山东省滨州市2016届高三数学一模试卷(理科) Word版含解析

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10xA y y xB x x ==∈=-<R ，则AB =（ ）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（ ）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12+33π B.12+33π C.12+36π D. 216π+6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（ ）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12. 若251)ax x+（的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ；(Ⅱ)已知1232EF =FB =AC =,AB =BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【考点】并集及其运算【答案】D【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，231||||||043t n n n∴+=，104t∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数t的值．【考点】平面向量数量积的运算【答案】D12x>时，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11x-≤≤【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）22232b c a =，即为a．2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程()f x b =m ∴的取值范围是【提示】作出函数（Ⅱ）2a b +=22)b a b =+0b >，∴由余弦定理231cos 122c ab -≥sin tan cos A A A =cos cos A B +G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∴∥且∴平面GQH GH ⊂面GQH GH ∴∥平面（Ⅱ）AB BC =数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）数学试卷 第15页（共18页），又OO '⊥面OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,23,0)CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,3)OO '=，设000(,,)n x y z FCB 的法向量，则00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=⎪⎩，取01x =，则1,2,n ⎛=-- ⎝7cos ,7||||OO n OO n OO n ''∴<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，二面角--F BC A 的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=1n n a a -∴-11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+（Ⅱ）1)2nn C ，126[2232(1)2]n n T n ∴=++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]2(12)6(1)212)232n n n n n n n n n ++++++++-+--+-=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列【考点】数列的求和，数列递推式【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为22321143144⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎭⎝⎭，22332322101111443433144⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦323232323232323225111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示： 12346572 25144x 1)2x数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）1a =32ln x x =-()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭220220)(41)(21)x x x ++，令12x +22221(122)(1)(21)2122t t t t t t t t t -⎫++-⎪+-+-⎭===0001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时【考点】椭圆的简单性质。

2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高： =2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11 ．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20 ．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15 ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1 ．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，si nθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由于数列{a n}的前n项和S n=a n+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n=，可得b2n﹣==．b2n=．即可得出．1【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=a n+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，解得a n﹣1=n+1．∴a n=n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．（2）b n=，∴b2n﹣===．1b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．。

2015-2016学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合M={x||2x﹣1|≤3}，N={x∈Z|1＜2x＜8}，则M∩N=（）A．（0，2]B．（0，2）C．{1，2}D．{0，1，2}3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值5．设n=3x2dx，则（x﹣）n的展开式中的常数项为（）A．﹣B．C．﹣70 D．706．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A．B．C．D．7．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）A．6+πB． C．6+4π D．8．将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间是（）A．[﹣，0]B．[﹣，0]C．[0，] D．[，]9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x﹣2的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．执行如图所示的程序框图，设当箭头a指向①处时，输出的S的值为m，当箭头a指向②处时，输出的S的值为n，则m+n=．12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有个．13．设函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x）（n∈N*），经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，根据以上事实，由归纳可得：当n∈N*时，f n（x）=．14．在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB=，点E，F分别在边AD，BC上，且=3，=2，则•的值为．15．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=，②f（x）=（x+1）2；③f（x）=x3；④f（x）=sin（x+1），其中的“准奇函数”是（写出所有“准奇函数”的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB=，（Ⅰ）求+的值；（Ⅱ）若•=12，求a+c的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）已知AP=AB=1，AD=，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N*）的旅游人数f（t）（单位：万人）近似地满足f（t）=4+，而人均日消费俄g（t）（单位：元）近似地满足g（t）=．（Ⅰ）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N*）的函数表达式；（Ⅱ）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S6=36．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，求数列{a n}的前n项和T n．20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x，其中a≤0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设函数g（x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若=3，求直线l的方程；（3）求△F1MN面积的最大值．2015-2016学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：复数===i+1在复平面所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．2．设集合M={x||2x﹣1|≤3}，N={x∈Z|1＜2x＜8}，则M∩N=（）A．（0，2]B．（0，2）C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：﹣3≤2x﹣1≤3，解得：﹣1≤x≤2，即M=[﹣1，2]，由N中不等式变形得：20=1＜2x＜8=23，即0＜x＜3，x∈Z，∴N={1，2}，则M∩N={1，2}，故选：C．