走去，当走到点C 时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，已知BC=3.2米，CA=0.8米，于是她算出树的高度为（） A.8米 B.6.4米 C.4.8米 D.10米5.点C 为线段AB 的黄金分割点，AC 为较长线段，若AC=1，则AB 等于（ ）LG HI J K C A B D E F P A B CD E A BC6.已知23a b=(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是( )A ．23a b =B ．2a ＝3bC ．32b a = D ．3a ＝2b7.如图，在长为8厘米，宽为4厘米的矩形中，截取一个矩形，使得留下的矩形（图中的阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 28.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝________里．9.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.1210.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④2AC AD AB =⋅其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11.已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以点A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）B C DE F B12.如图，在△ABC 中，E ，F ，D 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，且满足21==FC AF EB AE ，则△EFD 和△ABC 的面积比为 。

人教版九年级数学下第二十七章《相似》单元练习题（含答案）一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A．1∶3B．1∶4C．1∶8D．1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是()A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A．16 cmB．12 cmC．24 cmD．36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A．2∶5B．1∶2 500C．250 000∶1D．1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x ＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB 与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．人教新版九年级下学期《第27章相似》单元测试卷一．选择题1．已知＝，那么下列等式中一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知a：b＝3：2，则a：（a﹣b）＝（）A．1：3 B．3：1 C．3：5 D．5：33．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m4．已知线段AB＝1，C是AB的黄金分割点，AC＞BC，则BC的长为（）A．﹣1 B．C．D．5．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）A．B．C．D．6．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（）A．①③B．①②C．①④D．②③7．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：19．如图，已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D 为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为（）A．3 B．6 C．3或8 D．2或810．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 11．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米，此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是（）A．80米B．85米C．120米D．125米12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）A．2B．C．2 D．413．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：二．填空题14．已知线段a＝10cm，b＝2m，则＝．15．若，则＝．16．若b＝2，c＝8，且a是b和c的比例中项，则a＝．17．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是．18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB ＝3：2，那么BF：FC＝．19．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．20．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是．21．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．22．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为．26．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝4，BD ＝1，则CD 的长为 ．27．如图，在直角坐标系中，举行你OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的，B 的坐标是（4，2），那么点B ′的坐标是 ．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2．OC ＝1，则矩形AOCB 的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O 为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点O 为位似中心放大倍，得到矩形A 2OC 2B ，…，按此规律，则矩形A 4OC 4B 4的对称中心的坐标是 ．三．解答题29．若x 、y 、z 满足＝＝＝k ，求k 的值．30．已知：＝＝，求的值．31．如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△A BC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC 于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．32．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．33．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．34．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当时，有（如图）（2）当时，有（如图）（3）当时，有（如图）在图中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）35．下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH．36．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．37．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．38．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，它们的较短直角边长为6（1）将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置，使E点落在AB上，则平移的距离CC′＝；（2）将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置，使点E落在AB上，则△DCE旋转的度数＝；（3）将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置，ED′与AB相交于点F，求证：BF＝EF．