3.2.2半角的正弦、余弦和正切

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角公式半角公式的推导过程如下表：思考 如何确定公式中的正负号？自主测试1 若cos α＝12，则sin α2等于( )A ．12B ．－12C ．±12D ．±32自主测试2 已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23 B ．－223 C ．±233 D ．－23自主测试3 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12 C ．2 D ．－2课堂互动 解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；②tan α2＝±1－cos α1＋cos α和tan α2＝sin α1＋cos α中要求α≠2k π＋π，k ∈Z ，而tan α2＝1－cos αsin α中则要求α≠k π，k ∈Z . (3)因为tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展 半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sin α，cos α，tan α统一用tan α2表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2，tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.典型考题题型一 利用半角公式求值 例题1 求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 70°1＋sin 70°.反思 对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧． 题型二 给值求值问题例题2 已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2.反思 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．互动探究 若将本例中“π＜α＜3π2”改为“α为第三象限的角”结果又如何？题型三 恒等式的证明问题 例题3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.反思 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四 三角函数的综合问题例题4 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A ．反思 为了方便研究三角函数的有关性质，其常见做法是利用三角变换公式将其化为正弦型函数或余弦型函数，在三角形中讨论三角函数要注意角的约束及隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 随堂练习1．已知cos α＝－cos 2α2，则cos α2等于( )A ．±33 B ．33 C ．－33 D ．±132．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos 2α1＋cos 2α B ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos 2αD ．1－cos 2αsin 2α3．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A ．－1＋a2B ．－1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a24．若sin α＝－45，且α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝________.5．求值：cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋A ＝__________. 6．已知向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．参考答案思考 答：根据“α2”的范围来确定，如果不能确定角“α2”的范围，“±”应保留．自主测试1 【答案】C 【解析】sin α2＝±1－cos α2＝±12.自主测试2 【答案】B【解析】∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223. 自主测试3 【答案】A【解析】解法一：由cos α＝－45，且α是第三象限的角，得sin α＝－35，又tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.解法二：∵cos α＝－45，α为第三象限的角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3.又∵π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，此时α2在第二象限，tan α2＜0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π， 此时α2在第四象限，tan α2＜0.∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－(－3)＝－12.例题1 解：解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·cos 70°1＋sin 70°＝tan 25°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－2·1－tan 25°2tan 5°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cot 10°·tan 10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 5°cos 5°－cos 5°sin 5°·sin 20°1＋cos 20°＝sin 25°－cos 25°sin 5°·cos 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－cos 10°12sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2.解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 10°sin 10°－1sin 10°1＋cos 10°·sin 20°1＋cos 20°＝⎝⎛⎭⎫1－cos 10°sin 10°－1＋cos 10°sin 10°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cos 10°sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2. 例题2 分析：先由sin α的值求出cos α的值，然后利用半角公式求解． 解：∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.则sin α2＝1－cos α2＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝255－55＝－2.互动探究 解：sin α2＝±255，cos α2＝±55，tan α2＝－2.例题3 分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简． 证明：证法一：原式左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． 故原式成立．例题4 分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f (x )的最大值和最小正周期．(2)注意A ＋B ＋C ＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B ＋C )，即为sin A ． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由(1)可得，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝12－32sin C ＝－14， 所以sin C ＝32.因为C 为锐角，所以C ＝π3. 又因为在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.随堂练习 1．【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式，得2cos 2α2－1＝－cos 2α2，即3cos 2α2＝1，所以cos α2＝±33.2．【答案】D 3．【答案】B【解析】∵5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 4．【答案】－135．【答案】32【解析】原式＝1＋cos 2A2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A 2＝32＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A ＝32＋12⎝⎛ cos 2A ＋cos 2π3cos 2A ＋sin 2π3sin 2A ＋cos 2π3cos 2A －⎭⎫sin 2π3sin 2A ＝32＋12⎝⎛⎭⎫cos 2A ＋2cos 2π3cos 2A ＝32＋12(cos 2A －cos 2A )＝32. 6．解：(1)由已知得，f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3＜2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。