3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解答】解：若m=1，则两直线方程为x﹣y=0和x+y=0，满足垂直，当m=0时，两直线方程为﹣y=0和x=0，满足垂直，但m=1不成立，即“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的充分不必要条件，故选：A．4．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B5．设n=3x2dx，则（x﹣）n的展开式中的常数项为（）A．﹣B．C．﹣70 D．70【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】利用定积分求出n，再求出展开式通项，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项．【解答】解：n=3x2dx=x3|=8，（x﹣）n展开式的通项公式为T k+1=C n k x n﹣k•（﹣1）k（2x）﹣k=（﹣）k C n k x n﹣2k，当n﹣2k=0时，即8﹣2k=0时，k=4时，展开式为常数项，∴T5=（﹣）4C84=．故选：B．6．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项．【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．∴四个选项，只有C满足题意．故选：C．7．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）A．6+πB． C．6+4π D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3，圆的半径为1，侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．故选：A．8．将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间是（）A．[﹣，0]B．[﹣，0]C．[0，] D．[，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）的图象，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，则函数g（x）的一个单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x﹣2的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数的零点．【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．【解答】解：令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x=0，则0＜x ＜1，即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．故选A．10．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得A，B的坐标分别为（﹣2，±），将此点代入双曲线方程，得a，b的一个方程，再由渐近线方程，又得a，b的一个方程，联立即可求得a，b的值，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，焦点坐标是（2，0），又抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1相交于A，B两点，又△FAB是等边三角形，则有A，B两点关于x轴对称，横坐标是﹣2，纵坐标是4tan30°与﹣4tan30°，将坐标（﹣2，±）代入双曲线方程得﹣=1，①又双曲线的一条渐近线方程是y=x ，得=，②由①②解得a=，b=4．所以双曲线的方程是﹣=1． 故选D ．二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．执行如图所示的程序框图，设当箭头a 指向①处时，输出的S 的值为m ，当箭头a 指向②处时，输出的S 的值为n ，则m +n= 14 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出当箭头指向①时，计算S 和i 的值，求出m ；当箭头指向②时，计算S 和i 的值，求出n 的值，计算m +n ．【解答】解：当箭头指向①时，计算S 和i 如下：i=1，S=0，S=1；i=2，S=0，S=2；i=3，S=0，S=3；i=4，S=0，S=4；i=5，结束．∴S=m=4．当箭头指向②时，计算S 和i 如下：i=1，S=0，S=1；i=2，S=3；i=3，S=6；i=4，S=10；i=5，结束．∴S=n=10．∴m+n=14，故答案为：14．12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有20个．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，因十位上的数最大，则其只能为3、4、5，进而分3种情形处理，即当十位数字分别为3、4、5时，计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为3、4、5，分3种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1、2，有A22种选法，当十位数字为4时，百位、个位的数字为1、2、3，有A32种选法，当十位数字为5时，百位、个位的数字为1、2、3、4，有A42种选法，则伞数的个数为A22+A32+A42=20；故答案为：20．13．设函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x）（n∈N*），经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，根据以上事实，由归纳可得：当n∈N*时，f n（x）=f（x）=．【分析】由已知中f（x）=，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…f n+1（x）=f n′（x）（n ∈N*），分析出f n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．【解答】解：∵f（x）=，f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：f（x）=．14．在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB=，点E，F分别在边AD，BC上，且=3，=2，则•的值为18．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用数量积的定义可得•=6，再由向量的加减运算，可得=+，再由数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得所求值．【解答】解：•=||•||•cos=4×3×=6，=﹣=+﹣=+﹣=+，即有•=•（+）=2+•=16+×6=18．故答案为：18．15．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=，②f（x）=（x+1）2；③f（x）=x3；④f（x）=sin（x+1），其中的“准奇函数”是①④（写出所有“准奇函数”的序号）【分析】判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，对于①：f（x）=，函数f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，对于②：f（x）=（x+1）2，函数无对称中心，对于③：f（x）=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，对于④：f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ，0）对称，故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB=，（Ⅰ）求+的值；（Ⅱ）若•=12，求a+c的值．【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的中项的性质，结合正弦定理，可得sin2B=sinAsinC，再由三角函数的恒等变换公式化简可得；（Ⅱ）运用向量的数量积的定义和余弦定理，同角的平方关系，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，则+=+======；（Ⅱ）•=12，即有cacosB=12，可得cosB＞0，由sinB=，可得cosB==，即有ac=13，b2=13，由余弦定理可得，cosB===，解得a+c=3．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）已知AP=AB=1，AD=，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD为矩形，∴O是BD中点，∵E为PD的中点，∴OE∥PB，∵PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AP=AB=1，AD=，∴A（0，0，0），C（1，，0），P（0，0，1），D（0，，0），E（0，，），=（1，，0），=（0，，），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，﹣，3），又平面DEA的法向理=（1，0，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N*）的旅游人数f（t）（单位：万人）近似地满足f（t）=4+，而人均日消费俄g（t）（单位：元）近似地满足g（t）=．（Ⅰ）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N*）的函数表达式；（Ⅱ）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，化简即得结论；（2）通过（1）可知当t∈[1，20]时利用基本不等式可知当且仅当t=5时取最小值441，当t∈（20，30]时利用函数的单调性可知当t=30时W（t）有最小值443+，进而比较即得结论．【解答】解：（1）由题意，根据该城市的旅游日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，可得：W（t）=f（t）g（t）=；（2）由（1）可知：当t∈[1，20]时，401+4t+≥401+2=441，当且仅当4t=即t=5时取等号；当t∈（20，30]时，因为W（t）=559+﹣4t递减，所以t=30时，W（t）有最小值W（30）=443+，∵443+＞441，∴t∈[1，30]时，W（t）的最小值为441万元．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S6=36．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，S6=36．∴，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）b n===（），∴数列{a n}的前n项和T n=++…+==．