39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；（2）在（1）的条件下，当DF•DB＝CD2时，求∠CBD的大小；（3）若AB＝2AE，且CD＝12，求△BCD的面积．41．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝b，两灯柱之间的距离OO′＝m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．42．如图，等腰梯形ABCD是儿童公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN为对称轴，且与原游乐场的相似比为2：1．请你画出新游乐场的示意图．43．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．44．如图△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC 边上，H在三角形内，且EF：GF＝2：1（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似形，使其顶点在△ABC的边上．（保留作图痕迹）（2）求所作的矩形的面积．参考答案一．选择题1．【解答】解：A、3x•2＝9y，则2x＝3y，所以A选项正确；B、5（x+3）＝6（y+3），则5x﹣6y＝3，所以B选项错误；C、2y（x﹣3）＝3x（y﹣2），则xy﹣6x+6y＝0，所以C选项错误；D、2（x+y）＝5x，则3x＝2y，所以D选项错误．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴＝＝3．故选：B．3．【解答】解：设它的实际长度为x，则：＝x＝200000cm＝2000m．故选：D．4．【解答】解：根据黄金分割的概念得：AC＝AB＝，∴BC＝AB﹣AC＝．故选：C．5．【解答】解：∵DC∥FE∥AB，∴OD：OE＝OC：OF（A错误）；OF：OE＝OC：OD（B错误）；OA：OC＝OB：OD（C错误）；CD：EF＝OD：OE（D正确）．故选：D．6．【解答】解：①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确．故选：C．7．【解答】解：∵两个四边形相似，∴∠1＝138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故选：A．8．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选：A．9．【解答】解：因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．①如图1，当∠ADN＝∠BEM时，那么∠ADB＝∠BEM，作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB＝tan∠BEM．AB：AD＝DF：FE＝AB：（BE﹣AD）．即2：4＝2：（x﹣4）．解得x＝8．即BE＝8．②如图2，当∠ADB＝∠BME而∠ADB＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∴＝，BE2＝DE•EM，∴BE2＝[22+（x﹣4）2]，∴x1＝2，x2＝﹣10（舍去），∴BE＝2．综上所述线段BE为8或2，故选：D．10．【解答】解：连接EM，CE：CD＝CM：CA＝1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3∴AH＝（3﹣）ME，∴AH：ME＝12：5∴HG：GM＝AH：EM＝12：5设GM＝5k，GH＝12k，∵BH：HM＝3：2＝BH：17k∴BH＝K，∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10故选：D．11．【解答】解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：，解得：x＝125米．故选：D．12．【解答】解：根据射影定理得BC2＝BD•BA，即BC2＝1×（1+3），所以BC＝2．故选：C．13．【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OB：OB′＝2：3，∴AB：A′B′＝OB：OB′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，故选：A．二．填空题（共15小题）14．【解答】解：根据题意，b＝2m＝200cm，则＝＝，故填．15．【解答】解：根据题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则＝，故答案为：．16．【解答】解：∵b＝2，c＝8，且a是b和c的比例中项，∴a2＝bc＝2×8，∴a＝±4．17．【解答】解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．18．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝3：2，AB＝AD+DB，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF，∵BC＝BF+CF，＝，∴＝，∴BF：CF＝3：2，故答案为3：2；19．【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．20．【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．∴较大的一个多边形的周长为35×＝49；∵面积之比等于相似比的平方，即＝．则较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×＝．21．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC 相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．22．【解答】解：∵∠A＝∠D，∴当∠B＝∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B＝∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．23．【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴MB＝ME，又∵AM＝AB，∴BM＝2AM．EM＝2AM，∴AM＝AE，∴AE＝AB，∴AE＝BE，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴＝，∴S 四边形ADCB ＝S △EBC ＝，∴S △EBC ＝，∴S △EAD ＝×＝，∴S 四边形AMCD ＝S △EBC ﹣S △EAD ＝﹣＝1，故答案为：1．24．【解答】解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴＝，＝，∵CD ＝DG ＝EF ＝2m ，DF ＝52m ，FH ＝4m ，∴＝，＝，∴＝，解得BD ＝52m ，∴＝，解得AB ＝54m ．故答案为：54．25．【解答】解：∵OA ＝2，OB ＝1，AB ＝，∴当AB 与AC 对应时，有或者，∴AC ＝或AC ＝5∵C 在格点上∴AC ＝不合题意，则AC ＝5∴C 点坐标为（5，2）同理当AB与BC对应时，可求得BC＝或者BC＝5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4）∴C点坐标为（5，2）或者（4，4）．故答案为：（5，2）或者（4，4）．26．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝1×4＝4，∴CD＝2（舍去负值）．故答案是：2．27．【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）．故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．28．【解答】解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．三．解答题（共16小题）29．【解答】解：①当x +y +z ＝0时，y +z ＝﹣x ，∴k ＝＝＝﹣1；②x +y +z ≠0时，k ＝＝＝2．30．【解答】解：设＝＝＝k （k ≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则＝＝．31．【解答】解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h ．则，，，∴，． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴，∴．