2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题05

目录（基础温习部份）第一章集合与简易逻辑.................................................. 错误!未定义书签。

第01课集合...................................................... 错误!未定义书签。

第02课逻辑联结词和四种命题...................................... 错误!未定义书签。

第03课充分条件与必要条件........................................ 错误!未定义书签。

第一章 集合与简易逻辑第01课 集合（苏州期初）1．已知集合},0,1{},1,0{-==B A 则=B A }1,1,0{- （苏州期中）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ ． {}|02x x ≤≤ （苏北四市摸底）1．已知集合{}11A x x =-≤≤，则AZ = ▲ ． {}1,0,1-（盐城三模）1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7,9}B =，C AB =，则集合C 的子集的个数为▲ . 8 （苏锡常镇调研一）1。

已知集合{}/3,A x x x R =<∈，{}/1,B x x x R =>∈，则AB = . 答案：{}13x x <<解析：集合A ＝{}3x x <，集合B ＝{}1x x >，所以，A B ={}13x x <<【命题立意】本题旨在考查集合的概念和交集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．（苏锡常镇调研二）1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()U A B =▲ ．{125}，，（南通三模）1.已知集合M ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，1，2}．若∁U A ＝ ▲ ．{}0 （苏北三市三模）1．已知集合A ={x |x =2k +1，k ∈Z }，B ={x |0<x <5}，则A ∩B = ▲ ．{1,3} （南京三模）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________．5（南通二调）２.设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B =，则实数a 的值为 ▲ ．１ （南京盐城二模）1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________．{x |－2＜x ＜1} (扬州期末)1．已知集合2{|20}A x x x =-<，{0,1,2}B =，则AB = ▲ ．{}1 （扬州期中）1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB = ▲ ． [1,2] (镇江期中) 1.设集合}0|{},3,2,1,0{2=-==x x x A U ，则=AC U {}2,3(盐城期中) 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ . [2,)+∞(无锡期中) 1．已知集合{}02M x x =<<,{}1N x x =>，则MN = ▲ ．{}12x x << （无锡期末）一、已知集合{1,0,1},{0,,2}A B a =-=，若{1,0}A B =-，则a = －１（泰州期末）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲ ．}{1,0,1-（苏州期末）１.设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ＝ ▲ ．{2} {0,1,A B =（南通调研一）一、已知集合A ＝{}{}|12,1,0,1x x B -<<=-，则AB ＝【答案】{}0,1． （南京期初）1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} （南京盐城一模）1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B = ▲ . {}1-(常州期末) 二、设全集U ＝{}1,2,3,4，集合A ＝{}1,3，B ＝{}2,3，则U BC A ＝ {}2第02课 逻辑联结词和四种命题(扬州期中) 3．命题“,sin 1R θθ∀∈≤”的否定是 ▲ ． ,sin 1R θθ∃∈> (盐城期中) 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）假 （泰州期末）8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．(2,)+∞1．命题：“∃x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是 ▲ ．∀x ∈Q ，x 2－8≠0第03课 充分条件与必要条件4．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的核心在y 轴上，则p 是q 的 ▲ 条件（用“充分没必要要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也没必要要”填空）．充要 (镇江期中)9.实系数一元二次方程02=++c bx ax ，则“0<ac ”是“该方程有实数根”的 条件（在“充分没必要要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又没必要要”当选择一个适合的填写）充分没必要要(盐城期中) 设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分 所以()4,1A B =-； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分。

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分.1.设全集U ＝｛x ｜ x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝,则UA＝ ▲ ．【答案】{2} 【解析】试题分析：由题意得2{|2,5,}{|25,}{2}UC A x x x x N x x x N =≥≤∈=≤≤∈=考点:集合的补集 2.复数i(0)12ia z a =<+，其中i 为虚数单位，||z 5则a 的值为 ▲ ．【答案】－5 【解析】试题分析:i |i |||5 5.12i |12i |5a a z z a =⇒====-++ 考点：复数的模 3。

双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ ．【答案】32【解析】试题分析:由题意得22234,59.2c a b c e a ==⇒=⇒== 考点:双曲线离心率4。

若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得12x =，因此方差为221(12201)25++++=考点：方差5。

