【名师点睛】2016-2017年 八年级数学上册同步提高讲义+练习 第24课 分式章节复习题

变量与函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。

2、理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。

3、增强对变量的理解。

4、渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想。

1、常量和变量的定义在一个变化过程中：发生变化的量叫做___________；不变的量叫做__________________；2、函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是_______，y是x的______．如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的__________．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的____________．3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．4、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

5、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

⎨等腰三角形⎨ ⎨斜三角形⎨ ⎩⎩第二讲与三角形有关的线段和角1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心3. 掌握三角形内角和定理及推论；4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和1. 三角形的分类：⎧不等边三角形①按边分类：三角形⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形 ⎪⎩等边三角形 ⎧直角三角形②按角分类：三角形⎪⎧钝角三角形 ⎪⎩锐角三角形 2. 三角形的高、中线、角平分线（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角 形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3） 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。

3. 三角形的内角与外角（1） 三角形的内角：✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角. ✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角和为360°。

✓性质：①三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4.三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值X围。

第01课三角形认识1.三角形定义：在同一平面内，由条线段形成的图形叫做三角形。

三角形有个内角，对外角。

2.三角形分类：(1)按角度分类：、、。

(2)按边分类：、。

3.三角形三边关系定理：4.三角形的高线：过顶点作的，顶点与的长度叫做三角形的高线。

任意三角形有条高线，它们的交点叫做。

位置：5.三角形的中线：顶点与中点的线段叫做三角形的中线。

任意三角形有条中线，它们的交点叫做。

中线的性质：。

6.三角形的角平分线：三角形内角的平分线与此内角的的交点的线段叫做三角形的角平分线。

任意三角形有条角平分线，它们的交点叫做。

7.三角形的稳定性：8.三角形内角和度数为：；外角和度数为.9.三角形内角与外角的关系：(1) ；(2) 。

10.与三角形角平分线有关的公式：多边形内角和：1.在同一平面内,有条线段形成的图形,叫做多边形.多边形分为多边形和多边形.2.从多边形一个顶点引出的对角线条数公式为；多边形对角线条数总数公式： .从多边形一个顶点引出的对角线将多边形分成的三角形个数公式为 .3.多边形内角和度数公式：；外角和度数： .4.相等，相等的多边形叫做正多边形。

【例1】已知三角形三边分别为4,2a-1,8,求a的取值范围.【例2】已知等腰三角形的周长为48cm，一腰上的中线将此三角形的周长分为1:3，求此三角形的三边长。

【例3】已知等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍少100，则这个三角形的内角度数为 .【例4】如图，已知在△ABC中，∠C=760，∠B=480，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC.求∠DAE的度数.课堂同步练习1.如下四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）2.如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是（）A.线段CEB.线段CHC.线段ADD.线段BG3.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜84.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7,这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为1200,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°6.如图,已知∠AEC的度数为1100,则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为（）A.110°B.130°C.220°D.180°第6题图第7题图7.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F．（1）______是△ABC的角平分线；（2）______是△BCE的中线；（3）______是△ABD的角平分线．8.如果△ABC是等腰三角形，试问：⑴若周长是18，一边长是8，则另两边长是_________________；⑵若周长是18，一边长是4，则另两边长是__________________。

三角形的边本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对三角形的三边关系应用达到【高级运用】级别； 2．对三角形的面积计算问题达到【高级运用】级别。

★★★★★☆ Level 5本关进步目标★★★☆☆☆ 你会利用两边长确定第三边的长或周长的取值范围，并根据三角形的三边关系化简代数式； ★★★★★☆ 你会证明线段间的不等关系。

第一章第一关 三角形的三边关系学习重点：掌握三角形三边关系定理及推论的应用．1．三角形两条边长分别是3 cm 和10 cm ，周长C 的取值范围是________20<C<26_________cm ．2．三角形的三条边长分别是3a -，1a -，2a +，则a 的取值范围是_________a>6________．3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a b c a b c b a c c b a +-+------+-=________2b -2c _________．三角形的三边关系定理及推论【高级理解】熟记三边关系定理及推论的内容理解不等式的性质关卡1-1三角形的三边关系定理及推论过关指南Tips笔记★★★☆☆☆ 高级理解例题若一个三角形的两边长分别为5和7，则周长C 的取值范围是_____12>C>2____________；若x 为该三角形最长的边，则x 的取值范围是_________12>x ＞7________．（ D ） A. a ，b ，a b + (0,0)a b >> B. a ，4a +，6a +（0a >） C. a ，3a -，3（3a >） D. 1a +，1a +，2a ()0a >已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a cbc a b b c a ----+--+=______c -b -a ___________．过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 3学习重点：掌握“8字”模型和“飞镖”模型中不等关系的证明和对结论的熟练应用．1．如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O，求证：()12AC BD AB BC CD DA+>+++．∵三角形两边之和大于第三边∴在△ABO中，AO+BO>AB在△BOC中，BO+CO>BC在△COD中，CO+DO>CD在△AOD中，AO+DO>AD2(AO +CO+BO +DO)>AB+BC+CD+DA2(AC+BD)>AB+BC+CD+DAAC+BD> 1/2（AB+BC+CD+DA）三角形三边不等关系的证明【高级运用】“8字”模型不等关系的证明“飞镖”模型不等关系的证明不等式的性质关卡1-2三角形的三边不等关系的证明过关指南Tips笔记★★★★★☆高级运用例题2．观察并探究下列各题，写出你经过观察所得到的结论，并说明理由．（1）如图，在ABC∆中，点P为边BC上一点，试观察比较BP PC+与AB AC+的大小，并说明理由；（2）将第（1）题中的点P移至ABC∆内，如图，试观察比较PBC∆的周长与ABC∆的周长的大小，并说明理由；（3）将第（2）题中的点P变为两个点P1，P2，如图，试观察比较四边形12BPP C的周长与ABC∆的周长的大小，并说明理由．如图所示，AD，BC相交于点O，求证：AB+CD<AD+BC．AO+BO>AB,CO+DO>CDAO+BO+CO+DO=AD+BC>AB+CD如图所示，已知点P是ABC∆内一点，试说明()12PA PB PC AB BC AC++>++．如图所示，已知点P是ABC∆内一点，求证：PA PB PC AB AC BC++<++．延长BP交AC于点D过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 3AB+AD>BP+PD,DC+PD>PC相加得AB+AC>PB+PC同理AC+BC>PA+PBAB+BC>PA+PC相加得2（AB+AC+BC）>2(PA+PB+PC)PA+PB+PC<AB+AC+BC如图所示，在四边形中，对角线AC，BD相交于点O，点E在ABC∆的内部，连接EB，EC，证明：（1）AB CD AC BD+<+；（2）AB AC EB EC+>+．（1）AB<AO+BO,CD<CO+DOAB+CD<AO+BO+CO+DO=AC+BD(2)延长BE交AC于点FBE+EF<AB+AF,EC<EF+FC相加得AB+AF+FC>EB+EC即AB+AC>EB+EC错题记录Exercise 4★★★★★☆ Level 5本关进步目标★★★★☆☆ 你会面积计算公式，会识别底边和对应的高线；★★★★★☆ 你会中线等分三角形的面积原理，会灵活运用中线计算三角形的面积。