3.2.2半角的正弦、余弦和正切课后拔高提能练一、选择题1．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A ．66B ．－66C ．306 D ．－3062．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数3．设a ＝12cos2°－32sin2°，b ＝2tan14°1－tan 214°，c ＝ 1－cos50°2，则有() A ．a <c <b B ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b4．设(2cos x －sin x )(sin x ＋cos x ＋3)＝0，则2cos 2x ＋sin2x 1＋tan x 的值为( ) A ．85 B ．58 C ．25 D ．525.3－sin70°1＋sin 210°＝( ) A ．12 B ．2C ． 3D ．26．已知sin2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A ．1B ．2C ．4D ．3二、填空题7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°<α<540°，则tan α2＝________.8．已知tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝________. 9.sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝________. 三、解答题10．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)．11．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x的值．12．函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (x )＝3210，求sin2x 的值．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题1．D【解析】∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°， ∴cos α2<0.故cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋232＝－56＝－306.故选D ． 2．A【解析】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，∴T ＝π且为奇函数．故选A ． 3．D【解析】由题意知：a ＝sin28°，b ＝tan28°，c ＝sin25°，∴c <a <b .故选D ．4．C【解析】由(2cos x －sin x )(sin x ＋cos x ＋3)＝0得2cos x －sin x ＝0，∴tan x ＝2，2cos 2x ＋sin2x 1＋tan x＝2cos x (cos x ＋sin x )1＋sin x cos x＝2cos 2x ＝211＋tan 2x ＝2×11＋4＝25.故选C ． 5. D【解析】 3－sin70°1＋sin 210°＝3－cos20°1＋1－cos20°2＝3－cos20°3－cos20°2＝2.故选D ． 6．D【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin2α＝223＝3，故选D ． 二、填空题7．2【解析】由sin α2－cos α2＝－55， ∴⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝⎝⎛⎭⎫－552， 得sin α＝45. 又450°<α<540°，∴cos α＝－35.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝451－35＝2. 8．－35【解析】∵tan α＝2，∴cos 2α＝11＋tan 2α＝15，sin ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×15－1＝－35. 9. tan x 2【解析】sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝tan2x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x ·cos x 1＋cos x ＝tan x 2. 三、解答题10．解 原式＝[(1＋cos α)＋sin α]⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22(1＋cos α)＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22×2cos 2α2 ＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α22 cos 2α2， ∵0<α<π，∴0<α2<π2，cos α2>0，原式＝2cos α2cos α2cos α2＝cos α. 11． 解 解法一：(1)由sin x ＋cos x ＝15， 平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x ＝2sin 2x 2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos x sin x＝sin x cos x (2－cos x －sin x ) ＝⎝⎛⎭⎫－1225×⎝⎛⎭⎫2－15＝－108125. 解法二：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1. ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②， 整理得25cos 2x －5cos x －12＝0，∴cos x ＝－35或cos x ＝45. ∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧ sin x ＝－35，cos x ＝45.故sin x －cos x ＝－75. (2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x ＝2sin 2x 2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos x sin x＝sin x cos x (2－cos x －sin x ) ＝⎝⎛⎭⎫－35×45×⎝⎛⎭⎫2－45＋35＝－108125. 12．解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝1＋cos x 2－12sin x －12＝12cos x －12sin x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3210，∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35. sin2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝－2×925＋1＝725.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学业达标一、选择题1.若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数 2.若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A.－63B.－66C.66 D.633.设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 2 19°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) A.b >a >c B.a >b >c C.a >c >bD.c >b >a4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A.1 B.－1 C.0D.±15.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2二、填空题6.若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.7.1sin π18－3cos π18＝________. 三、解答题 8.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.9.设函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)设f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最小值为3，求a 的值.能力提升1.已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos 2α的值是( ) A.－sin α2B.cos α2C.sin α2D.－cos α22.已知函数f (x )＝2cos 2 x2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22. (1)求证：f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝g (x )；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使h (x )取到最小值时x 的值.参考答案学业达标一、选择题 1. 【答案】 D【解析】 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.2. 【答案】 B【解析】 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴cos α＝－23，∵α2∈⎝⎛⎭⎫π2，34π，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2 ＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 3. 【答案】 A【解析】 a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°， 所以b >a >c .故选A. 4. 【答案】 C【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 5. 【答案】 B【解析】 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<23π， ∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2. 二、填空题 6. 【答案】 ±35【解析】 由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去).故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.7. 【答案】 4【解析】 原式＝cos π18－3sinπ18sin π18cos π18＝2⎝⎛⎭⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sinπ9sin π9＝4.三、解答题8.解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 9.解：f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋a ＋1. (1)由2ωx ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z ).