20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x，其中a≤0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设函数g（x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，得到f′（1）=2，解得a的值，将a的值代入求出f（1），将（1，f（1））代入方程y=2x+b求出b的值，从而求出a﹣2b的值即可；（Ⅱ）二次函数根的讨论问题，分a＞0，a＜0情况进行讨论．；（Ⅲ）问题转化为f（x）max≤g（t）min，分别求出其最大值和最小值即可得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣ax﹣2，f′（1）=﹣1﹣a=2，解得：a=﹣3，∴f（1）=﹣a﹣2=﹣，将（1，﹣）代入y=2x+b，得：b=﹣，∴a﹣2b=﹣3+5=2；（Ⅱ）∵f′（x）=﹣ax﹣2=，设φ（x）=﹣ax2﹣2x+1（x＞0，a≤0），①当a=0时，φ（x）=﹣2x+1，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，令φ′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；②当a＜0时，φ（x）对称轴为x=﹣＞0，过点（0，1）开口向上，i）若a≤﹣1，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．ii）若﹣1＜a＜0，当x∈（0，）时，f′（x）≥0；当x∈（，）时，f′（x）≤0；当x∈（，+∞）时，f'（x）≥0；∴f（x）在（0，）上是增函数，在（，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（Ⅲ）若任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，则只需f（x）max≤g（t）min，函数g（x）=x2﹣3x+3在（0，1]的最小值是g（1）=1，由（Ⅱ）得：a=0时，f（x）=lnx﹣2x在（0，）递增，在（，1]递减，∴f（x）max=f（）=﹣1﹣ln2＜1，成立，﹣1＜a＜0时，≥1，∴f（x）在（0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，a≤﹣1时，f（x）在（0，1]上是增函数，f（x）max=f（1）=﹣a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，综上，a∈[﹣6，0]．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若=3，求直线l的方程；（3）求△F1MN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用离心率公式和直线与相切的条件：d=r，结合a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（2）求得右焦点，设出M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l：x=my+，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到直线的方程；（3）运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式可得S=•2c•|y1﹣y2|，化简整理运用基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（1）由题意可得e==，由直线x﹣y+=0与圆x2+y2=b2相切，可得=b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）F2（，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l：x=my+，代入椭圆方程可得，（4+m2）y2+2my﹣1=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由=3，可得y1=﹣3y2，解方程可得m=±，即有直线l的方程为x=±y+；（3）△F1MN面积为S=•2c•|y1﹣y2|=•=•=•，令1+m2=t（t≥1），则S=4•≤4•=2，当t=3，即m=±时，S取得最大值，且为2．2016年7月31日。

绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3, -1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC =,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=sin x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省滨州市高考数学一诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·四川理) 设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）(2019·湖南模拟) 复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量=(1,1)，=(2,x)若+与-平行，则实数x的值是（）A . -2B . 0C . 1D . 24. （2分）已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A .B . （﹣1）C . 2﹣1D . （+1）5. （2分）已知五个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·蚌埠期末) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱 .若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 执行如图的程序框图，输出的结果是（）A . -1B .C . 2D . 18. （2分）若抛物线的焦点是F,准线是L,则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 4个9. （2分）已知三个向量平行，其中a,b,c,A,B,C分别是的三条边和三个角，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）把半径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为（）A .B .C .D .11. （2分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A .B . 3C .D .12. （2分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 的展开式中的有理项共有________．14. （1分） (2018高三上·河北月考) 对任意实数，min（）表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________15. （1分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是________（将所有符合题意的序号填在横线上）．①函数在区间上是增函数；②满足条件的正整数的最大值为3；③ .16. （1分）(2016·江西模拟) 已知数列{an}满足a1=﹣1，|an﹣an﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）(2017·包头模拟) 在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．18. （15分） (2017高三下·深圳模拟) 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望．19. （10分） (2015高二上·余杭期末) 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F，G分别为EB和AB的中点．（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角B﹣FC﹣G的正切值．20. （10分） (2017高二上·太原期末) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且|BF|= ．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为1的直线l经过点（1，0），与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为，请说明理由．21. （10分）(2020·洛阳模拟) 设函数 .（1）若，求的单调区间；（2）若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明: .22. （10分） (2016高三上·连城期中) 在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．23. （10分） (2015高三下·武邑期中) 根据题意解答（1）若f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若g（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）且∃x∈R使得f（x）≤4成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

高三数学（理工类）试题 2016.5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21z i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合{}1,2,3A =，(){},|x A,y A,x y A B x y =∈∈+∈则集合B 的子集的个数为A. 4B. 7C. 8D.163.设变量,x y 满足约束条件,34,2,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则3z x y =-的最大值为A. 8B. 4C.24.设0a >，且1a ≠，则"1"ba >是()"1b 0"a ->的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在ABC 中，M 为BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =，若(),AN AB AC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为A.14B. 13 C. 1 D.46.执行如图所示的程序框图，若输入的2016N =，那么输出的S =A. 1111232015++++B. 11112!3!2015!++++C. 1111232016++++D. 11112!3!2016!++++7.若函数()x xf x ae e -=-为奇函数，则()11f x e e-<-的解集为A.(),0-∞B. (),2-∞C. ()2,+∞D. ()0,+∞8.一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张标签，随机地抽取了7张标签，则取出的7张标签的标号的平均数是5的概率为 A.19 B. 29 C.23D.899.