勾股定理_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角___．性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．1.勾股定理．【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.（2014秋•绥化六中质检）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC 的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．22. 等腰直角三角形．【例2】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】（2014•福建泉州中学一模）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米 C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．（2014春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理逆定理_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、理解勾股定理的逆定理的推理过程并能证明勾股定理的逆定理；2、掌握利用勾股定理的逆定理，学会判断一个三角形是否是直角三角形；3、通过研究一系列富有探究性的问题，感受数学文化，激发学习热情．1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是______三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会_________的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的_____，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．1.勾股定理的逆定理．【例1】（2014•赣州第一中学期末）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】（2014•福建宁德中学中考模拟）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】（2014•四川绵阳中学二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用；方向角．【例4】（2014•福建晋江中学月考）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C 地的正东方向，则B地在C地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】（2014•宁波镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．（2014•大同五中期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．平方根平方根的有关概念、性质_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________1、了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2、了解开发与乘法互为逆运算，会用开发运输求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.1．算术平方根=，那么这个正数x叫做a的算术平方一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a根.a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.规定：0的算术平方根是_____.2. 平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.=，那么______叫做_________的平方根.这就是说，如果2x aa的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.求一个数a的平方根的运算，叫做_________.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.0001练1. 求下列各数的算术平方根（1）0.0025 （2）121练2. （2014春•2(4) ________81的相反数是__________.2．利用计算器求算术平方根【例23136练4.用计算器求下列各式的值.（11369 （25（精确到0.01）2．比较大小【例3】小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？练5. 14012.练6. （2015春•天一学校期中）要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米，求长和宽各是多少米？3．计算平方根【例4】求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.25.练7．11125的平方根是_______; 0的平方根是________.练8．（2015•郑州市期末）一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______.【例5】求下列各式的值.（1 （2）练9．练10．40.36121【例6.练11．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是____________.练12．（2015春•唐山市期中）若23270x -=，则x =____________.练13．（2014春•德州市期中）已知0a ≥，那么2()a 等于什么？1．（1）一个正数有_____个平方根，它们_________;（2）0的平方根是____________;（3）负数__________2．25的算术平方根是_________, ________是9的平方根；16的平方根是________.3．（1）若294x =，则x =__________; （2）若22(2)x =-，则x =__________．4．要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少?5. 若a 有意义，则a 满足_______；若a --有意义，则a 满足_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.计算：3252.0.040.253.计算：2564．计算：2125. 计算：124 -.6．如果2x-有平方根，那么x的值为.7．x1x-x的值为.立方根和实数_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解立方根的含义，会表示、计算一个数的立方根；2、了解无理数和实数的意义；3、了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.1．立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.=，那么______叫做_________的平方根.这就是说，如果3x a求一个数的立方根的运算，叫做_________.33-=-a a（2）性质：正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____.2.实数__________叫做无理数.____________统称实数.____________与数轴上的点一一对应.3.绝对值性质一个正实数的绝对值是________； 一个负实数的绝对值是_______； 0的绝对值是_______.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1364 （23125-练1. 求下列各式的值.（130.001- （2）364125练2. （2015春•上城区期中）319127- ________.2．利用计算器求立方根【例231845练3.31728练4.321972．比较大小【例3】估计3，4350.练5. 比较大小：（1（2.练6. 2(1)-的立方根是_________; 一个数的立方根是110，则这个数是_______.3．立方根运算【例4】已知的519x +立方根是4，求27x +的平方根.练7.练8．（2014秋•.4．实数运算【例5.练9．计算：（1________；（2）__________；（3_________.【例6】计算下列各式的值.（1）(32)2+- （2）3323+练10．计算：34916927-+.练11．（2015春•贵阳市期末）一个底为正方形的水池的容积的486m 3，池深1.5m ，求这个水底的底边长.练12．（2014春•德州市期中）已知223130x x y -+--=，求x y +的值？1．计算：310227-2．计算：331864-.3．已知实数a ，满足3230a a a =，求11a a -++的值.4．估计与60的立方根最接近的整数.5. 已知b a c <<，化简a b b c c a -+-+-=_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.332141x x -=+x =_______2. 若0m <，则33m m =3.23322161000()3-4232651(1)274--5. 23151()(1)(1)393--6．已知2a b ==，且0ab >，则a b -的值为______.7．已知a 10b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值.二次根式_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解二次根式的意义，理解二次根式的双重非负性，掌握和应用其性质；2、通过数学技能的训练，培养学生观察分析、归纳概括的能力；3、通过新旧知识点的联系以及问题探索，启发学生学习数学的兴趣．1．二次根式的定义一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是_______．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．3．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；≥0（双重非负性）．②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③ =a（a≥0）（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数开方数是_____．4．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）5．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相______，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．6．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为______二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．1.实数的运算；二次根式的性质与化简．【例1】（2014•陕西师大附中期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2（a﹣b+c）D．2a+b+c练1.下列计算中正确的是（）A．B．C．D．2.二次根式的定义．【例2】（2014•常熟二中月考）下列说法错误的是（）A．零和负数没有算术平方根B．是一个非负数，也是二次根式C．的最小值是4D．的值一定是0练2.对于，以下说法正确的是（）A．对于任意实数a，它表示a的算术平方根B．对于正实数a，它表示a的算术平方根C．对于正实数a，它表示a的平方根D．对于非负实数a，它表示a的算术平方根b练3.若是二次根式，则下列说法正确的是（）A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．≥03.二次根式有意义的条件．【例3】（2014•辽宁营口一中期中）使有意义的x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x≤2且x≠﹣1 D．x≥2且x≠﹣1 练4.如果有意义，则x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2练5.已知：1＜x≤4，则下列式子中有意义的是（）A．B．C．D．4．二次根式的性质与化简．【例4】（2014•大同阳高中学期末）下列各式运算中，正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．C．a3•a4=a12D．练6.化简二次根式的结果是（）。

