第九讲 周期问题

第九讲：周期问题例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。

（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……练习一（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一 (2001)字是什么字？（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？练习二1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？2，小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。

（1）他排到第111个是几分硬币？（2）这111个硬币加起来是多少元钱？3，河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。

接下去一直这样排列。

问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89…练习三1，下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。

问：这串数中第88个数是几？628088640448…2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 48 7 6 59 10 11 12…3，2001个学生按下列方法编号排成五列：一二三四五1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14…问：最后一个学生应该排在第几列？例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？练习四1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。

第9讲：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些按照一定规律不断重复的现象，如十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等等。

像这种日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单的周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解答。

在研究这些简单周期问题时，我们先要仔细审题，找出其不断重复出现的规律，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数求出正确的结果。

例题1、有一列数5、6、2、4、5、6、2、4、……（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？习题一、1、有一列数1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、……（1）第58个数是多少？（2）这58个数相加的和是多少？2、小青把积存下来的游戏币按先四个1元、再三个2元、最后两个5元这样的顺序一直往下排列。

（1）第111个游戏币的面值是多少？（2）这111个游戏币的面值之和是多少？3、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃树，在后面两棵是水蜜桃树，在后面三棵是大青桃树，接下来总是按一棵蟠桃树，两棵水蜜桃树，三棵大青桃树这样的规律种下去。

第100棵是哪种桃树？三种桃树各有多少棵？例题2、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表每年。

例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。

如果公元1年是鸡年，那么公元2001年是什么年？习题二、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物轮流代表每年。

1、如果公元3年是猪年，那么公元2000年是什么年？2、如果公元6年是虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？3、公元2001年是蛇年，公元2年是什么年？上表中每一列的两个符号组成1组，如第一组“A万”第2组“B事”……第20组是什么？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排列。

问：（1）白珠共有多少颗？（2）第68颗珠子是什么颜色？3、课外活动课上，有四个同学在进行报数游戏，他们围城一圈，甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总是比前一个人多1,45是谁报的？123呢？例题4、在一根绳子上依次串4颗红珠、2颗白珠、1颗黑珠，并按此顺序依次重复。

周期问题
在日常生活中，经常会有一种按照一定的规律不断重复出现的现象。

比如我们国家的十二生肖，就是按鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这样的顺序不断重复出现的。

在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。

在研究这些问题时，不仅要能发现其不断重复出现这一现象，还要找到重复出现的规律，也就是要找出循环的固定数，即周期。

如上所述的十二生肖，12种动物循环出现，也就是12个数的循环，周期是12；又如一个星期有7天，也是一个循环，按星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日这样的顺序不断重复出现，7个数的循环，周期是7.
研究循环周期问题时，还要能根据周期数确定余数，从而根据余数来判定所求的问题是一个循环中的第几个数。

例1 小明放学回家的路上种了200棵树，第1棵是梧桐树，后面2棵是杨树，再后面3棵是松树，接下去总是1棵梧桐树，2棵杨树，3棵松树，问：第200棵是什么树？三种树各种了多少棵？
例2假设所有自然数按下图的方式排列起来，那么1826应该排在哪个字母的下面？
A B C D E
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
例3 在下表中，每上、中、下三个字或字母组成一组，例如第一组是（X，爱，A），第三组是（Z，学，C），
写出第75组是什么？
例4 100个3相乘，积的个位数字是几？
巩固练习计算6÷7商的小数点后面1000个数字的和是几？
例5 今年小明的生日是6月30日，今年的6月5日是星期一，则今年小明生日的那天是星期几？
例6 小明的生日是每年的6月12日，2007年6月10日是星期天，2011年的6月12日是星期几？。

周期问题知识要点：1、周期问题：一些数、图形和事物的变化往往是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律的问题称为周期问题。

例如每隔7天是一周，则说周期是7；每隔12个月是一年，则说周期是12；每隔24小时是一昼夜，则说周期是24等。

2、在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

3、解决周期问题的方法：首先要发现问题的周期性和确定周期长度。

然后用画图、列举、计算等方法解决有关问题。

课前一练1、如图电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈；现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了20步，落在一个圆圈里；一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了24步落在另一个圆圈里，那么这两个圆圈里的乘积是多少？2、如下图有一串珠子按2粒白珠、3粒黑珠依次用线串出来，第32粒珠是什么颜色的，几个白球，几个黑球？○○●●●○○●●●○○●●●○○……思维拓展例题1、假设所有的自然数排列起来，如下所示，39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16………………解析：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大按照ABCDABCD……循环排列的,即是4个数为一周期，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析、判断。

39÷9=4……3 88÷4=22所以，39应该排在第4行第3个字母C下面，88应排在第22行第1个字母A 下面。

小窍门：找周期长度，再用总数除以周期长度，看余数。

练习：1、假设所有自然数排列起来，如下图所示，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？A B C1 2 34 5 67 8 910 11 12……………2、按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上？A B C D1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 14…………例题2过大年过大年过大……发压岁钱发压岁钱……上表是中，每一列两字组成一组，如第一组“过，发”，第二组“大，压”，……问第20个组是什么，几个“大”字，几个“发”字？解析：观察上表，发现有两个独立的排列规律。