又ω>0，∴当k ＝0时，f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为x ＝π6ω＝π6，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由π6≤x ≤π3，得π3≤2x ≤23π，π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴当2x ＋π6＝5π6，即x ＝π3时，f (x )取得最小值为12＋a ＋1.由12＋a ＋1＝3，得a ＝3－32. 能力提升1. 【答案】 A【解析】 因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°，所以cos α<0，sin α2<0，所以原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α ＝12＋12|cos α|＝12－12cos α ＝sin 2 α2＝⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2.故选A. 2.(1)证明：f (x )＝2cos 2 x2＝1＋cos x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22 ＝1＋2sin x 2cos x2＝1＋sin x ，∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1＋sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝g (x )，命题得证.(2)解：函数h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈[0，π]， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， 当π4≤x ＋π4≤π，即0≤x ≤3π4时，h (x )递减， 当π≤x ＋π4≤5π4，即3π4≤x ≤π时， h (x )递增.∴函数h (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，3π4， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，π， 根据函数h (x )的单调性， 可知当x ＝3π4时，函数h (x )取到最小值.。

3．2.2 半角的正弦、余弦和正切一、选择题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sinα2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.3．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形答案 B5．tan 15°等于( )A ．2－ 3B ．－13C ．－23 D ．2＋ 3答案 A 解析 tan 15°＝1－cos 30°1＋cos 30°＝2－ 3.6．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， ∴a <c <b .7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8.当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去．故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为________．答案 －1－a 2解析 sin 2θ4＝1－cosθ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2. ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 9．若tan θ2＝3，则sin θ－cos θ的值是________．答案 75解析 因为tan θ2＝3，所以sin θ＝2tanθ21＋tan2θ2＝2×31＋32＝35，cos θ＝1－tan 2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.所以sin θ－cos θ＝35－⎝⎛⎭⎫－45＝75. 10．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.答案 2解析 已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝2.三、解答题11．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ2＝3，求sin θ－2cos 2θ2的值． 解 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ2＝3，∴1＋tanθ21－tanθ2＝3， ∴tan θ2＝12，∴sin θ－2cos 2θ2＝sin θ－cos θ－1＝2tanθ21＋tan 2θ2－1－tan 2θ21＋tan 2θ2－1＝45－35－1＝－45. 12．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为13，23，求cos α2＋sin β2＋tan α2的值．解 依题意，得cos α＝13，cos β＝23，因为α，β为锐角，所以cos α2＋sin β2＋tan α2＝1＋cos α2＋1－cos β2＋1－cos α1＋cos α＝1＋132＋1－232＋1－131＋13＝2＋62. 13．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π.(1)求tan θ的值； (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解 (1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34. 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4.四、探究与拓展 14．已知3π2<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α的结果为( ) A ．sin α2B ．－sin α2C ．cos α2D ．－cos α2答案 D解析 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴12＋1212＋12cos 2α＝12＋12cos 2α＝12＋12|cos α|＝12＋12cos α ＝cos 2α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 故选D.15．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α.∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R . 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4.即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．。

倍角公式和半角公式3．2.2半角的正弦、余弦和正切预习课本P145～146，思考并完成以下问题(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？[新知初探] 半角公式[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α2的正弦、余弦、正切的值．(2)对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( )(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )答案：(1)× (2)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D.33答案：A3．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B4．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.答案：－2[典例] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.[典例](1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π， ∴π2<α2<π， ∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0， 所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，π<α<3π2，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．题点一：与三角函数性质综合应用1．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________． 解析：由题意知，f (x )＝12sin 2x ＋12(1－cos 2x )＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， 所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z)，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) 题点二：与平面向量综合应用2．已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .求f (x )的最大值及相应的x 值．解：因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1.题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ，∴HE ＝50cos x.在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ， ∴HF ＝50sin x .又∠EHF ＝90°， ∴EF ＝50sin x cos x，∴三条路的全长(即△HEF 的周长) L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x.当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6；当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可． 由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ， 则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1.由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 得3＋12≤t ≤2，从而2＋1≤1t －1≤3＋1， 当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)，当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．