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()124f x g x -=的12,x x ，有126x x π-=，则ϕ=A.512π B. 3π C.4π D.6π 10.已知抛物线28y x =的焦点到双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线的距离不大E 的离心率的取值范围是A. (B. (]1,2C.)+∞ D.[)2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.11.函数()2f x =的定义域为 .12.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程为ˆ0.850.25y x =-，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据c则上表中对视的实验数据的值为 .13.已知不等式2x x a +-≤的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 .15.已知函数()2log ,02,cos ,26,2x x f x x x π<<⎧⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩若存在互不相等的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16..(本小题满分12分)如图，在ABC 中，点D 在BC边上，,7,cos ADB 4CAD AC π∠==∠= （1）求sinC 的值；（2）若10BD =，求ABD 的面积.17.(本小题满分12分)小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得得红包的概率都相同. （1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；（2）若小王发3次红包，其中第1,2次，每次发5元红包，第3次发10元红包.记乙抢得所有红包的钱数之和为X ，求X 的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图，在多面体A B C D M 中，B C D 是等边三角形，C M D 是等腰直角三角形，90,C M D ∠=平面C M D⊥平面,B C D A B ⊥平面.B C D . （1）求证：;CD AM ⊥（2）若2,AM BC ==，求直线AM 与平面BDM 所成的角的正弦值.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和()1.2n n n S += （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12nnn n b a ⎛⎫=-⋅ ⎝，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.(本小题满分12分)已知点C 是圆()22:116F x y -+=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点()4,0A ，若直线PQ ⊥x 轴，且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B.（ⅰ）证明：点B 恒在曲线E 上； （ⅱ）求PAB 面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数()32f x ax bx =+处1x =取得极值16. （1）求,a b 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()()ln 1f x k x '=+成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），求实数k 的最小值； （3）证明：()()11ln 12.ni x n N i*=<++∈∑、。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，理1，5分】若复数z 满足232i zz，其中i 为虚数为单位，则z （）（A ）12i （B ）12i （C ）12i （D ）12i 【答案】B 【解析】设,,zabi a bR ，则2()i23i32i zzz zz ab aab ，所以1,2a b，故选B ．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合22,,10xAy yxR B x x ，则A BU （）（A ）1,1（B ）0,1（C ）1,（D ）0,【答案】C【解析】由题意0,A，1,1B，所以1,A BU ，故选C ．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为 2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30，所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是20010.30140人，故选D ．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x ，y 满足22390xy x y x，则22xy 的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10（D ）12【答案】C 【解析】由22xy 是点,x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点0,2,0,3,3,1，所以3,1是最优解，22xy 的最大值是10，故选C ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1233（B ）1233（C ）1236（D ）216【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236，故选C ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面和平面相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面、有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．（7）【2016年山东，理7，5分】函数()3sin cos 3cos sin f x xxx x 的最小正周期是（）（A ）2（B ）（C ）32（D ）2【答案】B 【解析】由()2sin cos 3cos22sin 23f x x xxx，所以，最小正周期是，故选B ．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n，若ntmn 则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）4（C ）94（D ）94【答案】B 【解析】因为21cos ,4nmm n m nn ，由ntmn ，有20n tmn tmn n ，即2104t n，4t ，故选B ．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x时，3()1f x x；当11x 时，()()f x f x ；当12x时，1122f xf x，则6f （）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】由1122f x f x，知当12x时，f x 的周期为1，所以61f f ．又当11x 时，f xf x ，所以11f f．于是3611112f f f ，故选D ．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．（10）【2016年山东，理10，5分】若函数yf x 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y f x 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（）（A ）sin y x（B ）ln yx（C ）xye（D ）3yx【答案】A 【解析】因为函数ln yx ，xye 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x 的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为．【答案】 3【解析】i 1时，执行循环体后1,8a b ，a b 不成立；i 2时，执行循环体后3,6a b，a b不成立；i 3时，执行循环体后6,3a b ，a b 成立；所以i 3，故填 3. 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（12）【2016年山东，理12，5分】若521ax x的展开式中5x 的系数是80，则实数a．【答案】2【解析】由23222355551C C 80axa xx x，得2a，所以应填2．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线2222:10,0xyE a ba b，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23ABBC ，则E 的离心率为．【答案】 2 【解析】由题意BC 2c ，所以2AB3BC ，于是点3,2c c 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c ab，在由222ab c 得E 的离心率为2c ea．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年山东，理14，5分】在1,1上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx 与圆2259x y相交”发生的概率为．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线ykx 与圆22(5)9xy相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44，其长度为32，所以所求概率为33224．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数2,24,x x m f xxmxm xm，其中0m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f xb 有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】3,【解析】因为224g x x mxm 的对称轴为xm ，所以xm 时224f x x mx m 单调递增，只要b 大于224g xxmxm 的最小值24m m 时，关于x 的方程f x b 在x m 时有一根；又h xx 在x m ，0m 时，存在实数b ，使方程f x b 在xm 时有两个根，只需0b m ；故只需24m mm即可，解之，注意0m ，得3m ，故填3，．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m mm 是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，理16，12分】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知tan tan 2tan tan cos cos A B A BBA．