北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷参考答案

第 1 页（共 4 页）海淀区2023-2024学年第二学期期末练习高一数学 参考答案及评分建议一、选择题：二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） （11）1i 1i（12）0（13）12（答案不唯一） 1 （14）（15）①②③两空题，第一空2分，第二空２分，15题对一个给1分，对两个给2分，都对给4分，有错的则给0分 三、解答题（共4小题，共40分） （16）（共９分）解：（Ⅰ）ππ11(0)sin(sin(16222f ……1分ππ()sin(sin()62f x x xππsin cos cos sin cos 66x x x……5分 ππsin cos cos sin66x xπsin(6x ……6分令ππ6x k，所以ππ6x k ． 所以()f x 的零点为ππ6x k，k Z ……7分第 2 页（共 4 页）（Ⅱ）因为 sin y x 的单调递增区间为ππ(2π,2π),22k k k Z所以πππ2π2π262k x k . ……8分 所以2ππ2π2π33k x k所以函数()f x 的单调递增区间为2ππ(2π,2π33k k k Z ……9分（17）（共９分）解：（Ⅰ）因为|2|a b (1)分……2分 ||||cos ,1a b a b a b ……4分所以 |2|a b……5分（Ⅱ）因为 ()AQ OQ OB ()()tOA OA tOA OB……7分22()(1)t t OA t OA OB22()(1)t t t2231t t ……8分23112()488t所以当34t时， ()AQ OQ OB 的最小值为18……9分（18）（共11分）解：（Ⅰ）因为cos 2cos 0A A所以22cos cos 10A A ……2分 所以(2cos 1)(cos 1)0A A ,所以1cos ,2A cos 1,A ……3分因为(0,π)A ，所以cos 1A 舍所以1πcos ,23A A ……4分第 3 页（共 4 页）（Ⅱ）选择①因为π3A，由正弦定理sin sin c aC A……6分, 得5c ……7分 法一：由余弦定理2222cos a b c bc A ……9分 代入得 214925252b b所以(8)(5)0b b所以8b 或 5b （舍），所以AC 边最长， ……10分 AC边上的高线sin h c A……11分 法二：因为5c ，7a ，所以C A ， ……9分 所以π3C，所以π3B ，所以b 为最长边 ……10分 AC边上的高线sin h c A……11分 选择②因为1sin 2S bc A ……6分所以40bc ……7分 因为π3A，由余弦定理2222cos a b c bc A ……9分 所以 22224940b c bc b c 所以 85b c 或 58b c所以最长边上的高线25sin h A……11分第 4 页（共 4 页）（19）解：（Ⅰ）(1,2,3)是2阶可等向量．例如经过两次变换2 可得：3111(1,2,3)(2,3,3)(2,2,2)i x i x ，，……2分（Ⅱ） 设1234(,,,)a a a a 进行一次变换2 后得1234(,,,)a a a a ， 当0i 时，12341234(,,,)(,,,)a a a a a x a x a a 当1i 时，12341234(,,,)(,,,)a a a a a a x a x a 当2i 时，12341234(,,,)(,,,)a a a a a a a x a x 当3i 时，12341234(,,,)(,,,)a a a a a x a a a x 综上，我们得到132413241324()()()()()()a a a a a a x a a x a a a a ． 因为1234(,,,)a a a a 是2阶可等向量，即1234t t t t 所以13241324()()()()0a a a a t t t t ． 所以132413241234522a a a a a a a a……6分（Ⅲ）任取(1,2,,7) 的一个排序，记为127(,,,)b b b b ．注意到，12(,,,)n a a a 是k 阶可等向量，等价于12(,,,)n a y a y a y 是k 阶可等向量．变换5 即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上x ， 相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上x ．对234567,,,b b b b b b ；；依次加上x ，相当于对1b 单独加上x ； 对345671,,,b b b b b b ；；依次加上x ，相当于对2b 单独加上x ； ……基于上述分析，相当于可以对127,,,b b b 分别单独加上127,,,b b b ． 所以b 为5阶可等向量，(1,2,,7) 为5阶强可等向量． ……11分。

2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一、选选题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．复数i •（3+i ）的虚部是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知向量a →=（﹣1，1），则下列向量中与a →平行的单位向量是（ ） A ．(√22，−√22) B ．(√22，√22)C ．（1，﹣1）D ．（1，1）3．若tanα=−512，cos α＞0，则sin α＝（ ） A ．1213B ．513C ．−1213D ．−5134．已知tan(α−π4)=2，则tan α的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣3D ．﹣15．下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x6．已知向量a →=(1，√3)，向量b →为单位向量，且a →⋅b →=1，则|2b →−a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．37．函数f(x)=sinx +sin(x +π2)的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．28．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知|AB →|=1，|AC →|=2，AD →⋅AC →=4，则|BD →|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李凤岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y （米）与时间t （秒）的关系近似满足y ＝sin （ωt +φ），t ∈[0，8]，其中常数ω＞0，|φ|＜π．经测定，在t ＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t ＝8秒时该质点第三次到达波峰．在t ∈[0，8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（ ） A ．32秒B ．2秒C ．52秒D ．3秒二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥．则集合A B = （）A ．{}|2x x <B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x ≤<3D ．{}|2x x ≥【正确答案】C【分析】已知集合A 、集合B ，由集合的基本运算，直接求解A B ⋂.【详解】集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥，则集合{}|23A B x x =≤< .故选：C2．命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝是（）A ．1,(1)0x x x ∀>-≤B ．()1,10x x x ∀≤->C ．()000110x x x ∃≤->，D ．0001,(1)0x x x ∃>-≤【正确答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝.0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D3．下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上是增函数的是（）A ．()f x x x=B ．()1f x x x =+C ．()ln f x x=D ．()2x f x =【正确答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当()0,x ∞∈+时，()2f x x =，在()0,∞+上单调递增，A 选项正确；对B ，函数()1f x x x =+，1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足在()0,∞+上是增函数，B 选项错误；对C ，函数()ln f x x =，定义域为()0,∞+，不是奇函数，C 选项错误；对D ，函数()2x f x =，定义域为R ，值域为()0,∞+，函数图象在x 轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D 选项错误.故选：A4．已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列式子中正确的是（）A ．b a c b->-B ．2a bc <C ．22b a --<D ．||||a b c b <【正确答案】C【分析】ABD 错误的选项可以取特殊值进行判断，C 选项可以利用指数函数的性质判断.【详解】对于A 选项，例如1,1,20a b c =-==，则2,19b a c b -=-=，不满足b a c b ->-，A 选项错误；对于B 选项，例如5,1,2a b c =-==，225a =，2bc =，不满足2a bc <，B 选项错误；对于C 选项，由0a b c <<<可知，b a -<-，结合指数函数2x y =在R 上递增可知，22b a --<，C 选项正确；对于D 选项，例如5,1,2a b c =-==，||5a b =，||2c b =，不满足||||a b c b <，D 选项错误.故选：C5．已知0.20.233,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a >>【正确答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，0.20331a =>=，0.20.2log 3log 10b =<=，3log 2c =，由3330log 1log 2log 31=<<=，则01c <<，所以a c b >>，故选∶B ．6．若角α的终边与单位圆交于点01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列三角函数值恒为正的是（）A ．cos tan ααB ．sin cos ααC ．sin tan ααD ．tan α【正确答案】A 【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.【详解】由题意得：1sin 3α=，0cos 3x α===±，A 选项，sin 1cos tan cos sin 0cos 3αααααα=⋅==>，B 选项，01sin cos 3x αα=可能正，可能负，不确定；C 选项，20sin 1sin tan cos 9x αααα==可能正，可能负，不确定；D选项，sin tan cos 4ααα==±，错误.故选：A7．函数()ln 3f x x x =-在下列区间内一定存在零点的是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【正确答案】B【分析】构建新函数()3ln g x x x=-，根据单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】令()ln 30f x x x =-=，则3ln 0x x -=，构建()3ln g x x x =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()()32ln 20,3ln 3102g f =-<=->，∴()g x 在()0,∞+内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是()2,3，故函数()ln 3f x x x =-一定存在零点的区间是()2,3.故选：B.8．已知函数()f x 定义域为D ，那么“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 图象关于y 轴对称，则x D ∀∈，则x D -∈，且()()=f x f x -，所以1x D ∀∈，都存在21x x D =-∈，使得满足11()()f x f x =-，即12()()f x f x =成立，故充分性成立；若函数()1f x x =-，其定义域为R ，满足1x ∀∈R ，都存在212R x x =-∈，使得221111()12111()f x x x x x f x =-=--=-=-=成立，但是函数()f x 的图象不关于y 轴对称，故必要性不成立；故“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的充分不必要条件.故选：A.9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到13毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（）A ．0.4hB ．0.5hC ．0.7hD ．1h【正确答案】C【分析】根据函数图象经过点()0.2,1，求出a 的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.【详解】由题意知，点()0.2,1在函数19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象上，所以0.2119a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.2a =，所以0.219x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由0.21193x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得20.41133x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以20.41x ->，解得0.7x >，所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.7小时.故选：C.10．已知三角形ABC 是边长为2的等边三角形．如图，将三角形ABC 的顶点A 与原点重合．AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是8π3；④完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是8π3．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①③【正确答案】D 【分析】依题意将ABC 沿着x 轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点A 轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.【详解】如上图，ABC 沿着x 轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：第一步，ABC 绕点B 顺时针旋转至线段BC 落到x 轴上11B C 位置，得到111A B C △，此时顶点A 的轨迹是以B 为圆心，AB 为半径的一段圆弧，即顶点A 由原点O 沿 1AA 运动至1A 位置；第二步，111A B C △绕点1C 顺时针旋转至线段11C A 落到x 轴上22C A 位置，得到222A B C △，此时顶点A 的轨迹是以1C 为圆心，11C A 为半径的一段圆弧，即顶点A 由1A 沿 12A A 运动至2A 位置，落到x 轴，完成一个周期.对于①，∵11222AB B C C A ===，∴一个周期26AA =，故①正确；对于②，如图所示，完成一个周期，顶点A 的轨迹是 1AA 和12A A 组成的曲线，不是半圆，故②错误；对于③，由已知，111111π3A B C A C B ∠=∠=，∴11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴ 1AA 的弧长114π3l A BA BC =∠⋅=， 12A A 的弧长2112114π3l A C A C A =∠⋅=，∴完成一个周期，顶点A 的轨迹长度为4π4π8π333+=，故③正确；对于④，如图，完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的图形为扇形1BAA ，扇形112C A A 与111A B C △的面积和，∵11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴1112212π4π2233BAA C A A S S ==⨯⨯=扇形扇形，∵等边ABC 边长为2，∴111A B C S =∴完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是4π4π8π333++=+，故④错误.∴正确的说法为：①③.故选：D.方法点睛：分步解决点A 轨迹，第一步是ABC 绕点B 滚动得到111A B C △，第二步是111A B C △绕点1C 滚动得到222A B C △，再将两步得到的点A 轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确.二、填空题11．4sin 3π=______.【正确答案】【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】4sinsin sin 333ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故本题主要考查诱导公式，属基础题.12．函数()f x =___________．【正确答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩，解得1e x ≥，即函数定义域为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13．函数()21f x x x =-+在区间[0，3]上的值域是___________．【正确答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】2213()1()24f x x x x =-+=-+，所以()f x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，13(24f =，(0)1f =，(3)7f =，所以()f x 值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数()()2log 1f x x =+，若()f x x >，则x 的范围是___________．【正确答案】()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数()2log 1y x =+和函数y x =的图像，如图所示，两个函数的图像相交于点()0,0和()1,1，当且仅当()0,1x ∈时，()2log 1y x =+的图像在y x =的图像的上方，即不等式()>f x x 的解集为()0,1.故()0,115．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，角α终边与单位圆相交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将角α终边顺时针旋转π后与角β终边重合，那么cos β=___________．【正确答案】35-##-0.6【分析】先根据三角函数的定义算出cos α，然后根据,αβ的关系结合诱导公式计算cos β.【详解】根据三角函数的定义，3cos 5α=，由题意，πβα=-，于是()3cos cos πcos 5βαα=-=-=-.故35-16．已知某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．设年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），那么f （Q ）的最小值是___________．