故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝S △ADF +S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC ．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）32．【解答】解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD＝BC，DE＝AB，∴＝＝﹣1＝＝．∴矩形ABFE是黄金矩形．33．【解答】解：（1）∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD．∵△OEF∽△CDF，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴．∴G是BC的三等分点；（2）依题意画图如右．34．【解答】解：过D作DF∥BE交AC于F，∴AO：AD＝AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF＝EF＝0.5EC．∵，∴AE：（AE+2EF）＝1：（1+n），AE+2EF＝AE+AEnAEn＝2EF，∴AE：EF＝2：n．∴AE：AF＝2：（n+2）．∴＝2：（n+2）．35．【解答】解：（1）正△ABC与正△DEF的形状相同．它们的对应角相等，都是60°．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．（2）正方形ABCD与正方形EFGH的形状相同．它们的对应角相等，都是90°．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．36．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．37．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠FAE＝∠AEB，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE＝AB＝6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴，即，解得：BC＝3±3（负值舍去），∴BC＝3+3．38．【解答】解：（1）在直角△ABC中，AC＝BC•tan60°＝6．∵△BEC′∽△BAC，∴＝即＝，解得：BC′＝2，∴CC′＝BC﹣BC′＝6﹣2；（2）∵△BCE中，CE＝CB，∠EBC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90﹣60＝30°，即△DCE旋转的度数是30度．（3）∵AC＝CD′，CE＝CB，∴AE＝BD′，又∵∠AFE＝∠D′FB，∠A＝∠ED′C，∴△AEF≌△D′BF，∴BF＝EF．39．【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝＝3.6．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，∴点P的坐标为（1.35，3）；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝1.8．在△BPE中，BE＝＝＝1.35，∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，∴点P的坐标为（2.25，1.8）．综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．40．【解答】解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，∵点D为弧EC的中点，∴弧ED＝弧CD，∴∠OCH＝45°，∴OH＝CH，∵圆O的半径为2，即OC＝2，∴OH＝；（2）∵当DF•DB＝CD2时，，又∵∠CDF＝∠BDC，∴△CDF∽△BDC，∴∠DCF＝∠DBC，由（1）可得∠DCF＝45°，∴∠DBC＝45°；注：也可以由点D为弧EC的中点，可得弧ED＝弧CD，即可得出∠DCF＝∠DBC＝45°；（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，∵BD＝BC，OD＝OC，∴BH垂直平分CD，又∵AB∥CD，∴∠ABO＝90°＝∠EBC，∴∠ABE＝∠OBC＝∠OCB，又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB，∴，即AB2＝AE×AC，∴AC＝，设AE＝x，则AB＝2x，∴AC＝4x，EC＝3x，∴OE＝OB＝OC＝，∵CD＝12，∴CH＝6，∵AB∥CH，∴△AOB∽△COH，∴，即，解得x＝5，OH＝4.5，OB＝7.5，∴BH＝BO+OH＝12，∴△BCD的面积＝×12×12＝72．41．【解答】解：（1）由题意可知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∴，∵OP＝b，AB＝h，OA＝a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴＝是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比。

人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）1 / 11图形的相似测试时间：60 总分：100一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 下列四组图形中，一定相似的图形是A. 各有一个角是 的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是 的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形2. 下列说法正确的是A. 矩形都是相似图形B. 各角对应相等的两个五边形相似C. 等边三角形都是相似三角形D. 各边对应成比例的两个六边形相似3. 下列结论中，错误的有：所有的菱形都相似；放大镜下的图形与原图形不一定相似；等边三角形都相似；有一个角为110度的两个等腰三角形；所有的矩形不一定相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 下列图形一定是相似图形的是A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形5. 在下面的图形中，相似的一组是A.B.C.D.6. 如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 下列图形一定相似的是A. 两个矩形B. 两个等腰梯形C. 对应边成比例的两个四边形D. 有一个内角相等的菱形8.在下列命题中，正确的是A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 有一个角是两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 有一个角是的两个菱形一定相似9.用放大镜将图形放大，应该属于A. 平移变换B. 相似变换C. 对称变换D. 旋转变换二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）10.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍11.如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，选择格点为顶点画，使得 ∽ 如果相似比，那么k的值可以是______ ．12.如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中网格的边长为中，用直尺作出这个大正方形．13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是______ ．14.如图，______ 与______ 相似．15.如图，请在方格图中画出一个与相似且相似比不为1的、E、F必须在方格图的交叉点．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）3 / 1116. 已知 在坐标平面内三顶点的坐标分别为 、、 以B 为位似中心，画出与 相似 与图形同向 ，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是______ ．17. 如图中的等腰梯形 是公园中儿童游乐场的示意图 为满足市民的需求，计划扩建该游乐场 要求新游乐场以MN 为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2： 又新游乐场的一条边在直线BC 上，请你在图中画出新游乐场的示意图．