（1）证明：2a b c ；（2）求cosC 的最小值．解：（1）由tan tan 2tan tan cos cos A BABB A得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A B A BA BA B，2sin sin sin C B C ，由正弦定理，得2ab c ．（2）由222222cos 22a bab cabcCab ab222333111122222cc aba b．所以cosC 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab 的应用，不等式的性质．（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线．（1）已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（2）已知123,2EFFBAC ABBC ，求二面角FBCA 的余弦值．解：（1）连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC 平面ABC ，MH 平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH 平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．（2）连结OB ，AB BC Q OA OB ，以为O 原点，分别以,,OA OB OO 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EFFBAC ABBC Q ，22()3OOBFBO FO ，于是有23,0,0A ，23,0,0C ，0,23,0B ，0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量0,3,3BF uu u r，23,23,0CB u u u r ，于是得平面FBC 的一个法向量为13,3,1n u u r，又平面ABC 的一个法向量为20,0,1n u u r，设二面角F BC A 为，则121217cos 77n n n n u u r u u r u u r u u r．二面角F BC A 的余弦值为77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列n a 的前n 项和238nS nn ，n b 是等差数列，且1n n n a b b ．（1）求数列n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n nnna cb ．求数列n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列n a 的前n 项和238n S nn ，所以111a ，当2n时，221383(1)8(1)65nnna S S nn n n n，又65na n 对1n 也成立，所以65na n ．又因为n b 是等差数列，设公差为d ，则12nn nna b b b d ．当1n 时，1211b d ；当2n时，2217b d ，解得3d，所以数列n b 的通项公式为312nn a db n ．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n nnnn n a n c n b n ，于是23416292122(33)2n nT n L ，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n L ，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T nL 22232(12)32(33)212nn n 2221232(12)(33)232nn n nT nn ．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B,，则1122332131225()4433443312P B C C；33221()44334P C ．所以512()()()1243P A P B P C ．（2）“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ；112212111131105(1)4343434314472P X C C；1211223311132125(2)443344334433144P X C；123211121(3)434314412P XC ；12321231605(4)()43434314412P XC ；3232361(6)43431444P X ；X 的分布列为：X12346P11445722514411251214X 的数学期望15251515522301234614472144121241446EX．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．（20）【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x．（1）讨论f x 的单调性；（2）当1a时，证明3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x成立．解：（1）求导数3122()(1)x f x a x x－－－23(1)(2x ax x－－)，当0a时，x (0,1)，()0f x ，()f x 单调递增，x ∈(1,)，()0f x ，()f x 单调递减当0a时，23322112()a x x xx axa af x xx①当02a时，21a，x (0,1)或2x a∈,，()0f x ，()f x 单调递增，2x a∈1,，()0f x ，、()f x 单调递减；②当a ２时，21a，x (0,)，()0f x ，()f x 单调递增，③当a ２时，201a，2xa 0,或x1,，()0f x ，()f x 单调递增，2xa,1，()0f x ，()f x 单调递减．（2）当1a时，221()ln x f x x x x－－，2323(1)(212()1x x f x xx xx－－)2－－，于是2232112()()ln 1)x f x f x x xx x x x －2－－－(－－23312ln 1x x x x x ，[1,2]x 令g ln xxx ，2332h()x x x x11，[1,2]x ，于是()()g(()f x f x x h x ），1g ()10x x xx1，g x 的最小值为11g ；又22344326326()xx h x xxxx，设2326xxx ，[1,2]x，因为11，210，所以必有0[1,2]x ，使得0x ，且01x x 时，0x，h x 单调递增；02x x 时，0x，h x 单调递减；又11h ，122h ，所以h x 的最小值为122h ．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h ））－．即3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x 成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:10x y C a b ab的离心率是32，抛物线2:2E xy 的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：（1）由离心率是32，有224ab ，又抛物线22xy 的焦点坐标为10,2F ，所以12b，于是1a ，所以椭圆C 的方程为2241xy ．（2）（i ）设P 点坐标为2,02mP m m，由22x y 得y x ，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22mymx，设1122,,,A x y B x y ，00,D x y ，将22mymx代入2241xy，得223214410m xm xm．于是3122414mx x m，31222214x x mx m，又2222214mm y mx m，于是直线OD 的方程为14yx m．联立方程14yx m与xm ，得M 的坐标为1,4M m ．所以点M 在定直线14y上．（ii ）在切线l 的方程为22mymx 中，令0x ，得22my，即点G 的坐标为20,2mG ，又2,2mP m ，10,2F ，所以211(1)24m mS mGF；再由32222,41241mmDmm，得22232222112122441841m m m mm S mm于是有221222241121m mS S m ．令221t m，得12221211122tt S S tt t ，当112t 时，即2t 时，12S S 取得最大值94．此时212m ，22m ，所以P 点的坐标为21,24P．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P 的坐标为21,24P．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。

2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．54．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．47．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣210．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=111．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为．16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．5【考点】解三角形．【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选D4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故选：B5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的X围，结合p的实际意义，对求得的X围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．【解答】解：∵，两边平方得：∵∴λ2+μ2=1故选A11．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12 ．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2} ．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为\sqrt{7} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为12 ．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的X围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△A BC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的X围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A i）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．