【正确答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q 时的平均成本为()1600040C f Q Q Q Q==+，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．所以年产量为Q 时的平均成本为()16000401600C f Q Q Q Q ==+≥，当且仅当1600040Q Q=，即20Q =时，()f Q 取得最小值，最小值为1600，故1600三、双空题17．已知函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数．（1）当3a =时，如果方程()0f x k -=有两个不同的解，那么k 的取值范围是___________；（2）若()f x 有最大值，则a 的取值范围是___________．【正确答案】()1,7-[]0,3【分析】（1）通过讨论21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性得出函数()f x 在3a =时的单调性，将方程()0f x k -=有两个不同的解转化为函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点的问题，即可得出k 的取值范围.（2）根据（1）中得出的21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性，分类讨论a 不同情况时()f x 图象的情况，即可得出a 的取值范围.【详解】解（1）由题意，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，2163y x x =-+，对称轴()16832213b x a =-=-=⨯-，∴函数在83x =处取最大值，为28168643339y ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，函数在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数中，当3a =时，()21,316,33x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，函数在(),3∞-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减，当3x <时，3()21(3)217x f x f =-<=-=，∵()211x f x =->-，∴当3x <时，()17f x -<<，当3x ≥时，()()221616333733f x x x f =-+≤=-+⨯=，∴函数在3x =处取最大值7，∵方程()0f x k -=有两个不同的解，即()f x k =有两个不同的解，∴函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点，∴17k -<<，∴k 的取值范围为()1,7-，（2）由题意及（1）得，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，对称轴83x =，在83x =处取最大值649，且在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数∵()f x 有最大值，∴21x y =-在x a =的值要不大于16()3y x x =--在x a =的值，当a<0时，21x y =-图象在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上方，显然21x y =-在x a =的值要大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，不符题意，舍去当0a ≥时，由（1）知，当03a ≤≤时21x y =-在x a =的值不大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，综上，03a ≤≤.故()1,7-；[]0,3.思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.四、解答题18．已知3cos 5α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin α，tan α；(2)求()()cos 3ππsin tan π2ααα+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)4sin 5α=，4tan 3α=-.(2)34-【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.【详解】（1）222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0α>，∴4sin 5α=，∴sin tan s 43co ααα==-.（2）原式()()()()cos 3πcos cos πsin cos tan sin tan πcos 2cos απααααααααα++-===⋅-⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 3sin 4αα==-.19．已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数()f x 在区间()1,3-上单调，求实数m 的取值范围；(2)解不等式()21f x x <+．【正确答案】(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数m 的取值区间；（2）由题化简不等式()21f x x <+，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.【详解】（1）函数()221f x x mx m =+-+的对称轴2m x =-，函数()f x 在区间()1,3-上单调依题意得12m -≤-或32m -≥，解得2m ≥或6m ≤-，所以实数m 的取值范围为(][),62,∞-∞-⋃+.（2）由()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为2,m -，当2m =-，即2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-，即2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-，即2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，综上，当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，20．给定函数22()11x f x x =-+．(1)求函数()f x 的零点；(2)证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；(3)若当,()0x ∈+∞时，函数()f x 的图象总在函数()3g x ax =-图象的上方，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1x =，12x =-；(2)见解析；(3)(,2]-∞.【分析】(1)令()0f x =求解即可；(2)根据函数单调性的定义证明即可；(3)由题意可得221x a x x <++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22(),01x h x x x x=+>+，利用函数的单调性的定义可得()h x 在(0,)+∞上单调递减，且有()2h x >，即可得a 的取值范围.【详解】（1）解：因为22()11x f x x =-+，所以1x ≠-，令22()101x f x x =-=+，则有221x x =+，即2210x x --=，解得1x =或12x =-；（2）证明：任取1212,(0,),x x x x ∈+∞<，则222212122112121212121212222(1)2(1)2()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==++++++,因为120x x <<，所以121212122()()0(1)(1)x x x x x x x x -++<++，即1212()()0()()f x f x f x f x -<⇔<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）解：由题意可得22131x ax x ->-+在,()0x ∈+∞上恒成立，即221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22222()22,011(1)x h x x x x x x x x =+=-+=+>+++，因为0x >，22022(1)x x +>+=+，当x 趋于+∞时，2(1)x x +趋于0，22(1)x x ++趋于2，所以()()2,(0)h x x ∈+∞>，，所以由221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立可得2a ≤，故a 的取值范围为(,2]-∞.21．如图，四边形OABC 是高为2的等腰梯形．//,4,2OA BC OA CB ==(1)求两条腰OC ，AB 所在直线方程；(2)记等腰梯形OABC 位于直线(04)x m m =<≤左侧的图形的面积为()f m ．①当12m =时，求图形面积()f m 的值；②试求函数()y f m =的解析式，并画出函数()y f m =的图象．【正确答案】(1)腰OC所在直线方程为y =，腰AB所在直线方程为y =+；(2)①()f m =，②()22,0134m f m m m <≤⎪=-<≤-+<≤⎪⎩，图象见解析.【分析】(1)由已知，解三角形求点,,,O A B C 的坐标，利用待定系数法求其方程；(2)①解三角形结合三角形面积公式求01m <≤时()f m 的解析式，由此求12m =时，()f m 的值；②分别在条件01m <≤，13m <≤，34m <≤下求()f m ，由此可得函数()y f m =的解析式，作出函数()y f m =的图象．【详解】（1）过点C 作CE OA ⊥，垂足为E ，过点B 作BF OA ⊥，垂足为F ，又//OA BC ，2BC =，所以四边形BCEF 为矩形，且2EF =，因为四边形OABC 为等腰梯形，4,2OA OC AB ===，所以1OE AF ==，CE BF =所以()((()0,0,,3,,4,0O C B A ，设直线OC 的方程为y kx =1k =⨯，所以k =所以腰OC所在直线方程为y =，设直线AB 的方程为y sx t =+，则304s t s t =+=+⎪⎩，所以s t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以腰AB所在直线方程为y =+，（2）①当01m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,M N ，则//MN CE ，所以~OMN OEC ，所以MN OM CE OE=，又,1OM m CE OE ===，所以MN =，所以()212OMN f m S m ==⨯=故当12m =时，()f m =，②由①知，当01m <≤时，()2f m =，当13m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,G H ，则//GH CE ，由已知四边形CEGH 为矩形，所以()(1OCE CEGH f m S S m m =++- ，当34m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,K L ，则//KL BF ，所以~AKL AFB ，所以KL AK FB AF=，又4,1AK m BF AF =-==，所以)4MN m =-，所以()(()()22414422OABC AKL f m S S m m +=-=---=+- ，所以()22,01,134m f m m m <≤⎪=<≤-+<≤⎪⎩，作函数()y f m =的图象可得22．设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-∈，且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【正确答案】(1){}2,3,5B =；(2)4；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.【详解】（1）因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，所以{}2,3,5B =；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<----，所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，所以生成集B 中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，所以16d a -=，若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -≠，若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -≠，所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --∈，所以18d b c a -+-=不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =+-<，{}13B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．()3,3-B ．()2,3-C ．()1,5-D ．()5,3-【正确答案】A 【分析】求出集合A ，根据并集的运算即可求出结果.【详解】解260x x +-<可得，32x -<<，所以{}|32A x x =-<<，所以{}{}{}|3213|33A B x x x x x x ⋃=-<<⋃-<<=-<<.故选：A.2．已知命题2:5,210p x x x ∃>-+>，则p ⌝为（）A ．25,210x x x ∀≤-+≤B ．25,210x x x ∀>-+≤C ．25,210x x x ∃>-+≤D ．25,210x x x ∃≤-+>【正确答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.【详解】命题2:5,210p x x x ∃>-+>的否定p ⌝为：25,210x x x ∀>-+≤，故选：B.3．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3x f x =C ．()3f x x =D ．()21f x x =【正确答案】A 【分析】根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，A 满足单调性和奇偶性，得到答案.【详解】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3x f x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A4．不等式2311x x +≥-的解集为（）A ．312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或B ．{}4x x ≥C ．{}4x x ≤-D ．{14}x x x >≤-或【正确答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】2311x x +≥-，即23410,011x x x x ++-≥≥--，等价于()()41010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x >或4x ≤-；故选：D.5．已知函数()21log f x x x =-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B6．已知a ＝0.63，b ＝30.6，c ＝log 30.6，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a ＜1，而b ＝30.6＞30＝1，c ＝log 30.6＜log 31＝0，所以c ＜a ＜b ．故选：C7．已知实数,a b ，若a b <，则下列结论正确的是（）A ．11a b>B ．22a b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．()ln 0b a ->【正确答案】C【分析】对ABD 选项采用取特殊值验证即可，对于C ，首先构造指数函数，利用单调性即可.【详解】因为a b <，则对于A ，取1a =-，1b =，则11a b <，A 错误；对于B ，取1a =-，1b =，此时22a b =，故B 错误；对于C ，构造指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 单调递减，因为a b <，所以有()()f a f b >，即1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，取13a =、12b =，则()111ln ln ln 0236b a ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C8．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（）A ．84.5B ．85C ．85.5D ．86【正确答案】D【分析】按照求解百分位数的流程，先计算出100.757.5⨯=，然后由小到大排序，选取第8个数作为第75百分位数.【详解】100.757.5⨯=，故从小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125取第8个数作为第75百分位数，第8个数是86故选：D9．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A ．18B ．20C ．22D ．30【正确答案】B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：550:500:45011:10:9=，所以抽取的高二年级学生人数为10602011109⨯=++.故选：B10．物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算:010Ilg Iη=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度)，一般声音在30分贝左右时不会影响正常的生活和休息，超过50分贝就会影响睡眠和休息;70分贝以上会造成心烦意乱，精神不集中，影响工作效率，甚至发生事故;长期生活在90分贝以上的噪声环境，就会得“噪音病”，汽车的噪声可以达到100分贝，为了降低噪声对周围环境的影响，某高速公路上安装了隔音围挡护栏板，可以把噪声从75分贝降低到50分贝，则50dB 声音的声波强度是75dB 声音的声波强度的（）A ．5210-倍B ．3210-倍C ．2310-倍D ．2510-倍【正确答案】A首先根据题意得到10010I I η=，再代入公式计算即可.【详解】因为010IlgI η=，所以10010I I η=.所以50510027510010=1010I I -倍.故选：A二、填空题11．函数()()lg 32f x x =-的定义域为_____．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】由题意，可知20320x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为[)2,+∞．故[)2,+∞．12．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．【正确答案】140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.020.10) 2.50.71+⨯-=,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，故140.13．若“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】[)1,+∞【分析】结合充分不必要条件即可求出结果.【详解】因为0x a -≤，即x a ≤，由于“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则11x x a -<<⇒≤，但11x -<<不能推出x a ≤，所以1a ≥，故答案为.[)1,+∞三、双空题14．函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过的定点坐标为___________，值域为_____________．