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18. 如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点的顶点坐标分别为 、 、 ．若 外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为______ ．以点D 为顶点，在网格中画一个格点 ，使 ∽ ，且相似比为1： 画出符合要求的一个三角形即可19.已知，如图，中，，，D为BC边上一点，．求证： ∽ ；在原图上作交AC与点E，请直接写出另一个与相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，已知，，请用尺规过点A作一条直线，使其将分成两个相似的三角形保留作图痕迹，不写作法21.已知：如图，在菱形ABCD中，垂足为E，对角线，，求边AB的长；的值．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）5 / 1122. 如图，已知 ， ，请用尺规过点A 作一条直线，使其将 分成两个相似的三角形 保留作图痕迹，不写作法答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. B10. 511. 2，，412. 解：如图所示：所画正方形即为所求．13. 1：414. ；15. 解：所画图形如下：就是所求的相似三角形．16. 、、17. 解：如图所示：18.19. 证明：，，，，，，，∽ ；解：，∽ ，∽ ，．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）7 / 1120. 解：如图，AD 为所作．21. 解： 连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，四边形ABCD 是菱形，， ，中， ，，；，菱形 ，，，，，．22. 解：如图所示：AD 即为所求．【解析】1. 解：A 、各有一顶角或底角是 的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B 、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C 、各有一个角是 的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D 、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C ．利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的知识，能够了解相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大． 2. 解： 矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C . 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； 各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；故选：C．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．3. 解：：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项错误．：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项错误．：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项正确：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似因为它们的顶角均为，两锐角均为，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定故：选项正确．：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项正确故：选B利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．4. 解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5. 解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、，两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．故选C．根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6. 解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选C．根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7. 解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，故选D．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）9 / 11 8. 解：A 、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A 选项错误；B 、有一个角是 两个等腰三角形不一定相似，所以B 选项错误；C 、两个直角三角形不一定相似，所以C 选项错误；D 、有一个角是 的两个菱形一定相似，所以D 选项正确．故选：D ．根据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A 、D 进行判断；根据 的角可能为顶角，也可能为底角可以对B 进行判断；根据三角形判定方法对C 进行判断． 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题 许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 9. 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B ．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．10. 解： 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，扩大后的三角形与原三角形相似，相似三角形的周长的比等于相似比，这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：的边长分别为1，，2为直角三角形， ， ，根据等边三角形的三线合一，可作三边比为1： ：2的三角形，故相似比 ，k 可取2， ，4．故答案为：2， ，4．根据题意可得：在正六边形网格找与 相似的三角形；即找三边的比值为1： ：2的直角三角形；分析图形可得：共三种情况得出答案即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出符合题意的图形是解题关键． 12. 直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13. 解：因为原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形， 所以放大前后的两个三角形的面积比为5： ：4，故答案为：1：4．根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．14. 解：利用相似图形对应角相等，对应边成比例，只有，图形全等，符合题意．故答案为：，．根据相似图形的定义直接判断得出即可．本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．15. 利用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以2，得到新三角形的三边长，从网格中画出即可．本题主要考查了作图中的相似变换问题，难度不大，注意看清题意是关键．16. 解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：、、．故答案为：、、．根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变大小可变即可得出答案．本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大或缩小相同的倍数．17. 先作轴对称图形，再把它利用位似变换放大为相似比为2：1的等腰梯形．考查了作图相似变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．18. 