2021年名师点睛检测卷八年级数学上册人教版1、人教版九年级数学上册名师点睛检测卷
【一、单项选择】
（1）三角形ABC的若AB=2a，BC=6a，则△ABC的周长是( ) A．4a B．8a C．10a D．12a
（2）注意两个函数f：x2-2x+1，g：x-2，当x=6时，|f(x)-g(x)|=（）A．1 B．2 C ．10 D．12
（3）椭圆x2+y2-6x-8y+24=0的短轴长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
（4）在△ABC中，如果AB=3，AC=4，则BC是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【二、填空题】
（1）在有理数的集合上可以实施加、减、乘、除运算，因此，有理数是一个__________集合。

（2）三角形的外接圆半径等于两边和__________的一半。

【三、解答题】
（1）求y=x2-2x+1与x轴的交点：
解：当y=0时，有x2-2x+1=0，解得x=1或x=2；所以y=x2-2x+1与x 轴的交点为A(1,0)，B(2,0)。

（2）求抛物线y2=4x的焦点和准线：
解：抛物线y2=4x的り方程为y2-4x=0，由抛物线的定义知焦点坐标为F(-2,0)；
两个焦点连成的直线为准线，故准线方程为：x+2=0，即准线方程为
x=-2。

全等三角形综合复习1.如图,∠E=∠F=900,∠B=∠C,AE=AF.结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个第1题图第2题图第3题图2.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP3.如图,在Rt△ABC中，∠A=900,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4，BD=5,则点D到BC的距离是( )A.3B.4C.5D.64.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,M为AD上任意一点,则下列结论错误的是（）A.DE=DFB.ME=MFC.AE=AFD.BD=DC第4题图第5题图第6题图5.如图,△ABC中,∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°;③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC.其中正确的是（）．A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③6.如图,D,E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=460，则∠APD等于7.如图,在ΔABC中,∠C=900，∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米.8.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,若∠MON=50o，∠OPC=30o，则∠PCA= ．第8题图第9题图第10题图9.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3，6),B(1，3),C(4，2).若将△ABC绕C点顺时针旋转900,得到△A/B/C/，则点A的对应点A/的坐标为．10.如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在，理由是．11.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=900,D为AB边上一点.求证:AE⊥AB.12.如图,已知AB=DC,AD=CB,O为AC中点,过O的直线分别交AB、CD的延长线于F、E.求证:∠F=∠E．13.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD,连结BF.求证：BD=CD；14.如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．15.如图,已知∠B=∠C=90o，M是BC上一点，且∠AMD=90o，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB．16.如图,AE平分∠BAC,BD=DC,DE⊥BC,EM⊥AB,EN⊥AC.求证:BM=CN．17.在△ABC 中,∠ACB=900,AC=BC ，直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时.求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时.（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立,说明理由.18.如图,已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.1全等图形【名师点睛】（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【典例剖析】【知识点1】全等图形的识别【例1】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.1】（2021·江苏连云港·八年级阶段练习）下列各组两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.2】（2021·江苏盐城·八年级期中）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形【知识点2】利用全等图形求角度【例2】（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．【变式2.1】（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式2.2】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【知识点3】分割成几个全等图形【例3】（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式3.1】（2018·江苏·洪泽新区中学八年级阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•靖西市期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2021秋•宿豫区期中）下列两个图形是全等图形的是（ ）A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形3．（2021春•淮阳区期末）全等形是指两个图形（ ）A．大小相等B．可以完全重合C．形状相同D．以上都不对4．（2021春•姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形5．（2021春•商水县期末）下列说法不正确的是（ ）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等6．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．100°7．（2019秋•临西县期末）下列图形中，和所给图全等的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•涿鹿县期中）下列图形中与如图图形全等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019秋•迁安市期末）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2018春•太原期末）下列说法：（1）全等图形的形状相同，大小相等；（2）全等三角形的对应边相等；（3）全等图形的周长相等，面积相等；（4）面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）A ．（ 1 ）（ 3）（ 4 ）B ．（ 2）（ 3 ）（ 4 ）C ．（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）D ．（ 1 ）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）11．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．12．（2020春•石狮市期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是 ．13．（2021秋•常州期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ ．14．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是 （填标号）．15．（2019秋•东台市月考）如图①，已知△ABC的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中与图①中△ABC全等的图形是 ．16．（2019秋•常州期中）下列4个图形中，属于全等的2个图形是 ．（填序号）17．观察图中图形，它们是不是全等形？为什么？18．找出图中的全等图形．19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．20．沿着图中的虚线，请把如图的图形划分为4个全等图形，把你的方案画在图中．21．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．22．（2018秋•洪泽区校级月考）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．。