已知向量a =(1,2)，b =（x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ． 【答案】9 【解析】试题分析：由题意得2()5(4)909.a a b a a b x x x ⋅-=-⋅=--=-=⇒=考点：向量数量积6.阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ．【答案】53【解析】试题分析：第一次循环：2z =；第二次循环:1,2,3,x y z ===；第三次循环：2,3,5,x y z ===；第四次循环：3,5,86x y z ===>;结束循环，输出53y x = 考点:循环结构流程图 7。

函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．【答案】(,1]-∞ 【解析】（第6题图）试题分析:20()2(0,1];0,()1(,1)xx f x x f x x =∈>=-+∈-∞≤时,时，因此值域为(0,1](,1)(,1]-∞=-∞考点：分段函数值域8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2,3,4,5,6），则事件“两次向上的数字之和等于7"发生的 概率为 ▲ ．【答案】16【解析】试题分析:连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含16,25,34,43,52,61++++++这6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率9.将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次 为123,,r r r ,则123r rr ++＝ ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长,因此1231232()255r r r r r r ππ++=⨯⇒++=考点：圆锥展开图10.已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ．【答案】3125-考点:同角三角函数关系11。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一、填空题（每小题7分，共70分））1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则ab 的值是 -3。

2.从1, 2,3.4.5.6.7.8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。

4/93.已知()x f 是周期为4的奇函数且当()2,0∈x 时()60162+-=x x x f ,则()102f 的值是。

-364.己知直线l 是函数()2ln 2x x x f +=图象的切线，当的斜率最小时l 的方程是。

034=--y x5.在平面直角坐标系XOY 中，如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取位范围是。

[]2,06.己知等边△ABC 的边长为2,若()BC AP AQ AC AB AP 21,31+=+=,则△APQ 面积是。

337.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC1的中点.若过点A,P .Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。

⎪⎭⎫ ⎝⎛1,218.己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列.且对任意,*∈N n 都有.1+<n n a a 若,2,121==a a 且数列{}n a 的前10项和,7510=S 则=8a 119.己知正实数y x ,满足()()162222=+++x y y x 则=+y x 。

410.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除22016，且2016整除2n .那么M 的所有不同正因子几的个数为。

360二、解答题（每小题20分，共80分））11.已知,2,0,1235cos 1sin 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+πθθθ求θtan 。

3/4或4/312.如图，点P 在△ABC 的边AB 上且 AB=4AP ，过点P 的直线MN 与△ABC 外接圆交于点M, N ，且点A 是弧M N 的中点.求证：(1)△ABN ≈△ANP 。