周期问题六年级知识点周期问题是六年级数学中的重要知识点之一，它与数列和模式有关。

周期性是指一种重复出现的规律或模式，可以是数字、图形或事件的重复出现。

在六年级学习周期问题时，我们需要了解周期的定义、周期性的特点以及如何找到周期性的规律。

首先，周期的定义是指一组元素按照一定规律重复出现的过程。

这个过程中，每个元素都有其特定的位置，常用字母n表示元素在周期中的位置。

周期问题中常见的数列包括等差数列和等比数列。

在等差数列中，元素之间的差值是恒定的；在等比数列中，元素之间的比值是恒定的。

通过观察数列中的元素，我们可以发现它们按照一定规律重复出现，这就是周期性的表现。

其次，周期性的特点包括周期的长度和周期内的规律。

周期的长度是指周期中元素的个数，可以通过观察数列中的元素个数来确定。

周期内的规律是指元素之间的关系和变化规律，可以是递增、递减或其他规律。

例如，在等差数列中，每个元素之间的差值是恒定的，而在等比数列中，每个元素之间的比值是恒定的。

通过了解周期性的特点，我们可以根据已知条件去寻找周期性的规律。

一种常见的方法是绘制数列的图形表示，通过观察图形中的模式来找到周期性的规律。

另一种方法是利用周期性的特点，例如在等差数列中，我们可以利用公式an = a1 + (n-1)d来表示第n 个元素，其中an是第n个元素，a1是首项，d是公差。

通过这个公式，我们可以求解出数列中任意位置的元素。

对于六年级的学生来说，掌握周期问题的知识对于理解数列和模式有很大的帮助。

周期性是数学中一种重要的概念，它在生活中也有广泛的应用，例如天气变化、月相变化、交通信号灯等都具有周期性。

通过学习周期问题，我们可以培养学生观察和发现规律的能力，提高解决问题的思维能力。

总结起来，周期问题是六年级数学中的重要知识点，它涉及数列和模式中的周期性规律。

了解周期的定义、周期性的特点以及找到周期性规律的方法，能够帮助学生更好地理解数学中的周期问题，并应用到实际生活中。

周期问题知识点总结日历周期问题是指涉及时间、距离、速度等概念的数学问题。

周期问题是数学中常见的问题类型，其解决方法多样，需要在数学知识的基础上灵活运用。

本文将介绍周期问题的基本概念、解题方法和相关知识点，希望能帮助读者更好地理解和解决周期问题。

一、基本概念1. 周期周期是指在某一过程中，某一现象、规律或变化在一定的时间、距离或速度下重复出现的时间段或距离，例如地球绕太阳一周的时间、月亮围绕地球一周的时间等均为周期。