层级一学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cosθ2＝()A．－64 B.64C．－38 D.38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A.89 B.1718 C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 答案：π 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a >0，ω>0)的最大值为2.x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a ，ω的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α的值． 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3 sin(2ωx ＋φ)，其中tan φ＝3a. 由题意知a 2＋3＝2，a >0，则a ＝1.f (x )的最小正周期为π，则2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (α)＝23知2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫4α＋2π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫4α＋2π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12 B.12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22D.22解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0.∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12.∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________． 解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)．解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0.∴原式＝－22cos α2.8．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值．解：(1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ，所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5213， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1213， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－513－22×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226.。

张喜林制3.2.2 半角的正弦、余弦和正切考意知识清单=28.1αco ⋅)2(αC =2sin .2α⋅)2(αS=2tan .3α⋅)(2αT 公式前面的正负号，由角2α的确定．αααcos sin 2tan.4N Jh 表示的关系式为____或要点核心解读1．半角公式,2s 12sinααco -±= ,2cos 12cosαα+±= ,cos 1cos 12tanααα+-±=αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=证明：(1)在αα2sin 212cos -=中，以α代2,2αα代α即得2cos 12sin ,2sin 21cos 22αααα-=∴-= (2) 在1cos 22cos 2-=αα中，以α代2,2αα代α即得,2cos 12cos ,12cos 2cos 22αααα+=∴-=(3)以上结果相除得⋅+-=αααcos 1cos 12tan 2,2tan 2cos2sin2cos2sin 2)2sin 21(1sin s 1)4(2αααααααα==--=-co ⋅==-+=+2tan 2cos2sin12cos 212cos2sin2cos 1sin 2ααααααααx 2．运用三个半角公式222T c s 、、αα时，要特别注意根号前的符号，选取依据是2α所在的象限的原三角函数的符号同学们往往误认为是根据cos α的符号，确定,2αms 2tan2cos,αα的符号，如：α为第二象限的角，且,32cos -=α则2α为第一或第三象限的角，2αms ∴可正可负，2cos α可正可负，2tan α为正． ,63023212cos 12sin±=+±=-±=∴αα,6623212cos 12cos±=-±=+±=αα.5cos 1cos 12tan=+-=ααα3．公式2αT 共有三个，即=+=+-±=αααααcos 1cos 1cos 12tanm s ααsin cos 1- 显然公式αααcos 1cos 12tan +-±=由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆，对于后两个公式的推导，如下：,cos 1sin 2cos 22cos2sin22cos2sin 2tan2αααααααα+===同理可推得：,sin cos 12tan ααα-=后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果． 4．升幂公式：,22cos 1,2cos2cos 122ααααm s =-=+降幂公式：,2cos 12sin ,2cos 12cos 22αααα-=+=等同于倍角公式的升幂与降幂公式 升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在运用时要根据题目的角的特点，函数的特点及结构特点选取公式，一般地，升幂的同时角减小，降幂的同时角增大．典例分类剖析考点1 半角公式的直接运用[例1] 已知,270180,53cos <<-=αα求,2αms ⋅2tan,2cosαα[解析],135290,270180 <<∴<<αα即2α是第二象限的角．.02tan,02cos,02sin<<>∴ααα,5522)53(2cos 12sin1=--=-=∴αα==-=--=+-=2cos 22tan ,5525312cos 12cosαααααm s 255552-=-或.2531531cos 1cos 12tan |-=-+-=+--=ααα或 =--=∴<<-=αααα2cos 1sin ,270180,53cos 54)53(1-=---.254531sin cos 12tan -=-+=-=ααα [点拨] 半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的,21不一定是半角的形式，根号前面的符号，由2α所在象限来确定，如果没有给出限定符号的条件，根号前面应保留正负两个符号．1．(1)已知,65,51|2cos|πθπθ<<=求4tan ,4sin θθ的值． (2)已知,23,178sin παπα<<-=求2tan ,2cos ,2sin ααα的值，考点2 半角公式的“巧用”[例2]化简：.1)]24tan()24(cos 22sin [cos sin 12+---+xx xxxππ[解析] 本题中角和函数种类较多，应尽量化为同角同名函数，统一为x 的正余弦，)24tan(x -π变为)2cos(1)2sin(x x -+-ππ于是： 原式1])2cos(1)2sin()2cos(12sin [cos sin 1+-+---++=x x x x xx πππ1)sin 1cos sin 1cos sin 2(o sin 1++-++=x x x x x sx c x .sin 211sin 2x x =+-= [点拨] 化简本题的关键是巧用正切半角公式：⋅-+-=-)2cos(1)2sin()24tan(x x x πππ2．求证：.2sin 412tan2cotcos 2αααα=- 考点3 和、差、倍、半公式的混合运用[例3] 已知βαβαα,,54)sin(,1312sin =+=均为锐角，求2cos β的值． [解析]⋅=-=∴<<135sin 1*cos ,20ααπα .0,20,20πβαπβπα<+<∴<<<<若,20πβα<+<又,sin )sin(αβα<+αβα<+∴不可能，故⋅-=+∴<+<53)cos(,2βαπβαπαβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+=∴⋅=⨯+⨯-=6533131********20πβ<<∴即,40πβ<--<故==+12cos 2cosββ⋅656573．(1)已知,713tan tan ,262tan==+βαβα求)cos(βα-的值． (2) (2006年安徽高考题)已知⋅-=+<<310cot tan ,43ααπαπ①求αtan 的值；②求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值，学业水平测试1．设),2,(ππα∈则⋅+-2)cos(1απ等于( )．2sin.αA 2cos.αB 2sin.α-C 2cos.α-D2．下列各式与αtan 相等的是( )．αα2cos 12cos 1.+-A ααcos 1sin .+B αα2cos 1sin .-C αα2sin 2cos 1.-D3．设,2cos,32a =<<θπθπ则4cosθ等于( )．21.a A + 21.a B -- 21.a C +- 21.aD -=o 15tan .45．已知,540450,552cos2sin<<-=-ααα则=2tan α 6．已知,325,53|cos |πθπθ<<=求2tan ,2cos ,2sin θθθ的值． 高考能 力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）15cot 15tan .1+o 等于( )．2.A 32.8+ 4.C 334.D 2．如果,325,51|cos |πθπθ<<=那么2sin θ的值等于( )． 510.-A 510.B 515.-C 515.D 3．已知,135sin =α且α是第二象限的角，则2cot α的值是( )． 51.A 5.B 515.或C 515.或-D 4．若,2πβα=+则( )．2sin 2cos.βα-=A 2sin 2sin .βα=B ββαsin sin 2tan .±=C ββαsin sin 2tan .±=D 5．（2005年全国高考题）在△ABC 中，已知,sin 2tanC BA =+下列四个论断中正确的是( )． 1cot tan =⋅B A ①2sin sin 1≤+<B A ②1cos sin 22=+B A ③C B A 222sin cos cos =+④①③.A ②④.B ①④.C ②③.D6．