【正确答案】()2,1--()2,-+∞【分析】根据010a a =≠（），求出对应的,x y 的值得到定点坐标，再由指数函数值域得所求值域.【详解】令20x +=，解得：2x =-，此时121y =-=-，故函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过定点()2,1--.指数函数(0,1)x y a a a =>≠的值域为()0,∞+，函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图像，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图像向左平移两个单位，再向下平移两个单位，所以函数22(0,1)x y a a a +=->≠的值域为()2,-+∞.故()2,1--；()2,-+∞.15．已知函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩，则函数()f x 最小值为_______________；如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是__________________．【正确答案】12##0.5()ln 2,+∞【分析】空1利用函数单调性求函数()f x 最小值，空2作函数()f x 与y k =的图像，从而利用数形结合求解．【详解】1()f x x =在区间(]0,2上单调递减，当02x <≤时，1()2f x ≥；()ln f x x =在区间()2,+∞上单调递增，当2x >时，()ln 2f x >，1ln 22≤，∴函数()f x 最小值为12.作出函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩与y k =的图像如下，∴结合图像可知，方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围()ln 2,+∞四、解答题16．计算下列各式的值：(1)()212342716e 1+-+-；(2)2lg8lg 2lg 25log 8-+-.【正确答案】(1)13(2)1-【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由对数的运算性质求解即可【详解】（1）()212342716e 1+-+-()()2134343521=+-+952113=+-+=；（2）2lg8lg 2lg 25log 8-+-3lg 2lg 22lg 53=-+-()2lg 2lg53=+-231=-=-17．已知甲乙两人的投篮命中率分别为0.80.7，，如果这两人每人投篮一次，求：（1）两人都命中的概率；（2）两人中恰有一人命中的概率.【正确答案】（1）0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.【详解】记事件A ，B 分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则()0.8,()0.7P A P B ==.（1）“两人都命中”为事件AB ，由于A ，B 相互独立，所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=，即两人都命中的概率为0.56.（2）由于AB AB +互斥且A ，B 相互独立，所以恰有1人命中的概率为()P AB AB +0.8(10.7)(10.8)0.70.38=⨯-+-⨯=.即恰有一人命中的概率为0.38.关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.18．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）【正确答案】（Ⅰ）6.5小时（Ⅱ）35（Ⅲ）2212s s >（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出2212s s >【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为53687682911306.53862120⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有3人，记为,,a b c ，女生有2人，记为,A B 从中任选2人的所有情况为{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B ，{,},{,},{,}b c b A b B ，{,},{,},{,}c A c B A B ，共10种，其中选到男生和女生各1人的共有6种故选到男生和女生各1人的概率63105P ==（Ⅲ）2212s s >关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.19．已知函数()212xf x a =++是定义在R 上的奇函数.(1)求f （x ）的解析式及值域：(2)判断f （x ）在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明.(3)若()3f m -不大于f （1），直接写出实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()2112xf x =-+，()1,1-(2)单调递减，证明见解析(3)(][),44,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据定义在R 上的奇函数()00f =列方程，解方程得到1a =-，即可得到解析式，然后根据20x >和反比例函数的单调性求值域即可；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性解不等式即可.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()020012f a =+=+，解得1a =-，所以()2112xf x =-+，因为121x +>，所以20212x<<+，211112-<-<+x ，所以()f x 的值域为()1,1-.（2）()f x 在R 上单调递减，设12x x >，则()()()()()21121212222221112121212x x x x x x f x f x --=--+=++++，因为12x x >，所以21220x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递减.（3）(][),44,m ∈-∞-+∞ .20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池板面积x （单位：平方米）之间的函数关系为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（m 为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m 的值；(2)写出()F x 的解析式；(3)当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】(1)80(2)()7.5160,0108000.5,10x x F x x x x-+≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩(3)40；40【分析】（1）根据题意可知5x =时，()12C x =，代入即可求得m 的值；（2）根据题意可知()()100.5F x C x x =+，由此化简可得；（3）分段讨论()F x 的最小值，从而得到()F x 的最小值及x 的值.【详解】（1）依题意得，当5x =时，()12C x =，因为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以当010x ≤≤时，()45m x C x -=，所以45125m -⨯=，解得80m =，故m 的值为80.（2）依题意可知()()100.5F x C x x =+，又由（1）得，()804,010580,10xx C x x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以()8047.5160,010100.5,0105800800.5,10100.5,10x x x x x F x x x x x x x -⎧-+≤≤⨯+≤≤⎧⎪⎪⎪==⎨⎨+>⎪⎪⨯+>⎩⎪⎩.（3）当010x ≤≤时，()7.5160F x x =-+，显然()F x 在[]0,10上单调递减，所以()()min 1085F x F ==；当10x >时，()8000.540F x x x =+≥=，当且仅当8000.5x x=，即40x =时，等号成立，故()min 40F x =；综上：()min 40F x =，此时40x =，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值，最小值是40万元.。

北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数 学2020.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =−<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}−,, （2）不等式|1|2x −≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x −≤≤D. {|33}x x −≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是( )A. 1y x=B.2x y =C.y =D.ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 ( ) A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( ) A.(3,1)− B. (0,1) C. (]3,0− D. (0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)−，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x −<的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =−，则点B 的坐标为_________,CB 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=−的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =−，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人. 基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =−−.（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB =+.（Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .(18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (参考数据:41.2 2.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1图2图附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度δ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度δ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑;②1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =−，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度δ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）北京市海淀区2109-2020学年高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1,)−∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636−=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A == ..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =−−≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =−−开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =−−≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分 (Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=−>⎪⎩， ..........8分解得3a <−，所以a 的取值范围是{|3}a a <−. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+−=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =−=−，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =−=−， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =−，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =−∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =−=−<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分(Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k −+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T−=+>−即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=−，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=−=−，，由111()()k k f f T TT −=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +−=−=−∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=−<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。

2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二）（答案在最后）命题人班级姓名本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，O A''=，所以O B''=，还原回原图形后，因为2=''=，2OA O A2=''=OB O B，AB==，所以6⨯+=．所以原图形的周长为2(26)16故选：C.2.下列说法不正确的是（）A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A 正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B 正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C 正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D 错误.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4.已知点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则（）A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则l 与平面α至少有一个公共点，所以l A α=I 或l ⊂α．故选：D ．5.若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b c ，则直线a 与c （）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ，b c ，∴a ⊥c .故选：B.6.给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直，由垂直的定义知，直线l 垂直于α平面内无数条直线；但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时，直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.已知,αβ是平面，m 、n 是直线，则下列命题正确的是（）A .若//,m m n α^，则//n α B.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD.若//,//m n αα，则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^，则//n α或n ⊂α或n 与α相交，A 错误；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，B 正确；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误；若//,//m n αα，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，D 错误.故选：B.8.如图，三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且11113AA A C C C ===，平面11AA C C ⊥平面ABC ，则棱1BB =（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图，取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，因为113AA C C ==，所以MN AC ⊥，且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ，又因为BN ⊂平面ABC ，所以MN BN ⊥，又因为在三棱台111ABC A B C -中，1//MB NB ，所以四边形1MNBB 为直角梯形，因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =，所以在直角三角形1BPB 中，12BB ===,故选:A.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =-- ，若它们夹角为θ，则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos (0,]6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，cos (0,2θ∈；所以πcos 62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）10.如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P∥平面A 1BC 1；②D 1P⊥BD；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D 1A ∥BC 1，D 1C ∥BA 1，且D 1A∩DC 1=D 1，∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1；∵P 在面对角线AC 上运动，∴D 1P∥平面A 1BC 1；∴①正确．②当P 位于AC 的中点时，D 1P⊥BD 不成立，∴②错误；③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1；∴A 1C 1⊥B 1D，同理A 1B ⊥B 1D ，∴B 1D⊥平面A 1BC 1，∴平面BDD 1B⊥面ACD 1，∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；∴③正确．