!"#$%&!"#$'()*+,-./0123/456789:#!#$#%!!! # !%!&!&!槡'!'!$("#!$!)!*(!#"!)!槡"!*!+!'!#"!#!##!!!+!#!!槡+,-"-!#%!$#*"-!#&! $" .# #'! ! !"",#,$/ #$"/ $ #,$ !%012 #$$ /!$012" &012 #$$ /!,012 #,$ '( )*&2%3#2%3$/!#!#*# +!"% & ',-./0 #$&#/%'%123* &2%3#"/2%3#2%3$452%3#"/!#!&*!""" *#$2%3"/槡## +!"6&789:6 #$"/ -!4*" !"#,$/ $"/" -#$012 #,$ /012#012$$2%3#2%3$/$槡##45012#012$/槡!$##!**#$563#,563$/2%3#012#,2%3$012$/2%3 #,$ 012#012$!#*/槡##槡!$##槡/$#$#! !-*#$! ! ;<"$! #$!!"""!$!$8=> (8"!$?@A #$(8"$!?@A !#*B #"#$!@ !"( )CD8"$! "#?@A #$()$#$!!-*!"()%EF ##!$!$ #$!&EF ##!$!$ #$)($EF ##!$!$! &*# !"#"#$81GH> )8"#?@A#$$)'"#!+!"B1GIJ "!#!$!"#$@ EF "#$'EF "##!"! 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2016年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（五）班级__________姓名__________1、数列{a n }的通项公式为a n ＝n 3－20n 2－10n ＋1(n ∈N *)，问此数列中最小的一项是第 项．2、若直线l 过点A (12，13)和点B (14，15)，则不在l 上与l 距离最近的格点(即纵、横坐标都为整数的点)与l 的距离是___________．3、设12π＜α＜π，则满足等式sin α－3cos α＝log 2(x 2－x ＋2)的实数x 的取值范围是4、直角三角形ABC 中，C 是直角，D 、E 是三等分斜边AB 上的两点，已知CD ＝3＋2，CE ＝3－2，则斜边AB 长为 ．5、设点P (x ，y )到x 、y 轴的最短距离为z ，点P 在A (3，1)，B (4，5)，C (5，2)为顶点的三角形内部及周界上移动，使z 取最大值的点P 的坐标为__________________．6、若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋2n ＞m 1000对一切大于1的自然数n 都成立，则整数m 的最大值为___________．7、已知x ＋y ＝4，xy ＝－4，那么(x 3＋y 3)∶(x 3－y 3)＝____________．8、函数f (x )＝x 4－3x 2－6x ＋13－x 4－x 2＋1的最大值等于______________________． 9、用1或2两个数字写n 位数，其中任意相邻两个位置不全为1，记n 位数的个数为f (n )，则f (10)＝______________________． 10、设a n ＝42n ＋1＋3n ＋2(n ∈N *)，p 是能整除a 1，a 2，a 3，…，中无穷多项的最小素数，q 是能整除a 1，a 2，a 3，…，中每一项的最小素数，则p ·q ＝ ．11、设函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．当x ≠y 时，有f (x )≠f (y )．(1)求f (0)；(2)证明f (x )在R 上递增；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)f (y 2)＜f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax ＋by ＋c )＝1，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0}，且A ∩B ＝，求a 、b 、c 满足的条件．12、已知AB 、BC 、AC 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的任意三条切线，它们交成一个ΔABC ，求证：ΔABC 的垂心在某条固定的直线上．13、设O 是ΔABC 内一点，点O 关于∠A ，∠B ，∠C 的内角平分线的对称点分别为A '，B '，C '，证明：AA '，BB '，CC '相交于一点．A'C'B'ABO(12pc 2,pc )(12pb 2,pb )(12pa 2,pa )HD CBAO yx14、证明：一个奇自然数c 为合数的充分必要条件是存在自然数a ≤c3－1，使(2a －1)2＋8c 为平方数．。