2. 周期性周期性是指某一现象、规律或变化具有重复性的特点，即在一定的时间、距离或速度下，这一现象、规律或变化会以一定的周期性重复出现。

3. 周期函数周期函数是指函数图像在一定范围内具有规律性的重复性，其图像呈现周期性变化。

周期函数的特点是在所给的自变量域内，函数值在一定的周期范围内重复出现。

4. 周期问题周期问题是指涉及时间、距离、速度等概念的数学问题，其解决方法多样，需要在数学知识的基础上灵活运用。

周期问题常常涉及生活中的实际问题，如交通工具的运行时间、动力学问题等。

二、解题方法1. 列表法列表法是解决周期问题的一种简单直接的方法。

通过列出一系列数据，如时间、距离、速度等，然后根据所给条件使用逻辑推理或数学运算进行解答。

2. 画图法画图法是解决周期问题的常用方法之一。

通过画出相关的图形，如时序图、距离图、速度图等，然后根据图形特点进行分析推理，找出问题的解答。

3. 公式法公式法是解决周期问题的一种高效、精确的方法。

通过建立简单、精确的数学模型，然后根据所给条件使用相应的公式进行计算，得出问题的解答。

4. 几何法几何法是解决周期问题的一种可视化方法。

通过将问题抽象转化为几何图形，然后根据图形特点进行分析推理，找出问题的解答。

5. 分析法分析法是解决周期问题的一种综合方法。

通过对周期性现象的周期、规律、特点等进行分析，然后根据所给条件进行逻辑推理或数学运算，找出问题的解答。

三、相关知识点1. 速度速度是物体在单位时间内所经过的距离，是描述物体运动变化快慢的物理量。

周期问题一、概念和原理周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1 ．图形中的周期问题；2 ．数列中的周期问题；3 ．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，⋯那么第 18 个数是多少？这个数列的周期是 2，18 2 9，所以第 18 个数是2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，⋯那么第 16 个数是多少？这个数列的周期是 3，16 3 5 1，所以第 16 个数是 1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，⋯那么第 16 个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是 2，(16 1) 2 7 1，所以第 16个数是 2．二、图形中的周期问题例 1：小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：••○••○••○⋯你知道它们所排列的这些小球中，第 90 个是什么球？第 100个又是什么球呢？例 2：美美有黑珠、白珠共 102 个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○•○○○•○○○•○○○⋯⋯那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕白颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中有多少个吗？练一练：1.小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第 73 颗是什么颜色的？⑵第 10 颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第 8颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？2.奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你⋯⋯”依次排列，第 28 个字是什么字？3.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯．那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？4.节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，然后又是 5 盏红灯、 4 盏蓝灯、 1 盏黄灯、⋯⋯这样排下去．问：⑴第 150 盏灯是什么颜色？⑵前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？5.在一根绳子上依次穿 2 个红珠、 2 个白珠、 5 个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第 50 颗，那么其中白珠有多少颗？6.如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，B ”⋯⋯⑴写出第 62 组是什么？⑵如果“爱，C ”代表 1991年，那么“科，D ”代表 1992 年⋯⋯问 2008 年对应怎样的组？7. 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥）， 第二组为（北林），那么第 50 组是什么？新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运⋯⋯奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会⋯⋯8. 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是 1 米，A 、B 、C 三点周围的阴影部分是圆形的水洼。

五年级思维数学讲义（64期）第九讲 周期问题思维目标：充分利用周期现象，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

数学知识：学会平均数的计算以及它在生活中的一些应用。

思维：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

数学：总数÷数量=平均数 平均数×数量=总数 总数÷平均数=数量例1 将奇数如下图排列，各列分别用A 、B 、C 、D 、E 为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25… … … …… … … …金钥匙：这列数按每8个数一组有规律排列着。

2001是这一列数中的第1001个数，1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母B 为代表的。

点金术：找到周期现象中的规律，利用规律找到解决问题的方法。

试金石：1，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32学习目标 精讲精练知识梳理……………………2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10………………3，上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

求第460组是什么？例2 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？金钥匙：从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断重复出现。

我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。

点金术：100÷6=16 (4)余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。

周期问题
周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题。

这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

我们接触过许多的周期现象，如年、月、日，如星期等。

当然，周期问题是很抽象的，我们不能拿时间的周期性来“先入为主”。

周期问题，生活常见，哪怕就是在身边很熟悉的环境中，进行周期问题的探究学习，也是需要一个由浅入深、直观而深入、感性而理性的逐渐深化的过程。

就拿每周七天的周期问题来说，我们不能按几十天、上百天的时间总长度去周期分段，而应从八天、十天等短时间段去做周期分段。

周期问题中，也存在一个验算证明的过程。

那就是运用算式计算方法与画一画方法之间的相互验算证明。

此外，在周期问题的学习探讨中，一定不能偏离对基本单周期的排序问题的认知：如一个周期内的个数问题、物体之间的空间排序问题等等。

次之后，才是周期现象的有序迁移，由此探究周期规律，才算是来龙去脉交代清楚了。

周期问题知识点总结周期问题是指周期性发生并且可以被预测的事件或现象。

它们在自然界和人类生活中随处可见，涵盖了从微观到宏观的各种领域。

周期问题的研究不仅有助于我们更好地理解自然规律和社会现象，还为我们提供了有效的预测和管理周期性事件的工具。

本文将从周期问题的定义、分类、原因以及周期问题的应用等方面进行总结。

一、周期问题的定义周期问题是指某一事件或现象在一定时间内出现相同或相似的情况，形成一定的规律性。

周期问题是自然界和社会生活中常见的一种现象，如地球公转、季节更替、人类的生物钟等都属于周期问题。

周期问题可分为固定周期和不固定周期两种。

固定周期是指在一定的时间内，事件或现象重复出现的间隔是固定的，如地球自转一周为一个固定周期。

不固定周期是指在一定的时间内，事件或现象重复出现的间隔不是固定的，如人类的月经周期就是一个不固定周期。

二、周期问题的分类周期问题可以根据其发生的规律性、周期性和性质进行分类。

根据发生的规律性，周期问题可以分为简单周期问题和复杂周期问题两种。

简单周期问题是指事件或现象在一定时间内规律性地重复出现，如月相变化、潮汐运动等都属于简单周期问题。

复杂周期问题是指在一定时间内，事件或现象具有多重规律性，常常呈现多个周期共存的情况，如气候变化、人口增长等都属于复杂周期问题。

根据周期性，周期问题可以分为长周期问题和短周期问题两种。

长周期问题是指事件或现象在较长的时间内重复出现，如地球的气候变化、人类的历史发展等都属于长周期问题。

短周期问题是指事件或现象在较短的时间内规律性地重复出现，如月相变化、潮汐运动等都属于短周期问题。

三、周期问题的原因周期问题的形成有多种原因，主要包括自然原因和社会原因。

自然原因是指事件或现象周期性发生的原因是由于自然界规律性的变化引起的，如地球的公转、月球的绕地运动等都是自然原因引起的周期问题。

社会原因是指事件或现象周期性发生的原因是由于社会经济、文化、政治等因素引起的，如经济周期、社会风气变化等都是社会原因引起的周期问题。