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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作通锡苏2015届高考数学密卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共7页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合{}{}=125,=4A B a a +，，,，若=AB B ,则实数a =___________.2. 若复数()(1)a bi i ++为纯虚数（i 为虚数单位），则a b -=___________.3. 某位同学在中学阶段六年中，每年阅读的文学著作数目分别为6,9,5,8,10,4，则该组数据的方差2=s ___________.4. 通锡苏学大教育欲举办主题为“我环保、我行动”的环保知识竞猜活动.某校区准备从甲、乙、丙、丁四名同学中随机的选取两名代表参加比赛，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为__________.5. 右图是一个算法流程图，则输出的k 值是__________.6. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，32AB AD ==，，则AE DE ⋅=__________.7. 函数75()2sin 3,([,])61818f x x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的图像与直线1y =交于P Q 、两点，则=PQ __________.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ． 9. 如图，三棱锥P ABC -的体积为12，D 为PB 中点，且1// //2EF MN AC ，则三棱柱BEF DMN -的体积为________. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A B 、分别为椭圆上顶点和右顶点，若=2AB BF a +，则椭圆离心率是 ． 11. 在ABC ∆中，2AB BC =，则cos A 的最小值是 ．12. 已知函数()2x f x e ax =-与32()(21)g x x ax a x =-+-+的图像不存在相互平行或重合的切线，则实数a 的取值范围为 ．13. 已知函数2+1,1()52,x x x f x x x ⎧+≤=⎨->1⎩，若方程()f x m =有两个不相等的实数根12x x 、，且121x x +<-，则实数m 的取值范围为 ．14.已知等差数列{}n a 通项公式为2n a n =，公比为q 的等比数列{}n b 满足()n n b a n N +≥∈恒成立，且44b a =，则公比q 的取值范围为___________.二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分) 如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，角α与β的终边分别与单位圆交于(,)(,)B B C C B x y C x y 、两点，且满足4πβα-=，其中α为锐角.（1）当AOB ∆为正三角形时，求OC AB ⋅； （2）当35C x =-时，求AOB S ∆.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱'''ABC A B C -中，侧面''AA C C 为正方形，'5AA =，4BC =，''=3A B ，E F 、分别是''A C BC 、的中点．（1）证明：'//C F 面ABE ； （2）证明：面ABE ⊥面''BB C C .17.（本小题满分14分） 如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M N 、两点分别在半径OA 、OB 上，P Q 、两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M N 、分别是OA OB 、中点，求四边形MNQP 面积的最大值. （2）若2PQ =，求四边形MNQP 面积的最大值.18.(本小题满分16分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，B A 、分别是其左右顶点，直线AE 交其右准线CE 于点E ，交椭圆于点1(,3)D e,其中e 为椭圆的离心率，B 为线段OC 的中点.圆C 是以C 点为圆心，CB 长为半径的圆.P为直线AE 上任意一点，过P 向圆C 作切线，切点分别为N M 、.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：线段MN 的中点在一个定圆上.19.（本小题满分16分）设函数()||ln f x x b a x =--，其中a b 、均为非负实数.（1）当0b >时，若函数()f x 在x b =处取得极小值，证明：0a b ≤≤.（2）若对1[,]a e e∀∈，不等式()0f x ≥恒成立，求实数b 的值；（3）若(0,)a ∃∈+∞，使得方程2()1f a b =-有解，试求实数b 的取值范围.20.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，3=3()n n a a n N +++∈，11a =，n S 是其前n 项和.记(00,1)n S an a n b c a c c ++=≥>≠，.（1）设数列{}32()n a n N -+∈的前n 项和为n T ，求n T 表达式； （2）若158=15120S a =，证明：{}n a 为等差数列；（3）若数列{}n b 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式，并求此时实数a 的值.通锡苏2015届高考数学密卷数学附加题21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应．．．．．．．．．．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB为O的直径，弦CD垂直AB于点E，线段EF垂直于BC，并反向延长交AD于点M. 证明:M为AD中点.B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵2()21aA a R⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求矩阵A的另一个特征值及对应的特征向量.C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为22sin()4ρθπ=+，求圆C上的点到直线sin()23πρθ+=-距离的最小值．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知正实数x y z、、满足221x y z++=.求3xy yz xz++的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2,4PA AB AD ===，E 为线段PD 上一动点（不含端点），记PEPDλ=. （1）当1=2λ时，求异面直线PB 与EC 所成角的余弦值. （2）当平面PAB 与平面ACE 所成二面角的余弦值为13时，求λ的值.23. (本小题满分10分).若存在一数列的前n 项和为n na ，则称该数列为数列{}n a 的“一阶衍生数列”，记作{}1()n a ；同样的，若存在一数列的前n 项和为1()n n a ，则称该数列为数列{}n a 的“二阶衍生数列”，记作{}2()n a .记()m k a 为数列{}n a 的“k 阶衍生数列”中的第m 项.已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （1）写出数列{}2()1n a -的前四项；（2）求证：对任意给定的2m ≥且m N +∈，数列{}()1m n a -为等比数列.。
2015年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设，，其中是虚数单位，则 ．2．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木 的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木 中，底部周长不小于的有 株． 4．设向量，，且，若， 则实数 ．5．如图所示的流程图的运行结果是 ． 6．将边长为的正方形沿对角线折起，使， 则三棱锥的体积为 ． 7．设等差数列的前项和为，若，． 当取最大值时， ． 8．已知，且，则 ．9．若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆 相交的概率为 ．10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是，则实数的取值范围为 ．11．已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ．13．设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 ． 14．设函数，则满足的的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设，为垂足，若，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．18．（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积； （3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．19．（本小题满分16分） 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴． （1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：． 20．（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足． （1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列； ②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，131ni n λ=-≤+ 求实数的取值范围．DCBA第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．． 内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段 的垂直平分线．已知，求线段的长度． B ．（选修４－２：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的 极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）设均为正数，．