2019届高考数学二轮复习选择填空标准练(12)作业(全国通用)

2019届二轮复习选择填空标准练 (9) 作业（全国通用）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U为实数集R,集合A={x|y=ln(3-2x)},B={y|(y-1)(y-3)≤0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.(-∞,1)∪B.C.[3,+∞)D.-∞,∪[3,+∞)【解析】选A.由题意可得:A=x x<,B={y|1≤y≤3},图中阴影部分表示集合U(A∩B),其中A∩B=x1≤x<,则U(A∩B)=x x<1或x≥,表示为集合形式即(-∞,1)∪,+∞.2.若复数z满足z·(3-4i)=1,则z的虚部是( )A.-B.-iC.D.i【解析】选C.因为复数z满足z·(3-4i)=1,所以z====+i,所以z的虚部是.3.已知双曲线-=1(m>0)的渐近线为y=±x,则m等于( )A. B. C.6 D.9【解析】选D.双曲线-=1(m>0)的渐近线方程为y=±x,由渐近线方程为y=±x,可得=,可得m=9.4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )A.y=x2B.y=cos xC.y=2xD.y=|ln x|【解析】选B.y=2x和y=|ln x|为非奇非偶函数,而y=x2在(0,1)内递增.5.等差数列{a n}前n项和为S n,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的两根,则S13=( )A.58B.54C.56D.52【解析】选D.由根与系数的关系可得:a4+a10=8,结合等差数列的性质可得:a1+a13=a4+a10=8,则S13===52.6.已知不共线向量a,b,|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=1,则|b-a|= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选A.因为|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=1,所以a·b-a2=a·b-4=1,即a·b=5,所以|b-a|2=a2-2a·b+b2=4-2×5+9=3.|b-a|=.7.若方程x+2y=6在x,y满足的不等式组所表示的平面区域内有解,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.[1,+∞)C.(-∞,1]D.以上都不正确【解析】选A.作出可行域如图,因为平面区域内存在点M(x0,y0),满足x0+2y0=6,所以直线x+2y=6与可行域有交点,得P3,,所以点P在直线x-2y=a上或在直线x-2y=a的下方,即3-2×≥a,解得a≤0.8.若函数f(x)=-x2+x+1在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.【解析】选 C.f′(x)=x2-ax+1,由题设知x2-ax+1≤0在上恒成立,故即a≥.9.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )A.2B.C.D.3【解析】选D.由三视图判断该几何体为四棱锥,且底面为梯形,高为x,所以该几何体的体积V=××(1+2)×2×x=3,解得x=3.10.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小时,P点的横坐标为( )A. B.C. D.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,Q,F三点共线时点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小,此时直线FC的方程为:4x+y-4=0,联立方程组可得消去y,可得4x2-9x+4=0,解得x=,x=(舍去).11.函数f(x)=Acos(ωx+φ)满足f=-f-x,且f=f,则ω的一个可能值是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.函数f(x)=Acos(ωx+φ),满足f=-f,所以函数f(x)的图象关于对称,又f=f,所以函数f(x)的图象关于x=对称,所以=-=,k为正整数,所以T=,即=,解得ω=3(2k-1),k为正整数,当k=1时,ω=3,所以ω的一个可能取值是3.12.函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,0)∪(0,1]C.(0,1]D.(-∞,0)∪[1,+∞)【解析】选C.函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减等价于f′(x)=1-≤0在区间(0,1)上恒成立,即≥x2在区间(0,1)恒成立,又因为0<x2<1,所以≥1即0<a≤1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知sin α=-,且α是第三象限的角,则tan 2α的值为________.【解析】由题意得,cos α=-=-,所以tan α==,tan 2α==.答案:14.已知随机变量ξ～N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥-1)=________.【解析】由正态分布的性质可知,该正态分布的图象关于直线x=1对称,则:P(ξ<-1)=P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥-1)=1-P(ξ<-1)=0.8.答案:0.815.2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有________种.【解析】根据题意,第一类:大一的两名同学在乙组,乙组剩下的两个来自不同的年级,从三个年级中选两个为3种,然后分别从选择的年级中再选择一个同学为4种,故有3×4=12种; 第二类:大一的两名同学不在乙组,则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组,为3种,然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为4种,这时共有3×4=12种;根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的分组方式.答案:2416.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=2,且S4+S12=λS8,则λ【解析】设公比为q,因为a3a11=2,所以=2,所以q4=2,因为S4+S12=λS8.所以+= ,1-q4+1-q12=λ(1-q8),将q4=2代入计算可得λ=.答案:。

高考小题标准练 ( 十二 )满分 80 分，实战模拟，40 分钟拿下高考客观题满分！一、选择题 ( 本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.)1. 已知 i 为虚数单位，复数z 知足 iz=1+i，则=()+i+i【分析】选 A. 由题意 z===1-i ，则 =1+i.2. 已知会合 A={x|x2-4x+3 ≤ 0} ，B={x|log2x≤2}，则A∪B=()A.[1 ， 4]B.[1，3]C.(0 ， 4]D.(- ∞， 4]【分析】选 C. 由于 A=[1 ， 3] ， B=(0 ，4] ，所以 A∪ B=(0 ，4].3.x x()已知命题 p：? x0∈R， +ax0-4<0 ，命题 q：? x∈R，2 <3，则以下命题是真命题的是∧q∧( q)C.( p) ∧ ( q)D.( p) ∧ q【分析】选 B. 由方程 x2+ax-4=0得， =a2-4 × (-4)=a 2+16>0，所以命题 p 为真命题 . 当 x=0时， 20=30=1，所以命题 q 为假命题，所以 p∧q 为假命题， p∧ ( q) 为真命题， (p) ∧(q)为假命题， ( p) ∧ q 为假命题 .4.向量 a， b 知足 | a|=1 ， | b|=， ( a+ b ) ⊥ (2 a- b ) ，则向量 a 与 b 的夹角为 ()°° ° °【分析】选 C. 由于 ( a+ b ) · (2 a- b )=0 ，所以22a +a·b- b2=0，即2a·b=-2 a + b2=0，故a⊥ b，向量 a 与 b 的夹角为90° .5. 如图 F1， F2是双曲线C1： x2- =1 与椭圆 C2的公共焦点，点 A 是 C1， C2在第一象限的公共点. 若 |F 1F2|=|F 1A| ，则 C2的离心率是 ()A. B. C. D.【分析】选 B. 由题意知， |F 1F2|=|F 1A|=4 ，由于 |F 1A|-|F 2A|=2 ，所以 |F 2A|=2 ，所以 |F 1A|+|F 2A|=6 ，由于 |F 1F2|=4，所以C2的离心率是= .6.某市环保部门准备对散布在该市的 A， B，C， D， E， F， G， H 八个不一样监测点的环境监测设施进行检测保护 . 要求在一周内的礼拜一至礼拜五检测保护完全部监测点的设施，且每日起码去一个监测点进行检测保护，此中A，B两个监测点分别安排在礼拜一和礼拜二，C，D，E 三个监测点一定安排在同一天，F 监测点不可以安排在礼拜五. 则不一样的安排方法种数为()种种种种【分析】选 D.按 F 的安排状况进行分类： F 在礼拜一或礼拜二时有种； F 在礼拜三或礼拜四时有(+) 种 . 所以不一样的安排方法有60种 .7.《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为()【分析】选 C. 由题知该男子每日所走里数为等差数列，设为 {a n} ， S n是其前 n 项和，则S9==9a5=1260，所以 a5=140.由题知 a1+a4+a7=3a4=390，所以 a4=130.所以等差数列的公差为d=a5-a 4=10，则 a8=a5+3d=170.8. 某几何体的三视图如下图，则这个几何体的体积是()B.2C.D.【分析】选 A. 依题意，几何体是一个侧放的正三棱柱( 上、下底面左右正对) ，此中底面边长是2、高是3，所以其体积等于×2×× 3=3.9. 函数f(x)=lg(|x|+1)-sin2x的零点个数为()【分析】选 D. 令 f(x)=lg(|x|+1)-sin2x=0得 lg(|x|+1)=sin2x，在同向来角坐标系中作出y=lg(|x|+1)，， y=sin2x的图象，如下图.察看可知两个函数的图象共有即函数 f(x)=lg(|x|+1)-sin2x 12 个交点，有12个零点.10. 若点P(x ， y) 是不等式组表示的平面地区Ω内的一动点，且不等式2x-y+a≥ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是()A. C.B. D.【分析】选 D. 将不等式2x-y+a ≥ 0 化为 a≥ y-2x ，只要求出y-2x 的最大值即可 .令 z=y-2x ，作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，平移直线y=2x，可知在 (0 ， 3) 处 z=y-2x 取到最大值3，则实数 a 的取值范围是a≥ 3.11. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.π∶ 6B.π∶ 2C.π∶ 2π∶ 12【分析】选 B. 依题意，设球的半径为R，正方体的棱长为a，则有 R2=a2+，即=.所以该半球的体积与正方体的体积之比等于π R3∶ a3=π∶ 2.12. 已知 f ′ (x) 是定义在R 上的函数f(x) 的导数，知足 f ′ (x)+2f(x)>0，且f(-1)=0，则f(x)<0 的解集为 ()A.(- ∞， -1)B.(-1 ， 1)C.(- ∞， 0)D.(-1 ， +∞)【分析】选 A. 由 f ′(x)+2f(x)>0可知e2x f′ (x)+(e2x)′f(x)>0，即 g(x)=e 2x f(x) 在 R上单一递加，由 f(-1)=0 得 g(-1)=0 ，则当 f(x)<0时，x∈.二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 请把正确答案填在题中横线上)13. 已知 x>0， y>0，且+ =1，若 x+2y>m2+2m恒建立，则实数m的取值范围是__________.【分析】由于 x>0，y>0， + =1，所以 x+2y=(x+2y)=4+ + ≥4+2=8，当且仅当= ， x=2y=4 时取等号，所以 x+2y 的最小值是8，2则 m+2m<8，解得 -4<m<2.答案：14. 履行如下图的程序框图，输出的k 值为 ________.【分析】程序运转的过程：S=0， k=1，不知足条件S<-1 ， S=lg，k=3；不知足条件S<-1 ， S=lg +lg =lg，k=5；不知足条件S<-1 ， S=lg +lg =lg，k=7；不知足条件S<-1 ， S=lg +lg =lg，k=9；不知足条件S<-1 ， S=lg +lg=lg，k=11；知足条件 S<-1，退出循环，输出k 的值为 11.答案： 1115. 已知数列 {a } 的前 n 项和为*，则 a=__________.S ， 2S -na =n(n ∈ N ) ，若 S =-360n nnn202【分析】由 2S n-na n=n 得 2S1-1 · a1=1， a1=1，所以 S n==，所以该数列为等差数列 .由 S20 =-360 得，公差 d=-2 ，所以 a2=-1.答案： -116. 已知函数 f(x)=2sin2-cos2x-1， x∈ R，若函数 h(x)=f(x+α ) 的图象对于点对称，且α∈(0 ，π ) ，则α =________.【分析】 f(x)=2sin2-cos2x-1=1-cos-cos2x-1=sin2x-cos2x=2sin，所以 h(x)=2sin.由于函数h(x)=f(x+α )的图象对于点对称，所以 2sin=0，即 sin2 α =0，所以α = kπ， k∈ Z.又由于α∈ (0 ，π ) ，所以α =.答案：。