数学培优讲义八年级上册努力是为了能有一个让人羡慕的未来！目录第一讲三角形 (1)第二讲全等三角形的性质与判定 (5)第三讲角平分线的性质与判定 (9)第四讲轴对称及轴对称变换 (12)第五讲等腰三角形 (16)第六讲等边三角形 (19)第七讲认识多边形 (23)第八讲幂的运算 (23)第九讲整式乘法 (27)第十讲整式乘法公式讲义 (31)第十一讲整式除法讲义 (38)第十二讲因式分解及其应用 (42)第十三讲分式的概念•性质与运算 (45)第十四讲分式的化简求值与证明 (48)第十五讲分式方程及其应用 (52)第一讲 三角形一、学习目标1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.二、例子【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC【变式题组】1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)FE DBA C2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________. 3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.(例4题图)BDACE【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.(第3题图)A BCDE F【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.OBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.(第1题图)OBA C3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.(第3题图)P OBAC(例6题图)E D ABC(第2题图)D EPCAGBF (第1题图)FED A BCC'B'ABC1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)α22°OBMA2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.三、练习1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第2题图)B'A'AOB(第3题图)αEDCBABACDEF (第9题图)D EBAC10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________.第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【变式题组】1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等γβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC4321(第12题图)DBA CAFCEDBD ．有一边对应相等的两个等边三角形全等2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将―∠A ＝∠D ‖记为①，―∠OEF ＝∠OFE ‖记为②，―AB ＝DC ‖记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择―真‖或―假‖填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】 1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5AB CDO FEA CEFBD2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.\ 3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .演练巩固·反馈提高1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /BB /aαcca50° b72° 58°AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A FECB DC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：―一定有△ABC ≌△AED .‖小明说：―△ABM ≌△AEN .‖那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对 7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.E2 1N AB DC第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第10题图AB CDE 第9题图EABC D A BC DEF O CAEBD第7题图 第8题图D A C .QP.BD AAE F BDC13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .AEB FD C BDEClA4321NM ABODP P C A B MN MNA BD CP D CA B 321F E DCAB 求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDDEC ABD FE B AC第1题图DCBA第2题图DB CA EP 第3题图QS RPB AC第4题图EFB DAC第5题图EBCA【变式题组】1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED CAB第10题图K NMQ CBA FBDECA O F ED ABCA ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以―补齐‖图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC 的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．演练巩固·反馈提高1．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°2．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP ∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A 的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M （1－a ，2a ＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（ ） A ．－1＜a ＜1 B ．－1≤a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＞－1 7．如图，镜子中号码的实际号码是___________．8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm 2.9．已知点A （2a ＋3b ，－2）和B （8，3a ＋2b ）关于x 轴对称，则a ＋b ＝___________.10．如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，∠ABC ＝45°，求∠BAC和∠ACB 的度数．第五讲 等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形2131221(4)(3)(2)(1)经典·考题·赏析【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【变式题组】1．（黄冈）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或102.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠A DPEB＝___________度．3.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．【变式题组】1．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．2．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式题组】1．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，△），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．CABD3.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D ．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例４】 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【变式题组】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．2．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作BF∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴求证：AD ⊥CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．【变式题组】1．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）第2题图 第3题图第4题图ACBMDE(例4题图)A．200B．1200C．200或1200D．36002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或153.（云南）如图，等腰∆ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∆BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．164．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．10805．如图，Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF6．如图，∆ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC 于点E,那么下列结论：①∆BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①7.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．15008．（滨州）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.第六讲等边三角形考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；21NMF EDBC A EPQDCABEPQDCAB2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【变式题组】 1．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 2．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．3．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQ4．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数EDCBA PA【变式题组】1．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．2．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．巩固练习 反馈提高1．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图2．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( ) A ．4个 B 3个 C 2个 D 1个3．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A’处，且A’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cmEDCABDCABBEDCABEDCA4．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________． 5．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．6．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．7．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F (1)求证：△ACD ≌△BAE ：(2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．8．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ． 求证：△ADE ≌△DFCEDBFCAFEDAODB PC ADE B FC A 第3题图 第4题图 第5题图第七讲 认识多边形考点·方法·破译多边形内角和= (2)180n -⨯ 外角和= 360第八讲 幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1．m n m n a a a +⋅= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412a a a ⋅= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a --A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式题组】 1.计算212()()n n c c+⋅的结果是()A ．42n c+B ．44n c +C ．22n c+D ．34n c+2．计算100101(2)(2)-+-＝_______________3．如果3915()nma b b a b ⋅=，则m ＝_________，n ＝____________ 4．计算2323()()()n n x y x y +-⋅-＝_______________ 【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【变式题组】1．若24m =，216n =，求22m n +的值2．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值3．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________.4．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值5．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c【变式题组】1．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a2．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【变式题组】 1．求满足2003005n ＜的最大整数值n.2．如果x 、y 是正整数，且2232x y ⋅=，求满足条件的整数x 、y演练巩固 反馈提高1．（武汉）下列运算正确的是（）A ．3412x x ⋅=B ．623(6)(2)3x x x -÷-=C ．23a a a -=-D ．236(2)6x x -=-2．（泰州）下列各式计算正确的是（）A ．23523a a a +=B ．235(2)6b b =C ．2(3)()3xy xy xy ÷=D ．56236x x x ⋅=3．当n 为正整数时，221()n x +-等于（）A ．42n x +-B ．41n x +-C ．41n x +D ．42n x +4．计算3224()a a a +⋅的结果为（）A ． 92aB ．62aC ．68a a +D ．12a5．下列命题中，正确的个数是（）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m -=- （２）等式(2)2mm-=，无论m 为何值时都不成立（３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立； （４）两个等式：3434(2)2mmmm x y x y -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列各题中，计算正确的是（）A ．322366()()m n m n --=B ．322331818[()()]m n m n --=- C ．2222398()()m n mn m n --=-D ．232399()()m n mn m n --=-7．已知22|2||238|0yxx x y x y y x -+-+=⋅-⋅，则＝_______________。