解：如图，点P即为所求，其坐标为，故答案为：；如图，即为所求三角形．分别作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；根据相似比为1：2可得，，，据此可得．本题主要考查三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．19. 在与中，有，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；由知 ∽ ，又，易证 ∽ ，则： ∽ ，然人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．本题主要考查了相似三角形的判定及性质平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．20. 过点A作于D，利用等角的余角相等可得到，则可判断与相似．本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．21. 首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；由，利用菱形，即可求得AE的长，在中可求得BE，则可求得的余弦值．本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．22. 直接利用直角三角形的性质过点A作，即可得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用直角三角形的性质是解题关键．11 / 11。

27.1图形的相似(一)◆知识技能1．你认为下列属性选项中哪个才是相似图形的本质属性( )(A)大小不同(B)大小相同(C)形状相同(D)形状不同2．下列图形中:①放大镜下的图片;②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图像;③天空中两朵白云的照片;④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有( )(A)4组 (B)3组 (C)2组 (D)1组3．下列说法正确的是( )(A)所有的等腰梯形都相似 (B)所有的平行四边形都相似(C)所有的圆都相似 (D)所有的等腰三角形都相似4．下列各组图形有可能不相似的是( )(A)各有一个角是50°的两个等腰三角形； (B)各有一个角是100°的两个等腰三角形(C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形◆实践应用5．如图，请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号内6．如图，在给出的点格内通过放大或缩小画出已给图形的相似形．图２7．仔细辨认哟！观察下面图形，指出（1）~（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状相同的？答：。

答案：1.C2.C3.C 4．A5．①相似②不相似③不相似④相似⑤不相似⑥不相似6．略7．图形（4）、（8）与图形（a）形状相同；图形（6）与图形（b）形状相同；图形（5）与图形（c）形状相同27．1图形的相似(二)◆知识技能1．在比例尺为1：10000的地图上，相距3cm的A、B两地，它们的实际距离为( )(A)300㎝ (B)300m (C)300km (D)30km2．下列各组线段的长度度两两对应成比例的为( )(A)2cm，3cm，4cm，5cm (B)1.5cm，2.5cm，3cm，4.5cm(C)2.2cm，3.3cm，4.4cm，5.5cm (D)3cm，6cm，6cm，12cm3．相似多边形对应角 ,对应边 .4．如果△ABC ≌△A ’B ’C ’,它们的相似比为 .5．已知A 、B 两地的实际距离AB=5千米，画在地图上的距离Ａ’Ｂ’=2㎝，则这张地图的比例尺是 .◆实践应用6．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，求：α，β的度数和EH 的长度x ．7．线段a=15厘米，b=20厘米，c=75毫米，d=0.1米，求b a 与cb 的值，并思考这四条线段会两两对应成比例吗？◆拓展探究8．如图，BC ∥DE ∥FG ，图中有几对三角形会相似?请你全部写出，并选择其中的一对，说说你判断的理由．B C A D F G E H 6cm 9cm 4cm 780 670 β α xcm 1030 ＡＦ Ｇ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ答案：1.Ｂ2.Ｄ3.相等，成比例4.１5.１：2500006.α=1030，β=1120，ｘ＝cm 387.43,43.38,43====d c b a c b b a Θ． ∴ａ，ｂ，ｃ，ｄ是成比例线段8.３对，理由略．。

相似27.1__图形的相似__第1课时相似图形[见B本P68]1．在下列四组图形中，相似的有( D )图27－1－1A．1组B．2组C．3组 D．4组2．下列四组图形中，一定相似的是( D )A．正方形与矩形 B．正方形与菱形C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形3．如图27－1－2所示，是大众汽车的标志图案，与它相似的是( B )图27－1－24．下列哪组图形是相似图形( C )【解析】要找出图中相似的图形，就是要通过观察、分析，进行比较，判断同一组中的两个图形的形状是否相同．5．在实际生活中，我们常常看到许多相似的图形，请找出下列图形中的相似图形．图27－1－3解：图(a)与图(f)，图(b)与图(d)，图(c)与图(h)，图(e)与图(i)分别是相似图形．6．如图27－1－4，相似的正方形共有__5__个，相似的三角形共有__16__个．图27－1－4【解析】图中所有正方形都是相似的图形，相邻的两个正方形分割成4个等腰直角三角形，都是相似图形，共有4×4＝16个相似的三角形．7．如图27－1－5，在给出的方格内通过放大或缩小画出已给图形的相似图形．图27－1－5解：如图所示：第2课时 相似多边形 [见A 本P70]1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( B )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3【解析】 因为12＝24，所以1，2，2，4是成比例线段． 2．若a －b b ＝23，则a b ＝( D ) A.13 B.23C.43D.53【解析】 ∵a －b b ＝23，∴a －b b ＋1＝23＋1，∴a b ＝53. 3．已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( D ) A.23 B.32C.94D.494．如图27－1－6所示的两个四边形相似，则角α的度数是( A )图27－1－6A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°【解析】 相似多边形对应角相等，故α＝360°－60°－75°－138°＝87°，选A.5．若△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为2∶3，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是__4∶9__．【解析】 依题意，有AB A 1B 1＝23，A 1B 1A 2B 2＝23，所以AB A 2B 2＝AB A 1B 1·A 1B 1A 2B 2＝49. 6．如图27－1－7所示的相似四边形中，求未知边x ，y 的长度和角α的大小．图27－1－7【解析】 本题直接运用相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等来求解．解：∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴184＝y 6＝x 7，解得x ＝31.5，y ＝27. α＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.7．要做甲、乙两个相似的三角形框架，已知甲三角形框架的三边分别为50 cm ，60 cm ，80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，还需要多少材料可以制成乙三角形框架( D )A ．56 cm B.1303cm C ．27.5 cm D ．以上情况都有可能【解析】 由于给出乙三角形框架的一边长为20 cm ，具体为哪一条边还未确定，因此应就这条边进行分类讨论．当20 cm 为乙框架的最短边时，设另两边的长为x cm ，y cm ， 根据题意，得x 60＝y 80＝2050，∴x ＝24，y ＝32， ∴x ＋y ＝24＋32＝56(cm)，同理可求出另两边的边长之和也可以为1303cm 或27.5 cm ，故应选D. 8．已知a ＋b c＝a ＋c b ＝b ＋c a＝k ，则k 的值是__2或－1__． 