求证：111a b c++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）已知数列满足，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+． 23．（本小题满分10分）如图，已知点，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、． ①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．2015年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.； 10.； 11.；【解析】当时，，由条件得，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象由唯一的交点．12.；【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即231()1()323231132n n --⋅>--，解之得，，只能取． 14.；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x xf x --'=+-=+-≥->，函数在上单调递增，且，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得或．二、解答题15. （1）tan (2)tan b A c b B =-，由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又在中，， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=， 又，， 又，；（2） 由余弦定理，，，，，， 11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅，即，， 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.16.（1）底面为矩形，，又，，，平面， 又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.17. （1）在中，，且，，由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯ 13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=，即大学与站的距离为； （2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,，，， ， ，，，sin sin()4ABO πα∴∠=-=，又，sin sin()AOB πα∴∠=-， 在中，， 由正弦定理得，，即1521AB =，，即铁路段的长为． 18. （1）圆的方程为，直线与圆O 相切，，即，又，，，椭圆的方程为；（2）由题意，可得11((,M N ，圆的半径，AB ∴==的面积为；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，的斜率为，直线的方程为， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中，，， 则直线的方程为， 令，则， 即， 直线的方程为，由，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，，的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -+-==-+-+- ，2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++，，由题意得，；（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，①当时，， 当时，，函数在单调减； 当时，，函数在单调增；②当时，即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， 函数在上单调减；函数在和单调增；③当时，即，2(1)()0(0)x g x x x-'=≥>，函数在单调增；④当时．即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， 函数在单调减区间；函数在和单调增；（3）由题设，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令，则11()1(1)xh x x x x-'=-=>，时，，函数在是减函数， 而，时，，， 222111()ln 10x x xh x x x ∴=-+<，即， ②令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>，时，，在是增函数，时，， 2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->， 即221111ln x x x x -< ③由①②③得． 20.（1），，①令，可得，即， 令，可得，即，,213122n n a S n n ∴+=++， ①当时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即，又，，，数列是等比数列； ② 数列是等差数列，设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+，， 1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当时，数列是等差数列，，(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+，22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， ，，2n 1(1)11111(1)1n n a n n n n ++++==+-++， 1111ni n n ==+-∴+， 13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即，，，令， 22222()1x f x x x -'=-=，当时，，在上是增函数，而，，．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A ．连接BC ，相交于点．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设，则，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又，即有，解得（舍）或 所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，． B ．，即， 解得，， 解法一：， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设，由，得32103201c dc d e f e f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦31,30,20,2 1.c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，又圆经过点，圆的半径1r =，圆过原点，圆的极坐标方程是． （说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由为正数，根据平均值不等式，得，，．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++．由，则有．所以，111a b c ++= 22.（1）令，则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n nc n n ++++++++++====+++=， ，，，数列，即是等比数列； （2）由（1）得，，，下面用数学归纳法证明当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+．①当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+；当时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++-4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++当时，不等式也成立． 由①②可得，当，时，12241521n n n b b b n +++++≤-+． 23. （1）设，则，，，，，，22()2()p y p x p y p ∴+=--，，即动点的轨迹的方程为；另解：设，则，，，以为邻边的平行四边形是菱形，，y p =+ ，， 即动点的轨迹的方程为；（2）①设，，，则切线的方程，21101()42x x p x x p p∴--=-，， ① 同理， ②方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-=，，即、、三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得是方程的两根，，即、、三点的横坐标成等差数列.②由①②得是方程的两根，，，，，20，20=，20=， ，或.。
2023年江苏省苏锡常镇四市高考数学调研试卷（一）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D. R2. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为( )A. 10B.C.D. 23. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则( )A. B. C. D.4. 已知正四面体的棱长为1，点O为底面ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为( )A. B. C. D.5. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是( )A. B. C. D.6. 在中，，的角平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则( )A. B. C. D.7. 已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值作代表分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )A. B.C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为10. 已知正数a，b满足，则( )A. 的最小值为B. ab的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为11. 已知函数，则下列结论正确的有( )A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B. 若，则当时，的取值范围为C. 若在区间上恰有3个极大值点，则D. 若在区间上单调递减，则12. 