初二数学同步提高上学期人教版目录第1讲三角形的基础知识.......................................................................................................................- 1 - 第2讲三角形的角度计算.......................................................................................................................- 1 - 第3讲多边形及其角度计算...................................................................................................................- 2 - 第4讲角度计算综合...............................................................................................................................- 3 - 第5讲全等三角形...................................................................................................................................- 4 - 第6讲全等三角形的判定.......................................................................................................................- 5 - 第7讲全等三角形的多次判定...............................................................................................................- 7 - 第8讲角平分线的性质和判定...............................................................................................................- 7 - 第9讲角分线的一号模型—作垂线.......................................................................................................- 8 - 第10讲角分线的二号模型—对折.........................................................................................................- 9 - 第11讲角分线的三号模型—角分线的垂线 .........................................................................................- 9 - 第12讲角分线的四号模型—知二推一...............................................................................................- 10 - 第13讲轴对称....................................................................................................................................... - 11 - 第14讲垂直平分线...............................................................................................................................- 12 - 第15讲尺规作图—角分线和中垂线...................................................................................................- 13 - 第16讲等腰三角形...............................................................................................................................- 14 - 第17讲等边三角形...............................................................................................................................- 14 - 第18讲轴对称综合...............................................................................................................................- 15 - 第19讲等比法求三角形面积...............................................................................................................- 16 - 第20讲等积法求三角形面积...............................................................................................................- 17 - 第21讲倍长中线...................................................................................................................................- 17 - 第22讲中垂线.......................................................................................................................................- 18 - 第23讲截长补短...................................................................................................................................- 19 - 第24讲运动中的全等...........................................................................................................................- 20 - 第25讲幂的运算...................................................................................................................................- 21 - 第26讲整式乘法...................................................................................................................................- 22 - 第27讲平方差公式...............................................................................................................................- 22 - 第28讲完全平方公式...........................................................................................................................- 23 - 第29讲因式分解...................................................................................................................................- 24 - 第30讲整式乘法与因式分解综合.......................................................................................................- 25 - 第31讲整式除法...................................................................................................................................- 25 - 第32讲分式...........................................................................................................................................- 26 - 第33讲分式的基本性质.......................................................................................................................- 27 - 第34讲分式的运算...............................................................................................................................- 28 - 第35讲分式计算的拓展.......................................................................................................................- 29 - 第36讲分式方程...................................................................................................................................- 30 - 第37讲分式计算综合...........................................................................................................................- 30 - 第38讲分式方程应用(一) ....................................................................................................................- 31 - 第39讲分式方程应用(二) ....................................................................................................................- 32 - 第40讲期中期末串讲－－三角形.......................................................................................................- 32 -第41讲期中期末串讲－－全等三角形...............................................................................................- 33 - 第42讲期中期末串讲－－轴对称.......................................................................................................- 34 - 第43讲期中期末串讲－－几何综合...................................................................................................- 35 - 第44讲期中期末串讲－－整式乘除...................................................................................................- 36 - 第45讲期中期末串讲－－因式分解...................................................................................................- 37 - 第46讲期中期末串讲－－分式...........................................................................................................- 37 - 讲义参考答案...........................................................................................................................................- 39 -千难万阻简单应对，人生必定不简单第1讲 三角形的基础知识重难点易错点辨析a 、b 、c 为三角形三条边：a +b >c a －b <c两条较短边的和大于第三边即可题一：现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是 .高：三条高所在的直线交于一点中线：三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心角平分线：三条角平分线交于一点题二：下列说法错误的是( )A ．三角形的三条中线都相交于一点B ．钝角三角形只能画一条高C ．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D ．三角形的三条角平分线相交于一点，且这点一定在三角形的内部 三角形面积公式：12S ah = 三角形的面积比：111222S a h S a h = 题三：如图，在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 的中点，AE 、CF 交于点G ，AD ⊥BC 于D ，以下结论：①S △ABE ＞S △ACE ；②S △AFG =S △CEG ；③ABD ACD SBD S CD =.其中正确的是 .B 金题精讲题一：如图，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB于F ，GA ⊥AC 于A ，则△ABC 中，AC 边上的高为 .题二：如图，已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，且CD =2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BC =13，△BDC 的面积是26，求AE 的长． B C 题三：在具备下列条件的线段a 、b 、c 中，一定能组成三角形的是( ) A ．a +b ＞c B ．a －b ＜c C ．a ：b ：c =1：2：3 D ．a =b =2c 题四：已知：如图△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △BGD =8，S △AGE =3，则△ABC 的面积是. B 思维拓展 题一：如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B ′、C ′、A ′，且使BB ′=AB ，CC ′=2BC ，AA ′=3AC ．若S △ABC =1，那么S △A 'B 'C '是( )A ．15B ．16 C．17 D ．18第2讲 三角形的角度计算 重难点易错点辨析 三角形内角和=180° 题一：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B =20°，∠C =30°，求∠CAD 的度数． B点燃 · 陪伴 · 自生长三角形外角的性质：三角形一个外角，等于不相邻的两内角和题二：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B =48°，求∠BAC 的度数．B金题精讲题一：将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为. B题二：如图，已知点P 是射线ON 上一动点，∠AON =30°，(1)当∠A = 时，△AOP 为直角三角形；(2)当∠A 满足 时，△AOP 为钝角三角形．题三：锐角三角形中，∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是( )A.∠A ＞60° B ．∠B ＞45°C ．∠C ＜60°D ．∠B +∠C ＜90°题四：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P为线段AD 上的一个点．PE ⊥AD 交直线BC 于点E ．DB(1)若∠B =30°，∠ACB =70°，则∠ADC = 度，∠E = 度； (2)若∠B =58°，∠ACB =102°， 则∠ADC = 度，∠E = 度； (3)若∠B =m °，∠ACB =n °，且n ＞m ，请用含m 、n 的式子表示∠ADC 、∠E 的度数． 思维拓展 题一：如图，已知∠BAD =∠CBE =∠ACF ，∠FDE =48°，∠DEF =64°，求△ABC 各内角的度数．B第3讲 多边形及其角度计算 重难点易错点辨析 n 边形： 内角和=180°(n －2) 外角和=360°每一个顶点出发的对角线=n －3对角线总条数=()32n n -正多边形： 边长相等、内角相等 题一：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？ 金题精讲 题一：现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( ) A ．正方形和正六边形 B ．正三角形和正方形千难万阻简单应对，人生必定不简单C ．正三角形和正六边形D ．正三角形、正方形和正六边形题二：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.题三：(1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .(3)过m 边形的一个顶点有4条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则边数为(m +n －p )的正多边形每一个内角的度数是 .题四：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ，那么AE 和CF 的位置关系是什么？并说明. F E A D思维拓展题一：在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是 . 第4讲 角度计算综合重难点易错点辨析对顶角相等三角形内角和180°三角形一个外角等于不相邻两外角和直角三角形两锐角互余 题一：(1)如图，线段AB 、CD 交于点O ，则 ∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明. OA CD(2)如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明.B O (3)如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、 ∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明. P M NAB(4)如图，延长△ABC 的边AB 、AC 分别至M 、N ，则∠MBC 、∠NCB 和∠A 之间有什么数量关系？请证明. M B C点燃·陪伴·自生长金题精讲题一：(1)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．题二：如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．(1)若∠ACB=40°，求∠BOC的度数；(2)当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．B题三：如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，请计算∠P的度数．题四：如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使A、B落在六边形CDEFGH内部，若∠C+∠D+∠E+∠F=510°，则∠1+∠2等于多少度？AD思维拓展题一：如图，将△ABC沿DE、FG、HI折叠，使三个顶点A、B、C分别落在三角形内部点A′、B′、C′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？B G H第5讲全等三角形重难点易错点辨析全等的定义与形成两个能够完全重合的图形叫做全等形我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形题一：下列说法中：①能够完全重合的两个三角形是全等三角形；②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合；③大小相同的两个图形是全等图形；④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等.其中正确的个数有().A．0个B．1个C．2个D．3个千难万阻简单应对，人生必定不简单全等的性质全等图形对应边相等，对应角相等题二：(1)已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=()A．5 B．6 C．7 D．8(2)已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=()A．87° B．97° C．83° D．37°金题精讲题一：(1)如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于()A．80° B．60°C．40°D．20°(2)如图所示，△ACE≌△DBF，AD=9cm，BC=5cm，则AB的长是()cmA．5 B．4 C．2 D．1题二：如果△ABC的三边长分别为5，12，13，△DEF的三边长分别为5，5－2x，x2－4，若这两个三角形全等，则x为.题三：(1)在平面直角坐标系中有不同的三点A、B、C，其中A(4，0)、B(0，2)，当△COB≌△AOB时，点C的坐标为.(2)在平面直角坐标系中有不同的三点A、B、C，其中A(4，0)、B(0，2)，当点B、O、C组成的三角形与△AOB全等时，点C的坐标为. 