12＋4标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( )A ．－4－7iB ．－2－iC ．1＋iD ．14＋5i答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．(0,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}，因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3.3.如图所示，已知AB ，CD 是圆O 中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O 以及AB ，CD 均相切，则往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为( )A ．12－8 2B ．3－2 2C ．8－5 2D ．6－4 2答案 D解析 设小圆半径为r ，则圆O 的半径为r ＋2r ，由几何概型的公式得，往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为2πr 2π(1＋2)2r 2＝6－4 2.故选D. 4．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5 D ．2 2答案 C解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2，所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝ 5.5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A.π8B.π4C.3π8D.π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C. 6．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A ．3B ．0C ．15D ．8答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8；当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束，所以y 的最大值为15.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成，则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.8.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120° 答案 A解析 ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.故选A. 9．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为x －2y －5＝0，圆C 的方程为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0(a >0)，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为( )A ．π或(201－885)πB ．πC ．(201＋885)πD ．π或(201＋885)π答案 B解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a,1)，半径为a .因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋|2a －2－5|(－2)2＋12＝2， 当a ≥2＋52时，解得a ＝11－45， 由于11－45<2＋52，故舍去， 当0<a <2＋52时，解得a ＝1，符合题意， 所以a ＝1，S 圆＝πa 2＝π.10．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数g (x )＝f (x －5)．数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 9)＝0，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0答案 A解析 由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知g (x )＝f (x －5)关于(5,0)对称，且在R 上是单调函数，又g (a 1)＋g (a 9)＝0，所以a 1＋a 9＝10，即a 5＝5，根据等差数列的性质得，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.11．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的极值点，则函数f (x )的最小值为( )A ．(2＋22)e－2 B ．0 C ．(2－22)e2 D ．－e 答案 C解析 f (x )＝(x 2－2ax )e x ，∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ，由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 2－2)e x ，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x＝0，得x ＝－2或x ＝2，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数．又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0，当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0，∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减，当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e 2.12．已知b >a >0，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122log x －log 2x 在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3，则b a 等于( ) A.14 B.12C ．2 D. 2 答案 D解析 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122log x －log 2x ＝1x －log 2x ()a ≤x ≤b ， 又f ′(x )＝－1x 2－1x ln 2<0， 所以y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝3，f ()b ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －3＝log 2a ，1b ＋12＝log 2b ，① 由y ＝1x＋t 与y ＝log 2x 的图象只有唯一交点可知， 方程1x＋t ＝log 2x 只有唯一解， 经检验⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝2是方程组①的唯一解， 所以b a ＝ 2. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.14．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝π2，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则HB →·HC →的最小值为________．答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)，设点H (x,0)，则x ∈[0,8]，∴HB →·HC →＝(8－x,0)·(－x,6)＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，HB →·HC →的最小值为－16. 15．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________． 答案 2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β，所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α，即sin(β－α)＝sin α，则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α. 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2， 所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2. 16．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝CD ＝2，BD ＝3，沿BD 把△ABD翻折起来，形成三棱锥A －BCD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案 776π解析 因为AB ⊥BD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A －BCD 可放在长方体中，它们外接球相同，设外接球半径为R ，则R ＝(2)2＋(2)2＋(3)22＝72，V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝776π.。

2019届二轮复习 12道选择+4个填空作业（全国通用）一、单选题1．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上期末】设集合，则（）A． B． C． D．2．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”联考】（）A． B． C． D．3．函数的部分图象可能是( )A． B． C． D．4．【湖北省2019届高三1月联考】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A． B． C． D．5．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身】展开式中，的系数是A．80 B．－80 C．40 D．－406．【福建省泉州市2019届高三1月质检】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（）A．6 B．21 C．27 D．547．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.38．【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O为坐标原点，直线．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（）A．4 B． C．2 D．9．【中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月】在中，、、的对边分别是、、.若，，则的最大值为（）A．3 B． C． D．10．【福建省厦门市2019届高三上期末】双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．311．【江西省新余四中、上高二中2019届高三第二次联考】如图所示,圆形纸片的圆心为,半径为, 该纸片上的正方形ABCD的中心为.,,G,H为圆上的点,分别是以,,,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以,,,DA为折痕折起使得,,G,H重合,得到四棱锥. 当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：)的最大值为( )A． B． C． D．12．【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题13．【福建省泉州市2019届高三1月质检】已知向量，，若，则_____.14．【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考】设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____．15．【江苏省盐城市、南京市2019届高三第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．16．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_______________参考答案部分1．C【解析】因为集合，，所以，故选C.2．D【解析】，故选D.3．A4．A【解析】由三角函数的定义可得，所以.5．B【解析】由二项式定理的通项公式得：，令，解得：，所以的系数为：故选：B.所以双曲线的离心率为，故选C.11．D【解析】得到,故选D.12．B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B. 13．2【解析】因为所以∴m=2．故答案为2．14．4【解析】15．【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足，解得：16．【解析】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故．即的最小值为.故答案为.。

高考数学第二轮专题复习测试题(附参考答案)A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·福州调研)若x ＞0，则x ＋4x的最小值为()． A ．2 B ．3 C ．22D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4. 答案 D2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为()．A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()．A ．4B ．8C ．16D ．32解析 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.答案 B4．(2012·合肥模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则()．A.1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值2D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a2＋b22＝错误!，所以ab ≤错误!，故B 错；错误!＋错误!＝错误!＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 答案 C5．(2011·重庆)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是()． A.72B ．4 C.92D ．5 解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2b a ＝4a b a ＞0，b ＞0，即a ＝23， b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2错误!＋1＝5，等号当且仅当x －1＝错误!，即x ＝3时成立． 答案 57．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上， ∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最。

[80分] 12＋4标准练41．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(?U A)∩（?U B)等于( ) A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}答案 D解析根据题意得?U A＝{2,4}，?U B＝{1,2,4}，故(?U A)∩（?U B)＝{2,4}．2．设i是虚数单位，若复数z＝i1＋i，则z的共轭复数为( )A.12＋12i B．1＋12i C．1－12i D.12－12i答案 D解析复数z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝i＋12，根据共轭复数的概念得，z的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )A．30 B．25 C．22 D．20答案 D解析50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1)等于( )A．7 B．－4 C．－7 D．4答案 B解析∵y′＝4x3＋2ax，∴－4－2a＝8，∴a＝－6，∴f(－1)＝1＋a＋1＝－4.5．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥（a－b)，则向量a在b方向上的投影为( )A．1 B. 2C.12D.22答案 D解析设a与b的夹角为θ，∵a⊥（a－b)，∴a·（a－b)＝a2－a·b＝0，即a2－|a|·｜b|cos θ＝0，∴cos θ＝2 2，∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ＝2 2 .6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203D．8答案 B解析由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V＝13×8×2＝163.7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为π2，0，且fπ4＝12，则ω的最小值为( )A.23B．1 C.43D．2答案 A解析方法一当x＝π2时，ωx＋φ＝π2ω＋φ＝k1π，k1∈Z，当x＝π4时，ωx＋φ＝π4ω＋φ＝2k2π＋π6或2k2π＋5π6，k2∈Z，两式相减，得π4ω＝(k1－2k2)π－π6或(k1－2k2)π－5π6，k1，k2∈Z，即ω＝4(k1－2k2)－23或4(k1－2k2)－103，k1，k2∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝2 3 .8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7答案 C解析i＝0，S＝0，x＝1，y＝1，开始执行程序框图，i＝1，S＝1＋1，x＝2，y＝12；i＝2，S＝1＋2＋1＋12，x＝4，y＝14；…；i＝5，S＝(1＋2＋4＋8＋16)＋1＋12＋14＋18＋116<33，x＝32，y＝132，再执行一次，S>d退出循环，输出i＝6，故选 C.9．在△ABC中，tan A＋B2＝sin C，若AB＝2，则△ABC的周长的取值范围是( )A．(2,22] B．(22，4] C．(4,2＋22] D．(2＋22，6] 答案 C解析由题意可得tanA ＋B2＝tanπ2－C 2＝cos C2sinC2＝2sinC2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12，∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥（a ＋b )2－2×a ＋b22，据此有a ＋b ≤２2，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边，则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是()A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析由题意可得三棱锥A －BCD的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得cos∠ACB＝32＋42－1322×3×４＝12，则sin∠ACB＝32，再由正弦定理得ABsin∠ACB＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，则r＝133，因此球心O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝15 6.11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝13，S m＝0，S m＋1＝－15.其中m∈N*且m≥2，则数列1a n a n＋1的前n项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析∵S m－1＝13，S m＝0，S m＋1＝－15，∴a m＝S m－S m－1＝0－13＝－13，a m＋1＝S m＋1－S m＝－15－0＝－15，又∵数列{a n}为等差数列，∴公差d＝a m＋1－a m＝－15－(－13)＝－2，∴m－1a1＋m－1m－22×－2＝13，ma1＋mm－12×－2＝0，解得a1＝13，∴a n＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n，当a n≥０时，n≤7.5，当a n＋1≤０时，n≥6.5，∴数列的前7项为正数，∴1a n a n＋1＝115－2n13－2n＝12113－2n－115－2n∴数列1a n a n＋1的前n项和的最大值为1 2111－113＋19－111＋17－19＋ (1)13＝121－113＝613.故选 D.12．已知函数f(x)＝||log2x，0<x<2，sinπ4x，2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x3－2x4－2x1x2的取值范围是( )A．(0,12) B．(0,16) C．(9,21) D．(15,25) 答案 A解析函数的图象如图所示，∵f(x1)＝f(x2)，∴－log2x1＝log2x2，∴log2x1x2＝0，∴x1x2＝1，∵f(x3)＝f(x4)，由函数对称性可知，x3＋x4＝12,2<x3<x4<10，∴x3－2x4－2x1x2＝x3x4－2(x3＋x4)＋4＝x3x4－20＝x3(12－x3)－20＝－(x3－6)2＋16，∵2<x3<4，∴x3－2x4－2x1x2的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为________．答案2 3解析如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB ＝60°，AQ＝23，BP＝3，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝AQ2＋AP2＝12＋AP2≥２3，当且仅当AP＝0，即点A与点P 重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A(1,1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)分别在曲线y＝x2和y＝1－x2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析y＝x2与AB相交的阴影部分面积为2－?1－1x2d x＝2－x331－1＝2－23＝43，y＝1－x2－1化简得(y＋1)2＋x2＝1，则y＝1－x2－1与CD相交的阴影部分的面积为半圆的面积，即π×１22＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.15．已知实数x，y满足约束条件2x－y≥0，x＋2y－5≤0，y≥1，则u＝x＋y2xy的取值范围为________．答案4，16 3解析作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t＝yx，它表示可行域内的点(x，y)与原点的斜率，由图联立直线方程可得A(1,2)，B(3,1)，t∈13，2.u ＝x ＋y 2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t＋2在13，1上单调递减，在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈4，163. 16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案(1，3＋1]解析以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2，由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca≤3＋1.。