【解析】 (1)a ＋b ＋c ≠0时，∵a ＋b c ＝a ＋c b ＝b ＋c a＝k ， ∴a ＋b ＋a ＋c ＋b ＋c a ＋b ＋c＝k ， ∴k ＝2.(2)a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，∴k ＝－1. 故答案为2或－1.9. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝__5＋12__．图27－1－8【解析】 可设AD ＝x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．解：∵AB ＝1，设AD ＝x ，则FD ＝x －1，FE ＝1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，1x －1＝x 1， 解得x 1＝5＋12，x 2＝1－52(不合题意，舍去)， 经检验x 1＝5＋12是原方程的解． 故答案为5＋12. 10．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割比，则这个人身材好看，一个参加空姐选拔的选手的肚脐以上的高度为65 cm ，肚脐以下的高度为95 cm ，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1 cm ，参考数据：黄金分割比为5－12，5≈2.236) 【解析】 利用黄金分割比求解．解：设她应穿x cm 高的鞋子，根据题意，得6595＋x ＝5－12，解得x ≈10(cm)． 答：她应穿约10 cm 高的鞋子才能好看．11．回答下列问题并说明理由：(1)在图27－1－9(a)中，停车牌标志内、外两个三角形是否相似？(2)在图27－1－9(b)中，相片框内、外两个矩形是否相似？图27－1－9【解析】 (1)停车牌的内、外两个三角形都是等边三角形，所以它们相似；(2)矩形中的四个角都为直角，所以两个矩形要相似，还需要对应边成比例．解：(1)停车牌的内、外两个三角形都为等边三角形，设边长分别为a 和b ，则a b ＝a b ＝a b ，即对应边成比例，它们的内角都为60°，则对应角相等，所以停车牌标志内、外两个三角形相似．(2)内、外两个矩形不相似，设外矩形长为a ，宽为b ，内外两个矩形中间的木条宽度为m ， 则内矩形的长为a －2m ，宽为b －2m ，如果它们相似，则有a b ＝a －2m b －2m， 则根据比例性质有ab －2ma ＝ab －2mb ，则a ＝b ，而从图中可看出a ≠b ，则相片框内、外两个矩形不相似．。

人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练(2)含答案27章相似专项训练专训1证明三角形相似的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性．．．”．利用平行线判定两三角形相似1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第4题)利用边角判定两三角形相似5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．(第5题)求证：△ABD∽△CAE.利用三边判定两三角形相似6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第6题)专训2巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，＝，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．(第2题)3．如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和点E.求证：＝(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .(第4题)(第5题①) 作辅助线的方法二：(第5题②)作辅助线的方法三：(第5题③)作辅助线的方法四：(第5题④)专训3用线段成比例法解四边形问题名师点金：利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题、选择题、解答题，是中考热门命题点之一．一、选择题)(第1题)ABCD，AB＝8，，再将△AED沿的面积为()(第2题)4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝42，则△9 D．8(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为________．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1________S2＋S3(填“>”“＝”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．(第5题)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C 重合，直线MN交AC于O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．(第6题)7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第7题)8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第8题)CG∥AE，交BF(第9题)10．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知＝，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．(第10题)专训4用线段成比例法解与圆有关问题名师点金：线段成比例法求解有关线段问题在三角形、四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题、填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现．一、选择题1．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3 B．4 C.256D.258(第1题)(第2题)2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3 B．2 3 C.21 D．3 5(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)三、解答题6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(第6题)7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.(第7题)(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2＝AB·BE.9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，＝(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．答案∴＝．C．证明：∵AD＝6.4，CD＝3.专训21．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴＝＝∴＝(第1题)(第2题)AB交AE的延长线于点DF.DAF＝∠G，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵F＝，∴＝AB∥CG.∴△ABE∽△GCE.BE EC＝ABCG＝ABAF＝52如图，过点∥CF交AD的延长线于点∽△NDB.∴EDDN∴＝(第3题)(第4题)∥AB交DP于点F，EFC.AED.＝∠CEP.∴EC＝CF. CF∥AB，交DE于点AM＝CM.MCF.AME≌△CMF.∴AE＝AE，∴BE＝3AE.∴∵＝，∴DG∥BE，∴△DPGPE＝PF，∴3＝x(第6题)(第7题)7．证明：(1)如图，连接OD.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AB ＝BC ，∴D 为AC 中点．∵O 为AB 中点，∴OD ∥BC.∵DE ⊥BC ，∴∠ODE ＝∠CED ＝90°，∴DE 为半圆O 的切线．(2)∵AB ＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠CBD ＝∠DBA.又∠ADB ＝∠DEB ＝90°，∴△ADB ∽△DEB.∴AB DB ＝DB BE ，即DB 2＝AB·BE.8．(1)证明：连接OD ，如图．因为OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA.又因为AD 平分∠BAC ，所以∠OAD ＝∠CAD ，所以∠ODA ＝∠CAD.