依题意知，p（A i）=，且A i∩A j=Φ（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P故ξ的期望Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，由余弦定理得BD==，∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，，3），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，3），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B 的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，某某数a的取值X 围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，令m（x）=lnx+﹣2，则m'（x）=，∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，∴lnx+﹣2＞0，即f（x）＞3﹣成立．（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，令h（x）=，则h'（x）=，由（1）知lnx﹣1+＞1+=，∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，即a≥e﹣1．解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，由图象可知y=在（1，e）单调递减，故当x∈（1，e）时，，∴0，即a≥e﹣1．（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，又n+2=（n+1）+1＞2＞，∴，∴ln（n+1）＞2﹣，∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。

山东省13市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出了下列命题，正确的有①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；②若,m n m α⊥⊥，则//n α；③若//,m ααβ⊥，则;m β⊥④若,//,m n m αβ=I 且,n n αβ⊄⊄，则//,//.n n αβ（A ） ②④ （B ）①②④ （C ）①④ （D ）①③2、（菏泽市2016高三3月模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 23π B. 2π C.223π D. π 3、（济宁市2016高三3月模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 24π+B.243π+ C.2π+D.4π+4、（青岛市2016高三3月模拟）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC-的体积比为A.1：2B.1：8C.1：6D.1：35、（泰安市2016高三3月模拟）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的 A. 34 B. 14C. 12D. 386、（潍坊市2016高三3月模拟）已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题：①若//,//,//,//m n m n αβαβ且则②若,//,//,m n m n αβαβ⊥⊥且则 ③若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则④若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则其中正确命题的个数是A.4B.3C.2D.1 7、（烟台市2016高三3月模拟）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为A. 13π：B. 3π：C. 133π：D. 13π：8、（淄博市2016高三3月模拟）三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和俯视图如图所示，则PB =A. 211B. 42C. 38D. 1639、（济南市2016高三3月模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的是（A）28＋65（B）40（C）403（D）30＋65参考答案：1、C2、A3、D4、D5、C6、C7、D8、B9、C二、填空题1、（德州市2016高三3月模拟）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为2、（临沂市2016高三3月模拟）在三棱柱111ABC A B C -（右上图），侧棱1AA ⊥平面111,1AB C AA =底面ABC V 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_________.3、（日照市2016高三3月模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_______.4、（枣庄市2016高三3月模拟）圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若1r =，则该几何体的体积为 .参考答案：1、50π2、23、5 4、5π6三、解答题 1、（滨州市2016高三3月模拟） 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB//CD,12AB BC CC CD ===,E 为线段AB 的中点，F 是线段1DD 上的动点.（Ⅰ）求证：EF//平面11BCC B ;（Ⅱ）若160BCD C CD ∠=∠=o ，且平面11D C CD ⊥平面ABCD ，求平面11BCC B 与11DC B 平面所成的角（锐角）的余弦值.2、（德州市2016高三3月模拟）在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA ＝4，AB ＝43，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝2。

2015-2016 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共10 小题，每题 5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．复数（ i 是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限x8M N=）2M={x||2x﹣13} ，N=x Z 1 2＜} ，则∩ （．设会合| ≤{∈|＜A0 2B0 2）C． { 1 2D．{01，2．（，]．（，， }，}3“m=1” “mx y=0x2”﹣和直线m y=0相互垂直）．是直线+的（A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件4x，y知足，则z=x y（）．设+A ．有最小值 2，最大值 3B．有最小值 2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值5．设 n=2n的睁开式中的常数项为（）3x dx ，则（ x﹣）A ．﹣B ．C．﹣ 70 D ．706．函数 f（ x）=cosx，（﹣＜ x＜）的图象大概是（）A．B．C．D．7．一个几何体的正视图和俯视图以下图，此中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）A6+πB．C 6 4 D．． + π ．8．将函数 f （x ） =2sin （ 2x ﹣ ）的图象向左平移个单位，获得函数g （ x ）的图象，则函数 g （x ）的一个单一递减区间是（ ）A ．[ ﹣，0]B ．[ ﹣， 0]C ．[0，]D ．[，]x x g x =log9f x=2+，（ ）2x xh x =log x﹣ 2的零点挨次为a b c）．已知函数 （ ）+， （ ）2 ，，，则（A ． a ＜ b ＜ cB ．c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜bD ．b ＜ a ＜ c10．已知抛物线y 2=8x 的准线与双曲线﹣ =1（ a ＞ 0，b ＞ 0）订交于 A 、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y= x ，点 F 是抛物线的焦点，且△ FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（） A ． ﹣ =1 B ． ﹣=1 C ． ﹣ =1 D ． ﹣ =1二、填空题：本大题共 5 题，每题 5 分，共 25 分.11．履行以下图的程序框图，设当箭头a 指向 ① 处时，输出的S 的值为 m ，当箭头 a 指向② 处时，输出的 S nm n=．的值为 ，则 +12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数 ”，现从1， 2， 3，4， 5 这 5 个数字中任取 3 个数字，构成没有重复数字的三位数，此中 “伞数 ”共有个．13． 函数 f （ x ）= ，f ′（ x ） f （ x ）的 函数， 定 f 1（ x ）=f ′（x ），f 2（ x ）=f 1′（ x ），⋯，f n+1（x ） =f n ′（x ）（ n ∈N *）， 算 f 1（ x ）=，f 2（ x ） =，f 3（x ） =， ⋯，依据以上事 ，由 可得：当n ∈ N *， f n （ x ） =．14．在平行四 形ABCD 中，已知 AB=4 ， AD=3 ，∠ DAB=，点 E ， F 分 在 AD ， BC 上，且=3 ，=2，? 的．15． 于函数 f （ x ），若存在常数a ≠ 0，使得 x 取定 域内的每一个 ，都有f （ x ） = f（2ax）， 称 f x） “准奇函数 ”． 定以下函数： ①fx = ， ② f x ） = x 1（（ ）（ （ + ）2 ； ③ f x） =x 3 ④ f x =sin （ x 1 “ ”（写出全部 “（ ； （ ） + ），此中的 准奇函数 是准”奇函数 的序号）三、解答 ：本大 共6 小 ，共 75 分，解答 写出文字 明， 明 程或演算步 .16．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的 分 a ，b ， c ，且 a ，b ，c 成等比数列， sinB=，（Ⅰ）求+的 ；（Ⅱ）若? =12 ，求 a+c 的 ．17．如 ， 在四棱 P ABCD 中，底面 ABCD 矩形， PA ⊥平面 ABCD ，E PD 的中点．（Ⅰ） 明： PB ∥平面 AEC ；（Ⅱ）已知 AP=AB=1 ， AD=，求二面角 D AE C 的余弦 ．18． 市 ，某旅行城市在 去的一个月内（以30 天 ），第 t 天（ 1≤ t ≤ 30， t ∈ N *）的旅行人数 ft）（ 位：万人）近似地 足f t ） =4+ ，而人均日消 俄g t（（（ ）（ 位：元）近似地 足g （ t ） =．（Ⅰ） 求全部旅客在 城市旅行的日消 W （ t ）（ 位：万元）与 t （1≤ t ≤ 30， t ∈ N *）的函数表达式；（Ⅱ）求全部旅客在 城市旅行的日消 的最小 ． 