12＋4标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故z 1z 2＝2＋i i＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x>1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x>1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．已知函数f (x )＝ln x ，若f (x －1)<1，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，e ＋1) B ．(0，＋∞) C ．(1，e ＋1) D ．(e ＋1，＋∞)答案 C解析 已知函数f (x )＝ln x ，若f (x －1)<1，则f (x －1)<ln e ＝f (e)， 由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 得0<x －1<e ，解得1<x <1＋e.4．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则cos 2α等于( )A.35B.12C.13 D ．－3 答案 A解析 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13＝tan α－11＋tan α，解得tan α＝12，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，将正切值代入得cos 2α＝35. 5．正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°答案 B解析 过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O ，连接OE ，∵正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22， ∴PO ＝22，AB ＝3，AC ＝6，PA ＝2，OB ＝62， ∵OE 与PA 在同一平面，是△PAC 的中位线， ∴OE ∥PA 且OE ＝12PA ，∴∠OEB 即为PA 与BE 所成的角，OE ＝22， 在Rt△OEB 中，tan∠OEB ＝OB OE＝3， ∴∠OEB ＝60°. 故选B.6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2 答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ， 由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h . 由题意知V ＝112×(2πr )2×h .所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.7．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝a ·b |a ||b |＝－510＝－12， 所以向量a 与b 的夹角为2π3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0172 017等于( )A ．1 009B ．1 008C ．2D ．1 答案 A解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1) ＝(1＋2×2 016＋1)×1 0092＝2 017×1 009，∴S 2 0172 017＝1 009. 9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.10．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. 5B. 3 C ．2 2 D. 6 答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，11．已知函数f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－e 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e ，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e 答案 D解析 由f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x ， 可得f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值， ∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值， 而f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增， ∴e x＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝e －1－2＋3a ＋2<0，f ′(0)＝1＋3a ＋2>0，解得－1<a <－13e，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e . 12.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C. 3 D.52答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点， 设渐近线与PF 2的交点为M ， ∴OM ∥F 1P ， ∵∠F 1PF 2为直角， ∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a 2＝b ， ∴|PF 2|＝2b . 在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)， 即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ， 则双曲线的离心率e ＝c a＝2.13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立； 第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π， 得x B ＝－φω，x A ＝π－φω，x C ＝2π－φω.由OA ＋OC ＝2OB ，得3π－2φω＝2φω，解得φ＝3π4.15．函数y ＝x 2＋x ＋1x 与y ＝3sin πx2＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝________. 答案 4解析 因为函数y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝3sin πx2＋1的对称中心均为(0,1)．画出y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝g (x )＝3sinπx2＋1的图象，由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故∑4i ＝1(x i ＋y i )＝4. 16．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________. 答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 又因为f (3－x )＝f (x )， 所以f (3－x )＝－f (－x )， 所以f (3＋x )＝－f (x )， 即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，即a n＝n，n∈N*，所以a36＝36，a37＝37.又因为f(－1)＝3，f(0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1) ＝f(1)＝－f(－1)＝－3.。

2019届二轮复习 12道选择+4个填空作业（全国通用）一、单选题1．【河南省驻马店市2019届高三上期中】设复数是虚数单位），则A．2 B． C． D．2．【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】若集合，，则（）A． B． C． D．3．【湖北省2019届高三1月联考】已知函数，，则函数的图像是（）A． B．C． D．4．【北京市丰台区2019届高三上期末】执行如图所示的程序框图，输出的的值为A． B． C． D．的夹角为，则的值是（）A． B． C． D．6．【福建省龙岩市2019届高三上期末】已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．7．【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模)】在中，角ABC的对边分别为a,b,c,且则a的值为( )A． B． C． D．8．【江西省九江市2019届第一次高考模拟】河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”。

把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。

现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是（）A． B． C． D．9．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】如图，在各棱长都相等的直三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面的交线为，则与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．将函数的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则关于的图象，下列A．周期为 B．关于点对称C．在单调递增 D．在单调递减11．【福建省龙岩市2019届高三上期末】设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题13．【福建省泉州市2019届高三1月质检】若函数的图象在点处的切线过点，则______.14．【河南省驻马店市2019届高三上期中】设变量，满足约束条件：，则目标函数的最大值为_____．15．【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________. 16．【江西省南康中学2019届高三上学期第五次月考】将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．（1）平面平面（2）四面体的体积是（3）二面角的正切值是（4）与平面所成角的正弦值是参考答案部分1．A【解析】∵z＝1+i，∴z1+i＝1﹣i+1+i＝2，故选：A．2．B【解析】,则故选：B.3．A【解析】因为，所以g(x)图像与f(x)的图像关于原点对称，由f(x)解析式，作出f(x)的图像如右图.,从而可得g(x)图像为A选项.4．B【解析】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B5．C【解析】由题意可得||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故选：C．6．A【解析】7．D【解析】由可得：,即tanC=1,故C=A=由正弦定理：可得：,∴故选：D8．C【解析】现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n，能成为两组的基本事件个数m，则能成为两组的概率是p．故选：C．9．D【解析】延长NM交BC于Q点，连接AQ，则平面与平面的交线为AQ，又∴∠AQB即为所求，在△AQB中，∠ABQ=120°，设AB=2，则BQ=1∴AQ=∴cos∠AQB=故选：D10．D【解析】则函数的周期T，故A正确，g（）＝2sin（4）＝2sin（）＝2sinπ＝0，即函数关于点（，0）对称，故B正确，当π≤x，则4x，则4x，设t＝4x，则y＝2sin t在[，]为增函数，故C正确，∵x，则4x≤π，则4x，设t＝4x，则y＝2sin t在[，]上不单调，故D错误，故选：D．11．A【解析】12．C【解析】设，，P是线段AB的中点，则，过点且倾斜角为的直线方程为：，即：联立直线与椭圆方程得：，整理得：，，代入得：,椭圆的离心率为:.故选：C13．1【解析】函数f（x）=xlnx+a，可得f′（x）=lnx+1，所以f′（1）=1，又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1．故答案为1．14．【解析】【分析】作出变量x，y满足约束条件：可行域如图，由z＝x+2y知，y x，所以动直线y x的纵截距取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（，）．结合可行域可知当动直线经过点A（，）时，目标函数取得最大值z2．故答案为：．15．【解析】，所以16．（3）（4）【解析】系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故（3）判断正确.平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确.综上所述，正确的有（3），（4）.。

2019-2020学年度最新高三高考数学二轮复习专题训练+12+Word 版含答案8、数列}{n a 的通项公式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 3cos 222ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。

（1）求n S ； （2）设nnn n S b 43⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

解：（1）由于222cos sin cos 333n n n πππ-=，故312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3)(6)((3)))222k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+1331185(94)2222k k k -+=+++=，3133(49),2k k kk k S S a --=-=2323131(49)(31)1321,22236k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--故1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩，*k N ∈。

（2）394,424n n n nS n b n +==⋅⋅21132294[],2444n n n T +=+++1122944[13],244n n n T -+=+++两式相减得：12321991999419419443[13][13]8,12444242214nn n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---故2321813.3322n n n n T -+=--⋅。

9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足。

（1）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++。

2019年高考现场模拟名师教你最后一招——考场应试技巧1．“穿”“带”双齐进考场穿着整齐进考场，不要穿拖鞋、背心等。

带齐考试用品：数、理、化可带规定的计算器，2B铅笔、准考证，万一忘带准考证，及时找带队老师，考后一定要把准考证交回。

2．掌握时间心不慌掌握考试时间，迟到15分钟不得进场，一般要提早20分钟。

充分利用开考前的五分钟，认真倾听监考老师宣读有关规则和注意事项，以免事后惹麻烦。

接过考卷，先认真填写姓名、学校、准考证号、座号等，只须检查一下有没有漏项、白页即可，无须把题目从头到尾地详细看一遍，只须看清解题的要求，试卷页数，大致了解一下试题份量、难度等。

然后对每一题要仔细审题，准确解题。

题目读两遍，慢审快解(题目看仔细，想清楚再解题)，最好能做到一次性准确。

先从容易的做起，因为一开始就感觉顺利，可使自己心情放松，利用有利的感觉推向“下一题”，能引起“自信”的连锁反应，有利于情绪的稳定。

3．打响高考第一枪进入考场，调整一下姿势，舒适地坐在位子上；摆好文具，带眼镜的同学把眼镜摘下擦一擦，尽快进入角色；此时心中想着的只是考试的注意事项，不要再多虑考试的结果、成败、得失。

开考前不宜过早地在教室外等待考试，可以在操场等场所有意识地放松。

做到镇定自如，不慌张。

如果出现心律加快，手脚发抖等紧张现象，也属于正常现象，可以适当进行调节，如深呼吸，同时告诫自己别紧张，不害怕，也可以在嘴里放块口香糖以分散紧张情绪。

4．先易后难不慌忙先易后难：按照题号顺序审题，会一道就做一道，一时不会做的就先跳过(有疑问的、不会的在草稿纸上做记录)，这样做的好处是：(1)使自己很快进入答题状态，(2)随着答题数的增加，心中越来越有数，信心不断增强，智力操作效率将越来越高，难题或许不会再难了。