④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积，△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1，B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值，∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变，∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为36π；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60︒；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________．【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，圆锥的侧面积为π3πrl l =，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则2π9πl l =，所以圆锥的母线长为9l =，故①正确；圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=，故②正确；圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为rad α，则6π9α=，解得2π3α=，即120α=︒，故③错误；圆锥的高h ===，所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=，故④错误．故答案为：①②．三、解答题12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点.（1）证明：//PQ 平面AB C ；（2）证明：平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】（1）证明：取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，因为P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点，所以1PD AA ∥且112PD AA =，又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以1CQ AA ∥，112CQ AA =，所以PD CQ ∥且PD CQ =，所以PDCQ 为平行四边形，所以PQ CD ∥，又因为PQ ⊂/平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC （①定理）.（2）证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，1AA AB A = ，1AA ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （②定理）.又CD PQ ∥，所以PQ ⊥平面11ABB A ，又PQ ⊂平面1A BQ ，AA B B（③定理）.所以平面1A BQ 平面11【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。

一、单选题1．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限. sin100,cos 0()20P ︒︒A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.0cos 200< 【详解】， ()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-< ∴点位于第四象限．()sin100,cos 200P ︒︒故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2．在中，“是“”的( )ABC A sin A 4A π=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．【详解】在中，或，ABC A sin A =4A π=34π∴在中，“是“”的必要不充分条件，ABC A sin A =4A π=故选：B ．3．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） πA ．B ． πcos 2()2y x =+sin y x =C ． D ．tan y x =cos3y x =【答案】B【分析】化简并判断的奇偶性，判断A ；利用图像可判断B ；根据函数奇偶性判断πcos 2(2y x =+C ；根据函数的最小正周期可判断D.【详解】对于A ，为奇函数，不符合题意；πcos(2sin 22y x x =+=-对于B ，作出的图象如图：sin y x =可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意； sin y x =π对于C ，为奇函数，不符合题意； tan y x =对于D ，的最小正周期为，不符合题意， cos3y x =2π3故选：B4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ） 53πA ．4B ．1CD ．2【答案】D【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解. 212S R α=⋅【详解】圆心角为，设扇形的半径为， 51506πα==R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯解得. 2R =故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.5．已知，则的值为（ ）1tan 3α=-2cos sin cos ααα-+A ． B ．C ．D ．3-34-43-34【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，1tan 3α=-得. 2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++故选：A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题. 6．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）()sin 2f x x =6π()g x A ．B ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，()sin 2f x x =6π可得.()sin 2()sin(263g x x x ππ=-=-故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7．已知向量，，，则向量与的夹角为（）2a = 1b = 2a b -= a bA ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.2a b -= a b ⋅【详解】由题意向量，，，2a = 1b =2a b -= 则，即， 2212a b -= 224412a b a b +-⋅=所以，44412,1a b a b +-⋅=∴⋅=-故，而， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅0,180a b ≤≤故，,120a b 〈〉=故选：C8．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最8m12min 2m 低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系P ()h m ()min t 是A ．B ．8cos106h t π=+8cos103h t π=-+C ．D ．8sin 106h t π=-+8cos106h t π=-+【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点h T A B ω代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.()0,2ϕh t 【详解】由题意可得，，，，，max 18h =min 2h =12T =max min 82h h A -∴==max min 102h hB +==，，当时，，得， 26T ππω==8sin 106t h πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 8sin 102ϕ+=sin 1ϕ=-，可取，所以，故选D.sin 1ϕ=-2πϕ=-8sin 108cos 10626h t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下： ()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>（1）求、：，；A b ()()max min2f x f x A -=()()max min2f x f x b +=（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出； ωT 2Tπω=（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.ϕϕ9．在中， ，，为线段的三等分点，则ABC A AB AC AB AC +=-4, 2AB AC =＝, E F BC ＝( ) AE AF ⋅A ．B ． 1094C ．D ．409569【答案】C【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的AB AC AE AF AE AF ⋅值．【详解】中，||＝||， ABC A AB AC + AB AC -∴22， 2AB +AB ⋅22AC AC AB +=- AB ⋅2AC AC + ∴0，AB ⋅AC =∴⊥，AB AC 建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A （0，0），B （0，4），C （2，0），E （，），F （，），23834343∴（，），（，），AE = 2383AF = 4343∴+．AE 2433AF ⋅=⨯3398440⨯=故选：C10．已知动点，，O 为坐标原点，则当时，下列说法正确()111,cos P x x ()222,cos P x x 1211x x -≤≤≤的是（ ）A ．有最小值1B ．有最小值，且最小值小于11OP 1OPC ．恒成立D ．存在，使得120OP OP ⋅≥1x 2x 122OP OP ⋅≥【答案】A【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.【详解】由题意知，当时， 1211x x -≤≤≤()22222111111cos 1sin OP f x x x x x ==+=+- ，()()11111sin sin x x x x =++-因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可， ()1f x 101x ≤≤又因为，所以，11sin 0x x ≥≥()()()111111sin sin 1f x x x x x =++-≥即有最小值1，所以A 正确，B 错误； 1OP 又因为，121212cos cos OP OP x x x x ⋅=+当时，，所以C 错误； 12ππ,22x x =-=2212ππππcos cos 04224OP OP ⎛⎫⋅=-+-=-< ⎪⎝⎭ 又因为，，但与不可能同时为，121x x ≤12cos cos 1x x ≤2x 2cos x 1而，所以，所以D 错误； 1211x x -≤≤≤121212cos cos 2OP OP x x x x ⋅=+<故选:A二、填空题11．______． sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=【答案】/0.5 12【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．【详解】， 1sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故答案为：．1212．已知角的终边与单位圆交于点，则________．α3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin tan αα⋅【答案】1615-【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果. 21625y =【详解】由题意可得，，则，22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭21625y =由三角函数的定义可得. 216sin tan 331555y y y αα⋅=⋅==-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 1615-13．若实数，满足方程组，则的一个值是________．αβ1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩β【答案】（答案不唯一） π3【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案. 1cos 2β=【详解】由可得，1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩cos cos 1sin sin αβαβ=-⎧⎨=⎩故，即得， 2222sin cos sin (cos 1)1ααββ+=+-=1cos 2β=故的一个值可以取， βπ3故答案为：（答案不唯一） π314．已知，，，则________304παβ∈，（，）3sin()5αβ+=-12sin()413πβ-=cos()4πα-=【答案】3365【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭正弦公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，304παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，302παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，442πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又，，所以，，()3sin 5αβ+=-12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭32，παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭042ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以，，所以()4cos 5αβ+=-5cos 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()3541cos sin sin cos cos sin 4444451351sin πππππαααββαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+--=+--+-=-⨯--⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为3365【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.三、双空题15．已知函数，任取，定义集合： ()πsin2x f x =t ∈R，点，满足(){t A y y f x ==()(),P t f t ()(),Q x f x PQ ≤设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则 t M t m t A ()t t h t M m =-（1）函数的最大值是______； ()h t （2）函数的单调递增区间为______． ()h t 【答案】2()21,2k k k Z -∈，【解析】作出函数的图象，分当点P 在A 点时，当点P 在曲线上从A 接近B 时，当点P 在()f x B 点时，当点P 在曲线上从B 接近C 时，当点P 在C 点时，当点P 在曲线上从C 接近D 时，当点P 在D 点时，当点P 在曲线上从D 接近E 时，分析的值和变化，从而得出的,t t M m ()t t h t M m =-值和变化，可得答案.【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P (),Q ()，如图()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,sin 2t t ⎛⎫⎪⎝⎭π,sin 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所示：当点P 在A 点时，点Q 在曲线OAB 上，,； 1,0t t M m ==()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从A 接近B 时，减小，所以逐渐增大； 1,t t M m =()t t h t M m =-当点P 在B 点时，,，1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从B 接近C 时，减小，所以逐渐减小； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在C 点时，，；0,1t t M m ==-()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从C 接近D 时，增大，所以逐渐增大； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在D 点时，，；1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从D 接近E 时，增大,逐渐减小，1,t t M m =()t t h t M m =-依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为， ()h t 2()h t ()21,2k k k Z -∈，故答案为：2；.()21,2k k k Z -∈，【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.四、解答题16．已知函数． 2()cos sin 1f x x x =+-(1)当时，求函数的值； π6x =()y f x =(2)求不等式的解集． ()0f x ≥【答案】(1)14(2)[2π,2ππ],Z k k k +∈【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；211()(sin 24f x x =--+（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案. ()0f x ≥0sin 1x ≤≤【详解】（1）由题意可得22()cos sin 1sin sin f x x x x x =+-=-+，211(sin )24x =--+故当时，； π6x =24π6111()(sin 24f x =--+=（2）由可得，()0f x ≥211111(sin )0,sin 24222x x --+≥∴-≤-≤即，故, 0sin 1x ≤≤2π2ππ,Z k x k k ≤≤+∈故不等式的解集为.()0f x ≥[2π,2ππ],Z k k k +∈17．在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点， ()()()1,0,,2,2,,,A B t C t t O -∈R (1)若是为直角的直角三角形，求的值；ABC A B ∠t (2)若四边形是平行四边形，求的最小值. ABCD OD【答案】(1) 1t =【分析】（1）利用向量垂直解得即可；0AB BC ⋅=（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.AD BC =D ()1,2D t t --【详解】（1）由题意得，()()()1,2,3,1,2,2AB t AC BC t t =+==--u u u r u u u r u u u r若，则，即，90B Ð=°0AB BC ⋅=()()()12220t t t +-+-=解得或，2t =1t =当，则，不合题意；2t =0BC =u u u r r当，则，符合题意； 1t =()1,1BC =-u u u r综上所述：.1t =（2）设点的坐标为，可得，D (),x y ()1,AD x y =+若四边形是平行四边形，则，ABCD ()2,2AD BC t t ==--u u u r u u u r所以，则，即，122x ty t +=-⎧⎨=-⎩12x t y t =-⎧⎨=-⎩()1,2D t t --可得， ()1,2OD t t =--u u u r则OD ===u u u r所以当时，取得最小值. 