题四：如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：B C (1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE？思维拓展题一：如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过秒后，△BPD 与△CQP全等．第6讲全等三角形的判定重难点易错点辨析全等三角形判定的条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：SSA条件分类直接条件：边相等、角相等、公共边、……间接条件：平行、部分公共边、……题一：(1)已知：如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明.点燃 · 陪伴 · 自生长(2)如图，OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，垂足为B 、C ，请你再添加一个条件，使AO 平分∠BAC ，并证明.C B A O金题精讲题一：如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B =∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是( )A ．AD =AEB ．∠AEB =∠ADCC ．BE =CD D ．AB =ACE B A CD题二：如图，已知CA =CD ，∠1=∠2．(1)请你添加一个条件使△ABC ≌△DEC .(2)添加条件后请证明△ABC ≌△DEC ．21D EB C A题三：如图，∠A =∠D =90°，请你再添加一个条件，使△ABC ≌△DCB ，并证明．你有多少种添加条件的方法呢？ DC BA题四：如图，∠B =∠C ，在不增加辅助线的情况下， (1)添加一个适当的条件，使△ABD ≌△A CE ， (2)在(1)的条件下，△BOE 和△COD 全等吗？如果全等，请证明. D OA E思维拓展 题一：如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC ，△ACD ，△EFG ，△EGH ．若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70°，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50°，则下列叙述何者正确( ) A ．甲、乙全等，丙、丁全等 B ．甲、乙全等，丙、丁不全等 C ．甲、乙不全等，丙、丁全等 D ．甲、乙不全等，丙、丁不全等第7讲全等三角形的多次判定重难点易错点辨析全等的多次判定题一：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF，求证：AC=BD．B金题精讲题一：如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证：OC=OD．A题二：如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE．C思维拓展题一：△ABC中，AB=9，AC=5，AD为BC边上中线，则AD的取值范围是．第8讲角平分线的性质和判定重难点易错点辨析角平分线的性质与判定题一：(1)如图，△ABC中，PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB，求证：点P在∠A的角平分线上．B(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．金题精讲题一：如图，已知△ABC的周长是21，OB、OC 分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是多少？B题二：如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°．求证：DE=DF．B题三：四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠ADC +∠B =180°， 求证：2AE =AB +AD ．CE BDA思维拓展题一：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．请证明：AB ：AC =BD ：CD ．BCA第9讲 角分线的一号模型—作垂线重难点易错点辨析过角分线上一点作垂线——最常用的辅助线 题一：如图，在△ABC 中，(1)PB 、PC 分别是△ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 ；(2)PB 、P A 为平分线，证明PC 也是平分线 ；(3)PC 、P A 为平分线，证明PB 也是平分线 .金题精讲题一：△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，连接AP 、CP ，若∠BPC =40°，求∠CAP 的度数．题二：如图，△ABC 中，∠ABC 、∠EAC 的角平分线PB 、 P A 交于点P ，下列结论： ①PC 平分∠ACF ； ②∠ABC +∠APC =180°；③若PM ⊥BE ，PN ⊥BC ，则AM +CN =AC ； ④∠BAC =2∠BPC . 其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③思维拓展在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )A.157B.125C.207D.215第10讲角分线的二号模型—对折重难点易错点辨析沿着角平分线对折——用翻折构造全等题一：已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.金题精讲题一：已知：如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.题二：在四边形ABCD中，AB+BC=CD＋DA，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD .第11讲角分线的三号模型—角分线的垂线重难点易错点辨析作角分线的垂线——构造等腰三角形题一：如图，AD平分∠EAB，且AD⊥BD，点D为CE的中点，求证：AB=AE+BC.金题精讲题一：如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.题二：已知在三角形中，连接任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，中位线的长度是第三边长度的一半，请结合中位线知识完成下列问题.(1)如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE=1()2AB BC AC++；(2)如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，(3)如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.思维拓展在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE=1()2AC AB-.第12讲角分线的四号模型—知二推一重难点易错点辨析知二推一——平行角分等腰题一：在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长.金题精讲题一：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ADC与∠BAD的角平分线分别交BC于E、F .(1)探究△ADG的形状并说明理由；(2)若AB=8，BC=12，问CF的长是多少？题二：已知，如图1，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过O 点作EF∥BC交AB、AC于点E、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF与BE、CF间有怎样的关系？②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF与BE、CF的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？思维拓展如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .第13讲轴对称重难点易错点辨析轴对称vs. 成轴对称两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等几类典型问题：坐标系中的轴对称、将军饮马、折叠问题、设计图案题一：下列选项正确的是( )A.轴对称图形和两个图形成轴对称的含义是一样的B.若两个图形全等，则它们一定关于某条直线对称C.两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等D.等腰三角形只有一条对称轴金题精讲题一：已知A(－4，1)，那么A点关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于直线y=－1的对称点的坐标是，关于直线x=1的对称点的坐标是.题二：(1)已知平面内有两点A(－1，3)、B(3，1)，x轴上有一点P满足P A+PB的值最小，请求出点P的坐标.(2)如图，某次折返跑比赛要求：参赛者从A点出发，先到直线m，再到直线n，然后前往终点B.请你在直线m、n上分别找到点P、Q，使得折返跑总路程最短.mn题三：如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE 折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为.C题四：某学校要在校园内一块正方形的园地上种植四种不同的植物，对该正方形的设计要求如下：(1)四种植物各自所占的图形必须全等；(2)最终图形必须为轴对称图形.某同学按照要求设计出了如下两种方案，请你再设计两种不同的种植方案.思维拓展题一：小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是从左至右第_____个.第14讲垂直平分线重难点易错点辨析垂直平分线的性质和判定题一：△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上.金题精讲题一：如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于()A．50°B．45°C．30°D．20°B C题二：在△AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，则△OP1P2是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形题三：△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G．求证：BF=CG．B题四：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，过点D作DG⊥EF于G．求证：EG=FG．B思维拓展题一：如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C ．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处B CA第15讲尺规作图—角分线和中垂线重难点易错点辨析已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法) .(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC 于点F .金题精讲题一：如图，已知△ABC(AB<BC)，用尺规在BC 上确定一点P，使P A+PC=BC，则下列四种不同方法的作图中准确的是( )题二：已知，∠AOB，点M、N.求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM =PN．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 题三：某市规划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹)思维拓展如图(1)所示，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.(1)在图(2)正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.(2)在图(3)四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留作图痕迹.(不需写出画法)第16讲 等腰三角形重难点易错点辨析等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定：等角对等边 题一：下列说法正确的是( ) A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角 金题精讲题一：已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．CB题二：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．题三：已知：如图，AB =AC ，CE ⊥BC ，BD ⊥BC .过点A 的直线DE 交BD 于D ，交CE 于E . 求证：AD =AE .B题四：如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ． B思维拓展题一：如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．OB第17讲 等边三角形重难点易错点辨析等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质：三边相等，3个60° 等边三角形的判定： 3边相等， 2个60°， 含有1个60°的等腰三角形题一：如图，△ABC 为等边三角形， ∠BAD =∠CBE =∠ACF ． (1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．B30°的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半题二：已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：AB=2BC.金题精讲题一：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.(1)若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．(2)若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.B题二：如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：AE=BD．题三：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．B题四：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．(1)请证明：OB=AD．(2)△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．B思维拓展题一：等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.第18讲轴对称综合重难点易错点辨析折叠的作用：转移边、角用几何变换的思路来思考问题，用全等的步骤来说明问题题一：求证：三角形中，大边对大角.金题精讲题一：在△ABC 中，AB >AC ，AD 是∠BAC 的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB －AC >PB －PC ．DBCA P题二：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是∠ABC 的平分线时，有AD +BC =AB ．CEAD题三：(1)如图，在△ABC 中，AB +BD =AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ．求证：∠B =2∠C ．BCA(2)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B =2∠C ．求证：AB +BD =CD ．DBAC思维拓展题一：如图，已知∠ABD =∠ACD =60°，且∠ADB =90°－12∠BDC ． 求证：△ABC 是等腰三角形．BAD第19讲 等比法求三角形面积重难点易错点辨析等比法求三角形面积－－－－底相同，面积比为高之比；高相同，面积比为底之比 题一：如图，平行四边形ABCD 中，E 在AC 上，AE =2EC ，F 在AB 上，BF =2AF ，如果△BEF 的面积为2cm 2，则平行四边形ABCD 的面积为( )cm 2.金题精讲题一：△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 边上的中点，且S △ABC =4cm 2， 则S △BEF 的值为( ).题二：如图所示，三角形ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则三角形PBC 的面积相等的长方形是( ).A. C.B. D .思维拓展如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF= .第20讲等积法求三角形面积重难点易错点辨析等积法求三角形面积－－－－找到平行线题一：如图，AB∥CD，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对金题精讲题一：如图，已知直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别互相平行，且S四边形ABCD =100，S四边形EFGH =20，则S四边形PQRS = .题二：在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图，得到了符合要求的直线AF．小明的作图步骤如下：第一步：连结AC；第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；第三步：取ED中点F，作直线AF.请你证明：直线AF即为所求．思维拓展三个正方形ABCD，BEFG，RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( )A. 14B. 16C. 18D. 20第21讲倍长中线重难点易错点辨析倍长中线－－－－－－将中线延长一倍，构造全等题一：C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC =∠E，求证：AD = BE.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF =EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC .金题精讲题一：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.思维拓展如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF=2AD.第22讲中垂线重难点易错点辨析中垂线－－－－－－连接中垂线上的点和线段端点题一：如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD .(1)求证：AB=AD ；(2)请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论.AD金题精讲题一：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0A2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n边形A0A1A2…A n－1与正n边形A0B1B2…B n－1重合(其中A1与B1重合)，现将正多边形A0B1B2…B n－1绕顶点A0逆时针旋转α(0°<α<°180n) ；(3)设nθ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出nθ的度数；(4)试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.思维拓展如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.第23讲截长补短重难点易错点辨析截长补短－－－－－－a+b=c题一：点M，N在等边三角形ABC的AB、AC边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．金题精讲题一：问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；思维拓展如图，已知：在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且A P、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP .第24讲运动中的全等重难点易错点辨析运动中的全等——变化的是量，不变的是关系题一：(1)操作发现：如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；(2)类比研究，如图2，在等边△ABC中，点M 是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.金题精讲题一：如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由.思维拓展如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P 和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q 沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC 相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．第25讲幂的运算重难点易错点辨析幂的运算题一：下列运算正确的是()A．3a2 －a2=3 B．(a2)3=a5C．a3•a6=a9D．(2a2)2=4a2同底数幂相除题二：若5x=9，5y=3，则5x－2y的算术平方根是多少？金题精讲题一：若2×8n×16n=222，则n是多少？如果y m－n•y3n+1=y13，且x m－1•x4－n=x6，求2m+n的值．已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值．题二：计算：(－2)2n+1+2•(－2)2n= ；－x2•(－x)3•(－x)2= ；x2•(－x)3•(－x)4= ．题三：利用幂的运算法则简便计算：33321(9)()()33-⨯-⨯23321[()](2)2⨯0.252013×42014×(－8)100×0.5300题四：人们以分贝为单位来表示声音的强弱．通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011．摩托车的声音强度是说话声音强度的倍．根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与地震级数n的关系为：E=10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是．。