正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则( )A. BF与DE垂直B. BF与DE一定是异面直线C. 存在点E，F，使得三棱锥的体积为D. 当E，F分别是，的中点时，平面AEF截正方体所得截面的周长为13. 的展开式中的系数为______ .14. 在中，已知，，BE与AD交于点若，则______ .15. 已知圆C：，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则______ .16. 已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则______ .17. 已知等比数列的各项均为正数，且，求的通项公式；数列满足，求的前n项和18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的值；若，，求的面积.19. 在三棱柱中，平面平面ABC，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.求证：平面；点P在线段上异于点，，AP与平面所成角为，求的值.20. 某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.若，，试估算该小区化验的总次数；若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.注：当时，21. 已知直线l与抛物线：交于两点，，与抛物线：交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.若直线l过点，且，求直线l的方程；①证明：；②设，的面积分别为，为坐标原点，若，求22. 已知定义在上的两个函数，求函数的最小值；设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据补集的定义和运算求出B的补集，结合并集的定义和运算即可求解．本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．【解答】解：由，得，，又，故选：2.【答案】D【解析】【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的长度为故选：3.【答案】D【解析】解：由题可得，，所以故选：根据古典概型概率公式求出，，然后利用条件概率公式即得．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：正四面体的棱长为1，正四面体的高为，由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为r，则，，故选：由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即可求解．本题考查正四面体的内切球问题，等体积法思想的应用，方程思想，属中档题．5.【答案】D【解析】解：当时，，因为，，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由可得，解得，故选：利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：因为，即，在中，作AB边上高，垂足为H，则故选：利用面积之比可得，作AB边上高，垂足为H，即可求本题主要考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，设，，则，又，两式做差可得，即，所以故选：根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解．本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，，当时，，解得，当时，，则，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，，则，又，数列为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，，又，则，又，则，当n为奇数时，，即，则，解得；当n为偶数时，，即，解得；综上所述，实数a的取值范围为故选：根据与的关系结合等比数列的概念可得，可得，然后结合条件可得，分类讨论，即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，，A正确；对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，所以，B错误；对于C，70分以下的人数为人，C错误；对于D，平均成绩，D正确，故选：根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，正数a，b满足，当且仅当时取等号，解得，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误．故选：利用基本不等式结合条件逐项分析即得．本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由题可得，对于选项A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，故A选项错误；对于选项B，，，则，，所以，故B选项正确；对于选项C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得故C选项正确；对于选项D，，则，因为单调递减，所以，，且，即，解得，，且，当时，，当时，，故D选项错误．故选：由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象变换，正弦型函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】【分析】设，利用坐标法可判断A，利用特值法可判断B，根据体积公式表示出三棱锥的体积可判断C，作出截面结合条件可得周长判断本题考查了立体几何的综合应用，属于较难题．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，A：由题可得，所以，所以，即，故A正确；B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时BF与DE不是异面直线，故B错误；C：由，可得，则，由于，故C正确；D ：直线EF与，分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，则五边形ANFEM为平面AEF截正方体所得的截面，因为E，F分别是，的中点，所以易得，故可得，因为，所以，可得，同理可得，所以五边形ANFEM的周长为，故D正确．故选：13.【答案】【解析】解：因为的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为故答案为：利用二项展开式的通项公式求解．本题主要考查了二项式展开式中的指定项的系数求解，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得．本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于基础题．【解答】解：因为，，所以，，又，所以，，又BE与AD交于点O，所以，所以，即故答案为：15.【答案】【解析】解：易知圆心，半径，取AB中点D，则，因为，所以，所以，则，又，所以，即，故故答案为：根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解．本题主要考查圆的弦长的求解，考查向量数量积的性质的应用，属于中档题．16.【答案】2【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．【解答】解：因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以故答案为：17.【答案】解：，，，解得，；由题可知，，，两式相减可得：，【解析】根据等比数列基本量的运算可得，q，即可得数列的通项公式；由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得．本题考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，错位相减法求和，属中档题．18.【答案】解：若，则，，，，，解得或，又，；若，由，可得，，，又，，，，是以C为顶角的等腰三角形，，的面积为【解析】本题考查解三角形，三角函数公式的应用，三角方程的求解，三角形面积的求解，属中档题．根据三角恒等变换可得，结合条件可得关于的方程，进而即得；根据条件可得，进而可得，然后根据三角形面积的公式即得．19.【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，，平面，，所以平面解：取AB的中点O，连接，四边形为菱形，且，所以因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，又平面ABC，所以又因为，，，平面，所以平面取BC中点D，连结OD，以O为原点，OB，OD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，设平面的一个法向量为，所以，即，令，可得平面的一个法向量设，可得点，，由题意，解得或舍，即【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．根据线面垂直的判定定理证明；利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解．20.【答案】解：设每位居民需化验的次数为X，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，，，所以2000名居民总化验次数约为次；设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，所以，，所以，每位居民的化验费用为：元，当且仅当，即时取等号，故时，每位居民化验费用的期望最小．【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．设每位居民需化验的次数为X，则X可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得．21.【答案】解：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立，整理可得，可知，，则，则，由题意可知，整理可得：，解得，所以直线l的方程为：，即；①证明：设直线l的方程为，，设，联立，整理可得：，可得，，所以，即，联立，整理可得：，可得，，所以，即，所以可证得：；②解：由①可知，，即，即，因为，所以，所以，即，可知M为AD的中点，所以，代入抛物线的方程可得，解得，，，因为，，所以【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用.显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程，与抛物线联立，可得两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系，求出，的表达式，代入中，由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程；①设直线l的方程，分别与两条抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得A，B的纵坐标的关系及C，D的纵坐标的关系，进而可证得都是成立；②由①可得A，C的纵坐标的关系，及B，D的纵坐标的关系，由，可得直线l与x轴的交点M为AD的中点，可得A，D的坐标的关系，代入抛物线的方程，可得A，B，C，D 的纵坐标的中，进而求出面积之比．22.【答案】解：因为，，所以，，则，令，解得，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；由，可得，作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点，设，则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且，所以，由，可得，且，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，设，则，函数在上单调递增，又，则，解得，则，即，所以【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，本题的关键是构造函数，进而把问题转化为求最值问题，然后利用导函数结合条件即得，题目较难.由题可得，然后利用导数求函数的最值即得；构造函数，题设等价于恒成立，求实数k 的最大值，然后利用导数研究函数的性质，求出k的最大值进而即得．。