第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{x∈N*|x2－9x＋8≤0}，A＝{1,2,3}，B＝{5,6,7}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{4,8} B．{2,4,6,8} C．{1,3,5,7} D．{1,2,3,5,6,7}答案：A解析：因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,4,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{4,8}，故选A.2．在复平面内，复数z满足i z＝(1＋2i)2，则|z|＝()A．5 B．25 C. 5 D．2 5答案：A解析：由i z＝(1＋2i)2得z＝(1＋2i)2i＝－3＋4ii＝(－3＋4i)(－i)＝4＋3i，所以|z|＝42＋32＝5，故选A.3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则落在(0,80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2答案：B解析：由题意可得P(0<ξ<80)＝P(ξ>120)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选B.做题时：整体安排有序，依序答题，先易后难，先简后繁．选择题一般30分钟左右完成，对于较容易的题目可直接在第Ⅰ卷原题空隙附近计算，认真读准题目的每一个字，一定要抓住关键词、关键句，提取有效信息，明白出题人的真正意图何在，千万不要想当然，没读完就开始做．最好认真看清已知条件．即使时间再紧张，看清题目也是至关重要的．否则必定造成不应有的失误．如：选择题题干常常这样问“下列叙述，不正确的是”，“不”字的存在与否使答案完全相反．这样丢分、失分很是可惜．1．先确定集合U中的元素，再进行集合运算，送分题，选A.2．复数的运算法则是高频考点，细心计算，选A.3．注意正态分布的对称性，借助图象解答，选B.2017年高考现场模拟4．定义在R上的函数f(x)满足：f(x－1)＝－1f(x＋1)成立，且f(x)在[－2,0]上单调递增，设a＝f(6)，b＝f(22)，c＝f(4)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．b<c<a D．c>b>a答案：D解析：由f(x－1)＝－1f(x＋1)，得f(x)＝－1f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－1f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，则函数f(x)的周期T＝4，a＝f(6)＝f(－2)，b＝f(22)＝f(22－4)，c＝f(4)＝f(0)．因为－2<22－4<0，且f(x)在[－2,0]上单调递增，所以f(－2)<f(22－4)<f(0)，即c>b>a，故选D.5．如图是一个算法框图，若输出的a的值为365，则输入的最小整数t的值为()A．121 B．122 C．123 D．124答案：B解析：第一次循环，a＝3×1－1＝2；第二次循环，a＝3×2－1＝5；第三次循环，a＝3×5－1＝14；第四次循环，a＝3×14－1＝41；第五次循环，a＝3×41－1＝122；第六次循环，a＝3×122－1＝365，此时循环结束，所以输入的最小整数t的值为122，故选B.6．如图所示是某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.163 cm 3B.24－2π3 cm 3C.20－π3 cm 3D.20＋π3 cm 3答案：C解析：由三视图知几何体为一个正方体中挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥与一个底面是边长为2的正方形、高为1的四棱锥后余下部分组成的几何体，其体积为V ＝23－13×π×12×1－13×2×2×1＝20－π3(cm 3)，故选C. 7．已知点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，若圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则实数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．(0,4]∪[6，＋∞)D ．(0,4)∪(6，＋∞) 答案：A解析：因为圆C 上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则以PQ 的中点(2,0)为圆心、t 为半径的圆(x －2)2＋y 2＝t 2与已知圆C ：(x ＋2)2＋(y－3)2＝1有公共点，则|t －1|≤(2＋2)2＋(0－3)2≤|t ＋1|，解得4≤t ≤6，故选A.8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为( )A ．7 B.10715 C.21931 D.20929答案：D解析：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则由题意知30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，所以第5天所织的布的尺数为5＋(5－1)×1629＝20929，故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )A ．－223 B.223 C ．±223 D.13答案：A解析：由三角函数的图象可得A ＝3，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－3，0<φ<π，则φ＝5π6. 因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选A.4．从f (x －1)＝－1f (x ＋1)入手，可得f (x )为周期函数，然后把a ，b ，c 转化为求在[－2,0]上的函数值，选D.常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .5．逐次把循环结束的结果准确计算出来是解答此类问题的关键，易出现错误判断循环体结束的条件，导致出错，选B.6．根据三视图的规则，还原该几何体为一个正方体中挖去一个圆锥与一个正四棱锥余下的部分组成的几何体．还原空间几何体的实际形状时一般以正视图和俯视图为主，选C.7．根据P ，Q 两点坐标及∠PMQ ＝90°，可得点M 在以PQ 的中点为圆心、t 为半径的圆上，利用两圆相交的条件列不等式求出t 的取值范围．解决圆与圆位置关系问题要以圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手，选A.8．将问题转化为等差数列问题解决，确定首项、项数、公差、和分别是多少，再根据通项公式计算，选D.9．由图象易得A ＝3，ω＝2，代入f (x )的解析式中，利用点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3求φ，注意φ∈(0，π)，可得到f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，最后利用同角三角函数的平方关系，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6的值，要关注2α＋5π6的范围，确定cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6的符号，选A.10．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.32π3 B ．12π C ．16π D ．32π答案：C解析：设球心O 在平面BCD 上的投影为O 1，则OO 1＝AB 2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×332＝ 3.又因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.11．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案：C解析：设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，p >0，经过焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线C 的方程整理得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 44p 2＝p 24，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2＝－12，解得p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选C.12．定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t ，使得f (t ＋x )＝－tf (x )恒成立，则称f (x )是一个“关于t 函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案：A解析：若f (x )＝c ≠0，取t ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“t 函数”，①不正确．若f (x )是“关于12函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在定理知在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内存在零点，②正确．若f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”，则(x ＋t )2＋tx 2＝0对任意x ∈R 恒成立，令x ＝1，求得t ＝0且t ＝－1，矛盾，③不正确．∴正确的结论的个数是1，故选A.10.画出组合体的图形解决本题，确定球心O 与其在平面BCD 上的投影O 1的位置是关键，在Rt △OO 1D 中，球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2.也可将该四面体还原为球内接正三棱柱(底边长为3，高为2)解决，选C.11．解决直线与圆锥曲线的问题，常规方法是联立方程，利用根与系数的关系解决，本题抛物线方程设为y 2＝2px (p >0)，将直线方程设为x ＝my ＋p 2(p >0)较为简便．选C.12．本题属于创新型问题，理解“关于t 函数”这一定义是关键，用反例可说明结论①不正确；可结合零点存在性定理说明②正确；用举例法说明③不正确．选A.本题难度较大，若感到困难，可跳过做后面的填空题，避免耽误较多时间．完成选择题后，及时将答案涂在答题卡指定位置．选择题的作答，要求用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，忌用钢笔、圆珠笔、假2B 铅笔填涂；填涂时要做到“满、深、匀”，忌没有填满、填实、填涂过轻、没有填成小方块或在选项中涂一个很小的点或打一个“√”；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号，忌填错后修改时没有擦干净．否则，机器不能正确读出，会造成丢分．第Ⅱ卷 非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．请在答题卡指定区域内作答．13．某校高一年级招收的新生中有男生480人，女生360人．为了解该年级学生的视力情况，用分层抽样的方法从新生中抽取一个容量为42的样本进行调查，则样本中女生人数为________．答案：18解析：样本中女生人数为42×360480＋360＝18. 14．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的二项式系数和为64，则展开式中含有x 的项为________．答案：－540x解析：由二项式系数和为64得2n ＝64，n ＝6，二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2k ＝C k 6·36－k (－1)k x 6－5k 3 ，由6－5k 3＝1得k ＝3，所以展开式中含有x 的项为T 3＋1＝C 36·33(－1)3x ＝－540x .15．若点(1,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，则以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长度的最小值是________．答案：3解析：由题意可得1a 2＋4b 2＝1(a >0，b >0)，以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长为a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3，当且仅当b 2a2＝4a 2b2，即a 2＝3，b 2＝6时等号成立，所以斜边长度的最小值是3.16．如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ，并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cos 48.19°取近似值23 答案：10解析：在△ADC 中，由正弦定理得|AC |＝|DC |sin D sin ∠DAC＝2×2212＝2 2.在△BCE 中，由正弦定理得|BC |＝|EC |sin E sin ∠CBE ＝23×3222＝3 2.在△ACB 中，由余弦定理可得|AB |2＝(22)2＋(32)2－2×22×32×23＝10，所以|AB |＝10.,填空题用时可在20分钟左右，注意书写答案时要求清楚、规范．13．分层抽样是按比例抽样，抽样比为360480×360＝37，故样本中女生的人数为42×37＝18，本题较易，送分题．14．由二项式系数和为64可得n ＝6，求含有x 的项可根据二项式的通项解决，注意此处运算易出错．另外注意所求结果为含有x 的项应填－540x ，不是含有x 的项的系数，不要错填－540.15．本题条件中有两个变量a ，b ，且易得1a 2＋4b 2＝1，故可想到利用基本不等式求解最小值，关键是巧用“1”的代换：a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2 ＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2 ≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”三个条件．16．要求得AB 的长度，在△ABC 中，已知∠ACB ＝48.19°，只需求AC ，BC 的长，再利用余弦定理可得AB 的长，故应分别在△ADC ，△BCE中，根据正弦定理求解AC，BC的长度，本题已知条件较多，解答时可将已知数据分别标注在题中图形的相应位置上，帮助分析问题，灵活运用正、余弦定理是解答本题的关键．完成填空题后将题目答案及时填写在答题卡相应位置，并检查一遍，然后开始做解答题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n＝a2n－1，c n＝a2n，n∈N*，数列{b n}的前n项和为S n，(b n＋1)2＝4S n.数列{c n}的前n项和T n＝3n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前2n项和A2n.解：(1)由(b n＋1)2＝4S n得(b1＋1)2＝4b1，解得b1＝1.又(b n－1＋1)2＝4S n－1，n≥2，则(b n＋1)2－(b n－1＋1)2＝4S n－4S n－1＝4b n，n≥2，化简得b2n－b2n－1＝2(b n＋b n＋1)，n≥2.又b n>0，所以b n－b n－1＝2，n≥2，则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n＝1＋2(n－1)＝2n－1＝a2n－1，所以当n为奇数时，a n＝n.由T n＝3n－1得c1＝2，T n－1＝3n－1－1，n≥2，则c n＝3n－3n－1＝2×3n－1，n≥2，当n＝1时，上式也成立，所以c n＝2×3n－1＝a2n，所以当n 为偶数时，a n ＝2×3n －22 ，综上知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为奇数，2×3n －22 ，n 为偶数.(2)因为前2n 项中有n 个奇数项，n 个偶数项，奇数项的和为n (1＋2n －1)2＝n 2， 偶数项的和为2(1－3n )1－3＝3n －1， 所以A 2n ＝n 2＋3n －1.18．(本小题满分12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有5个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．早高峰时段(T ≥3)，从郑州市交通指挥中心随机选取了三环以内5个交通路段，依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：(1)据此频率分布直方图估算交通指数T ∈[3,9]时的中位数和平均数；(2)据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的3个路段中至少有2个严重拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通为25分钟，基本畅通为35分钟，轻度拥堵为40分钟，中度拥堵为50分钟，严重拥堵为60分钟．求此人所用时间的数学期望．解：(1)由直方图知，当T ∈[3,9]时，交通指数的中位数为5＋1×0.20.24＝356，当T ∈[3,9]时，交通指数的平均数为 3.5×0.1＋4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＋8.5×0.1＝5.92.(2)设事件A 为“一条路段严重拥堵”，则P (A )＝0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＋C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝7250.故3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为7250.(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：则E (X )＝35×0.1＝45.1， 故此人经过该路段所用时间的数学期望是45.1分钟．19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C 为矩形，BC ＝CC 1＝1，AC ＝2，∠ABC ＝90°.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；(2)设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又由条件知BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB.又∵BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥B1C.由BC＝CC1＝1知四边形BB1C1C为正方形，∴B1C⊥BC1.又∵AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1.又∵B1C⊂平面A1B1C，∴平面ABC1⊥平面A1B1C.(2)解：以A为原点，以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC，AA1分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，C (0,2,0)，D (0,1,0)，C 1(0,2,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，1，则DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，DC 1→＝(0,1,1)．由(1)知B 1C →为平面ABC 1的一个法向量，易得B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，－1.设n ＝(x ，y ，z )为平面C 1BD 的法向量，则由⎩⎨⎧ n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0得⎩⎨⎧32x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0. 取x ＝1，得n ＝(1，－3，3)，∴cos 〈n ，B 1C →〉＝n ·B 1C →|n ||B 1C →|＝－237×2＝－427，故平面ABC 1与平面C 1BD 所成锐角的余弦值为427.解答题答卷中要做到先易后难，稳扎稳打，答题步骤完整、规范，字字有据，步步准确，尽量一次成功(直接将步骤写在答题卡题号规定的区域，不能超出答题框)，保持卷面整洁．17．本题考查数列由递推公式求通项及数列求和．根据条件：b n ＝a 2n －1与c n ＝a 2n ，可知{a n }的通项公式应分n 为偶数和奇数两种情形，故先分别由(b n ＋1)2＝4S n 求b n ，由T n ＝3n －1求c n .第(2)问A 2n 可根据奇数项与偶数项的和求得．解答此类问题通常以递推关系出发，灵活变形，注意解答步骤规范，步步为赢．18．第(1)问求中位数与平均数是频率分布直方图考点的基本题型，要求考生准确利用直方图中的数据解决．第(2)问为概率问题，先确定为独立重复试验模型，再代入计算公式求解．第(3)问由频率分布直方图和指数T 的划分，可列出此人所用时间的分布列，再计算数学期望．19．(1)证明面面垂直需先证线面垂直，因为BC ＝CC 1，故四边形BB 1C 1C 为正方形，从而B 1C ⊥BC 1，所以只需证明B 1C ⊥AB 即可得到B 1C ⊥平面ABC 1.而由条件不难证明AB ⊥平面BB 1C 1C ，从而B 1C ⊥AB 成立．注意证明过程步骤完整．(2)求二面角的大小，通常是先求出两平面的法向量坐标，再利用夹角公式求解，考虑到平面ABC 1的一个法向量为B 1C →，故只需求出平面C 1BD 的法向量即可．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)求C 的方程；(2)设AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，试判断A ，M ，B ，N 四点是否在同一圆上？若在，求出l 的方程；若不在，请说明理由．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝2×8p ，解得p ＝－4(舍去)或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝8x .(2)由题设知，l 与坐标轴不垂直，且过焦点F (2,0)，故可设l 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，代入y 2＝8x 得y 2－8my －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16.故AB 的中点为D (4m 2＋2,4m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·(8m )2＋64＝8(m 2＋1)．又l ′⊥l ，所以l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋4m 2＋6.将上式代入y 2＝8x ，并整理得y 2＋8m y －8(4m 2＋6)＝0， 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－8m ，y 3y 4＝－8(4m 2＋6)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2＋4m 2＋6，－4m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝1＋1m 2·64m 2＋64(2m 2＋3) ＝8(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，又在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即16(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋4m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2＋42＝16(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，m ＝±1，所以当A ，M ，B ，N 四点在同一圆上时，l 的方程为x ＝±y ＋2，即x ±y －2＝0.,20．(1)设Q (x 0,4)，根据抛物线定义，可得|QF |＝x 0＋p 2，把Q 点代入y 2＝2px 中，可得x 0＝8p ，然后由|QF |＝2|PQ |，求得p 的值，得出抛物线方程．(2)设AB 中点为D ，MN 中点为E ，由于MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点共圆等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |.又在Rt △ADE 中，|AD |2＋|DE |2＝|AE |2，故分别将直线l 与直线l ′与抛物线方程联立，求出弦长|AB |与|MN |，代入|AD |2＋|DE |2＝|AE |2中求解m 的值，本题运算量较大，计算时要细心．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>g (x )－x 3.(1)解：因为f (x )＝e x ＋m －x 3，所以f ′(x )＝e x ＋m －3x 2.因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，所以f ′(0)＝e m ＝1，解得m ＝0.(2)证明：因为f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2，所以f (x )>g (x )－x 3等价于e x ＋m －ln(x ＋1)－2>0.当m ≥1时，e x ＋m －ln(x ＋1)－2≥e x ＋1－ln(x ＋1)－2.要证e x ＋m －ln(x ＋1)－2>0，只需证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2>0.设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2(x >－1)，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1. 设p (x )＝e x ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1(x ＋1)>0， 所以函数p (x )＝h ′(x )＝ex ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12 －2<0，h ′(0)＝e －1>0，所以函数h ′(x )＝ex ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 因为h ′(x 0)＝0，所以e x 0＋1＝1x 0＋1，即ln(x 0＋1)＝－(x 0＋1)．当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)，所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln(x 0＋1)－2＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2>0. 综上可知，当m ≥1时，f (x )>g (x )－x 3.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π4(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)；(2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2， 2 ]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)， 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.21.(1)利用导数的几何意义求解即可．第(1)问较容易．(2)可转化为证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2>0.此时一般需要构造函数证明其最小值大于0，故设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2.为了研究h (x )的单调性，需对h (x )求导，得h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1，不能判断h ′(x )的符号，继续求导，设p (x )＝e x ＋1－1x ＋1，求得p ′(x )＝e x ＋1＋1(x ＋1)2>0. 所以p (x )＝h ′(x )在(－1，＋∞)上单调递增，下面只要证明存在x 0满足h ′(x 0)＝0，且h (x )在(－1，x 0)上单调递减，(x 0，＋∞)上单调递增，且h (x 0)>0即可．其中存在x 0满足h ′(x 0)＝0可根据函数的零点定理证明．可取h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，h ′(0)>0验证，此处若验证感到困难，可实施跳步解答，写出“证实存在h (x 0)＝0之后，继续有……”后面的解题步骤，当想出来后，可将步骤补在后面，如“事实上，存在x 0满足h ′(x 0)＝0可证明如下：……”选修4系列题型基本固定，难度不大，选择自己最拿手的题目解答．22．本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化．(1)将曲线C 1与直线l 的方程化为直角坐标方程，联立即可求出交点坐标．(2)根据圆的切线性质列方程求解a 的值．23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1,3]，求a 的取值范围．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1. 当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2,2－a ]，由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]， 由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3， 又a ≥2，故2≤a ≤3.综上，a 的取值范围为[1,3]．,23.(1)分x <1和x ≥1两种情况讨论求解．(2)对a 分a <2与a ≥2两种情况，分别求得g (x )的值域，再根据A ⊆[－1,3]求a 的取值范围．解答题全部完成后做最后的检查：看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，对解题结果采用特值法，估算法等方法进行检验．模拟2017高考单科考试胜利结束考后立即离开考场，不要在考场外校对答案，不要“看别人脸上的天气预报”，因为太多不准．做到考完一门，忘掉一门，不回忆，不细想，不追究答案，不在已考的科目上浪费时间，集中精力对付下一门．做到胜不骄败不馁．当某一科考试失败或不理想时，要学会安慰自己：每一位同学不可能没有失败，总会有一两科不理想，只不过他们不说，没有表现出来而已，因为我难别人也难，我考不出来，他也未必考得出来．关键是要总结经验教训，调整考试方法，以争取在下面几门考试中加以弥补，把损失夺回来．当某一科考得特别好，自我感觉飘飘然时，要告诫自己：我浅别人也浅，我考得好，要特别谨慎，因为一不小心，就会在下一场考试中失败．因为成功往往存在于再努力一下之中，所以一定要做到胜不骄败不馁，及时调整心态，分分必争，充分发挥水平，考出满意成绩．。