19 a n } 的前 n 和 S n ，且 a 2=3， S 6=36． 等差数列 { ．（Ⅰ）求数列 { a n } 的通 公式；（Ⅱ）令 b =，求数列 {a n } 的前 n 和 T n ．n20．设函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2﹣ 2x ，此中 a ≤ 0．（Ⅰ）若曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=2x +b ，求 a ﹣ 2b 的值； （Ⅱ）议论函数f （ x ）的单一性；（Ⅲ）设函数g （ x ） =x 2﹣ 3x+3，假如对于随意的 x ， t ∈（ 0， 1] ，都有 f （x ）≤ g （t ）恒成立，务实数 a 的取值范围．21．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： +=1（ a ＞ b ＞ 0）的左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x y=0 相切，﹣ +过点 F 2 的直线 l 与椭圆 C 订交于 M ， N 两点． （1）求椭圆 C 的方程；（2）若=3，求直线 l 的方程；（3）求△ F 1MN 面积的最大值．2015-2016 学年山东省滨州市高三 （上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、本大题共 10 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．复数（ i 是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算．【剖析】 利用复数的运算法例和几何意义即可得出．【解答】 解：复数 ===i 1在复平面所对应的点（1 1+， ）位于第一象限． 应选： A ．2．设会合 M= { x|| 2x ﹣1| ≤ 3} ， N= { x ∈ Z| 1＜2x＜ 8} ，则 M ∩N= （）A ．（0，2]B ．（0， 2）C ． { 1， 2}D ．{ 0，1，2}【考点】 交集及其运算．【剖析】 求出 M 与 N 中不等式的解集确立出 M 与 N ，找出两会合的交集即可．【解答】 解：由 M 中不等式变形得：﹣3≤ 2x ﹣ 1≤3，解得：﹣ 1≤ x ≤ 2，即 M= [ ﹣ 1， 2] ，由 N 中不等式变形得： 20=1＜ 2x ＜ 8=23，即 0＜x ＜ 3， x ∈Z ， ∴ N = { 1，2} ， 则 M ∩N={ 1，2}， 应选： C ．3 “m=1” “mxy=0x 2 ”﹣ 和直线 m y=0相互垂直）． 是 直线+ 的（A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件【考点】 必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】 依据充足条件和必需条件的定义联合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解答】 解：若 m=1，则两直线方程为x ﹣ y=0 和 x+y=0，知足垂直，当 m=0 时，两直线方程为﹣ y=0 和 x=0 ，知足垂直，但 m=1 不可立，即“m=1”是 “直线 mx ﹣ y=0 和直线 x+m 2y=0 相互垂直 ”的充足不用要条件，应选： A ．4．设 x ， y 知足 ，则 z=x +y （ ）A ．有最小值2，最大值 3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．【剖析】此题考察的知识点简单线性规划问题，我们先在座标系中画出知足拘束条件对应的平面地区，依据目标函数z=x y及直线2x y=4的斜率的关系，即可得++到结论．【解答】分析：如图作出不等式组表示的可行域，以以下图所示：因为 z=x +y 的斜率大于2x+y=4 的斜率，所以当 z=x +y 过点（ 2，0）时， z 有最小值，但 z 没有最大值．应选 B5．设 n=2n的睁开式中的常数项为（）3x dx ，则（ x﹣）A ．﹣B ．C．﹣ 70 D ．70【考点】定积分；二项式系数的性质．【剖析】利用定积分求出n，再求出睁开式通项，令x 的指数为0，即可求出睁开式中的常数项．【解答】解： n=3x 23=8，dx=x |（x﹣）n睁开式的通项公式为T k+1=C nkxn﹣k?（﹣ 1）k（ 2x）﹣k=（﹣）k C n k x n﹣2k，当 n﹣ 2k=0 时，即 8﹣ 2k=0 时， k=4 时，睁开式为常数项，∴T5=（﹣）4C84= ．应选： B．6．函数 f（ x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大概是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【剖析】经过函数的奇偶性以及特别值即可获得正确选项．【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，而且y=cosx∈（ 0，1] ，函数 f（ x） =cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（ 0， 1] 时， f （x）≥ 0．∴四个选项，只有 C 知足题意．应选： C．7．一个几何体的正视图和俯视图以下图，此中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）A ． 6+π B． C ． 6+4πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，依据侧视图是矩形上面加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，此中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，依据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上面加一个圆，矩形的长、宽分别为2， 3，圆的半径为1，2侧视图的面积 S=2×3+π× 1 =6 +π．应选： A．8．将函数 f（x） =2sin （ 2x﹣）的图象向左平移个单位，获得函数g（ x）的图象，则函数 g（x）的一个单一递减区间是（）A0B0]C0，]D．[，]．[﹣，]． [ ﹣，． [【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【剖析】 由条件利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （ x ）的分析式，再利用正弦函数的单一性，得出结论．【解答】 解：将函数 f （x ） =2sin （ 2x ﹣）的图象向左平移 个单位，获得函数 g （ x ）=2sin [ 2 x+ ）﹣]=2sin （ 2x +）的图象，（令 2k π+≤ 2x+ ≤ 2k π+，求得 k π+≤ x ≤ k π+ ，则函数 g （x ）的一个单一递减区间为 [ k π+， k π+] ， k ∈ Z ，联合所给的选项，应选： D ．x x g x =log9x=2+，（ ）2x xhx =logx2的零点挨次为a b c）．已知函数 （）+， （ ）2 ﹣，，，则（A ． a ＜ b ＜ cB ．c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜bD ．b ＜ a ＜ c 【考点】 函数的零点．【剖析】 分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而获得结果．【解答】 解：令函数 f （ x） =2xx=0 x 0 a 0 g x ） =log 2x+x=0 ，则 0＜ x + ，可知 ＜ ，即 ＜ ；令 （＜1，即 0＜ b ＜ 1； 令 h （ x ）=log 2 x ﹣2=0 ，可知 x=4 ，即 c=4．明显 a ＜ b ＜ c ． 应选 A ．210．已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线﹣ =1（ a ＞ 0，b ＞ 0）订交于 A 、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y= x ，点 F 是抛物线的焦点，且△ FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（） A ． ﹣ =1 B ． ﹣=1 C ． ﹣ =1 D ． ﹣ =1【考点】 双曲线的标准方程．2=1 订交于 A ，B 两点，点 F 是【剖析】 由题意已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线﹣抛物线的焦点， 且△ FAB 是等边三角形， 由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得 A ，B 的坐标分别为（﹣ 2，±），将此点代入双曲线方程，得a ，b 的一个方程，再由渐近线方程，又得 a ， b 的一个方程，联立刻可求得 a ，b 的值，即可获得双曲线的标准方程．【解答】 解：由题意可得抛物线 y 2=8x 的准线为 x=﹣ 2，焦点坐标是（ 2， 0），又抛物线 y 2=8x 的准线与双曲线﹣ =1 订交于 A ，B 两点，又△ FAB 是等边三角形，则有 A ，B 两点对于 x 轴对称，横坐标是﹣2 ，纵坐标是 4tan30°与﹣ 4tan30°，将坐标（﹣ 2，±）代入双曲线方程得﹣=1 ，①又双曲线的一条渐近线方程是y=x，得=，②由①②解得a=，b=4．所以双曲线的方程是﹣=1．应选 D．二、填空题：本大题共 5 题，每题 5 分，共 25 分 .11．履行以下图的程序框图，设当箭头 a 指向①处时，输出的S 的值为 m，当箭头 a 指向② 处时，输出的S 的值为 n，则 m+n= 14．【考点】程序框图．【剖析】模拟程序框图的运转过程，得出当箭头指向① 时，计算S 和 i 的值，求出m；当箭头指向②时，计算S 和 i 的值，求出n 的值，计算m+n．【解答】解：当箭头指向① 时，计算S 和 i 以下：i=1 ， S=0， S=1；i=2 ， S=0， S=2；i=3 ， S=0， S=3；i=4 ， S=0， S=4；i=5 ，结束．∴S=m=4 ．当箭头指向②时，计算 S 和 i 以下：i=1 ， S=0， S=1；i=2 ， S=3；i=3 ， S=6；i=4 ， S=10； i=5 ， 束． ∴ S =n=10 ． ∴m+n=14， 故答案 ： 14．12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大， 称 个数 “ 数 ”， 从 1， 2， 3，4， 5 5 个数字中任取 3 个数字， 成没有重复数字的三位数，此中“ 数 ”共有20 个．【考点】 数原理的 用．【剖析】 依据 意，因十位上的数最大， 其只好3、 4、5， 而分 3 种情况 理，即当十位数字分 3、4、5 ， 算每种状况下百位、个位的数字的状况数目，由分 数原理， 算可得答案．【解答】 解：依据 意，十位上的数最大，只好3、 4、5，分 3 种情况 理，当十位数字3 ，百位、个位的数字1、 2，有 A 22种 法，当十位数字 4 ，百位、个位的数字 1 、 2 、 3，有 A 32种 法，当十位数字 5 ，百位、个位的数字1 、2 、3、4，有 A 4 2种 法，数的个数 A 2 2+A 32+A 42=20； 故答案 ： 20．13 f x = f x f x ）的 函数， 定f（ x ）=f ′（x ），f （ x ）=fx），⋯，12． 