β⊂m α⊂n n m //2013年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足()i i z i 23+-=+(i 为虚数单位),则z 的实部是 . 2．若全集U {}23|||2,{|log (1)1}x x A x x =<=-<，则A =U ð .3．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分. 4．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 5．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ． 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若，， ， ，则 ； （2）若， ， ， ，则 ；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 ．7．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的一般方程为 ．8．已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28, 则a 的范围是 ____ ____．9．如图，ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心， 1为半径的圆上的任意一点，则BP AP ∙的最小值 ．10．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2=，则C 的离心率为 ． （第9题图）PBAC（第5题图）βα//βα//β⊥m α//n n m ⊥11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝ ． 12．已知△ABC 中，设,,,,,a b c A B C ∠∠∠分别为的对边长，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2b a c a b ab++的最大值为 . 13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ．14．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44f x x m x x x ππ=+++-， (1) 当m =0时，求()f x 在区间(0,)2π上的取值范围；(2) 当tan 2α=时， 3()5f α=，求m 的值．16．（本小题满分14分）已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(1) 求证：11B D AE ⊥； (2) 求证：//AC 平面1B DE ．17.（本题满分14分）如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45θ︒+（其中1tan,0455θθ=︒<<︒）且与观测站A相距海里的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．北BA18．(本小题满分16分)已知双曲线221. 62x y-=（1）点P在以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由;（2）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求CMN∆面积的最大值，并求此时直线l的方程.19．（本小题满分16分）设12,x x 是()()321,,032a b f x x x x a b R a -=++∈>的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=（1）如果1224x x <<< ，求证：()23f '->； （2）如果1212,2x x x <-= ，求b 的取值范围；（3）如果2a ≥ ，且()21122,,x x x x x -=∈时，函数()()()22g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值.20．（本小题满分16分）如果无穷数列{a n }满足下列条件：① a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；② 存在实数M ，使得a n ≤M，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1) 设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且是Ω数列，求M 的取值范围； (2) 设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3) 设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m .C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ.(1) 将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 判断点A 与圆O 1的位置关系．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ．求证：x x ＋a ＞yy ＋b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知甲盒有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.23． 已知2012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-++-∈(1) 求0a 及1nn i i S a ==∑；(2) 试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由.。
江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-【答案】D【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-，故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.7． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 10．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b，∴3b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________． 2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2-4y=0的一条对称轴，则a=________． 6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，直线:l y =与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1，则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅=⋅+________．二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求cos2β；（Ⅱ）求tan()αβ+的值．16．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AE平面PDC ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BC ．17．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为8dm （圆心O 在弓形EMF 内），23EOF π∠=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），ADBC ，且点A ，D 在EF 上，设2AOD α∠=．（Ⅰ）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于α的函数关系式（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos α的值．18．已知点52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，12,A A 分别为E 的左、右顶点，直线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2，CA 2分别与直线l 交于P ，Q两点，以PQ 为直径的圆过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭，求直线m 的方程．19．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当x>1时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，若*n a N ∈，且1, (1,2,3,)23,nn n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数是奇数，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为S n ． （Ⅰ）若a 1=10，求S 3n 的值； （Ⅱ）若S 3=17，求a 1的值；（Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换] 给定矩阵3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（Ⅰ）求矩阵A 的特征值；（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的方程1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．