[80分] 12＋4标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 010x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A ．(1,2 010) B ．(1,2 011) C ．(2,2 011) D ．[2,2 011]答案 C解析 因为a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， 则0<a <b <1<c ，由f (a )＝f (b )知，a ，b 关于直线x ＝12对称，所以a ＋b ＝1.由0<log 2 010c <1，知1<c <2 010， 所以2<a ＋b ＋c <2 011.4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3等于( )A.73B.359 C ．4 D ．5 答案 D解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.5.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.6．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD＝13×12×1－112＝14. 所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为 112∶14＝1∶3. 7．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 模拟程序的运行，可得x ＝3，k ＝0，s ＝0，a ＝4，s ＝4，k ＝1； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝16，k ＝2； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝52，k ＝3； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝160，k ＝4； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝484，k ＝5.由题意，此时应该满足条件k >n ，退出循环，输出s 的值为484， 可得5>n ≥4，所以输入n 的值为4.8．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是( )A ．－5B ．7C ．－11D ．13 答案 C解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°答案 C解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt△DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.10．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.11．椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 A解析 方法一 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b 2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22.线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，把x ＝1－1－b 22＝m ，代入上述方程，可得y ＝b 2－1－b 22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b <0，化简得b <1－b 2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1， ∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 方法二 设A (0，b )，B (a,0)，F (－c,0)， 设△FAB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A ，B ，F 代入外接圆方程， 解得m ＝－c ＋a 2，n ＝b 2－ac2b.由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可知m ＋n <0，∴－c ＋a 2＋b 2－ac 2b <0，整理得1－c ＋b －cb <0，∴b －c ＋b －cb<0， ∴b －c <0，又椭圆的离心率e ＝c a＝c ， ∴c 2>b 2，即c 2>a 2－c 2,2c 2>a 2,2e 2>1， 由0<e <1，解得22<e <1， ∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 12．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.13．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．14．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________． 答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝ 1＋b 2a2＝ 3.。