所以OD ∥AE.又因为EF 垂直于AE ，所以OD 垂直于EF ，所以EF 与圆O 相切．(2)解：如图，连接CD ，BD ，BC ，则CD ＝BD.因为AB 是直径，所以∠ACB ＝∠ADB ＝90°.又因为AB ＝6，AD ＝42，所以BD ＝AB 2－AD 2＝62－（42）2＝2，所以CD ＝2.因为∠OAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠E ＝90°，所以△ADE ∽△ABD ，所以AB AD ＝BD DE ，所以642＝2DE，所以DE ＝423.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＝23.易得四边形CEDG 是矩形，所以DG ＝CE ，∠OGB ＝90°.所以DG ＝23，OG ＝3－23＝73.在Rt △OGB 中，GB ＝OB 2－OG 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫732＝423.因为∠ACB ＝∠E ＝90°，所以BC ∥EF ，所以△OGB ∽△ODF ，所以OG OD ＝GB DF ，所以733＝423DF ，所以DF ＝1227.所以EF ＝DE＋DF ＝423＋1227＝64221.(第8题) (第9题)9．解：(1)ED 与⊙O 相切．证明：如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵AD平分∠CAB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD∥AE.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，则BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠3＝∠4，∠3＝∠2，∴∠2＝∠4.∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA.∴BDAD＝DFBD，∴DF＝BD2AD＝115.则AF＝AD－DF＝5－115＝145.10．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠BAD＝∠BED，∠BED＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠BAD＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD ＝90°，∴∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCCD＝CABC，即BC2＝AC·CD＝(AD＋CD)·CD＝10，∴BC＝10.(第11题)11．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∴∠OCP＝90°.∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°＝∠OCP.∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P.∴△PCA∽△PBC.∴PC PB＝PAPC.∴PC2＝PB·PA.∵＝，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OCAE＝POPA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC＝PB＋OBPB＋AB＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PBPC＝BCAC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝2 5.∴S△ABC ＝12AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.。

人教版九年级数学下第二十七章《相似》单元练习题（含答案）一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A．1∶3B．1∶4C．1∶8D．1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是()A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A．16 cmB．12 cmC．24 cmD．36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A．2∶5B．1∶2 500C．250 000∶1D．1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x ＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB 与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．人教版数学九年级下册第二十七章相似单元提优训练人教版数学九年级下册第二十七章相似单元提优训练一、选择题1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组2.（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ C ）A．360元B．720元C．1080元 D．2160元3.若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( A )A．m∶n＝a∶b B．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶m D．a∶m＝n∶b4.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( C )A. B.C. D.5.如图所示，△ABC与△A′B′C′相似，那么下列记法中正确的是( C )A.△ACB∽△A′B′C′B.△BAC∽△C′B′A′C.△BCA∽△B′C′A′D.△ABC∽△C′A′B′6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( C )A．1对B．2对C．3对D．4对7. 位似图形的位似中心可以在( D )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有8. 下列说法正确的是( A )A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形一定是位似图形C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行9.已知y＋zx＝x＋zy＝x＋yz＝k，则y＝kx＋k的图象一定经过的象限是( B )A．一、二 B．二、三C．二、四 D．一、三10. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的长是( D )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11. 如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则∠1=,AD=.【答案】70°2812.在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．【答案】22213.若k＝a－2bc＝b－2ca＝c－2ab，且a＋b＋c≠0，则k＝ .【答案】-114.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝ . 【答案】16915. 如图,△ABC 与△A'B'C'是位似图形,点O 是位似中心,若OA =2AA',S △ABC =8,则S △A'B'C'= .【答案】18 三、解答题16. 已知四条线段a ,b ,c ,d 的长度,试判断它们是否成比例: (1)a =16 cm,b =8 cm,c =5 cm,d =10 cm; (2)a =8 cm,b =5 cm,c =6 cm,d =10 cm.(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd =ac.∴能够成比例. (2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.17.已知四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1中，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝AD A 1D 1＝35，且周长之差为12cm ，两个四边形的周长分别是多少？