C ．[选修4-5：不等式选讲]若m ，n 都是正数，且存在实数x 使得11|14||12|x x m n ⎛⎫--+≤-+ ⎪⎝⎭成立，求m+n 的最小值．【必做题】第22题、第23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．设1002100012100(2)a a x a x a x =++++，求下列各式的值：（Ⅰ）求a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布()2,15.2N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；（Ⅱ）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （1<n<20且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=， (22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Y μσμσ-<<+=， 40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ答案二．解答题15解：（Ⅰ）由224cos 212sin 125ββ=-=-⨯=⎝⎭． （Ⅱ）由in 0,2s πββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得：cos β=． 由sin )ααβ+得 sin[()])αββαβ+-=+ sin()cos())αβαβαβ⇒+-+=+ ))αβαβ+=+ tan()2αβ⇒+=-．16．解：（Ⅰ）取PC 的中点F ，连接EF ，FD ∵E 是PB 的中点 ∴1,2EF BC EF BC =又1,2ADBC AD BC =∴EF AD ，EF=AD ．即四边形ADFE 为平行四边形． 又∵AE DF ，DF ⊂平面 PCD ，AE ⊄平面PCD ∴AE 平面PCD（Ⅱ）∵PD=DC ，显然DF ⊥PC ． 又∵ PD ABCDPD BC BC ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面， 又∵CD ⊥BC ，CD∩PD=D ∴BC ⊥平面PCD 又∵DF ⊂平面PCD ∴BC ⊥DF 又∵BC∩PC=C ∴DF ⊥平面PBC 又∵AE//DF ∴AE ⊥平面PBC 又∵BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥BC ． 17．解：（Ⅰ）设矩形ABCD 的面积为S ，AOM α∠=． 当03πα<<时（图1），8cos 8cos8cos 4,28sin 16sin 3AB AD παααα=+=+=⨯=此时，16sin (8cos 4)64(sin 2sin cos )S AB AD ααααα=⋅=⨯+=+.当233ππα≤<时（图2），28cos 16cos ,28sin 16sin AB AD αααα=⨯==⨯=此时，16sin 16cos 128sin2S AB AD ααα=⋅=⨯=．故矩形ABCD 的面积为64(sin 2sin cos ),032128sin 2,33S πααααππαα⎧+<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩（Ⅱ）当03πα<<时，()()222'64cos 2cos 2sin 644cos cos 2S ααααα=+-=+-．令'0S =，得cos α=0α． 当()00,αα∈，0S '>，此时S 单调递增；当0,3παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0S '<，此时S 单调递减；故当0αα=时，S 取极大值． 当233ππα≤<时，128sin2S α=是单调递减． 故当0αα=时，即cos α=18．解：（Ⅰ）由题意知，224251955533229a b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，得：2295a b ⎧=⎨=⎩． 所求椭圆方程22195a y +=．（Ⅱ）设()()11222,,,,(3,0)B x y C x y A BC 直线方程：x=ky+2，与抛物线方程联立 222195x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()225920250k y ky ++-= 由韦达定理，12212220592559k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由条件，BA 2直线方程：1(3)y k x =-， 令92x =，得：132P k y =，139,22k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由条件，CA 2直线方程：2(3)y k x =-， 令92x =，得：232Q k y =，239,22k Q ⎛⎫⎪⎝⎭．∴以PQ 为直径的圆的方程2123330222k k x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：()2212123390224x y k k y k k ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭（*）12121212123311y y y y k k x x ky ky +=+=+---- ()()2212122212122225202210595925201315959k k ky y y y k k k k k y y k y y k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⋅⎝⎭. 12121212123311y y y y k k x x ky ky =⋅=⋅----()2122212122225255925201915959y y k k k y y k y y k k k k ⋅+===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.将12k k +，12k k 带入式（*），得： 223255024x y ky ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭． 将3,12⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2120k =，∴21220x y =+．即所求直线m 方程20x-21y-40=0． 19.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 22212(22)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++． 令2(22)10x a x +-+=，则2(22)44(2)a a a ∆=--=-． （1）当02a ≤≤时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （2）当a<0时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （3）当a>2时，'()0f x =，得1,21x a =-此时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+；综上所述，a≤2时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间； a>2时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）a≤2时，()f x 在(0,)+∞单调递增． ∵x≥1时，∴()(1)0f x f >=，符合题意．（2）a>2时，111a a -<-()f x 在(1,1a -+单调递减，(1)a -+∞单调递增．∴()(1(1)0f x f a f =-<=最小值，不符合题意．（15分） ∴实数a 的取值范围(,2]-∞．20．解：（Ⅰ）当a 1=10时，{a n }中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…， 所以S 3n =7n+16．（Ⅱ）（1）若a 1是奇数，则a 2=a 1+3是偶数，213322a a a +==， 由S 3=17，得()11133172a a a ++++=，解得a 1=5，适合题意． （2）若a 1是偶数，不妨设()*12a k k =∈N ，则122a a k ==． 若k 是偶数，则2322a k a ==， 由S 3=17，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则a 3=k+3，由S 3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上，15a =．（Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a ≤成立． 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >， 则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<． 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立．经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3， 综上，{}n a 中总有一项为1或3． 21【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ）A 的特征多项式为 231||(3)1(4)(2)13λλλλλλ---==--=----A E所以A 的特征值为12λ=，24λ=．（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31121213121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31141413141-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．