化简：=-÷)2tan 2tan1(cos 42ααα（ ） ααcos sin 21.A α2sin .B α2sin .-C α2sin 2.D 7．若,2tan =α则ααα2cos 12cos 2sin +- 的值是( )．67.A 23.B 61.C 61.-D 8．若,40π<<x 则函数xx x xx f 22sin sin cos cos )(-=的最小值为( )． 41.A 21.B 2.C 4.D 二、填空题（5分×4 =20分） 9．已知,32sin =x 且,2ππ<<x 则=2sin x10.若α是第三象限的角，且=+-+)cos(sin cos )sin(βαβββα,135-则=2tan α11．若,cos 4sin 3αα=且,0sin <α则=2tanα=+12tan18tan.12ππ三、解答题（10分×4 =40分） 13．已知),2,4(,41)24sin().24sin(ππααπαπ∈=-+⋅求1tan 1tan sin 22--+ααα的值．14.设α是第二象限的角，且,102)47sin(=-πα求4tan α的值．15．求值：)tan 1(cot )5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 1αα=⋅--+o o16．已知,0cos 3cos sin 6sin 422=+--x x x x 求)2tan 1)(2cos 1(2sin 2cos x x xx ---的值，。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A.1＋a2B.1－a2C ．－ 1＋a2D.－ 1－a22．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2的值为( )A ．3B.2 C ．－2D.－33．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－154 D.1544．(2017·山东卷)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A ．－14 B.14 C ．－18 D.185．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C.2D.－26．已知cos2α＝－19，那么tan 2α·sin 2α的值为________．7．若sin α＝13，2π＜α＜3π，那么sin α2＋cos α2＝________.8．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值．[B 组 技能提升]1．如果sin θ＝35，5π2＜θ＜3π，那么tan θ2＋cos θ2的值为( )A.1010－3 B.3－1010 C ．－30＋1010 D.30＋10102．若f (θ)＝2sin 2θ2－1sin θ2cos θ2＋2tan θ，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．0B.2 C ．－2 D.－43．在△ABC 中，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，那么cos2A ＝______. 4．已知θ为第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α是以Ox 轴为始边，OA 为终边的角，把OA 绕点O 逆时针旋转β(0<β<π)角到OB 位置，已知A ，B 是单位圆上分别位于第一、二象限内的点，它们的横坐标分别为35、－22.(1)求1＋sin2αcos2α的值；(2)求cos β的值．6．已知f (x )＝3sin 4x ＋(sin x ＋cos x )2－3cos 4x . (1)求f (x )的最小值及取最小值时x 的集合； (2)求f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时的值域； (3)在给出的直角坐标系中，请画出f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象(要求列表描点)．【参考答案】课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．D【解析】∵5π4＜θ4＜3π2，∴sin θ4＜0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－ 1－a2，故选D. 2．D【解析】由sin(270°＋α)＝45，得cos α＝－45，∵180°<α<270°，∴sin α＝－35，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，故选D.3．C【解析】解法一：2θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos2θ＝－25516， ∴cos θ－sin θ＝1＋cos2θ2－ 1－cos2θ2＝－154. 解法二：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴cos θ＜sin θ， ∴cos θ－sin θ＝－(cos θ－sin θ)2 ＝－1－sin2θ＝－154，故选C. 4．D【解析】cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18，故选D. 5．A【解析】解法一：∵α是第三象限角，cos α＝－45，sin α＝－35，则1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2＝1＋2sin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.解法二：∵α是第三象限角，∴α2是二、四象限角，∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31＋3＝－12.6．2536【解析】∵cos2α＝－19，∴1－2sin 2α＝2cos 2α－1＝－19，∴sin 2α＝59，cos 2α＝49，∴tan 2α＝54，∴tan 2α·sin 2α＝54·59＝2536.7．－233【解析】⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝43. 又2π＜α＜3π，∴π＜α2＜3π2，∴sin α2＋cos α2＜0，∴sin α2＋cos α2＝－23 3.8．解 ∵0＜α＜π2，∴cos α＝1－sin 2α＝513.∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.若0＜α＋β＜π2，又∵sin(α＋β)＜sin α，∴α＋β＜α不可能，故π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－35.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35×513＋45×1213＝3365.∴0＜β＜π2，即0＜β2＜π4，故cos β2＝1＋cos β2＝76565. [B 组 技能提升]1．B【解析】∵5π2＜θ＜3π，5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－1010， tan θ2＝ 1－cos θ1＋cos θ＝3.∴tan θ2＋cos θ2＝3－1010.故选B.2．D【解析】∵f (θ)＝－cos θ12sin θ＋2sin θcos θ＝2⎝⎛⎭⎫sin θcos θ－cos θsin θ＝2⎝⎛⎭⎫sin 2θ－cos 2θcos θsin θ＝－4cos2θsin2θ，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝－4·cos π4sin π4＝－4.3．－120169【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，∴22(sin A ＋cos A )＝513， ∴sin A ＋cos A ＝5213，(sin A ＋cos A )2＝1＋sin2A ＝50169，∴sin2A ＝－1＋50169，∴sin2A ＝－119169，且π＜2A ＜32π，∴cos2A ＝－1－sin 22A ＝－120169.4．±35【解析】25sin 2θ＋sin θ－24＝0，∴sin θ＝2425，sin θ＝－1(舍)，∴cos θ＝－725，∴cos θ2＝±1－7252＝±35. 5．解 由题可得A ⎝⎛⎭⎫35，45，B ⎝⎛⎭⎫－22，22， ∴cos α＝35，sin α＝45，cos(α＋β)＝－22，sin(α＋β)＝22， (1)1＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝sin α＋cos αcos α－sin α＝45＋3535－45＝－7.(2)cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22×35＋22×45＝210. 6．解 (1)f (x )＝3sin 4x ＋(sin x ＋cos x )2－3cos 4x ＝3(sin 2x －cos 2x )＋1＋2sin x cos x ＝sin2x －3cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. ∴最小值为－1，此时x 的集合为xx ＝k π－π12，k ∈Z.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， f (x )∈[－3＋1,3]．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1知 2x －π3－4π3－π －π2 0 π2 2π3 x －π2 －π3 －π12 π6 5π12 π2 f (x )3＋11－1133＋1故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象如图所示．。