当q 亍1时,2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)班级 ___________ 姓名 __________1、 设集合 A 二｛x||x -a|：：：1,x R ｝, B 二｛x|6x .5 x 2,x R ｝，若 A - B 二，则实数 a 的 取值范围是 ___________解：由题得 A =｛ x| a -1 ：：： x ：：： a • 1,x ：= R ｝， B =｛x|1 ：：： x ：：： 5, x ：= R ｝，又 B = •，所以有 a -1乞1或a 1 _5，即a 岂0或a _62、 从集合｛ 1, 3, 6, 8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 ______________1 5解：P =1 -弋二―，正面列举亦可，积是偶数情况有 1,6; 1,8; 3,6; 3,8; 6,8C 4 6 3、 已知a 是实数，方程x 2 (4 i)x 4 V i "的一个实根是b (i 是虚部单位)，则| a bi | 的值为 _________解：由题： b 2 +(4 Hi)b +4 +ai =On b 2 +4b +4 +(a +b)i =0，故『 +4b +4 —2a ■b = 0b - -2所以 |a • bi |斗2 —2i |二 22 (-2)2 =2 24、 设x 1,x 2是方程X 2 • x -4 =0的两实数根，则X ； -5x 2 ■ 10二 ________________ 解：由％,X 2是方程x 2，x-4=0的两实数根得，2 2 2=咅 x_,=咅(4 —xj =4x_, —x ； 4咅 “ 一4 = 5咅一4, -5x 2 =-5(4 —x 2)=-20 5x 2,x 3 -5x 2 10 =5(为 X 2) 10 -24 =-5 10 -24 - -19.201213X 15、设 X .0,则 f X =— .‘Xx 14- X 丿 13 -X X 4丄 4 ------ x■'的最小值为 X 3丄 X X 3 解：令 t =x .—(t _2)，贝y4 1 ,4 2 3“1 ,3〜 x 4 二t -4t 2,x 亍二t —3t x 4t 2 -2晋一3在2 ；)上单调递增，故最小值为 f ⑵話当q 亍1时,,01^1的值为i^lga i lg a 120121 2012 解：当 q =1 时，Igajga zoJlg 2 a 1 三 2012ii lga i lga i 十 lg 印设Sn 为等比数列，且每项都大于1,则lg a ! lg a 2,6、110 分⑴囲汇^^二1^^2-丄一宀心呼2013’11i^lg a i lga i+ lg q y lga i lga i+lg q送［(X 一1) _(X -2)］亞 X _1 +送 |x _2 <10i ±1010_1 107所以有送|x —1| =4，送—2 =6n1 Ex 兰2，故X = 1+丄送(人—1)=—ii ±9、方程2m 3n -3" 1 ■2m =13的非负整数解 m,n 二解：方程 2m 3" -3" 1 - 2m =13 变形为(2m -3)(3" 1) =10，因为 3" 1 .0，故 2m -3 .0b m -3-1 h m -3 -5 —所以m 32,2 m _3必为奇数，故！或《 二(m, n) =(2,2)或(3,0)p n +1=10 ［3n +1=210、 数列◎淀义如下：a 1 =1,a 2 =2,a n2 =2“ *a n1nn=1,2,||l.若 a m2 黑］n+2n+22012则正整数m 的最小值为 _____________解：由题设得：(n ■ 2)a n 2 =2(n ，1)a n 仁一na n ，则有(n 2)a n2—(n 1总 1—(n 1)a n1—na . = na . -(n —1応丄=||| =2a ?—印=3所以 na n =(n -1总丄-3，令 g = na .，则 g 丄=3，所以 * = na . "a ? ■ 3(n -2) =3n -2，3n —2 2 丄匚 2 丄2011 匕厂… 曰、/士斗a n3 -，故 a m =3- 22 • = m 4024，所以 m 最小值为 4025nn m 20122 211、 设椭圆 务•占=1(a b 0)的左、右顶点分别为 代B ，点P 在椭圆上且异于 A,B 两点, a b O 为坐标原点.若|AP|=|OA|，证明：直线OP 的斜率k 满足|k|. 3 .解法一：设 P （acos^bsin v ）（0 u ：：： 2二），A （ _a,0）.由 |AP|=|OA|，有( )=2012 lg a1lg a20137、方程 17sin(x-) =sin2 x 9的解集为Si "（X2则 2t _17t • 8 =0 .由于 t 珂-1,1］，故t = 1，即 sin(x 亠')24其解为:X(r1)JI410,k ^Z •故解集为』XX =5+(_1)k ，_——,k W Z >8、实数 X 「X 2,山，人0满足二：x1-1 101010 __4? X i -2 _6,，则 x 「X 2川I"。