所以111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由题意知，直线l 过点(1,0)P ，且倾斜角6π， 直线l的参数方程：112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）；由24cos 4cos cos 4sin sin 333πππρθρρθρθ⎛⎫=+⇒=- ⎪⎝⎭222220(1)(4x y x x y ⇒+-+=⇒-++=将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22142t ⎫⎛++=⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理，得210t -=，由韦达定理得：12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩∴12||||||AB PA PB t t =+=-==．C ．[选修4-5：不等式选讲]解：设122,411()|41||21|6,24122,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当14x =，min 3()2f x =-．由题意，min 11()f x m n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即1132m n ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，1132m n +≤．11()2224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭．48113m n m n ∴+≥≥+. 当且仅当m=n 时，m+n 的最小值83．【必做题】22．解：（Ⅰ）10002a =．（Ⅱ）令x=1，得1000123100(2a a a a a -=+++++；令x=-1，得1000123100(2a a a a a +=-+-++；∴()()22024********a a a a a a a a ++++-++++()()01231000123100a a a a a a a a a a =+++++-+-++100100(2(2=⋅+1=．23．解： （Ⅰ）2156251235184522552265127548529554.8100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；(54.815.254.815.2)(39.670)0.6826P Z P Z ∴-<<+=<<=．故1(39.670)10.6826(70)0.158715.87%22P Z P Z -<<-≥====．（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为110，n 的可能取值为2，4，5，10．当{2,4,5,10}n ∈时，1~,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于某组n 个人，化验次数Y 的可能值为：1，n+19(1)10n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9(1)110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 999()1(1)11101010n n n E Y n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 则20人的化验总次数为20919()12011010n n f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 经计算(2)13.8,(4)11.8,(5)12.2,(10)15f f f f ≈≈≈≈当n=4时符合题意，按4人一组检测，可使化验总次数最少．。
2021届南通密卷高三模拟试卷数学(考试时间：150分钟满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交监考老师.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|||2|,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A.9 B.10 C.12 D.132.设z 是复数，则下列命题中正确的是（ ） A.若z 是纯虚数，则20z ≥ B.若z 的实部为0，则z 为纯虚数 C.若0z z -=，则z 是实数 D.若0z z +=，则z 是纯虚数3.关于函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，有下列四个命题： 甲：a <0；乙：()0f x =的三根分别为1231,0,2x x x =-==； 丙：()f x 在(0,2)上恒为负； 丁：()f x 在(2,)∞+上单调递增.如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.四色定理(Fourcolortheorem )又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie )提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A.36种 B.72种 C.48种 D.24种5.函数()sin 2cos f x x x =-在[0,3]π上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D.86.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形8.已知()(),x f x e g x ==若()()1221,f x g x d x x ==-，则d 的最小值为（ ）A.1ln22- B.1ln2- C.14 D.1e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若非负实数a ，b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ）A.214ab ≤B.2412a b +≥b ≥D.2234a b +≥10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，那么下列说法中正确的有（ ）A.若点P 在双曲线C 上，则1222PF PFb k k a⋅= B.双曲线22221y x a b-=的焦点均在以12F F 为直径的圆上C.双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=D.双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F 是直角三角形11.法国数学家柯西(A.Cauchy ，17891857-研究了函数21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩的相关性质，并证明了()f x 在0x =处的各阶导数均为0.对于函数()f x ，有如下判断，其中正确的有（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 在是(),0∞-上单调递减C.()()f f e π-<D.若()a f x b ≤<恒成立，则b a -的最小值为112.在锐角三角形ABC 中，三个内角满足A B C <<，则下列不等式中正确的有（ ） A.cos 2C C π+< B.cos cos A B B A ->-C.sin 2C C π>D.sin sin B B A A>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设02πθ<<，向量()3cos2,cos ,1,sin .2a b θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭若a b ⊥则tan θ=__________. 14.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a a+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.若椭圆1C 与抛物线2C 相交于点A ，B ，且直线AB 经过点F ，则椭圆1C 的离心率为___________.15.已知()f x 在(0,)∞+上是减函数，且()()()1f x f y f xy +=+对任意的(0,)x ∞∈+都成立，写出一个满足以上特征的函数()f x =___________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2，3ABC π∠=.现将菱形沿对角线AC 折成空间几何体ABCD '.设空间几何体ABCD '的外接球为球O ，若球O 的表面积为8π，则二面角B ﹣AC ﹣D '的余弦值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①1a ，3a 的等差中项是3，①24,a a 的等比中项是a 12，①13514a a a ++=.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分. 已知正项等比数列{}n a 满足_____，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项积为n T ，求数列21log n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在①ABC 中，①ABC =2①ACB ，①ABC 和①ACB 的平分线交于点D. （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求①BDC 的大小.19.某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%. （1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.愿意观看电影不愿意观看电影合计35岁以下 35岁及以上 合计（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表： 观看场次 1 2 3 4 占比40%30%20%10%现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X ，求X 的概率分布和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.82820.如图，在正三棱锥S ﹣ABC 中，E 是高SO 上一点，12AO SA =，直线EA与底面所成角的正切值为2.（1）求证：AE ①平面EBC ；（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积.21.已知抛物线24y x =，点(2,0),(4,0)P Q .过点Q 的直线交抛物线于点A ，B ，AP ，BP 分别交抛物线于点C ，D ，连接AD ，DC ，CB .（1）若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，求21k k 的值； （2）过点P 与x 轴垂直的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，求证：.PE PF = 22.