3.2.2半角的正弦、余弦和正切新知初探半角公式sin α2＝ ，cos α2＝ . tan α2＝ ＝ ＝ . 思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？小试身手 1．若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A ．66 B ．－66 C ．306 D ．－306 2．下列各式与tan α相等的是( )A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α3．设α∈(π，2π)，则1＋cos (π＋α)2等于________． 题型探究题型一 化简问题【例1】 已知π<α<3π2，求1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋ 1－sin α1＋cos α＋1－cos α的值． [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化筒．规律方法要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2sin 2α2，1－cos α＝2cos 2α2， 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路． 跟踪训练1．已知3π2<θ<2π，试化简：1＋sin θ－1－sin θ.题型二 求值问题【例2】 已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值． [思路探究] 由题意求cos θ―→由半角公式求sin 2θ2，cos 2θ2―→求sin θ2，cos θ2―→求tan θ2规律方法已知θ的某三角函数值，求θ2的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin 2θ2＝1－cos θ2，cos 2θ2＝1＋cos θ2，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求θ2的范围. 跟踪训练2．已知sin α2－cos α2＝－55，450°<α<540°，求sin α及tan α2的值．题型三 三角恒等式的证明【例3】 (1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2；(2)求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x . [思路探究] (1)可由左向右证：先把左边cos 2 θ降幂化为同角后整理可证．(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．规律方法三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.跟踪训练3．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求证：α＋β＝π4.题型四 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )的最小正周期？2．研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时应首先把函数f (x )化简成什么形式再解答？【例4】 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． [思路探究] 利用三角公式化简函数式，写为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再讨论函数的性质．规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.跟踪训练4．已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．课堂小结常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝sin αcos α，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．(3)降幂与升幂由C 2α变形后得到公式：sin 2α＝12(1－cos 2α)，cos 2α＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，就是升幂．(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.当堂检测1．已知cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，则sin α2等于( ) A ．55 B ．－55C ．45D ．2552．已知sin α－cos α＝－54，则sin 2α的值等于( ) A ．716 B ．－716C ．－916D ．9163．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 4．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan 4θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2 θ.【参考答案】新知初探半角公式 ±1－cos α2， ±1＋cos α2， t±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α. 思考：[提示] (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角α2所在范围，然后再根据角α2所在象限确定符号． 小试身手1．C 【解析】由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0， cos α2＝1＋cos α2＝306. 2．D 【解析】1－cos 2α1＋cos 2α＝2sin 2α2cos 2α＝tan 2α＝|tan α|； sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2； sin α1－cos 2α＝sin α2sin 2α＝12sin α； 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α. 3． sin α2 【解析】1＋cos (π＋α)2＝1－cos α2＝sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α2>0，故原式＝sin α2. 题型探究【例1】解 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin a 2>0. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 跟踪训练 1．解 ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， 所以原式＝⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22 ＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2 ＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. 【例2】解 由5π2<θ<3π，且|cos θ|＝35可知， cos θ＝－35，θ2∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2. 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝1＋352＝45得， sin θ2＝－45＝－255. 由cos 2θ2＝1＋cos θ2＝1－352＝15得， cos θ2＝－55. ∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝－255－55＝2. 跟踪训练2．解 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝1－sin α＝15， ∴sin α＝45， ∴sin α2cos α2＝sin α2＝25， ∴sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝tan α2tan 2α2＋1＝25， 解得tan α2＝2或tan α2＝12.∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°， ∴tan α2>1，∴tan α2＝2. 综上可知sin α＝45，tan α2＝2. 【例3】解 (1)左边＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立．(2)左边＝2sin x cos x ⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2 ＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边． 所以原等式成立．跟踪训练3． [证明] ∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1， ∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. [探究问题]1． [提示] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －512π＋1， 所以函数的最小正周期T ＝π.2． [提示] 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式再解答．【例4】 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2 ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 跟踪训练4．解(1)f (x )＝－sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 当堂检测1．A 【解析】由题知α2∈⎝⎛⎭⎫34π，π， ∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55. 2．C 【解析】由sin α－cos α＝－54，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝2516，所以sin 2α＝－916. 3．π 【解析】 y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π. 4． [证明] 原式可变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，① ①式右边＝sin 2θcos 2θ(1＋2cos 22θ－1＋2sin 2θcos 2θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ) ＝2sin 2θcos2θ＋2sin 22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边． ∴①式成立，即原式得证．。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切层级一 学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( ) A ．－64 B. 64C ．－38D. 38 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C. 13 D ．－133．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin αC ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A. 89 B. 1718 C ．