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．在ABC ∆中，a b c 、、分别是角 A B C 、、所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+的值是_______________ 2．函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值是_______________3．双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，顶点为12A A 、，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段112 PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是_______________4．设{1, 2, , 10}A =⋅⋅⋅，若“方程20x bx c --=满足b c A ∈、，且方程至少有一根a A ∈”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为____________5．设1234, , , a a a a 是1, 2, 3, 4的任一排列，f 是{1, 2, 3, 4}到{1, 2, 3, 4}的映射，且满足()f i i ≠，记数表12341234 () () () ()a a a a f a f a f a f a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若数表M N 、的对应位置上至少有一个不同，就说M N 、 是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为___________ 6．函数|sin cos |()sin 2x x f x x e +=+的最大值与最小值之差等于___________ 7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有_________条．8．设222()S x y x y =+-+，其中x y 、满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为______________9．设ABC ∆内接于半径为R 的⊙O ，且AB AC =，AD 为底边BC 上的高，则AD BC +的最大值为_______________10．设, , r s t 为整数，集合{|222, 0}r s t a a t s r =++≤<<中的数由小到大组成数列{}n a ：7, 11, 13, 14, ⋅⋅⋅，则36a =_______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．已知正方形ABCD 的两顶点A B 、在抛物线2y x =上，另两个顶点C D 、在直线4y x =-上，求此正方形的边长d ．12．设实数a b 、满足条件123123a x x x x x x =++=，122331ab x x x x x x =++，其中1230x x x >、、，求2261a b P a a++=+的最大值．13．如图，BD CE∆的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC∆的外心；、是ABC∥．求证：AO FG14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．我们说“同学A比B的成绩好”，是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”．证明：存在三个同学A、B、C，使得同学A比同学B的成绩好，同学B比C的成绩好．2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案一、填空题1．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角, , A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+的值是__________ 解：由2cos sin 0cos sin A A B B +-=+2)04)4A B ππ+-=+； 即sin()sin()144A B ππ++=，由正弦函数的有界性及A B 、为三角形的内角可知，sin()14A π+=且sin()14B π+=，从而4A B π==，∴2C π=；∴sin sin a bA B c+=+=． 2．函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值是__________ 解：2()992(33)(33)2(33)2x x x x x x x x f x ----=+-+=+-+-；令332x x t -=+≥，则2222(1)3y t t t =--=--，故最小值为2-．3．双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，顶点为12A A 、，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段112 PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是__________解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在12F F P ∆中，C 为1PF 的中点，O 为12F F 的中点，从而211211||(||||)22OC PF PF A A ==-，从而以线段112 PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是内切．4．设{1, 2, , 10}A =⋅⋅⋅，若“方程20x bx c --=满足b c A ∈、，且方程至少有一根a A ∈”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为__________解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2-时，有3个满足题意的“漂亮方程”，共有12个．5．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任一排列，f 是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的映射，且满足()f i i ≠，记数表12341234 () () () ()a a a a f a f a f a f a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若数表M N 、的对应位置上至少有一个不同，就说M N 、是两张不同的数表；则满足条件的不同的数表的张数为__________解：对于1234,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足()f i i ≠，而1234,,,a a a a 共有4424A =个排列， 所以满足条件的数表共有249216⨯=张．6．函数|sin cos |()sin 2x x f x x e +=+的最大值与最小值之差等于__________ 解：2|sin()||sin cos |4()sin 2sin 2x x x f x x e x eπ++=+=+，从而当4x π=时，取最大值21e +当4x π=-时，取最小值0，从而最大值与最小值之差等于21e +7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有__________条．解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共2241223276C =⨯=，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连(58)220⨯÷=条，∴ 6个面共有120条线都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部．8．设222()S x y x y =+-+，其中x y 、满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为__________ 解：由22log log 1x y +=，得2xy =；又22222()()2()2()2()4S x y x y x y x y xy x y x y =+-+=+-+-=+-+-222[()1]5[21]5(221)5442x y xy =+--≥-=-=-9．设ABC ∆内接于半径为R 的⊙O ，且AB AC =，AD 为底边BC 上的高，则AD BC +的最大值为__________解：设OBD α∠=，则sin AD R R α=+；1cos 2BC BD R α==，2cos BD R α=，AD BC +sin 2cos 5sin()R R R R R αααϕ=++=+，其中tan 2ϕ=；∴AD BC +的最大值为5R R ．10．设,,r s t 为整数，集合{|222,0}r s t a a t s r =++≤<<中的数由小到大组成数列{}n a ：7, 11, 13, 14, ⋅⋅⋅，则36a =__________解：∵,,r s t 为整数且0t s r ≤<<，∴r 最小取2，此时符合条件的数有221C =； 3r =，,s t 可在0, 1, 2中取，符合条件有的数有233C =；同理，4r =时，符合条件有的数有246C =；5r =时，符合条件有的数有2510C =； 6r =时，符合条件有的数有2615C =；7r =时，符合条件有的数有2721C =；∴36a 是7r =中的最小值，即01736222131a =++=．二、解答题：11．已知正方形ABCD 的两顶点A B 、在抛物线2y x =上，另两个顶点C D 、在直线4y x =-上，求此正方形的边长d ．解：设A B 、两点坐标分别为211(, )A t t 、222(, )B t t ，显然12t t ≠；∵AB DC ∥，∴2221211t t t t -=-，即121t t +=； 一方面，222222222121212121212||()()()[1()]2[()4]d AB t t t t t t t t t t t t ==-+-=-++=+-⋅，∴ 2121(2)8t t d ⋅=- ①另一方面，2||d AD ==，∴22122(4)d t t =- ②将①代入②，得42689000d d -+=，即22(18)(50)0d d --=；故d =d =． 12．设实数a b 、满足条件123123a x x x x x x =++=，122331ab x x x x x x =++，其中1230x x x >、、，求2261a b P a a++=+的最大值．解：123123a x x x x x x ==++≥=，∴a ≥22222123123122331122331()2()3()3a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ab =++=+++++≥++=，从而，3a b ≥；2222612111111a b a a a P a a a a a a +++++=≤==+≤=++， 当且仅当123x x x ==，a =3a b =时等号成立；即123x x x ===，a =b 2261a b P a a++=+有最大值：1． 