2019届高考数学（理科）二轮复习：填空题满分练汇编目录【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练1理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练2理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练3理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练4理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练5理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练6理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练7理(含答案解析)【高考二轮】江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练8理(含答案解析)填空题满分练(1)1.复数z =x＋(x＋2)i(其中i为虚数单位，x∈R )满足2＋iz 是纯虚数，则|z|=________.答案253解析 根据题意可设2＋iz =bi(b∈R 且b≠0)，∴2＋i =[x＋(x＋2)i]×bi =－b(x＋2)＋xbi，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x＋2)，1＝xb，解得x =－23，∴z =－23＋43i，∴|z|=253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ={－1,0,1,2,3}，A ={－1,0,2}，则∁U A=________. 答案 {1,3}解析 ∵集合U ={－1,0,1,2,3}，A ={－1,0,2}，∴∁U A={1,3}.3.某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________. 答案 88解析 根据分层抽样的特点，样本中A种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1=211，所以样本的容量n =16÷211=88. 4.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2sinA=3cosA ，且有a 2－c 2=b 2－mbc，则实数m =__________. 答案 1解析 ∵2sin A=3cos A ，∴2sin 2A=3cos A，∴2cos 2A＋3cos A－2=0， ∴cosA =12或cosA =－2(舍).由a 2－c 2=b 2－mbc，得cosA =m 2，∴m 2=12，∴m =1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5=14, a 2a 6=33，则a 1a 7=________. 答案 13解析 由题意得a 2＋a 6=a 3＋a 5=14, a 2a 6=33，所以a 2=3，a 6=11或a 2=11，a 6=3. 当a 2=3，a 6=11时，d =11－36－2=2，a 1=1，a 7=13，∴a 1a 7=13；当a 2=11，a 6=3时，d =3－116－2=－2，a 1=13，a 7=1，∴a 1a 7=13.6.在△ABC中，点D满足BC →=3BD →，则AD →=________.(用AB →，AC →表示)答案 23AB →＋13AC →解析 因为BC →=3BD →，所以AC →－AB →=3(AD →－AB →)，即AD →=23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案 i≤30和p =p＋i解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i≤30.又由第1个数是1， 第2个数比第1个数大1，即1＋1=2， 第3个数比第2个数大2，即2＋2=4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3=7，…， 故②中应填写p =p＋i.8.已知实数x, y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y－3≤0，x＋y－2≥0，－x＋2y－2≤0，则z =(x－1)2＋y 2的最小值为________.答案 12解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z表示可行域内的点(x，y)到点(1,0)的距离的平方，所以z min =⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122=12.9.已知双曲线C：x 2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C的离心率为22，则双曲线C的渐近线方程为________. 答案 y=±7x解析 依题意知，双曲线C：x 2a 2－y2b 2=1(a>0，b>0)的一个焦点为(2,0)，∴c =2，∵双曲线的离心率为22，∴c a =2a =22，∴a =22， ∵c 2=a 2＋b 2，∴b =142， ∴渐近线方程为y =±bax=±7x.10.已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为________. 答案 6解析 设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，高为3r，由圆柱M与圆锥N的体积相同，得4π×6=13πr 2×3r，解得r =23，因此圆锥N的高h =3r=6.11.将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k(k≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶段序.若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案 8 解析“3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2=8(种)，一方面，n个点可以构成n个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n =8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点. 12.已知椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C，若AF 2→=2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案55解析 设C(x，y)，由AF 2→=2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y|b 2a ＝12，x＝2c，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c，±b 22a .又C为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2=1，解得e =55. 13.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x＋1)e x，则对任意m∈R ，函数F(x)=f(f(x))－m的零点个数至多有________个. 答案 3 解析当x<0时，f′(x)=(x＋2)e x，由此可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f(－2)=－e－2，f(－1)=0，且f(x)<1.又f(x)是R 上的奇函数，f(0)=0，而当x∈(－∞，－1)时，f(x)<0，所以f(x)的图象如图所示.令t =f(x)，则当t∈(－1,1)时，方程f(x)=t至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f(x)=t没有根，而对任意m∈R ，方程f(t)=m至多有一个根t∈(－1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))－m的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P－ABC的棱长均为a，O为正四面体P－ABC的外接球的球心，过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P－ABC，得到三棱锥P－A 1B 1C 1和三棱台ABC－A 1B 1C 1，那么三棱锥P－A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案27π32a 2解析 设底面△ABC的外接圆半径为r， 则a sinπ3=2r，所以r =33a. 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2=63a， 设正四面体的外接球半径为R， 则R 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a－R 2，∴R =64a.因为64∶63=3∶4， 所以三棱锥P－A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342=27π32a 2.填空题满分练(2)1.若复数z满足1＋iz－i =i(i是虚数单位)，则z =________.答案 1解析 由题设有z =1＋ii＋i =－i＋1＋i =1.2.已知集合A ={2,0，－2}，B ={x|x 2－2x－3>0}，集合P =A∩B，则集合P的子集个数是________. 答案 2解析 由题设有B =(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P =A∩B ={－2}， 所以P的子集的个数为2.3.已知cos α=17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3=________.答案1314解析 ∵cos α=17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α=1－cos 2α=1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172=437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3=cos αcos π3＋sin αsin π3=17×12＋437×32=1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820=43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)=________. 答案 －1解析 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22=1，a 2a 4－a 23=－1，a 3a 5－a 24=1，a 4a 6－a 25=－1，…， 所以根据计算的规律可得，当n为偶数时，a n a n＋2－a 2n＋1=－1， 当n为奇数时，a n a n＋2－a 2n＋1=1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)=－1.6.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f(x)的最小正周期为π2； ②直线x =－π12是函数f(x)图象的一条对称轴；③函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin2x.答案 ④解析 A=2, T 2=2π3－π6=π2，即πω=π2，即ω=2, π2＋2π32=7π12，当x =7π12时， 2×7π12＋φ=π2＋2k π，k∈Z ，又|φ|<π，解得φ=－2π3，所以函数是f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－2π3，函数的最小正周期为π；当x=－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3=－5π6，不是函数的对称轴；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x－2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f(x)先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3－2π3=2sin 2x，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30 解析第一次输出a =3，n =2；第二次输出a =3×2=6，n =3；第三次输出a =6×5=30，n =4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－y≥4，x＋2y≤4，y≤0，则z =3x－2y的最小值是________.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y =32x－z2过点(2,0)时，z取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________.答案 x 216＋y24=1解析 由题意得4a＋4b =24，即a＋b =6①，由c a =32得a =2b②，由①②解得a =4，b =2.所以椭圆Γ的方程为x216＋y24=1. 10.若曲线y =lnx＋1的一条切线是y =ax＋b，则4a＋e b的最小值是________. 答案 4解析 设切点为(m，lnm＋1)(m>0)，f′(x)=1x ，f′(m)=1m ，故切线方程为y－(lnm＋1)=1m (x－m)，即y =1m x＋lnm，所以a =1m ，b =lnm,4a＋e b =4m ＋m≥24m ·m =4，当且仅当4m=m，即m =2时取等号. 11.过点M⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2=1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y 2=2px(p＞0)的焦点，l与抛物线E交于A，B两点，则AB的中点到抛物线E的准线的距离为________. 答案 4 2解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2=1的切线l，可得直线l的方程为x－y－2=0， 此时直线l与x轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2=2，解得p =22，即y 2=42x，且准线方程为x =－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x，x－y－2＝0，整理得x 2－62x＋2=0，Δ=(62)2－8>0， x 1,2=62±82=32±4，则x 1＋x 2=62，所以x 1＋x 22=32，所以AB的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2=4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O，在其弧AB上任取一点P，则使∠AOP和∠BOP同时大于50°的概率为________. 答案 16解析由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP和∠BOP能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°=20°120°=16. 13.在四边形ABCD中，AB =2，BC =CD=DA=1，设△ABD，△BCD的面积分别为S 1，S 2，则当S21＋S22取最大值时，BD =________.答案102解析 设BD =b，S 21＋S 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2=34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A＋14cos 2C =34－2b 4－10b 2＋1316=34－2⎝⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216， 所以当b 2=52，即b =102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x<1，log 2018x，x≥1，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则4a 2＋b 2＋2a＋b的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析 先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，0<a<1<b，设f(a)=f(b)=t，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t，log 2 018b＝t(t>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a＝2 018－t，b＝2 018t，所以ab =1,2a＋b =22 018＋2 018t，而2 018t>0， 所以2a＋b =22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t=2时等号成立. 令m =2a＋b，则m≥22，故4a 2＋b 2＋2a＋b =(2a＋b)2＋(2a＋b)－4=m 2＋m－4=⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174，因为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a＋b =⎝ ⎛⎭⎪⎫m＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ={x|2x≥4}，B ={x|x 2－3x≥0}，则A∩ (∁R B)=________. 答案 [2,3)解析 A={x|2x≥4}={x|x≥2}，B ={x|x 2－3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，∁R B=(0,3)，则A∩(∁R B)=[2,3). 2.已知i为虚数单位，复数1＋ai2－i (a∈R )为纯虚数，则a的值为________.答案 2解析 因为1＋ai 2－i =(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )=(2－a )＋(2a＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a＝0，2a＋1≠0，所以a =2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n项和S n =14n 2，n∈N *，等比数列{b n }满足b 1=a 1＋a 2，b 2=a 3＋a 4，则b 3=________.(用数字表示) 答案 9解析 由题意可得b 1=a 1＋a 2=S 2=14×22=1，b 2=a 3＋a 4=S 4－S 2=14×42－14×22=3，则等比数列的公比q =b 2b 1=31=3，故b 3=b 2q=3×3=9.4.设向量a =(3，1)，b =(x，－3)，c =(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 150°解析 ∵b ∥c ，∴－3x=(－3)×1，∴x =3， ∴b =(3，－3)，a －b =(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ=－124×23=－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ=150°.5.设变量x，y满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x－y＋3≥0，x＋y－3≥0，则z =2x－y的取值范围是________.答案 [－3，＋∞)解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z =2x－y经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z =2x－y的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB =3，BC =2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O－EFG体积的最大值是________. 答案 4解析 设Rt△EFG的两条直角边分别为a，b，则a 2＋b 2=16，三棱锥O－EFG的高为3，从而V O－EFG =13S △EFG ·3=12ab≤a 2＋b 24=4，当且仅当a =b=22时等号成立，故三棱锥O－EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S为________.答案 17解析 开始时，S =27，i =1，第一次循环，S =47，i =2，第二次循环，S =17，i =3，第三次循环，S =27，i =4，第四次循环，S =47，i =5，第五次循环，S =17，5<5不满足条件，输出S =17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案 35解析 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01=0.05，所以n =10.05=20，成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)=0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2=4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a，成绩在[90,95)中有4个人，设为A，B，C，D，从5个人中任意取2个人有(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个基本事件，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610=35.9.将函数f(x)=23cos 2x－2sinxcosx－3的图象向左平移t(t>0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为________. 答案π6解析 f(x)=23cos 2x－2sinxcosx－3=23×1＋cos 2x2－sin 2x－3=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π6，平移后函数y =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2t＋π6为奇函数，所以2t＋π6=k π＋π2，k∈Z ，解得t =k π2＋π6，k∈Z ，所以当k =0时，t有最小值π6.10.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M(2,0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移13个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间为____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k－23，4k＋43(k∈Z ) 解析 由图知A =3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P，Q，过P作PH⊥x轴于点H，如图所示.令HM =m(m>0)，则m 2＋(3)2=4，得m =1，所以P(1，3)，Q(3，－3)，设函数f(x)的最小正周期为T，则T2=2，T =4=2πω，ω=π2，所以f(x)=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x＋φ， 将(2,0)代入得π＋φ=π＋2k π(k∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ=0，f(x)=3sin π2x，所以g(x)=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－13=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x－π6.由2k π－π2≤π2x－π6≤2k π＋π2(k∈Z )，解得4k－23≤x≤4k＋43()k∈Z .所以g(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k－23，4k＋43k∈Z .11.已知抛物线C：y 2=4x，过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S △MFN =________.答案833解析 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，所以S △MFN =12×p×|y 1－y 2|=12×2×|y 1－y 2|=|y 1－y 2|，直线方程是y =3(x－1)，与抛物线方程联立，消去x， 整理得3y 2－4y－43=0，所以y 1＋y 2=43，y 1y 2=－4，所以|y 1－y 2|=(y 1＋y 2)2－4y 1y 2=163＋16=833. 12.在△ABC中，a,b,c分别为内角A, B,C的对边，且2absinC =3()b 2＋c 2－a 2，若a =13，c =3，则△ABC的面积为________.答案 3 3解析 由题意得2absin C 2bc =3·b 2＋c 2－a22bc ，即asin Cc=3cosA，由正弦定理得sin A =3cosA, 所以tan A =3，A =π3.由余弦定理得13=32＋b 2－2×3bcos π3，解得b =4，故面积为12bcsinA=12×4×3×32=3 3.13.如图，已知双曲线x2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A，B，M在双曲线上且在x轴的上方，MF1⊥x轴，直线MA，M B与y轴分别交于P，Q两点，若OP =eOQ(e为双曲线的离心率)，则e =________.答案2＋1解析 由已知得，A(－a,0)，B(a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c，b 2a . 由△BOQ∽△BF 1M可得，OQ MF 1=OBBF 1，即OQ b 2a=a a＋c ，解得OQ =b 2a＋c .由△AOP∽△AF 1M可得，OP MF 1=OAAF 1，即OP b 2a=a c－a ，解得OP =b 2c－a . 由已知得OP =eOQ，可得b 2c－a =e×b2a＋c ，所以a＋c =e(c－a)，即1＋e =e(e－1)， 整理得e 2－2e =1，又e>1，所以e =2＋1.14.设函数g(x)=e x＋3x－a(a∈R ，e为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)=x2，且当x＜0时，f′(x)＜x，若∃x 0∈{x|f(x)＋2≥f(2－x)＋2x}，使得g()g ()x 0=x 0，则实数a的取值范围为________. 答案(]－∞，e＋2解析 设F(x)=f(x)－x22，则F′(x)=f′(x)－x，所以当x<0时，F′(x)<0，故函数F(x)=f(x)－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f(－x)＋f(x)=x 2可知，F(－x)＋F(x)=f(－x)＋f(x)－2×x22=0，则函数F(x)=f(x)－x22是奇函数，所以函数F(x)=f(x)－x22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f(x)＋2≥f ()2－x ＋2x可得 F(x)≥F ()2－x ，解得x≤1， 由g(g(x 0))=x 0，得g(x 0)=x 0，所以问题转化为x =e x＋3x－a在(]－∞，1上有解，即a =e x＋2x在(]－∞，1上有解，令h(x)=e x＋2x，x∈(－∞，1]， 则h′(x)=e x＋2>0，故h(x)=e x＋2x在(]－∞，1上单调递增，则h(x)≤h(1)=e＋2，即a≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1=a＋i，z 2=3－4i，其中i为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a的值为________. 答案 43解析 ∵复数z 1=a＋i，z 2=3－4i，∴z 1z 2=a＋i 3－4i =(a＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )=3a－4＋(4a＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数， ∴3a－4=0且4a＋3≠0，即a =43.2.已知全集U =R ，集合A ={x||x－1|<1}，B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x－5x－1≥1，则A∩(∁U B)=________. 