－89 D ．－235．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________. 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.8．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.10．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a >0，ω>0)的最大值为2.x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，|x 1－x 2|的最小值为π2. (1)求a ，ω的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α的值．层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( ) A. 12 B. 12或不存在 C ．2 D ．2或不存在2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A. 62 B ．－62C ．－22 D. 225．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________. 6．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．7．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·1＋cos α1－cos α(0<α<π)．8．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值．【参考答案】层级一 学业水平达标1．B【解析】因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°. 又cos θ＝－14，所以cos θ2＝ 1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．D【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45， 所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－ 1－451＋45＝－13，故选D. 3．B【解析】∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α| ＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.4．C【解析】∵sin α＋cos α＝13， 平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89. 2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．A【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ， ∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.6．43【解析】由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2， 则tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝43. 7．－π6【解析】∵3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6. 8．π【解析】y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 9．证明：∵左边＝cos 2αtanα21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立．10．解 (1) f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3 sin(2ωx ＋φ)，其中tan φ＝3a. 由题意知 a 2＋3＝2，a >0，则a ＝1. f (x )的最小正周期为π，则2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (α)＝23知2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫4α＋2π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫4α＋2π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 层级二 应试能力达标1．B【解析】由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cos α2＝2cos 2 α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12. 2．C 【解析】 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．C【解析】原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 4．C【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34.∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0. ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. ∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．－34【解析】sin 3αsin α＝sin 2α＋αsin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135， 所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 6．32 12【解析】∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 7．解 ∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0. ∴原式＝－22cos α2. 8．解 (1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ，所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期是π. (2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5213， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2， 所以3π4＜2α＋π4＜5π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1213， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－513－22×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课时过关·能力提升1.若sin θ=<θ<π,则sin的值等于()A.B.-C.D.-解析:由sin θ=<θ<π可得cos θ=-.又,所以sin.答案:C2.tan 15°+cot 15°等于()A.2B.2C.4D.解析:tan 15°+cot 15°==4.答案:C3.设α∈(π,2π),则等于()A.sinB.cosC.-sinD.-cos解析:由α∈(π,2π)知,所以==sin.答案:A4.若,则sin α+cos α的值是()A. B. C.1 D.解析:由,结合sin2α+cos2α=1可得sin α=(sin α=0舍去),于是cos α=,从而sin α+cos α=.答案:A5.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于()A.B.C.D.解析:由θ∈,得2θ∈.又sin 2θ=,故cos 2θ=-.故sin θ=.答案:D6.化简等于()A.tan 2θB.cot 4θC.tan 4θD.cot 2θ解析:=tan4θ.答案:C7.已知α为三角形的内角,sin α=,则tan=.解析:由已知得cos α=±,且,于是tan=3或.答案:3或★8.若<α<2π,且cos α=,则的值是.解析:.答案:9.已知0°<α<β<90°,sin α与sin β是方程x2-(cos 40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=.解析:由已知,得Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,∴x=cos 40°±sin 40°.∴x1=sin 45°cos 40°+cos 45°sin 40°=sin 85°,x2=sin 45°cos 40°-cos 45°sin 40°=sin 5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos 75°=cos(45°+30°)=.答案:10.已知sin sin,α∈,求2sin2α+tan α--1的值.解:∵sin sin,∴2sin cos,即sin.∴cos 4α=.而2sin2α+tan α--1=-cos 2α+=-.∵α∈,∴2α∈.∴cos 2α=-=-,∴tan 2α=-=-.∴-=-,即2sin2α+tan α--1的值为.★11.已知向量a=(sin x,-cos x),b=(cos x,cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)=sin x cos x-cos2x+ =sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x=sin.故f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-,∴-≤sin≤1,即f(x)的值域为.。