32t =OD18．已知函数，．π()sin 14f x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭x ∈R (1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；()f x (2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x 的值．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，都有恒成立，求实数m 的取值范围．12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤【答案】(1)；π())4f x x =-π3π[π,π+],Z 88k k k -∈(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；π4x =π8x =-(3) [1)+∞【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正π()4f x x =-弦函数的单调性即可求得答案；（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π24x -（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤max min ()()f m x f x -≤的结论，即可求得答案.【详解】（1）因为 π()sin 1cos )]14f x x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭ 22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =-+=-,π)4x =-令，则， πππ2π22π+,Z 242k x k k -≤-≤∈π3πππ+,Z 88k x k k -≤≤∈故函数的单调递增区间为.()f x π3π[π,π+],Z 88k k k -∈（2）当时，，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦4π3ππ2,44x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于在单调递减，在单调递增， sin y x =,23ππ4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当，即时，,取得最小值 ππ242x -=-π8x =-πsin(2)14x -=-()f x 当时，； 4π234πx -=-()1f x =-当，即时，取得最大值； ππ244x -=π4x =()f x 1（3）若，都有恒成立， 12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤即，max min ()()f m x f x -≤由（2）可知max min ()1,()f x f x ==故，即实数m 的取值范围为.1m ≥+[1)+∞19．对于定义域R 上的函数，如果存在非零常数T ，对任意，都有成()f x x ∈R ()()f x T Tf x +=立，则称为“T 函数”．()f x (1)设函数，判断是否为“T 函数”，说明理由；()f x x =()f x (2)若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T 函数”；()x g x a =0a >1a ≠y x =()g x (3)若函数为“T 函数”，求实数m 的取值范围．()cos h x mx =【答案】(1)不是“T 函数”，理由见解析；()f x x =(2)证明见解析(3)|π,Z}{m m k k =∈【分析】（1）根据“T 函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；()f x x =（2）只需证明满足“T 函数”定义，即可得结论；()g x （3）根据函数为“T 函数”，可得恒成立，即可推得()cos h x mx =cos )c (os mx mT T mx +=，即可求得答案.cos ,sin 0mT T mT ==【详解】（1）若函数是“T 函数”，则对于，恒有,()f x x =x ∈R ()()f x T Tf x +=即恒成立，故恒成立，x T Tx +=()1T x T -=由于，上式不可能恒成立，x ∈R 故不是“T 函数”；()f x x =（2）证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然， ()x g x a =0a >1a ≠y x =0x ≠即存在非零常数T ，使得，T a T =所以恒成立，()f x T +=()x T T x x a a a Ta Tf x +===故为“T 函数”.()x g x a =（3）若函数是“T 函数”，则,()cos h x mx =()()f x T Tf x +=即恒成立，())cos cos (m x T T mx +=故恒成立，cos )c (os mx mT T mx +=即恒成立，cos cos sin sin cos mx mT mx mT T mx -=即有，cos ,sin 0mT T mT ==故，1,π,Z T m k k =±=∈即实数m 的取值范围是.|π,Z}{m m k k =∈【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.。

2024北京海淀高一（下）期末数 学2024.07学校_____________ 班级______________ 姓名______________一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（A ）2− （B ）2 （C ）i −（D ）i（2）已知向量1(0,1),)2==a b ，则cos ,〈〉=a b （A ）0 （B ）12（C（D（3）函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则其解析式为（A）π())4f x x =+（B）1π()sin()24f x x =+（C ）π())3f x x +（D ）π())4f x x =+（4）若3sin 5α=，且π(,π)2α∈，则πtan()4α−=（A ）34−（B ）17（C ）34（D ）7（5）在ABC ∆中，点D 满足BD BC λ=. 若3144AD AB AC =+, 则λ= （A ）13（B ）14（C ）3（D ）4（6）已知函数1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（A ）0x = （B ）π6x = （C ）π4x =（D ）π2x =（7）在平面直角坐标系xOy 中，点(A −，点(cos ,sin )P θθ，其中π[0,]2θ∈ . 若5OA OP +=, 则θ=（A ）π6（B ）π4 （C ）π3（D ）π2（8）在ABC ∆中，已知π2,3a A ==，则下列说法正确的是（A ）当1b =时，ABC ∆是锐角三角形 （B ）当b =时，ABC ∆是直角三角形 （C ）当73b =时，ABC ∆是钝角三角形 （D ）当53b =时，ABC ∆是等腰三角形 （9）已知,a b 是非零向量， 则“⊥a b ”是“对于任意的λ∈R ，都有λλ+=−a b a b 成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b . 点(,)M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中(1)(01)x a b λλλ=+−≤≤，点N 满足向量(1)ON OA OB λλ=+−, 点O 为坐标原点. 若不等式||MN k 恒成立，则称函数()y f x =在[,]a b 上为k 函数. 已知函数2()2f x x x =−+在[0,1]上为k 函数，则实数k 的取值范围是（A ）(0,)+∞ （B ）1[,)4+∞（C ）1(,)2+∞（D ）[1,)+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

海淀区高一年级练习数学（答案在最后）2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（）A.2- B.2C.i- D.i2.已知向量()310,1,,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则cos ,a b = （）A.0B.12C.22D.323.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()1π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.若3sin 5α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A .34-B.17C.34D.75.在ABC 中，点D 满足BD BC λ=，若3144AD AB AC =+ ，则λ=（）A.13B.14C.3D.4-6.已知1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（）A.0x = B.π16x = C.π4x =D.π2x =7.在平面直角坐标系xOy 中，点(A -，点()cos ,sin P θθ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．若OA OP += ，则θ=（）A.π6 B.π4C.π3D.π28.在ABC 中，已知π2,3a A ==．则下列说法正确的是（）A.当1b =时，ABC 是锐角三角形B.当3b =时，ABC 是直角三角形C.当32b =时，ABC 是钝角三角形 D.当53b =时，ABC 是等腰三角形9.已知,a b 是非零向量，则“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为[]a b 、的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b ．点(),M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中()()101x a b λλλ=+-≤≤，点N 满足向量()1ON OA OB λλ=+-，点O 为坐标原点．若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()y f x =在[],a b 上为k 函数．已知函数()22f x x x =-+在[]0,1上为k 函数，则实数k 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.[)1,+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z 满足1i 0z +-=，则z =__________，z =__________．12.在ABC 中，π,23C CA CB ∠===，P 满足2CP CA CB =- ，则CP CB ⋅= ____________．13.在ABC 中，若sin a B kb =，则k 的一个取值为__________；当π2A =时，k =__________．14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A ，B ，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m ，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30 ,45 ,60 ,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m ．15.已知函数()sin(),()cos f x x g x x ϕ=+=，给出下列四个结论：①对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数；②存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ>．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()0f 的值和()f x 的零点；（2）求()f x 的单调递增区间．17.已知π,,1,,4OA a OB b a b a b ===== ．（1）求2a b -；（2）若OQ tOA =，求()AQ OQ OB ⋅- 的最小值．18.在ABC 中，cos 2cos 0A A +=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 最长边上高线的长．条件①：sin 14C =；条件②：ABC 的面积为；条件③：10b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知n 维向量()12,,,n a a a a =，给定{}1,2,,1k n ∈- ，定义变换k ϕ；选取{}0,1,1i n ∈- ，再选取一个实数x ，对a的坐标进行如下改变：若此时i k n +≤，则将12,,,i i i k a a a +++⋅ 同时加上x ．其余坐标不变；若此时i k n +>，则将12,,,i i n a a a ++ 及12,,,i k n a a a +-⋅⋅⋅同时加上x ，其余坐标不变．若a 经过有限次变换k ϕ（每次变换所取的i ，x 的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,n t t t 满足12n t t t ==，则称a为k 阶可等向量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2ϕ可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)i x i x ====-−−−→−−−−→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，求13a a +；（3）若任取12,,,n a a a 的一个排序得到的n 维向量均为k 阶可等向量．则称()12,,,n a a a ⋅⋅⋅为k 阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．海淀区高一年级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（）A.2-B.2C.i- D.i【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.【详解】因为i 2z ⋅=，所以222i2i i iz ===-，所以z 的虚部为2-.故选：A2.已知向量()10,1,,22a b ⎛⎫==⎪⎝⎭，则cos ,a b = （）A.0B.12C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算．【详解】由题意1012cos ,112a b a b a b+⋅===⨯ ，故选：B ．3.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()1π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由最小值求得A ，由(0)1f =求得ϕ，再结合最小值点和周期求得ω．【详解】由图象知A =，()01f =1ϕ=，则π2π,Z 4k k ϕ=+∈或3π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，5ππ)44ω+=，5ππ3π2π442k ω+=+，815kω=+，Z k ∈，又5π4T >，2π85T ω=<，已知0ω>，所以1ω=，所以π())4f x x =+，故选：D ．4.若3sin 5α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.34-B.17C.34D.7【答案】D 【解析】【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.【详解】因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 0α<，又3sin 5α=，所以4cos 5α==-，故4sin 3tan cos ααα==-，所以π3tantan 1π44tan 7π341tan tan 144ααα-+⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+-.故选：D5.在ABC 中，点D 满足BD BC λ=，若3144AD AB AC =+ ，则λ=（）A.13B.14C.3D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解【详解】如图，因为在ABC 中，BD BC λ=，所以()()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又3144AD AB AC =+ ，所以()31144AB AC AB AC λλ-+=+ ,所以14λ=，故选：B.6.已知1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（）A.0x = B.π16x = C.π4x =D.π2x =【答案】C 【解析】【分析】举例说明判断ABD ；利用轴对称的意义判断C.【详解】依题意，sin cos 0x x +≠，解得ππ,Z 4x k k ≠-+∈，对于A ，π(12f -=-，π(12f =，则函数()f x 的图象关于0x =不对称，A 不是；对于B ，(0)1f =，π1sinπ4()1ππ8sincos 88f +=≠+，则函数()f x 的图象关于π16x =不对称，B 不是；对于C ，π3ππ24x k -≠-，即ππ(1)π,Z 24x k k -≠-+-∈，π1sin 2()π1sin 22()()ππ2cos sin sin()cos()22x x f x f x x x x x +-+-===+-+-，则函数()f x 的图象关于π4x =对称，C 是；对于D ，(0)1f =，(π)1f =-，则函数()f x 的图象关于π2x =不对称，D 不是.故选：C7.在平面直角坐标系xOy中，点(A -，点()cos ,sin P θθ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．若OA OP += ，则θ=（）A.π6 B.π4C.π3D.π2【答案】A 【解析】【分析】先OA OP +的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于θ的方程，解方程即可得解.【详解】因为平面直角坐标系xOy中，点(1A -，点()cos ,sin P θθ所以()1cos si n OA OP θθ+-=+所以OA OP += 又OA OP +==2cos 0θθ-=所以π4sin 06θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以π06θ-=，即π6θ=，8.在ABC 中，已知π2,3a A ==．则下列说法正确的是（）A.当1b =时，ABC 是锐角三角形B.当3b =时，ABC 是直角三角形C.当32b =时，ABC 是钝角三角形 D.当53b =时，ABC 是等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.【详解】对于A:因为1b =11,sin sin 422B B ==<,当5ππ6B >>时，ABC 是钝角三角形,当ππ,π62BA AB =--时，ABC 是钝角三角形,A 选项错误；对于B:因为3b =,π3,sin 1,sin 2B B B ===,所以ABC 是直角三角形,B 选项正确；对于C:因为32b =,312,sin sin 822B B ==>当ππ62B <<时，ππ2C A B =--<,ABC 是锐角三角形,C 选项错误；对于D:因为53b =,55333,sin sin 12232B B ==<,b a <,π3B A <<,cos 12B ===()1sin sin sin cos cos sin 12212224C B A B A B A =+=+=⨯+⨯=因为,B C A C ≠≠，所以ABC 不是等腰三角形,D 选项错误；9.