答案 {x|1≤x<2}解析 由题意得A ={x||x－1|<1}={x|－1<x－1<1}={x|0<x<2}，B=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x－5x－1≥1=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x－4x－1≥0={x|x<1或x≥4}， ∴∁U B={x|1≤x<4}， ∴A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f(x)=x 2－3x－18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案 15解析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x－18=0的两根， ∴a 4＋a 7=3，∴S 10=10(a 1＋a 10)2=5(a 1＋a 10)=5(a 4＋a 7)=5×3=15.4.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x 2＋y 2=4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长度的取值范围为________.答案 [6－2，6＋2] 解析 设BC的中点为M(x，y). 因为OB 2=OM 2＋BM 2=OM 2＋AM 2， 所以4=x 2＋y 2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y－122=32，所以点M的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①解析 ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，正确.∵n⊥β，且m⊥n，可得出m∥β或m ⊂β，又m⊥α，故可得α⊥β. ②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β，不正确.m⊥α且m⊥n，可得出n∥α或n ⊂α，又n∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案 24 解析分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C12C23A22=12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22=12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y =f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，函数单调递增，若f(1)=1，则满足－1≤f(x＋2)≤1的x 的取值范围是________.答案 [－3，－1]解析 函数y =f(x)为定义在R 上的奇函数，由f(1)=1，可知f(－1)=－1.当x≥0时，函数单调递增，由y =f(x)为定义在R 上的奇函数，得y =f(x)在R 上单调递增. 则由－1≤f(x＋2)≤1，可得－1≤x＋2≤1， 解得－3≤x≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案 n≤8(或n<9)解析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)=2(1－2n)1－2=2n＋1－2，∴当n =7时，2n＋1－2=28－2=254，不合题意；当n =8时，2n＋1－2=29－2=510，符合题意.∴判断框中的条件为n≤8或n<9. 9.已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－3y＋4≥0，x－2≤0，x＋y≥0，x，y∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8 解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又OA =OB=22， ∴(x 2＋y 2)max =8.10.设直三棱柱ABC－A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB =AC=AA 1，∠BAC =120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解析 设AB =AC=AA 1=x， 在△ABC中，∠BAC =120°， 则由余弦定理可得BC =3x.由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r =x， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R =10.设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2=10，解得x =22，即AA 1=2 2.∴直三棱柱的高是2 2. 11.已知双曲线x 2a2－y 2b2=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为________. 答案 153解析由题意知在等腰△ABP中，AB =AP=2a，设∠ABP =∠APB =θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP=2θ，其中θ必为锐角.∵△ABP外接圆的半径为5a， ∴25a=2asin θ， ∴sin θ=55，cos θ=255， ∴sin 2θ=2×55×255=45， cos 2θ=2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1=35. 设点P的坐标为(x，y)， 则x =－a－APcos 2θ=－11a5，y=APsin 2θ=8a5，故点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b2=1，整理得b 2a 2=23，∴e =c a=1＋b 2a 2=153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解析 由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等， 则S EFOH =34S △DOF =34×14S ABDF =316S ABDF ，∴所求的概率为P =S EFOH S ABDF =316.13.在数列{a n }中，a 1=1，a n＋1=S n ＋3n(n∈N *，n≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案 S n =3n－2n解析 ∵a n＋1=S n ＋3n=S n＋1－S n ， ∴S n＋1=2S n ＋3n， ∴S n＋13n＋1=23·S n 3n ＋13， ∴S n＋13n＋1－1=23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1， 又S 13－1=13－1=－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1=－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n－1=－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴S n =3n －2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y =f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈Q ，0，x∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题：①f(f(x))=0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)=f(x)对任意的x∈R 恒成立；④存在三个点A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))，C(x 3，f(x 3))，使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案 3 解析当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数时，f(x)=0，∴当x为有理数时，f(f(x))=f(1)=1；当x为无理数时，f(f(x))=f(0)=1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f(f(x))=1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R ，都有f(－x)=f(x)，故②正确；当T∈Q 时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)=f(x)对x∈R 恒成立，故③正确；取x 1=33，x 2=0，x 3=－33，f(x 1)=0，f(x 2)=1，f(x 3)=0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B(0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC恰好为等边三角形，故④正确.填空题满分练(5)1.i是虚数单位，(1－i)z =2i，则|z|=________. 答案2解析 由题意知z =2i 1－i =2i (1＋i )(1－i )(1＋i )=－1＋i，则|z|=(－1)2＋12= 2.2.已知集合P ={x|－1≤x<2}，集合Q =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x≤52，则P∩Q =________. 答案 (0,2) 解析 P∩Q =(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a =3e 1－e 2,b =2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 45°解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2=1，e 1·e 2=0， ∴||a =()3e 1－e 22=9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22=10，||b =()2e 1＋e 22=4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22=5，a ·b =()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2 =6||e 12－||e 22=5，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ=a ·b ||a ||b =510×5=22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ=45°.4.已知整数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－7≥0，x＋2y－5>0，则3x＋4y的最小值是________.答案 16解析 可行域如图所示，令z =3x＋4y，当动直线3x＋4y－z =0过点A时，z有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－7＝0，x＋2y－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1，故A(3,1)，但点A(3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案 3解析 样本x,1，y,5的平均数为2，故x＋y =2，故s 2=14[(x－2)2＋(y－2)2＋10]=52＋14(x 2＋y 2)≥52＋14×(x＋y )22=52＋14×2=3，当且仅当x =y=1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为________. I←2 S←0 While I<m S←S＋I I←I＋3 EndWhile Print S答案 2021解析 由伪代码知，这是当型循环结构的算法， 由于累加项的步长为3， 循环变量I的终值为2018， 故2018<m<2022，由于m是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0，x－y＋8≥0，2x＋y－14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m，则实数m的取值范围是________. 答案 [20，＋∞)解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－19≥0，x－y＋8≥0，2x＋y－14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x＋2y－19=0的距离为25， 故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min =20， 故实数m的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)(x∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)=________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3 解析 ∵由图象知，14T=π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12=π4，∴T =π，ω=2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ=2， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ=2k π＋π2，k∈Z .∵|φ|<π，∴φ=2π3，则f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π6＋2π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a>0，b>0)与抛物线y 2=8x有相同的焦点F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A,B两点，与双曲线交于C, D两点，当AB =2CD时，双曲线的离心率为________. 答案5＋12解析 由题意知F(2,0), c =2，∵过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，与双曲线交于C, D两点， 在y 2=8x中，令x =2，则y 2=16，即y =±4. ∴AB =8，∴CD =4，将x =2代入到双曲线的方程，可得y =±b 4a2－1， 则2b4a2－1=4. ∵a 2＋b 2=c 2=4，∴a =5－1，∴双曲线的离心率为e =c a =25－1=5＋12.10.已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α的同侧，且AB =2，AC =3，若AB，AC与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为________. 答案 [1，7]解析 如图，过B，C作平面的垂线，垂足分别为M，N， 则四边形BMNC为直角梯形.在平面BMNC内，过C作CE⊥BM交BM于点E. 又BM =2sin∠BAM =2sinπ3=3，AM =2cos π3=1， CN=3sin∠CAN =3sinπ6=32，AN =3cos π6=32， 所以BE =BM－CN =32，故BC 2=MN 2＋34. 又AN－AM≤MN≤AM＋AN， 即12=AN－AM≤MN≤AM＋AN =52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1=6m，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为__________. 答案 12(2m＋1－1)(3m＋1－1)解析 ∵公差d是a 1=6m的约数， ∴d =2i·3j(i，j =0,1,2，…，m)，∴d的所有可能取值之和为∑i＝0m2i ·∑j＝0m3j =12(2m＋1－1)·(3m＋1－1).12.已知点M为单位圆x 2＋y 2=1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x =2上，则AM→·AO→的最小值为________. 答案 2解析 设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)， 则AM →=(cos θ－2，sin θ－t)，AO →=(－2，－t)， 所以AM →·AO →=4＋t 2－2cos θ－tsin θ. 又(2cos θ＋tsin θ)max =4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s =4＋t 2，则s≥2，又4＋t 2－4＋t 2=s 2－s≥2， 当s =2，即t =0时等号成立，故(AM →·AO →)min =2.13.已知函数f(x)=x 2－2mx＋m＋2，g(x)=mx－m，若存在实数x 0∈R ，使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立，则实数m的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)解析 当m>0，x<1时，g(x)<0， 所以f(x)<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，Δ>0，f (1)≥0，m<1，即m>3或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m 2－m－2>0，3－m≥0，m<1，故m>3.当m<0，x>1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m<0，此不等式组无解.综上，m的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a>0，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ex－1＋a2，x＜0，ex－1＋a 2x 2－()a＋1x＋a2，x≥0，若关于x的方程f(－f(x))=e －a＋a2有三个不等的实根，则实数a的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解析 当x＜0时，f(x)为增函数， 当x≥0时，f′(x)=ex－1＋ax－a－1, f′(x)为增函数，令f′(x)=0，解得x =1，故函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f(1)=0.由此画出函数f(x)的图象如图所示.令t =－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a 2，解得－a =t－1，所以t =－a＋1，所以f(x)=a－1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a－1＜1e ＋a 2，解得2＜a＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U =R ，N ={x|x(x＋3)<0}，M ={x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案 {x|－1≤x<0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z =1－i2－i ，则z的虚部为________.答案 －15解析 z=1－i 2－i =(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )=3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m，n∈N *，都有a n ·a m =a n＋m ，且a 1=12，那么a 5=________.答案132解析 由于a n ·a m =a n＋m (m，n∈N *)，且a 1=12.令m =1，得12a n =a n＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5=a 1q 4=⎝ ⎛⎭⎪⎫125=132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案 9解析 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30=9.5.已知椭圆x 2a2＋y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解析 由题意可得PF 1=F 1F 2=2c，再由椭圆的定义可得PF 2=2a－PF 1=2a －2c. 设∠PF 1F 2=θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ=c 2－a 2＋2ac 2c 2， 由－12＜cos θ＜12，可得e的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z =yx－3的最小值是________.答案 －2解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋2＝0，x－y＝0，解得A(2,2)，z=yx－3的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率. ∵k PA =2－02－3=－2，∴z =y x－3的最小值是－2.7.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD =7，AB =2，则S △ABC =________. 答案 3 3解析 ∵A，B，C成等差数列，∴B =60°，在△ABD中，AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos B，即7=4＋BD 2－2BD， ∴BD =3或－1(舍去)，可得BC =6，∴S △ABC =12AB·BC·sin B =12×2×6×32=3 3.8.已知三棱锥P－ABC内接于球O，PA =PB=PC=2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________. 答案 12π 解析由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA，PB ，PC可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2=3·22=12，故球的表面积为4πR 2=12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x的值为－5，则输出的y值是________.答案 0解析 由流程图知，若输入的x的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5=25=32>2，程序继续运行x =－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3=23=8>2，程序继续运行x =－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1=2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y =log 2x 2=log 21=0.10.若函数f(x)=asin ωx＋bcos ωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x =π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f(x)的最小正周期是________.答案 π 解析 由f(x)=a 2＋b 2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x =π4ω可知，π4＋φ=π2＋k π，k∈Z ，解得φ=π4＋k π，k∈Z ，即ba=tan φ=1，所以a =b.又f′(x)=a ωcos ωx－b ωsin ωx的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=0，即a ω⎝ ⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8=0，所以ωπ8=π4＋k π，k∈Z ，解得ω=2＋8k，k∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω=2，所以T =2πω=π.11.在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案 1－3π6解析 满足条件的正三角形ABC如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC =34×4= 3. 满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示， 其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P =1－3π6. 12.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足|CM →|=1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案2＋1解析 设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且|CM→|=1，∴x 2＋(y＋2)2=1，x 2＋(y＋2)2=1，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆. ∵A(0,1)，B(1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →=(x＋1，y＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|=(x＋1)2＋(y＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y＋2)2=1上的点与点P(－1，－1)间的距离. 又点P(－1，－1)在圆C的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max =|PC →|＋1=(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1=2＋1. 13.已知P为函数y =4x的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x 2＋y 2=1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，则△OMN的面积为________. 答案 18解析 不妨设点P在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2=x 20＋16x 20，PA 2=PB 2=PO 2－12=x 20＋16x 20－1，故以P为圆心，PA为半径的圆的方程为()x－x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y－4x 02=x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2=1，两圆方程作差可得直线AB的方程为x 0x＋4x 0y－1=0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04， 所以△OMN的面积为12·1x 0·x 04=18.14.函数y =f(x)的定义域为D，若∀x∈D，∃a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，则称函数y =f(x)具有性质P ，现有如下函数：①f(x)=e x－1；②f(x)=2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x－π4－1(x≤0)； ③f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x<0，(x－1)3＋1，x≥0.则具有性质P的函数f(x)为________.(填序号) 答案 ①② 解析 ①设φ(x)=ex－1－x(x∈R )，则φ′(x)=ex－1－1.当x>1时，φ′(x)>0；当x<1时，φ′(x)<0. ∴φ(x)min =φ(1)=0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x，故∃a=1，使f(x)≥ax在R 上恒成立，①中函数f(x)具有性质P；②易知f(x)=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π4－1=sin 2x(x≤0). 令φ(x)=f(x)－2x =sin 2x－2x(x≤0)， 则φ′(x)=2cos 2x－2.∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x)min =φ(0)=0，故f(x)≥2x恒成立. ∴∃a=2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f(x)具有性质P；③作函数y =f(x)与直线y =ax的图象，显然当y =ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a =1.根据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立. 因此③中函数f(x)不具有性质P. 综上可知，具有性质P的函数为①②.。