13．如图，BD CE 、是ABC ∆的两条高，F 和G 分别是DE 和BC 的中点，O 是ABC ∆的外心；求证：AO FG ∥．证明：如图，连结GD 和GE ，∵90BDC BEC ∠=∠=︒，BG BC =；∴12DG BC EG ==， 又∵DF EF =，∴DF DE ⊥；延长OA 交DE 于H ，连结OB ； ∵90BDC BEC ∠=∠=︒，∴B C E D 、、、四点共圆； ∴12DEB DCB AOB ∠=∠=∠，即12AEH AOB ∠=∠； 又∵OA OB =，∴1902EAH BAO AOB ∠=∠=︒-∠，90EAH AEH ∠+∠=︒；于是，AD DE ⊥，即OA DE ⊥，AO FG ∥．14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．我们说“同学A 比B 的成绩好”，是指“同学A 的语文、数学成绩都不低于B ”．证明：存在三个同学A 、B 、C ，使得同学A 比同学B 的成绩好，同学B 比C 的成绩好． 证明：若同学A 比B 的成绩好，记为A B >；原问题等价于证明： 存在三个同学A B C 、、满足A B C >>．用(,)i i a b 表示第i 个同学的语文、数学成绩（1, 2, , 20i =⋅⋅⋅）；于是(,)(,), i i j j i j i j a b a b a a b b <⇔≤≤且等号不能同时成绩．∵语文成绩i a （1, 2, , 20i =⋅⋅⋅）在1到10的整数值中取值，对这20个同学的语文成绩， 由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：情形1：某个分数值，至少有3人取得；即存在某个{1, 2, , 10}m ∈⋅⋅⋅，使得i j k a a a m ===（其中i j k 、、两两不等）；情形2：每个分数值，恰好均有2人取得，即对任意的{1, 2, , 10}f ∈⋅⋅⋅，存在不同的i j 、，使得i j a a f ==；同理，对于数学成绩i b 同样有两种情形：情形1'：存在某个{1, 2, , 10}n ∈⋅⋅⋅，使得i j k b b b n '''===（其中,,i j k '''两两不等）； 情形2'：对任意的{1, 2, , 10}g ∈⋅⋅⋅，存在不同的,i j ''，使得i j b b g ''==； 下面进行讨论：对情形1：若i j k a a a m ===，则由条件知,,i j k b b b 两两不等； 不失一般性，不妨设i j k b b b <<，则(,)(,)(,)i i j j k k a b a b a b <≤，即存在三个同学存在三个同学A 、B 、C 满足A B C >>； 对情形1'：同理可证；对情形2'：有两个1i a =，不失一般性设1i j a a ==，于是得(1,),(1,)i j b b ，且i j b b ≠， 不失一般性，设i j b b <，则(1,)(1,)i j b b <；这时，对于i b ，若出现情形1'，则结论成立；若出现情形2'，则必有2人得10分， 不妨设为,k l a a ，易知,k l a a 中至少有一个不取1（否则与条件②矛盾），设为k a ，则1k a <； 所以，故结论成立； 对于情形2，同理可证； 综上所述，结论成立．。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立． 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =， 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ， 则R 是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==， 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ； 当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形， 即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形． 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<． 若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-， 则必须满足120d d -… ． 因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同 类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增， 又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<， 使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形． 解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…， 等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”， 简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析 因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟， 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+； （2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ； （3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ． 解析 解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=． 所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34． 解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证： （1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析 （1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠， 又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽． （2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =， 所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =， 同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点． 若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α， 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-， 因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--， 从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=， 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析 九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ， 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++， 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++， 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒． 设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒， 解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题集（2005年-2016年）姓名_________班级_________2017.3目录1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................1-3页2、2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................4-6页3、2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................7-9页4、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................10-12页5、2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................13-15页6、2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................16-18页7、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................19-21页8、2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................22-24页9、2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................25-28页10、2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................29-30页11、2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................31-33页12、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................34-36页2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一． 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为 ( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +42．如果二次方程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最小值是 （ ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 54．设四棱锥P －ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为 ( )A ． 0B ．2C ．