解：设四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的周长分别为C 1和C 2，∵AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝ADA 1D 1＝35，∴AB ＋BC ＋CD ＋AD A 1B 1＋B 1C 1＋C 1D 1＋A 1D 1＝35，∴C 1C 2＝35，∴C 1＝35C 2，∵C 2－C 1＝12，∴C 2－35C 2＝12，∴C 2＝30，∴C 1＝18.答：两个四边形的周长分别为18cm 和30cm. 18.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上一点，且△ABP ∽△PCD.求∠APD 的度数．解：△ABP ∽△PCD ，∴∠BAP ＝∠CPD.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠BAP ＋∠BPA ＝180°－60°＝120°，∴∠BPA ＋∠CPD ＝120°，∴∠APD ＝180°－(∠BPA ＋∠CPD)＝180°－120°＝60°.19.如图已知，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，BE 交CD 于点O.求证：△ABE ∽△OCE.证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又因为∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE.20. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1;(2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗? (1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图. (3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练四、选择题1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( D )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3. 下列各组中的四条线段成比例的是( D )A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm 4.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式错误的是( C )A.B.C. D.5. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( B )A ．3B ．4 C.5 D ．66. 如果两个相似多边形的面积比为9∶4,那么这两个相似多边形的相似比为( C ) A. 9∶ 4 B. 2∶ 3 C. 3∶ 2 D. 81∶167. 位似图形的位似中心可以在( D )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有8. 下列说法正确的是( A )A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形一定是位似图形C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行9.如图，在△ABC中，DE∥BC，，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )A．6 B．8 C．10 D．1210. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是(B)A. 2B. -2C. 3D. -3二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.【答案】2012.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为【答案】13.在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．【答案】22214.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．【答案】相交于一点15.在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶8，则AD ＝__________ cm.【答案】2或16.若k ＝a －2b c ＝b －2c a ＝c －2ab ，且a ＋b ＋c ≠0，则k ＝ .【答案】-1三、解答题17. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连接AE.(1)若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；(2)若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ；(2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.18.在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，点B (0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . (1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′.①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).(1) 【答案】∵点A的坐标为(－2，0),点B的坐标为(0，4)，∴OA＝2，OB＝4，∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°，∴△OAE∽△OBA，有＝，即＝，解得OE＝1.∴点E的坐标为(0，1).(2) 【答案】①如图，连接EE′，由题设AA′＝m，则A′O＝2－m.19. 已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd=ac.∴能够成比例.(2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.20.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ；(2)解 由(1)知Rt △ABC ≌Rt △ADC ， ∴CD ＝BC ＝3，AD ＝AB ， ∴DE ＝5＋3＝8，∵∠EAD ＝∠ECB ，∠D ＝∠EBC ＝90°， ∴△EAD ∽△ECB ， ∴＝，∵BE ＝＝4，∴＝，∴AD ＝6，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ACD ＝2××3×6＝18 cm 221．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF ∽△BGF ；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长． 解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ；(2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝12，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG －AB ＝2cm.22.已知矩形ABCD 中,AD =3,AB =1.若EF 把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD 相似.求AF ∶AD 的值.【答案】设AF=x ,∵矩形ABEF 与矩形ABCD 相似,且AD=3,AB=1,∴对应边成比例,即=,即=,解得x=,∴AF ∶AD=∶3=1∶9.23.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1; (2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗? (1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图. (3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.25.24.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm ； 如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm ；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.。