教学资料范本高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切示范教案编辑：__________________时间：__________________3.2.2 半角的正弦、余弦和正切整体设计教学分析本节内容实际上是上节公式的逆用，让学生进一步理解高中数学的转化与化归这一重要数学思想，培养学生运算和逻辑推理能力，提高学生的创新能力．对培养学生的探索精神和发现问题、解决问题的能力具有十分重要的意义．本节教学要求并不高，要求学生了解半角公式，能用公式求值，化简简单的恒等变形即可．因此，在实际教学中不必过多地补充一些高技巧、高难度的练习．有条件的学校可以引导学生进行本节的探索与研究，可使用Scilab编程或用电子表格中公式功能．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导半角的正弦、余弦和正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过题目训练，加深对三角函数公式的理解，进一步培养学生的运算能力和逻辑推理能力．2．通过对半角公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生进一步养成利用联系变化的观点来观察、分析问题的习惯．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：半角的正弦、余弦和正切公式的推导及其应用．教学难点：半角公式的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习引入)我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用倍角公式进行了简单的化简、求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式，并用它来解决一些三角函数式的化简、求值等．思路2.(直接引入)先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着让学生探究公式的逆用，由此展开新课．推进新课新知探究提出问题错误!活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2α2，将公式中的α用α2代替，解出sin2α2即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以α2代替α，即得cosα＝1－2sin2α2，所以sin2α2＝1－cosα2，即sin α2＝±1－cosα2(Sα2)①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，即得cosα＝2cos2α2－1，所以cos2α2＝1＋cosα2，即cos α2＝±1＋cosα2(Cα2)②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan2α2＝1－cosα1＋cosα，即tan α2＝±1－cosα1＋cosα(Tα2)③上面三个公式，称作半角公式．在半角公式中，根号前的正负号，由角α2所在象限确定．又根据正切函数的定义，得到tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα；④tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.⑤这样我们就得到另外两个公式：tan α2＝sinα1＋cosα；tan α2＝1－cosαsinα.这即为本节教材中的例2，因其不带正负号，用起来有其独到之处．在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．讨论结果：(1)α是α2的二倍角．(2)sin 2α2＝1－cos α2.(3)(4)略(见活动)． 应用示例思路1例 1已知cos α＝725，求sin α2，cos α2，tan α2的值．解：sin α2＝±1－cos α2＝±1－7252＝±35， cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋7252＝±45，tan α2＝sinα2cosα2＝±3545＝±34.变式训练1．求sin15°，cos15°，tan15°的值． 解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°＝1－cos30°2＝1－322＝2－32＝8－434＝6－24＝6－24；cos15°＝1＋cos30°2＝1＋322＝2＋32＝8＋434＝6＋24＝6＋24；tan15°＝1－cos30°1＋cos30°＝2－ 3.2．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( ) A.35 B.45 C．±35 D．±45解析：∵sin(π－θ)＝2425，∴sin θ＝2425.又θ为第二象限角，∴cos θ＝－725，cos θ＝2cos 2θ2－1，而θ2在第一、三象限，∴cos θ2＝±35. 答案：C例 2已知sin2α＝－1213，π＜2α＜3π2，求tan α.解：因为π＜2α＜3π2，故π2＜α＜3π4，有cos2α＝－1－sin22α＝－1213＝－513， 所以tan α＝1－cos2αsin2α＝1＋513－1213＝－32.变式训练1．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是__________．答案：－7252．函数f(x)＝sin 2x＋3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值是…( )A．1 B.1＋32 C.32D．1＋ 3答案：C思路2例 1已知sin2 010°＝－12，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值．解：因为2 010°＝5×360°＋210°是第三象限的角，所以cos2 010°＝－1－sin22 010°＝－32.又1 005°＝2×360°＋285°是第四象限的角， 所以sin1 005°＝－1－cos2 010°2＝－2＋32＝－6＋24，cos1 005°＝1＋cos2 010°2＝2－32＝6－24，tan1 005°＝sin1 005°cos1 005°＝－6＋26－2＝－8＋434＝－2－ 3.变式训练求cos π8的值．解：因为π8是第一象限的角，所以cos π8＝1＋cosπ42＝1＋222＝122＋ 2.例 2证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x2)． 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证明：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cosx 2＋sin x2，得x 2＋sin x 2x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx .方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得1＋sinx cosx ＝x2＋sinx2x2＋sinx2x2－sinx2＝cosx2＋sinx2 cosx2－sinx2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x2＝tanπ4＋tanx2 1－tanπ4tanx2＝tan(π4＋x2).变式训练已知α，β∈(0，π2)且满足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β，①3sin2α－2sin2βαcosα＝sin2β，②①2＋②2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝19.∵α∈(0，π2)，∴sinα＝13.∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3×13＝1.∵α，β∈(0，π2 )，∴α＋2β∈(0，3π2)．∴α＋2β＝π2.解法二：3sin2α＋2sin2β＝1⇒cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α，3sin2α－2sin2β＝0 ⇒sin2β＝32sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0.∵α，β∈(0，π2 )，∴α＋2β∈(0，3π2)． ∴α＋2β＝π2. 解法三：由已知3sin 2α＝cos2β，32sin2α＝sin2β，两式相除，得tan α＝cot2β，∴tan α＝tan(π2－2β)．∵α∈(0，π2)，∴tan α>0.∴tan(π2－2β)>0.又∵β∈(0，π2)，∴－π2<π2－2β<π2.结合tan(π2－2β)>0，得0<π2－2β<π2.∴由tan α＝tan(π2－2β)，得α＝π2－2β，即α＋2β＝π2.例 3求证：α＋βα－βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一：左边＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsin βsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α＝右边，∴原式成立．证法二：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsin βsin2αcos2β＝α＋βα－βsin2αcos2β＝左边，∴原式成立．课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的应用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本方法．作业课本本节习题3—2 A组3,4,5，B组1～3.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查，特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中对符号的判断是经常出问题的地方，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．备课资料备用习题1．已知cosα＝513(3π2＜α＜2π)，则tanα2等于()A.23B.32C．－32D．－232．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，则cosα－β2等于()A．7 B．－7C．－76565D.765653．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)等于()A．－79B．－13C.13D.794．已知θ是第二象限角，sinθ＝45，则tan(θ2－π4)的值为()A．7 B．－1 3C.13D．－43参考答案：1．D由3π2＜α＜2π可知，角α是第四象限的角，∴sinα＝－1－cos2α＝－513＝－1213.∴tan α2＝1－cosαsinα＝1－513－1213＝－23.2．D由已知，得cosα＝－35，c osβ＝513.于是cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝－35×513＋45×1213＝3365.∵α为钝角，β为锐角，∴α－β2为锐角．∴cos α－β2＝α－β2＝3365＋12＝76565.3．A cos(2π3＋2α)＝cos[π－2(π6－α)]＝－cos[2(π6－α)]＝2sin2(π6－α)－1＝－79.4．C由已知sinθ＝45，cosθ＝－35，∴tan(θ2－π4)＝tan12(θ－π2)＝θ－π2θ－π2＝－cosθ1＋sinθ＝13.。