已知,a b 是非零向量，则“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为,a b是非零向量，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以a b λ+==a b λ-=所以对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=-成立，故充分性成立；若对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=-成立，则22a b a b λλ+=- ，即22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，所以20a b λ⋅= ，所以0a b ⋅= ，所以a b ⊥，故必要性成立；所以“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的充要条件.故选：C10.定义域为[]a b 、的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b ．点(),M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中()()101x a b λλλ=+-≤≤，点N 满足向量()1ON OA OB λλ=+-，点O 为坐标原点．若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()y f x =在[],a b 上为k 函数．已知函数()22f x x x =-+在[]0,1上为k 函数，则实数k 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】先求出两个端点()()0,0,1,1A B ，设M 的横坐标为11x λ=-，纵坐标为211y λ=-+，进一步确定()1,1ON λλ=-- ，从而求出()20,MN λλ=- ，求出22111244MN λλλ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭ ，得到答案.【详解】()22f x x x =-+在[]0,1上的两个端点分别为()()0,0,1,1A B ，设M 的横坐标为1x ，纵坐标为1y ，则1011x λλλ=⋅+-=-，故()()2222111212112221y x x λλλλλλ=-+=--+-=-+-+-=-+，()()()()()10,011,11,1ON OA OB λλλλλλ=+-=+-=-- ，故()()()221,11,10,MN λλλλλλ=-----+=- ，01λ≤≤，所以22111244MN λλλ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭ ，当12λ=时，等号成立，故实数k 的取值范围为14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z 满足1i 0z +-=，则z =__________，z =__________．【答案】①.1i -+；②.1i --.【解析】【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解【详解】因为1i 0z +-=，所以1i z =-+；所以z 的共轭复数1i z =--，故答案为：1i -+，1i --12.在ABC 中，π,23C CA CB ∠===，P 满足2CP CA CB =- ，则CP CB ⋅= ____________．【答案】0【解析】【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，()2·CP CB CA CB CB ⋅=- 222222cos6020CA CB CB =⋅-=⨯⨯⨯-= .故答案为：013.在ABC 中，若sin a B kb =，则k 的一个取值为__________；当π2A =时，k =__________．【答案】①.12（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到sin A k =，根据()0,πA ∈，可得k 的取值，又π2A =，即可得到k 的具体值.【详解】因为sin a B kb =，由正弦定理可得，sin sin sin A B k B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以sin A k =，又()0,πA ∈，取π6A =，所以12k =，所以当π2A =时，πsin sin 12k A ===，故答案为：12，1.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A ，B ，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m ，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30 ,45 ,60 ,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m ．【答案】【解析】【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，200AB BC ==，30PAO ∠= ，45PBO ∠= ，60PCO ∠= ，设PO x =，则OA =，OB x =，3OC x =，根据cos cos 0OBC OBA ∠+∠=，则222222120020033022002200x x x x x x+-+-+=⨯⨯，解得：1006x =所以塔尖距离底面的高度为1006.故答案为：100615.已知函数()sin(),()cos f x x g x x ϕ=+=，给出下列四个结论：①对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数；②存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ>．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取5π6ϕ=时可以判断②，取0ϕ=时可以判断③、④.【详解】对于①，令()()()H x f x g x =+，则()()()()()2π2π2πsin(2π)cos 2πsin()cos H x f x g x x x x x H x ϕϕ+=+++=++++=++=，所以对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数，故①正确；对于②，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，0cos 1x ≤≤，所以()cos cos g x x x ==所以()()sin()cos y f x g x x x ϕ=+=++，当5π6ϕ=时，()()5π5π5π3sin()cos sin cos cos sin cos sin cos 66622y f x g x x x x x x x x =+=++=++=-+即πsin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以πππ,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，易知πsin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确；对于③，当0ϕ=时，令()()()G x y f x g x ==，即()sin cos G x x x =，易知()G x 定义域为R.因为()()()()πsin πcos πsin cos G x x x x x G x -=--==所以()G x 图象关于π2x =轴对称；又因为()()()()sin cos sin cos G x x x x x G x -=--=-=-，所以()G x 为奇函数，图象关于原点中心对称，所以存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；对于④，假设④为假命题，则它的否定：“存在ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ≤”为真命题，由③知，当0ϕ=时()()()1sin 2,cos 02sin cos 1sin 2,cos 02x x F x f x g x x x x x ⎧≥⎪⎪===⎨⎪-<⎪⎩，所以()max 12F x =，所以，存在ϕ∈R ，函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ≤，所以假设成立，即④为假命题，故答案为：①②③.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()0f 的值和()f x 的零点；（2）求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）()102f =，()f x 的零点为ππ,6x k k =-∈Z ；（2）()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【解析】【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【小问1详解】()ππ110sin sin 16222f ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin coscos sin cos 66x x x =-+ππsin cos cos sin 66x x =+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令ππ6x k +=，所以ππ6x k =-．所以()f x 的零点为ππ,6x k k =-∈Z 【小问2详解】因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 所以πππ2π2π262k x k -<+<+．所以2ππ2π2π33k x k -<<+所以函数()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z17.已知π,,1,,4OA a OB b a b a b ===== ．（1）求2a b - ；（2）若OQ tOA = ，求()AQ OQ OB ⋅- 的最小值．【答案】（1；（2）18-.【解析】【分析】（1）先求⋅ a b ，然后直接求2a b - 的平方即可得解；（2）利用向量的运算律，将()AQ OQ OB ⋅- 转化为关于t 的二次函数，然后求出最值即可.【小问1详解】因为π1,,4a b a b === ，πcos ,1cos 14a b a b a b ⋅=⋅=⨯= ，因为2222222(2)4441412a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+⨯=所以2a b -= ，【小问2详解】由（1）知，1OA OB a b =⋅=⋅ ，因为()()()()()AQ OQ OB OQ OA OQ OB tOA OA tOA OB ⋅-=-⋅-=-⋅- ()()221t t OA t OA OB =---⋅ ()()221t t t =---2231t t =-+23112488t ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭所以当3t 4=时，()AQ OQ OB ⋅- 的最小值为18-18.在ABC 中，cos 2cos 0A A +=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 最长边上高线的长．条件①：53sin 14C =；条件②：ABC 的面积为；条件③：10b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3A =；（2【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；若选择条件②，根据面积求bc ，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；如选择条件③，根据正弦定理，判断ABC 是否存在.【小问1详解】因为cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=所以()()2cos 1cos 10A A -+=，所以1cos ,cos 12A A ==-，因为()0,πA ∈，所以cos 1A =-舍所以1cos 2A =，则π3A =；【小问2详解】选择①因为π3A =，由正弦定理sin sin c a C A=142=，得5c =法一：由余弦定理2222cos a b c bc A=+-代入得214925252b b =+-⋅⋅所以()()850b b -+=所以8b =或=5b -（舍），所以AC 边最长，AC 边上的高线sin 2h c A =⋅=法二：因为5,7c a ==，所以C A <，所以π3C <，所以π3B >，所以b 为最长边AC 边上的高线sin 2h c A =⋅=选择②因为1sin 2S bc A ==所以40bc =因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-所以22224940b c bc b c =+-=+-所以85b c =⎧⎨=⎩或58b c =⎧⎨=⎩所以最长边上的高线5sin 2h A =⋅=，若选择③，7,10,60a b A === ，根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin sin 1b A B a=>，不成立，此时ABC 不存在.19.已知n 维向量()12,,,n a a a a = ，给定{}1,2,,1k n ∈- ，定义变换k ϕ；选取{}0,1,1i n ∈- ，再选取一个实数x ，对a的坐标进行如下改变：若此时i k n +≤，则将12,,,i i i k a a a +++⋅ 同时加上x ．其余坐标不变；若此时i k n +>，则将12,,,i i n a a a ++ 及12,,,i k n a a a +-⋅⋅⋅同时加上x ，其余坐标不变．若a 经过有限次变换k ϕ（每次变换所取的i ，x 的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,n t t t 满足12n t t t ==，则称a 为k 阶可等向量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2ϕ可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)i x i x ====-−−−→−−−−→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，求13a a +；（3）若任取12,,,n a a a 的一个排序得到的n 维向量均为k 阶可等向量．则称()12,,,n a a a ⋅⋅⋅为k 阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；（2）5；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据k ϕ的定义即可求解，（2）根据k ϕ的定义即可求解，()()()()()()132413241324a a a a a a x a a x a a a a ''''+-+=++-++=+-+，即可结合()1234,,,a a a a 是2阶可等向量求解，（3）根据()12,,,n a a a 是k 阶可等向量，等价于()12,,,n a y a y a y +++ 是k 阶可等向量，即可根据变换5ϕ求证.【小问1详解】()1,2,3是2阶可等向量．例如经过两次变换2ϕ可得：()()()3,11,11,2,32,3,32,2,2i x i x ====-−−−→−−−−→【小问2详解】设()1234,,,a a a a 进行一次变换2ϕ后得()1234,,,a a a a ''''，当0i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a x a x a a ''''=++当1i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a a x a x a ''''=++当2i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a a a x a x ''''=++当3i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a x a a a x ''''=++综上，我们得到()()()()()()132413241324a a a a a a x a a x a a a a ''''+-+=++-++=+-+．因为()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，即1234t t t t ===所以()()()()132413240a a a a t t t t +-+=+-+=．所以132413241234522a a a a a a a a +++++++=+===【小问3详解】任取()1,2,,7 的一个排序，记为()127,,,b b b b = ．注意到，()12,,,n a a a 是k 阶可等向量，等价于()12,,,n a y a y a y +++ 是k 阶可等向量．变换5ϕ即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上x ，相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上x -．对234567,;,;,b b b b b b 依次加上x -，相当于对1b 单独加上x ；对345671,;,;,b b b b b b 依次加上x -，相当于对2b 单独加上x ；……基于上述分析，相当于可以对127,,,b b b 分别单独加上127,,,b b b --- ．所以b 为5阶可等向量，()1,2,,7 为5阶强可等向量．【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

海淀区高中课改水平监测高一数学2010.7学校 班级 姓名本试卷分卷一、卷二两部分，共100分，考试时间90分钟.卷一（70分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a 、b 为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2. 直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A.(3,-1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(3,1)3. 下列命题正确的是( )A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱台的底面是两个相似的正方形D ．棱台的侧棱延长后必交于一点4. 直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A. a=2,b=5;B. a=2,b=5-;C. a=2-,b=5;D. a=2-,b=5-.5. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线．其中假．命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．46. 圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:(x-2)²+(y-5)²=16的位置关系是（ ）A.外离B.相交C.内切D.外切7. 如图，正方体AC 1中，点P 在侧面BB 1C 1C 上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 中点连成的线段8. 将正三棱柱截去三个角(如图1所示A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )图1 图2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.1. 圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是____________2. 两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。