[80分] 12＋4标准练21．复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋i D ．i 答案 D解析 根据题意可得，z ＝a －i ， 所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0， 所以复数z ＝i.2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ⎪⎪⎪π4<φ<1，则集合A ∩B 等于( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<π2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6<θ<1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<π2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<5π6， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1. 3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34 答案 C解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为()A ，a ，()a ，A ，()B ，b ，()b ，B ，共4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为 1－412＝23.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π12答案 A解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，所以φ＝0.5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1 000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2 000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱共有( ) A ．2×106枚 B ．2.02×106枚 C ．2.025×106枚 D ．2.05×106枚答案 B解析 由题意可知，可构成一个首项为70，末项为31，项数为40，公差为1的等差数列，则和为S ＝40×()70＋312＝2 020，这一堆铜钱共有2 020×1 000＝2.02×106(枚)． 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.7．如图所示的程序框图，当输出y ＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )A ．x ≤1? B．x ≤2? C．x ≤3? D．x ≤4? 答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束．所以y 的最大值为15，可知x ≤3？符合题意．8.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2 C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2答案 D解析 对于A ，函数y ＝x2|x |，当x >0时，y >0，当x <0时，y <0，不满足题意； 对于B ，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，不满足题意； 对于C ，当x ≥0时，y >0，不满足题意．为( )A.14 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 不妨设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，Δ＝b 2>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b 4a ，x 1x 2＝0，所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b4a ，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2×b 216a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)， 所以双曲线C 的离心率e ＝2.10．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x的极值点，则函数f (x )的最小值为( ) A ．(2＋22)e －2B ．0C ．(2－22)e 2D ．－e答案 C解析 ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x， 由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1， ∴f (x )＝(x 2－2x )e x， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e x，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0， 当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e2.11．点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为C (2,0)，半径为5的圆，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6,6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|CN |＋5，即点M 是直线CN 与圆C 距N 较远的交点，所以直线CN 的方程为y ＝－34(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －2)，(x －2)2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，则t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ， 所以a ＋b ＝3， 所以(a ＋1)＋b ＝4，1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [](a ＋1)＋b＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时取等号．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且在R 上单调递增，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( ) A ．45 B ．15 C ．10 D ．0 答案 A解析 因为函数g (x )＝f (x －5)＋x ， 所以g (x )－5＝f (x －5)＋x －5，当x ＝5时，g (5)－5＝f (5－5)＋5－5＝f (0)， 而y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以g (5)－5＝0. 由g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，得[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]＝0， 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 且在R 上单调递增，可知y ＝g (x )－5关于(5,0)对称， 且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想g (a 5)－5＝0， 下面用反证法证明g (a 5)－5＝0. 假设g (a 5)－5<0，知a 5<5， 则a 1＋a 9<10，a 2＋a 8<10，…，由对称性可知[g (a 1)－5]＋[g (a 9)－5]<0， [g (a 2)－5]＋[g (a 8)－5]<0，…，则[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]<0与题意不符， 故g (a 5)－5<0不成立； 同理g (a 5)－5>0也不成立， 所以g (a 5)－5＝0，所以a 5＝5，根据等差数列的性质，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.14．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________． 答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2.15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________． 答案 －1解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，PD →＝(1－x,1－y )，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1， 当x ＝12，y ＝12时，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)取得最小值－1.16．如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π2，∠CBD ＝π2，沿BD把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π6，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案2053π 解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π6.又∠OFA ＝π2，所以∠OFE ＝π3，EF ＝12BC ＝1，所以OE ＝EF ·tan π3＝3，所以R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝5， 所以V ＝43πR 3＝2053π.。