已知函数()cos ,()ln (1ln )cos f x x g x x x x x xππππ=+=-+-.（1）求证：函数()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点； （2）求证：函数()g x 有唯一的极值点.2021届南通密卷高三模拟试卷数学 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.解：（1）记数列{}n a的公比为(0)q q >.选①①，则2131124424116,,a a a a q a a a q a ⎧+=+=⎨==⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则21311241351116,14,a a a a q a a a a a q a q ⎧+=+=⎨++=++=⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则24424112413511114,a a a q a a a a a a q a q ⎧==⎨++=++=⎩解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.（2）由题意得()()33231242n n n n n n T L +++=⨯⨯⨯==，所以()214411log 333n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，从而411111111111134253621123n S n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭()()()22212484493123n n n n n ++=-+++ 18.解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC∠∠=.因为52,8ABC ACB AB AC ∠∠==，所以4cos 5ACB ∠=.因为CD 平分ACB ∠，所以24cos 2cos 15ACB DCB ∠∠=-=，解得cos DCB ∠=负根舍去). （2）因为2,2ABC ACB ABC DBC ∠∠∠∠==，所以.ACB DBC ∠∠= 在ABC 和BCD 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC∠∠=，sin sin CD BCCBD BDC∠∠=因为AB CD =，所以sin sin .BAC BDC ∠∠=因为(),0,BAC BDC ∠∠π∈，所以.BAC BDC ∠∠π+= 记DCB ∠θ=，则6,3BAC BDC ∠πθ∠πθ=-=-， 所以()()63πθπθπ-+-=，解得9πθ=，所以23BDC π∠=. 19.解：（1）从而22200(120302030)28.5710.8281401506050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.（2）用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为1,2,3,4的人数分别为4，3，2，1.从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次x 的可能取值为2,3,4,5,6,7，其概率分别为：()()()11112243423422210101024112,3,4151545C C C C C C P X P X P X C C C +========= ()()()1111112114132312212221010102425,6,794545C C C C C C C C C P X P X P X C C C ++========= 所以X 的概率分布为所以()42234567415154594545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）证明：延长,AO 交BC 于点.D因为SO ⊥平面ABC ，所以EAO ∠即为直线EA 与底面所成的角， 从而tan 2EAO ∠=，所以2EO AO =.设2,AO =则1,4,OE OD SA AB SO =====以O 为坐标原点，与CB 平行的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OS 所 在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()())()(0,0,0,0,2,0,,,O A BC E -，所以()()(23,0,0,3,1,2,0,2,.BC BE AE =-=--=设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1z =，则0y x =，即()0,2,1n = 所以()20,2,12AE n ==，即//AE n ，所以AE ⊥平面EBC .（2）解：由题意知三棱锥E ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为()0,0,Ot '由O A O E '='=解得t=，所以外接球的半径r ⎛==⎝⎭所以外接球的体积3432V π⎛== ⎝⎭. 21.（1）解：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线AC 的方程为12x m y =+，所以4343122122344334121244,44y y y y y y k k y y x x y y x x y y ---=====-+-+-.联立122,4,x m y y x -+⎧⎨=⎩得21480,y m y --= 所以2113113Δ16320,4,8.m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩同理248y y =-由题意得直线AB 的方程为()14.y k x =-联立()124,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()222211184160,k x k x k -++=所以()2221121122112Δ8464084,16,k k k x x k x x ⎧=+->⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩从而()()()2212112112124441616y y k x x k x x x x ⎡⎤=--=-++=-⎣⎦，所以2121212134122888k y y y y y yk y y y y ++===-=+-- （2）证法1:由题意得直线PF 的方程为2x =. 设直线AD 的斜率为3k ，则14314144y y k x x y y -==-+，所以直线AD 的方程为()11144y y x x y y -=-+.令2x =，则()111442E y x y y y =-++.同理()122342F y x y y y =-++.所以()()()()11212121212122212121122221428848814288488E F x y y y x y y y y y y y y PEx PF y y y y x y y y y y y y -+--+--=====---+-+-∣∣∣ 证法2：设()()2,,2,E F E y F y . 因为A ，,E D 三点共线，所以()()14141112214142244E y y y yy y x x y y x x ---=-=---，即()111442E y y x y y -=-+，所以2111442.4E y y y y y ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭因为41228,16y y y y =-=-. 所以2222121212121111121244222848464324E y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()2111221333y y y y y =--=- 同理()222212341243F y y y y y y y ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭.所以E F y y =， 从而.PE PF =22.证明：(1)由题意得()2sin f x x x π'=--.①当()0,x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,π上单调递减， 从而()()0f x f π>=，所以()f x 在区间()0,π上没有零点.①当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32cos 0f x x x π-+''=>，所以()f x '在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 因为134()0,1029f f ππππ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在3,2t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t '=， 从而可列下表：所以存在3,2t πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0.f α=又因为()0f π=，所以()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上，所以()f x 在区间30,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有2个零点. （2）由题意得()g x 的定义域为()()0,,sin ln ln g x x x ∞πππ++-'=. 记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x x π='+=. ①当()0,x α∈时，由（1）知，若()0,x π∈，则()0h x '>，所以()h x 在区间()0,π上单调递增； 若[),x πα∈，则()0h x '≤，所以()h x 在区间[),πα上单调递减. 又因为()0h π=，所以()0h x ≤在()0,α上恒成立，且()0h α<， 即()0g x '≤在()0,α上恒成立，且()0g α'<，所以()g x 在区间()0,α上不存在极值点.①当3,2x πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 由（1）知()0h x '>，所以()h x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()g x '在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又因为()333270,1ln 13ln ln 02228g g e παπ⎛⎫<=-+>-+=> ⎪⎭''⎝， 所以存在3,2πβα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，从而可列下表：所以x β=是()g x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值点.（3）当3,2x π∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()33sin ln ln sin ln ln 1ln 022g x x x x ππππππππ=+->+-≥-+>' 即()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+⎪⎝⎭上不存在极值点 综上，函数()g x 有唯一的极值点.。