2024届北京海淀中关村中学数学高一下期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列各角中，与126°角终边相同的角是（ ） A ．126-B ．486C ．244-D ．5742．设,,a b c ∈R ，且a b c >>，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A ．ac bc >B ．b c >C ．22a b >D ．a c b c +>+3．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）A ．7B ．12C ．17D ．344．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( ) A ． 955πB ． 55C ． 355D ． 355π6．阅读如图所示的程序框图，当输入5n =时，输出的S =（ ）A ．6B ．4615C ．7D ．47157．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥 A ．①②B ．②④C ．①③D ．①④8．已知函数1()sin 123f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，那么下列式子：①(2)(2)f x f x ππ+=-；②10()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；③(2)(2)f x f x ππ+=-；④2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；其中恒成立的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④9．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a Ab Bc C π===，则cos C （ ）A ．32B ．3C ．3或32D ．010．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年北京市海淀区高一下册阶段性诊断考试数学试题一、单选题1．sin 210= A．2B．2-C ．12D ．12-【正确答案】D【详解】试题分析：()1sin 210sin 18030sin 302=+=-=-诱导公式2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD【正确答案】B【分析】根据向量运算得AC AB AD -=.【详解】由图知AC AB BC AD -==，故选：B.3．在ABC中，AB =45A =o ，75C =，则BC =（）A．3BC ．2D．3【正确答案】A【分析】直接根据正弦定理求出BC ．【详解】在ABC ∆中，A ︒=45，∴75C ︒=．由正弦定理得BC ABsinA sinC=，∴ABsinA BC sinC ==3．故选A ．解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应用．同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解．4．把函数sin y x =的图像上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】sin y x =向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短为原来的12得：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确选项：C本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.5．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B CD ．2【正确答案】B【详解】构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，F （x故|MN|,故选B6．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】C【详解】试题分析：根据题意，由于||1,||2a b →→==，且2·0()·0·0a b c c a c a a b a a b a +=⊥⇔=⇔+=⇔+=，结合向量的数量积公式可知··cos b a b a θ= ，解得其向量,b a →→的夹角为1200，故选C.向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题．7．函数()()2sin f x x ωϕ=+0ω>2πϕ<的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．B ．C D 【正确答案】A由函数()f x 的部分图像得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取x π=可得()f π的值.【详解】由图像可得函数()f x 的最小正周期为521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则22T πω==.又5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ，则5262k ϕπ=π+π+，Z k ∈，则23k πϕπ=-，Z k ∈，22ππϕ-<< ，则0k =，3πϕ=-，则()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭.故选：A.方法点睛：根据三角函数()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A ．625B ．1225C ．1825D ．2425【正确答案】D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=，解得.sin2α=2425故选：D9．在ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“ABC 为直角三角形”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】设BD tBC = ，根据平面向量的运算可得DA AC > ，从而可得π2C =；若ABC 为直角三角形，不一定有π2C =，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】设BD tBC =，则BA tBC BA BD DA --== ，所以BA tBC AC ->即为DA AC > ，所以AC 是边BC 上的高，即CA CB ⊥,即π2C =,故ABC 为直角三角形.若ABC 为直角三角形，不一定有π2C =，故不一定有BA tBC AC -> .所以“对于任意1t ≠，BA tBC AC -> ”是“ABC 为直角三角形”的充分而不必要条件.故选:A.10．已知向量,,a b c 满足()()1,,,04a b a b c a c b π===-⋅-=，则c r 的最大值是（）A 1-BCD 1【正确答案】C【分析】把,a b 平移到共起点以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b的方向为x 轴的正方向，求出,a b 的坐标，则根据()()0c a c b -⋅-= 得c的终点得轨迹，根据c r 的意义求解最大值.【详解】把,a b 平移到共起点，以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b的方向为x 轴的正方向，见下图，设,,OB b OA a OC c ===，则,c a AC c b BC-=-= 又()()0c a c b AC BC -⋅-=∴⊥则点C 的轨迹为以AB 为直径的圆，又因为2,1,,,4a b a b π=== 所以()()1,01,1B A 故以AB 为直径的圆为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以c r 的最大值就是以AB 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为2211511222+⎛⎫++= ⎪⎝⎭故选：C 二、填空题11．已知4sin 5α=，2απ<<π，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【正确答案】2101210【分析】利用三角函数的基本关系式中的平方关系及角的范围求得3cos 5α=-，再利用余弦的和差公式展开即可求解.【详解】因为4sin 5α=，2απ<<π，所以23cos 1sin 5αα=--=-，故32422cos cos cos sin sin 444525210πππααα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.21012．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则角B =_______．【正确答案】3π【详解】试题分析：根据三角形的正弦定理sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则可知ABC ∆的三个角所对应的三个边的比::5:7:8a b c =，根据三角形的余弦定理，则有222cos 2a c b B ac+-=12=，故3B π=．1．正弦定理；2．余弦定理．三、双空题13．已知函数()3sin cos f x x x =-，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为______.【正确答案】1()0,0(答案不唯一)【分析】化简()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入即可求出π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；由三角函数的平移变换求出()g x ，再由三角函数的性质求出()g x 的对称中心，即可得出答案.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2sin 1336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()2sin 2sin 66g x x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以()g x 的对称中心为(),0k π.故()g x 的一个对称中心为()0,0.故1；()0,0(答案不唯一).四、填空题14．在菱形ABCD 中，若BD 3=CB DB ⋅的值为______．【正确答案】32【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则cos BC CBD BO ∠=，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形ABCD 中，BD 3=AC BD ⊥可得cos BC CBD BO ∠=则33 322CB DB BC BD BC BD cos CBD BO BD ⋅=⋅=⨯⨯∠=⨯== ，故答案为32．本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到cos BC CBD BO ∠= 是解题的关键，属于基础题．15．已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【正确答案】143【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得()32432k k πππωπ+=+∈Z ，由此求得ω的值．【详解】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω-≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=.故143五、解答题16．如图，在ABC 中，11,32AM AB BN BC == .设,AB a AC b ==.(1)用,a b 表示,BC MN；(2)若P 为ABC 内部一点，且51124AP a b =+.求证：,,M P N 三点共线.【正确答案】(1)BC b a =- ，1126b MN a=+(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用,AC AB 表示出,BC MN，即可得结果；（2）用,a b 表示AM AN +，得到AM AP AN λμ=+ ，根据向量共线的结论1λμ+=即证结论.【详解】（1）由题图，BC AC AB b a =-=-，121211()232326BN BM BC AB b a a b a MN =-=+=-+=+ .（2）由1111151()3323262AM AN AB AC CN AB AC BC a b b a a b +=++=+-=+--=+，又51124AP a b =+，所以1122AM AP AN =+ ，故,,M P N 三点共线.17．已知函数()222sin cos sin 222x x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】(1)π(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）根据三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x =-，结合公式2T ωπ=计算即可求解；（2）根据题意可得ππ2π2[,]333x -∈-，结合正弦函数的单调性，进而得出函数()f x 的最值.【详解】（1）()222sin cos sin 222x x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =，1πsin 222sin 222sin(2)23x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭则2ππT ω==，所以函数()f x 的最小正周期为π；（2）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-，而函数sin y x =在ππ(,)32-上单调递增，在π2π(,)23上单调递减，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数()f x 取得最大值为2；当233x -=-ππ，即0x =时，(0)f =，当π2π233x -=，即π2x =时，()2f π=，所以当0x =时函数()f x取得最小值为故函数()f x 取得最大值为2，函数()f x取得最小值为18．在ABCsin cos C c A =，2c =.(1)求A ∠；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长.条件①：2sin C a=；条件②：1b =条件③.a =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)π6；(2)选②，2.【分析】（1sin sin cos A C C A =，从而tan A =（2）选①：由正弦定理得2πsin sin 6aC=，求得1sin C a =，从而确定三角形不存在；选②：由余弦定理求得a =再利用等面积法可求解；选③：由正弦定理可求得sin C =进而求得π4C =或3π4，不满足题意.【详解】（1sin cos C c A =，sin sin cos A C C A =，又sin 0C ≠cos A A =，即tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π6A =.（2）若选条件①：2sin C a=，由正弦定理知22πsin sin 6aa C ==,可得1sin C a =，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：1b =由余弦定理可得，22222cos (1a b c bc A =+-=222(122+-⨯=，即a =.设BC 边上的高为h ，由等面积法可知11csin 22ABC S b A ah == ,即12(12⨯+⨯=，解得h =故BC边上高线的长为2.若选条件③：a =sin sin a c A C=2sin 2C =，所以sin 2C =，可得π4C =或3π4，有两解，不符合题意.综上，应该选②，BC边上高线的长为2.19．设有限集合{}1,2,3,,E N = ，对于集合{}123,,,,，m A E A x x x x ⊆= ，给出两个性质：①对于集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则称A 为E 的封闭子集；②对于集合A 中任意两个元素()，i j x x i j ≠，都有i j x x A +∉，则称A 为E 的开放子集.(1)若20N =，集合{}{}*1,2,4,6,8,1031,6,A B xx k k k ===+≤∈N ，∣，判断集合A B ，为E 的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若1001100，，N A A =∈∈，且集合A 为E 的封闭子集，求m 的最小值；(3)若*N ∈N ，且N 为奇数，集合A 为E 的开放子集，求m 的最大值.【正确答案】(1)A 为E 的封闭子集，B 为E 的开放子集(2)9(3)12N +【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），{}2311100,,,,,m A x x x -= ，设2311100m x x x -<<<<< .因集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则1112n n n x x x --+≤≤，其中2，N n m n *≤≤∈.据此可得7764100x ≤≤<，得7m >，后排除m =8，再说明m =9符合题意即可；对于（3），因*N ∈N ，且N 为奇数，当1N =时，得1m =；当3N ≥，将{}1,2,3,,E N = 里面的奇数组成集合A ，说明集合A 为E 开放子集，且12N m +=为最大值即可.【详解】（1）对于A ，因2114226248261028，，，，=+=+=+=+=+，且A E ⊆，则A 为E 的封闭子集；对于B ，由题可得{}4,7,10,13,16,19B =，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B 中，任意元素也不是其他两个元素之和，且B E ⊆，故B 为E 的开放子集；（2）由题：{}2311100,,,,,m A x x x -= ，设2311100m x x x -<<<<< .因集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则1112n n n x x x --+≤≤，其中2,,，N n n m n x *⎡⎤∈∈⎣⎦.得22x =，34538164， 4， 5x x x ≤≤≤≤≤≤，6632x ≤≤，7764x ≤≤.因7764100x ≤≤<，则7m >.若8m =，则8100x =，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为100.又2311100m x x x -<<<<< ，则当i j <时，6796100i j x x x x ≤+≤<+，得877250x x x =⇒=，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为50.又当i j <时，654850i j x x x x ≤≤<++，得766225x x x =⇒=，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为25.注意到25奇数，且452425i j x x x x ≤≤<++，故不存在元素()i j x x i j ≤，，使6i j x x x =+，这与集合A 为E 的封闭子集矛盾，故8m ≠.当9m =，取{}124816326496100,,,,,,,,A =，易得其符合E 的封闭子集的定义，故m 的最小值为9；（3）因*N ∈N ，且N 为奇数，当1N =时，得1m =；当3N ≥，将{}1,2,3,,E N = 里面的奇数组成集合A ，则{}1357,,,,A N = ，因A 中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A E ⊆，则A 为E 开放子集，此时集合A 元素个数为12N +.下面说明12N +为m 最大值.1N =时，显然成立；当3N ≥，若12N m +>，则A 中至少有一个属于{}1,2,3,,E N = 的偶数，设为t a ，则21t a N ≤≤-，得1t a +为属于集合{}1357,,,,,t N a 中的奇数，这与E 开放子集的定义矛盾，故12N m +≤.综上：m 的最大值为12N +.关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到7764100x ≤≤<，得7m >，继而结合定义分析出8m ≠；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.。