16D ．486．一条走廊宽2m 、长8m ，用6种颜色的11m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有( )A ．308B ．30257C ．30207D ．30217 二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB = ．8．设无穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ．9．函数y=|cos x |+|cos2x | (x ∈R ) 的最小值是 ．10．在长方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2， AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC 的中点，那么四面体B 1－EFG 的体积是 ．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有 个．12．已知平面上两个点集：M={(x ，y )| |x +y +1|≥2(x 2+y 2)，x ，y ∈R }，N={(x ，y )| |x －a |+|y －1|≤1，x ，y ∈R }，若M ∩N ≠，则a 的取值范围为 ．三、解答题：13． 已知点M 是ABC 的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是NBC 的外接圆的切线，设BNBC=λ，试求 BM MN （用λ表示）．(15分)14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)ABCDNM15．设椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．(24分)16．⑴ 若n (n ∈N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n 的最小值，并说明理由；( 12分)⑵ 若n (n ∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n 的最小值，并说明理由．( 24分)2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2－4n ＋5，则{a n }的最大项是 （ ）A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 4 2．函数y ＝3 |log 3x |的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y 2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．55二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合A ＝｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ 的值是__________________． 9．(x －3x 2)3的展开式中，x 5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，则x 2＋y 2的最大值是__________________．11．等比数列{a n }的首项为a 1=2020，公比q ＝－12，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f (n )有最大值．12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1＝4，AD 1＝3，则对角线AC 1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x |log 12(3－x )≥－2｝，B ＝｛x |2ax －a ≥1｝，若A ∩B ＝ ，求实数a 的取值范围．14．椭圆x 29＋y 24＝1的有焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4＝…＝∠P 24FP 1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EA C ．证明是直角．16．设p是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p．2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）.1．已知函数2siny x=，则（）A．有最小正周期2πB．有最小正周期πC．有最小正周期2πD．无最小周期2．关于x的不等式22200x ax a--<任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是（）A．2 B．1 C．0 D．－13．已知向量a、b，设AB=a2+b，5BC=-a6+b，7CD=a2-b，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D4．设α、β、γ为平面，m、n为直线，则mβ⊥的一个充分条件是（）A．αβ⊥，nαβ=，m n⊥B．mαγ=，αγ⊥，βγ⊥C．αβ⊥，βγ⊥，mα⊥D．nα⊥，nβ⊥，mα⊥5．若m、{}22101010n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1234567ia∈，，，，，，，012i=，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为（）A．60个B．70个C．90个D．120个6．已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题.7．设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为 .8．设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点（2，8），则a+b等于 .9．已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .1030x y-+=的离心率是 .11．在ABC∆中，已知tan B=，sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12．设命题P:2a a<，命题Q: 对任何x∈R，都有2410x ax++>. 命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13．设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===. 求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1BA 1C 1AC15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16．已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny的最大值为 答：___A. 2b a +B. abC. 222b a +D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数 )(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像的公共点只可能是点 答：___A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 答：___ A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆222A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β 答：___ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则___AB =.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是___ (结果要求写成既约分数）. 8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为___.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为____________或_________.10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a +=______ .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1. 若关于x 的不等式|x a | < b 的解集为{x | 2 < x < 4}，则ab 的值是 .2. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 .3. 已知f (x )是周期为4的奇函数，且当(0,2)x 时，2()1660f x x x ，则f 的值是 .4. 已知直线l 是函数f (x ) 2ln x x 2图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆x 2 y 2 2x 4y 0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 .6. 已知等边△ABC 的边长为2，若1()3AP AB AC ，12AQ AP BC，则△APQ 的面积是 .7. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC 1的中点. 若过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为 .8. 已知数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有a n < a n 1. 若a1 1，a2 2，且数列{a n}的前10项和S10 75，则a8 .9. 已知正实数x,y满足22(2)(2)16x yy x，则x y .10. 设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除20162，且2016整除n2，那么M的所有不同正因子的个数为.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11. 已知1135sin cos12，(0,)2，求tan .12. 如图，点P在△ABC的边AB上，且AB 4AP，过点P的直线MN与△ABC的外接圆交于点M，N，且点A是弧MN的中点. 求证：(1) △ABN∽△ANP；(2) BM BN 2MN.13. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：22221x ya b的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点. 若OF·AB FA·FB，求双曲线C的离心率e.14. 已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值 . 若九个内角中有一个角等于120°，试求常数 的值.。