目录第一讲三角形 (2)第二讲全等三角形的性质与判定 (7)第三讲角平分线的性质与判定 (14)第四讲轴对称及轴对称变换 (18)第五讲等腰三角形 (25)第六讲等边三角形 (32)第八讲幂的运算 (45)第九讲整式乘法 (50)第十讲：整式乘法公式讲义 (55)第十一讲整式除法讲义 (62)第十二讲因式分解及其应用 (66)第十三讲分式的概念•性质与运算 (71)第十四讲分式的化简求值与证明 (75)第十五讲分式方程及其应用 (81)人教版数学八年级上数学期末模拟试卷2份（含答案） (109)第一讲三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【变式题组】1．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.2．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC ＝1cm2，则S△ABC＝______________.D CF1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.(例4题图)【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.(第3题图)【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝______________.BC(第2题图)C(第3题图)(第2题图)B(第1题图)B1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.(第1题图)BC3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第3题图)C(例6题图)E D(第2题图)(第1题图)B(第1题图)M2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°) 3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第2题图)(第3题图)(第9题图)10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________.4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上 ，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上 ，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第10题图)(第11题图)(第13题图)E C(第12题图)BACDEF7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM.第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图AFECB DB （E ）OC F 图③DA【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF2．（湖州市竞赛试题），此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21 ABC P QEF D演练巩固·反馈提高1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对 7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________. 8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .DA C .Q P.BD B A C EFA EB F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号） 7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD ＝GE .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【变式题组】2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD【变式题组】第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④ 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图l 2第1题图第3题图第4题图第5题图C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90° D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB 边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。