海淀区高一年级练习数学参考答案2023.01一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）B （4）B （5）C（6）A （7）B （8）D （9）B （10）C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）-∞（注：如没写成集合形式，0分）（12）5；3（注：每空2分）（11）(,1)-，给3分）（13）2 （注：如果仅是没考虑判别式舍3+∞（注：每空2分，第一空区间开闭均正确）（14）(0,1)；[2,)（15）参考答案：小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.（注：也可以从其他角度进行分析，只要言之有理即可）评分标准说明：本题主要考查数学建模素养的表现，需要学生能从数学的眼光去看，即能够从现象中的数量及其关系和空间形式与结构去分析，能基于数学关系进行逻辑推理和运用数学的语言去阐述.关注以下两个方面：【3分】由材料1做出合理假设，并结合其他学科和生活常识得出结论.假设：①体脂率相同，即认为人体密度相同；②体型相同的人体视为相似几何体.推理：由于相似的人体体积与身高的立方成正比，体重取决于人体密度和体积，所以根据BMI定义可以推导出体型和体脂率相同的人的BMI值和身高呈正比.（*）没有指出（*）结论的两条前提假设，每缺一个少给1分;【1分】能够基于上述结论给出言之成理并且符合生活常识的结论的.这1分主要关注数学语言和自然语言之间的互相翻译，如果学生在说理时有明显的数学术语错误(说明概念理解有误)，或只给出了一些数学推导但无法翻译回现实结论，则不给分.如果没有从上述（*）结论出发进行分析，但是体现出准确使用了函数单调性分析、量纲分析的学生可酌情给分.三、解答题（本大题共4小题，共40分）（16）（本小题9分）解：（I ） 由{}12A x x =-<，解12x -<，得13x -<<. -------------------------------------3分所以集合A 中的所有整数为：0，1，2. ------------------------------------4分 （Ⅱ） 法一：由（I ）得：{}13A x x =-<<，所以{}13R A x x x =≤-≥或，---------------------5分 ① B =∅时，即23m m ≥+，所以3m ≤-，符合()R A B =∅； -----------------------------6分 ② B ≠∅时，即23m m <+，所以3m >-， 由于()R A B =∅，所以1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩， -----------------------------7分 所以10m -≤≤. -----------------------------8分 综上，实数m 的取值范围是(][],31,0-∞--. ------------------------------------9分法二：由（I ）得：{}13A x x =-<<，由()R A B =∅，得B A ⊆.------------------------5分 ① B =∅时，即23m m ≥+，所以3m ≤-，符合题意； ------------------------------------6分 ② B ≠∅时，即23m m <+，所以3m >-，由于B A ⊆，所以1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩， -----------------------------------7分 所以10m -≤≤. -----------------------------------8分 综上，实数m 的取值范围是(][],31,0-∞--. ------------------------------------9分（17）（本小题9分）解：（I ） 依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分， 取得满分的频率为82205=， 所以用频率估计事件A 的概率2()5P A =. -----------------------------------------3分 （Ⅱ） 设事件B 为“李明第二次英语听说考试取得满分”，事件C 为“李明高考英语听说考试取得满分”.---------------------------------------5分 依题意，()12P B =， 所以()()()()()()231755210P C P A P AB P A P A P B ≤+=+=+⨯=，-------------------8分 所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到710. -----------------9分 （18）（共12分）解：（I ） 选择①②； ---------------------------------------------2分 0b =， ---------------------------------------------3分 12a =； ---------------------------------------------5分 （Ⅱ） 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <， ---------------------------------------------6分则()()21212122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------7分由于120x x <<，所以120x x -<，12210x x +>，---------------------------------------8分 所以()()210g x g x -<，即()()21g x g x <， ---------------------------------------9分所以函数()2g t t t=-在()0,+∞上单调递减. （Ⅲ）由（I ）可得()1414xxf x -=+， 所以方程为14414x x x m -=++，即()1424411441x x x x x m -=-=-+++， 令41x t =+，由于[]0,1x ∈，所以[]2,5t ∈， 则问题转化为2m t t=-在[]2,5上有唯一解. --------------------------------------10分由（Ⅱ）知，函数()2g t t t=-在[]2,5上单调递减， 所以()()min 2235555g t g ==-=-，()()max 22212g t g ==-=-，-------------------11分 所以，实数m 的取值范围是23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. --------------------------------------------12分 （19）（本小题10分）解：（Ⅰ）②；①；③. ---------------------------------------------3分 （Ⅱ） 对于任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有210x x x ∆=->，()()222121y f x f x ax ax ∆=-=-， 由于()f x 在[)1,+∞满足性质B ，即0y x ∆-∆>，所以()()2221210ax ax x x --->，所以()()122110ax ax x x +-->，因为210x x ->，所以()121a x x +>，所以121a x x >+，------------------------------4分 由于任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x <，所以122x x +>，----------------------------5分 所以12112x x <+， -------------------------------------------6分 所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ------------------------------------------7分（III ）实数m 的最小值为1. -----------------------------------------10分 补充：（III ）详细解答参考如下： 因为1()g x x=在[,]m n 上恰满足性质A 、性质B 、性质C 、性质D 中的一个， 所以对任意12],[,x m x n ∈且12x x <，有10y x ∆-<∆≤恒成立. 因为1()g x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以0[,]m n ∉. 当0m n <<时，1y x=-， 所以2121121211()x x x x x x x x x y ∆∆==-=---，从而1210y x x x ∆=>∆，不合题意； 当0m n <<时，1y x=， 所以1221121211x x x x x x x y x x --=∆-∆==，从而1210y x x x ∆=-<∆， 要使10y x ∆-<∆≤恒成立，只需使1211y x x x ∆=->-∆，即121x x >恒成立， 若1m <，则12,1x m x ∃=<,使121x x <，这与121x x >矛盾，所以m 的最小值为1.。

北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。

2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了()A.150人B.200人C.250人D.300人3.命题“”的否定是()A. B.C. D.4.方程组的解集是()A. B.C. D.5.某部门调查了200名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是()A.56B.80C.144D.1846.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.8.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是()A. B.C. D.9.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是()A. B. C. D.10.已知，则实数a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.11.已知函数，则“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.13.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是()A. B. C.1 D.14.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

第 1 页（共 5 页）海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高一数学参考答案及评分建议一、选择题：二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）(1,)+∞ （12）3， ＞（13）0（答案不唯一），(4,4)−（14）(,)−∞+∞，215（15）①② 两空题，第一空2分，第二空２分，15题对一个给2分，有错的则给０分三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共９分）解：（Ⅰ）设选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A .……1分所以122()183P A ==． ……3分 （Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B , ……4分所以355()41216P B =⨯= . ……7分 （Ⅲ）12P P <． ……9分（17）（共９分）解：（Ⅰ）因为220x x −−<，所以(2)(1)0x x −+<，所以12x −<<， 所以{|12}A x x =−<<． ……1分又53||22x −≥，所以5322x −≥或5322x −≤−， ……2分第 2 页（共 5 页）所以4x ≥或1x ≤，所以{|41}B x x x =≥≤或， ……3分{|14}B x x =<< R ……4分 所以{|42}A B x x x =≥<或，{|12}A B x x =<< R ． ……6分（Ⅱ）因为22(24)40x m x m m −+++≤，所以((4))()0x m x m −+−≤，所以4m x m ≤≤+，所以{|4}M x m x m =≤≤+． ……7分 因为B M =R ，所以144m m ≤⎧⎨+≥⎩……8分所以m 的取值范围是{|01}m m ≤≤． ……9分（18）（共11分）解：选择①（Ⅰ）因为()()0f x f x +−=，故[ln(1)ln(1)][ln(1)ln(1)]0x k x x k x −+++++−=，所以22ln(1)ln(1)0x k x −+−=,所以2(1)ln(1)0k x +−=，所以1k =−. ……3分（Ⅱ）当1k =−时，12()111x F x x x −==−+++，()F x 在(0,1)上单调递减， ……4分 证明如下：任取12,(0,1)x x ∈，且12x x <， ……5分 因为212122)(1)()()1(11F F x x x x +−−++−+=− ……6分 21122()0(1)(1)x x x x −=>++ ……7分 所以12()()F x F x >，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减. ……8分（Ⅲ）()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……9分由前两问知，1k =−时，函数()f x 是奇函数，且在(1,0)−上单调递减， 故函数1()()2=++g x f x x在(1,0)−上单调递减，第 3 页（共 5 页） 又1()ln 322ln 302−=−+=>g ，15()ln 2043−=−<g ， 所以存在唯一的0(1,0)∈−x ，使0()0=g x ，所以()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……11分 选择②（Ⅰ）因为()()f x f x =−，且11x −<<，故ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]x k x x k x −++=++− 所以1(1)ln 01x k x−−=+, 所以1k =. ……3分 （Ⅱ）当1k =时，2()(1)(1)1F x x x x =−+=−.从而()F x 在(0,1)上单调递减， ……4分 证明如下：任取12,(0,1)x x ∈，且12x x <， ……5分 222121(1)(1)()()x F F x x x −−−−= ……6分22212121()()0x x x x x x =−=−+> ……7分所以12()()F x F x >，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减. ……8分 （Ⅲ）()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……9分由前两问知，1k =，函数()f x 是偶函数，且在(1,0)−上单调递增，故函数()()2=++g x f x x 在(1,0)−上单调递增，又(0)(0)220=+=>g f ，2(ln(1()20g =−=， 所以存在唯一的0(1,0)∈−x ，使0()0=g x ，所以()g x 在区间()1,0−上存在一个零点. ……11分（19）（共11分）解：（Ⅰ）()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换, 不是任意交换的 ……2分令()()()()f g x h f x =，即22(1)1x x +=−，解得1x =−．第 4 页（共 5 页）所以存在唯一的1x =−∈R ，使得()()()()f g x h f x =，即()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换，存在0x =∈R ，使得()()()()f g x h f x ≠，即()g x 与()h x 关于()f x 不是任意交换的． ……4分 （Ⅱ）依题意，x ∀∈R ，()()()()f g x h f x =．因为x ∀∈R ，22()[()2](2)()f x a x a x f x −=−+=+=，所以x ∀∈R ，()()()()()()()()f g x h f x h f x f g x −=−==．所以x ∀∈R ，2222[(1)2][(1)2]a x bx a x bx −−+=+−+，所以2222(1)(1)x bx x bx −−=+−，即2(22)(2)0x bx −=对x ∈R 成立，所以0b =． ……7分 下面检验0b =时，存在函数()h x 使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换． 即验证存在函数()h x ，使得x ∀∈R ，()()()()f g x h f x =，即()222[(1)2](2)a x h a x −+=+．令2(2)t a x =+，2t a ≥， 则22222611[(1)2][(21)2]t t at a a x a a a−+−+=−−+=． 令22611()x ax a h x a−+=， 则()22222611(2)()[(1)2]t at a h a x h t a x a −++===−+对x ∈R 成立， 综上，0b =． ……8分 （Ⅲ）依题意，存在唯一的0x ∈R ，使得()()00()()w g x f w x =．因为x ∀∈R ，()()f x f x −=，22()()11()g x x x g x −=−−=−=，e 11e ()()e 11e x xx xw x w x −−−−−===−++， 所以()()()()()00000()()()()()w g x w g x f w x f w x f w x −===−=−．第 5 页（共 5 页） 所以00x x −=，即00x =．所以()()(0)(0)w g f w =，即11e 12e 1a −−−=+． 所以e 12e 2a −=−+． ……9分 下面检验e 12e 2a −=−+时，()()()()w g x f w x =的解唯一． 因为e 12()1e 1e 1x x x w x −==−++，2()11g x x =−≥−，()1e e 0g x −≥>，()111e 1e 1g x −≤++， 所以()()1221e()11e 1e 11e g x w g x −−=−≥−=+++，当且仅当()1g x =−，即0x =时取等号．又()2e 11e()[()2]2e 11e x x f w x a a −−=+≤=++，当且仅当e 10x −=，即0x =时取等号．所以()()()()w g x f w x ≥，当且仅当0x =时取等号．所以()()()()w g x f w x =的解唯一． 综上，e 12e 2a −=−+．……11分。

2024届北京市海淀区首都师范大学附属中学数学高一第二学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．63B ．33C ．23D ．132．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位3．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．24．不等式2230x x +->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞5．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( )A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．537．已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ） A ．12B ．145C ．13D ．5178．sin300°的值为 A ．32B ．32-C ．12-D ．129．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( ) A ．14B ．16C ．19D ．11210． “φ＝”是“函数y=sin （x ＋φ）为偶函数的”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。