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．134．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C 10D ．126．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．1211．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1cos23sin23z i=+和复数2cos37sin37z i=+，则12z z⋅为A．1322i-B．3122i+C．1322i+D．3122i-2．函数f(x)＝21xxe-的图象大致为()A．B．C．D．3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．193B．4 C．254D．1324．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 5．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A 131 B 132 C 151D 1526．若双曲线22214x y b -=的离心率7e =） A ．23B ．2C 3D ．17．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．329．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞11．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．1312．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【解答】解：由（1+i）z＝2i，&得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．—【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．$化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．:7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A 1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，~即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，[即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【解答】解：设点B的横坐标为m，;因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000倍．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．、2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，【设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．]即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2}．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，|即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，>设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共90分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．~【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，%∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，!又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝^＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．}【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．<解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．(18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，…所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝\所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．）①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），%而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n （n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；@当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．—令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，·∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，^设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．$【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．.（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d＝＝，？当sin（）＝1时，．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；}（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．&【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。
江苏地区数学高考真题练习一、单选题一、选择题：本题共8小题.每小题5分.共60分。
在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位）.则z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．√22−√22iD．√22+√22i2．设集合A={y|y=3x,x∈R}. B={x|y=√1−2x,x∈R}.则A∩B=（）A．{12}B．(0,1)C．(0,12)D．(0,12]3．工厂生产A.B.C.3种不同型号的产品.产量之比为3：2：7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本.若样本中B种型号的产品有12件.则样本容量n=（）A．72B．48C．24D．604．设f(x)= {2e x−1，x<2，log3(x2−1)，x≥2，则f(f(2))的值为()A．0B．1C．2D．35．设F1(−c,0),F2(c,0)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点.点P是C右支上异于顶点的任意一点. PQ是∠F1PF2的角平分线.过点F1作PQ的垂线.垂足为Q. O为坐标原点.则|OQ|的长为（）A．定值aB．定值bC．定值cD．不确定.随P点位置变化而变化6．已知函数f(x)=a−x2(1e≤x≤e)与g(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点.则a的取值范围是（）A．[1，1e2+2]B．[1e2+2，e2]C．[1，e2−2]D．[e2−2，+∞]7．在△ABC中.如果有acosA=bcosB.则△ABC的形状是（）A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．已知直线y＝x＋b与圆C：(x−1)2+(y−2)2=1.则“b=3”是“圆C上的任意一点到该直线的最大距离为√2+1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题.每小题5分.共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑ 柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________．2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2—4y=0的一条对称轴，则a=________．6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是________． 8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ,若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y 与C 交于A ，B 两点，AF,BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点,则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切,点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1,则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中,a,b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅=⋅+________． 二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ)求cos 2β；（Ⅱ)求tan()αβ+的值．16．如图,已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD⊥CD ,PD⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．。