全等三角形概念和性质_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________1、知识与能力：理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。

2、过程与方法：在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。

3、情感、态度与价值观：培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。

1.全等形（1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。

理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。

（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。

2.全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够________的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。

（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC ≌△DEF。

符号“≌”的含义：“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。

（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB ≌FDE,则AB 与__、AC 与__、BC 与__是对应边，∠A 和∠D 、∠B 和∠E 、∠C 和∠F 时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。

第23课 分式方程1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程步骤：(1)去分母： 将 抓化为(2)(3)3.増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。

4.列方程解应用题的基本步骤：【例1】解下列分式方程：(1)6272332+=++x x (2)2236111x x x +=+-- (3)163104245--+=--x x x x【例2】已知关于x 的方程323-=--x mx x 的解为正数，求m 的取值范围。

【例3】若关于x 的方程211333x x k x x x x ++-=--有增根,求增根和k 的值.【例4】解方程：1211)10)(9(1...)1(1)1(1=++++++-x x x x x x【例5】李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%,问应把多少水田改为菜地?【例6】某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.【例7】周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2:3．(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比．(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2 km ，试求山脚到山顶的路程．1.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) C.解这个整式方程,得x=1B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 D.原方程的解为x=12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）A.1%206060++=x xB.1%206060-+=x xC.1%2016060++=）（x xD.1%2016060-+=）（x x3.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是 （ ）A.a ＋bB.b a 11+ C.b a +1 D.b a ab + 4.解分式方程: (1)1132422x x +=-- (2)21212339x x x -=+-- (3))2)(1(311+-=--x x x x5.今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？1.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．52.已知122432+--=--+x B x A x x x ,其中A 、B 为常数，则4A-B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.53.若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+产生增根，则m 的值是（ ） A.－1或－2 B.－1或2 C.1或2 D.1或－24.若方程212x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_______ 5.若方程87178=----xx x 有增根，则增根是 6.若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = 7.已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为______ 8.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时．9.若方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围。

三角形认识初步第01课 与三角形有关的线段1.如图的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是 ，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示__________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.3.如图,以AB 为一边的三角形有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个4.如图,在图1中,互不重叠的三角形共有4个,在图2中,互不重叠的三角形共有7个,在图3中,互不重叠的三角形共有10个…，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有_______个（用含n 的代数式表示）.5.如图,图中三角形的个数共有（ ）A.1个B.2个C.3 个D.4个知识点三角形定义：组成的图形叫做三角形。

用符号“△”表示。

注意：三条线段必须 ① ② 组成三角形的线段叫做三角形的 ，相邻两边所组成的角叫做三角形的 ，简称角,相邻两边的公共端点是三角形的 。

注意：三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.三角形的分类(1)按角分类:三角形、 三角形、 三角形。

(2)按边分类:1.已知三角形三边长为连续整数,且周长为12cm,则它最短边长为( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm2.已知四组线段的长分别如下,以各组线段为边,能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，5，8C.3，4，5D.4，5，103.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A.3B.5C.7D.94.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm5.一个三角形的两条边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）A.14B.15C.16D.171.如图,在△ABC中,BC边上的高是________；在△AFC中,CF边上的高是________；在△ABE中,AB边上的高是_________.2.如图,△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高是_______,这三条高交于________.BD是△________、△________、△________的高.3.如图,在△ABC中EF//AC,BD⊥AC于D,交EF于G,则下面说话中错误的是（）A.BD是△ABC的高B.CD是△BCD的高C.EG是△ABD的高D.BG是△BEF的高4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定5.三角形的三条高的交点一定在（）A.三角形内部B.三角形的外部C.三角形的内部或外部D.以上答案都不对三角形三边不等关系公式：三角形的高线从三角形的一个向它的对边所在直线作，顶点和垂足之间的叫做三角形的高线，简称三角形的高.注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线.三角形的三条高，简称三角形的心。