函数 （） ， ′（ ） （ 1′（f n+1（x ） =f n ′（x ）（ n ∈N *）， 算f 1（ x ）=，f 2（ x ） = ，f 3（x ） =， ⋯，n N *fx = f x ）= ．依据以上事 ，由 可得：当∈ ，（ ）（【考点】 数的运算．【剖析】 由已知中 f （ x ）= ， f 1（ x ）=f ′（x ），f 2（ x ）=f 1′（ x ），⋯f n+1（ x ）=f n ′（ x ）（ n ∈N *），剖析出f n （ x ）分析式随 n 化的 律，可得答案．【解答】 解：∵ f （ x ） =，f 1（ x ） = ， f 2（ x ） = ，f 3（x ） =， ⋯，由此 可得：f n （ x ）=，故答案 ： f （ x ） =．14．在平行四 形ABCD 中，已知 AB=4 ， AD=3 ，∠ DAB=，点 E ， F 分 在 AD ，BC 上，且 =3，=2，?的18 ．【考点】 平面向量数目 的运算．【剖析】 运用数目 的定 可得?=6，再由向量的加减运算，可得=+，再由数目 的性 ：向量的平方即 模的平方，可得所求 ．【解答】 解：? =??cos =43 =6 ，||||× × = = + = + =+，即有 ?=?（+）=2+? =16+ × 6=18．故答案 ： 18．15． 于函数 f （ x ），若存在常数a ≠ 0，使得 x 取定 域内的每一个 ，都有f （ x ） = f（ 2ax ）， 称 f x ） “准奇函数 ”． 定以下函数： ①f x =， ② f x ）= x 1）（ （ ）（ （ + 2； ③ f x =x 3 ④ f x ） =sin x 1 “ ” ①④ （写出全部 “（ ）； （ （ + ），此中的 准奇函数 是 准奇函数”的序号）【考点】 函数的值．【剖析】 判断对于函数 f （ x ）为准奇函数的主要标准是：若存在常数 a ≠0，函数 f （ x ）的图象对于（ a ， 0）对称，则称f （ x ）为准奇函数．【解答】 解：对于函数 f （ x ），若存在常数 a ≠ 0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f （ x ） =﹣f （2a ﹣ x ）知，函数 f （ x ）的图象对于（ a ， 0）对称，对于 ① ： f （ x ）=，函数 f （ x ）的图象对于（﹣ 1， 0）对称，对于 ②f x ） = （ x 1 2：（+） ，函数无对称中心，对于 ③ ： f （ x ）=x 3，函数 f （x ）对于（ 0， 0 ）对称，对于 ④ ： f （ x ）=cosx ，函数 f （x ）的图象对于（ k π， 0）对称，故答案为： ①④ ．三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 a ，b ，c 成等比数列， sinB=，（Ⅰ）求 +的值；（Ⅱ）若?=12 ，求 a+c 的值．【考点】 平面向量数目积的运算；等比数列的通项公式．【剖析】（Ⅰ）运用等比数列的中项的性质，联合正弦定理，可得 sin 2B=sinAsinC ，再由三角函数的恒等变换公式化简可得；（Ⅱ）运用向量的数目积的定义和余弦定理，同角的平方关系，计算即可获得所求值．【解答】 解：（Ⅰ）由 a ， b ， c 成等比数列，可得 b 2=ac ，由正弦定理可得，2sin B=sinAsinC ， 则+=+====== ；（Ⅱ） ?=12 ，即有 cacosB=12，可得 cosB ＞ 0，由 sinB=，可得 cosB==，即有 ac=13， b 2=13 ，由余弦定理可得， cosB===，解得 a c=3． +17．如图， 在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD ，E 为 PD 的中点．（Ⅰ）证明： PB ∥平面 AEC ； （Ⅱ）已知 AP=AB=1 ， AD=，求二面角 D ﹣ AE ﹣C 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ）连接 AC 、BD ，交于点 O，连接 OE，则 OE∥ PB，由此能证明 PB∥平面AEC ．（Ⅱ）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D﹣ AE ﹣ C 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC 、BD ，交于点O，连接 OE，∵底面 ABCD 为矩形，∴ O 是 BD 中点，∵E 为 PD 的中点，∴ OE∥ PB，∵PB ?平面 AEC ，OE? 平面 AEC ，∴PB ∥平面 AEC ．（Ⅱ）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，∵AP=AB=1 ， AD=，∴A （ 0， 0， 0），C（1，， 0）， P（0， 0， 1）， D （0，， 0）， E（ 0，，），=（ 1，，0），=（ 0，，），设平面 AEC 的法向量=（ x， y， z），则，取 x=3 ，得=（ 3，﹣， 3），又平面 DEA 的法向理=（ 1， 0， 0），设二面角 D ﹣ AE ﹣C的平面角为θ，则 cosθ===．∴二面角D﹣AE ﹣C的余弦值为．18．经市场检查，某旅行城市在过去的一个月内（以30天计），第 t 天（ 1≤ t ≤ 30， t ∈ N *） 的旅行人数 ft）（单位：万人）近似地知足f t ） =4+ ，而人均日花费俄g t（（（ ）（单位：元）近似地知足g （ t ） =．（Ⅰ）试求全部旅客在该城市旅行的日花费总数W （ t ）（单位：万元）与时间 t （ 1≤ t ≤ 30，t ∈ N *）的函数表达式；（Ⅱ）求全部旅客在该城市旅行的日花费总数的最小值．【考点】 函数模型的选择与应用．【剖析】（ 1）利用日花费总数=日旅行人数×人均花费的钱数，化简即得结论；（2）经过（ 1）可知当 t ∈[ 1， 20] 时利用基本不等式可知当且仅当 t=5 时取最小值 441，当t ∈（ 20 30t=30时 W t 443+ ，从而比较即得结 ， ] 时利用函数的单一性可知当 （ ）有最小值论．【解答】 解：（ 1）由题意，依据该城市的旅行日花费总数=日旅行人数×人均花费的钱数，可得： W （ t ） =f （ t ） g （t ）=；（ 2 1 t ∈ [ 1 ， 20 ] 时， 401 4t +≥ 401 2=441， ）由（ ）可知：当 + +当且仅当 4t=即 t=5 时取等号；当 t ∈（ 20， 30] 时，因为 W （ t ） =559+ ﹣ 4t 递减，所以 t=30 时， W （ t ）有最小值 W （ 30 ）=443+ ，∵ 443+ ＞ 441 ，∴t ∈ [ 1， 30] ， W （ t ）的最小 441 万元．19{ a n } 的前 n 和 S n ，且 a 2=3 ， S 6=36． 等差数列． （Ⅰ）求数列 { a n } 的通 公式；（Ⅱ）令 b n =，求数列 { a n } 的前 n 和 T n ．【考点】 数列的乞降；等差数列的通 公式．【剖析】（ I ）利用等差数列通 公式及其前 n 和公式即可得出；（II ）利用 “裂 乞降 ”即可得出．【解答】 解：（ I ） 等差数列{ a n } 的公差 d ，∵ a 2=3，S 6=36 ．∴，解得 a 1=1， d=2 ．∴ a n =1 +2（ n 1） =2n 1．（II ）b n === （），∴数列 { a n } 的前 n 和 T n =+ +⋯+== ．20． 函数 f （x ） =lnxax 22x ，此中 a ≤ 0．（Ⅰ）若曲 y=f （ x ）在点（ 1， f （1）） 的切 方程 y=2x +b ，求 a 2b 的 ；（Ⅱ） 函数f （ x ）的 性；（Ⅲ） 函数 g x ） =x 2 3x 3，假如 于随意的 xt 0 1f xg t）恒（ +，∈（ ，] ，都有 （）≤ （ 成立，求 数a 的取 范 ．【考点】 利用 数研究函数的 性；利用 数研究曲 上某点切 方程．【剖析】（Ⅰ）求出 f （ x ）的 数，获得 f ′（ 1） =2，解得 a 的 ，将 a 的 代入求出f （1），1 f 1 y=2x + b 求出 b 的 ，从而求出 a 2b 的 即可；将（ ， （ ））代入方程（Ⅱ）二次函数根的 ，分 a ＞ 0，a ＜ 0 状况 行 ． ；（Ⅲ） 化f （ x ）max ≤g （t ）min ，分 求出其最大 和最小 即可获得对于a 的不等式，解出即可．【解答】 解：（Ⅰ）函数fx0 ∞ （ ）的定 域是（ ， + ），f ′（ x ） = ax 2， f ′（ 1）= 1 a=2，解得： a= 3，∴ f （1） =﹣ a ﹣ 2=﹣ ，1 ）代入y=2x b b=﹣ ， 将（ ，﹣ + ，得： ∴ a ﹣ 2b= ﹣ 3+5=2 ；（Ⅱ）∵ f ′（ x ） = ﹣ ax ﹣ 2=，设 φ（x ） =﹣ ax 2﹣ 2x+1（x ＞ 0， a ≤ 0），① 当 a=0 时， φ（ x ） =﹣ 2x+1，令 φ′（ x ）＞ 0，解得： 0＜ x ＜ ，令 φ′（ x ）＜ 0，解得： x ＞ ，f x， ∞∴ （）在（ ， ）递加，在（ + ）递减；② 当 a ＜ 0 时， φ（x ）对称轴为 x= ﹣ ＞ 0，过点（ 0， 1）张口向上，i ）若 a ≤﹣ 1， f ′（ x ）≥ 0，则 f （ x ）在（ 0， +∞）上是增函数．ii ）若﹣ 1＜a ＜ 0，当 x ∈（ 0 ， ）时，f （′x ）≥0；当 x ∈（， ）时， f ′（ x ）≤ 0；当 x ∈（， +∞）时， f'（ x ）≥ 0；∴f （x ）在（ 0，）上是增函数，在（，）上是减函数，在（∞ ）上是增函数． ， +（Ⅲ）若随意的 x t ∈（ 0 ， 1 f x g t， ] ，都有 （ ）≤ （ ）恒成立，则只要 f （ x ）max ≤ g （ t ） min ，g x =x 23x 3 在（0 1 的最小值是 g 1 =1， 函数（） ﹣ + ， ] （ ）由（Ⅱ）得： a=0 时， f x ）=lnx ﹣ 2x 0）递加，在（1（ 在（ ， ， ]递减，∴f （x ） max =f （ ） =﹣ 1﹣ ln2 ＜ 1，成立，﹣1＜ a ＜ 0 时，≥ 1，∴ f （x ）在（ 0， 1] 递加，f x =f 1 = ﹣ a 2 1 ，解得： a6， （ ） max（ ） ﹣ ≤ ≥﹣ a ≤﹣ 1 时， f （x ）在（ 0， 1] 上是增函数，f （ x ） max =f （ 1）=﹣ a ﹣2≤ 1，解得： a ≥﹣ 6，综上， a ∈ [ ﹣ 6， 0] ．21 xOy 中，椭圆 C ：+=1 a b 0F ，F ，．在平面直角坐标系 （ ＞ ＞ ）的左右焦点分别为12离心率为，以原点为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x ﹣ y+=0 相切，过点 F 2 的直线 l 与椭圆 C 订交于 M ， N 两点． （1）求椭圆 C 的方程；（2）若=3，求直线 l 的方程；（ 3）求△ F 1MN 面积的最大值．【考点】 椭圆的简单性质．【剖析】（ 1）运用离心率公式和直线与相切的条件： d=r ，联合 a ，b ，c 的关系，解得 a ，进而获得椭圆方程；（2）求得右焦点，设出 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2 ），设直线 l ： x=my + ，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m ，从而获得直线的方程； （3）运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式可得 S= ?2c?| y 1﹣ y 2| ，化简整理运用基本不等式，即可获得最大值．【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= =，由直线 x y=0与圆 x 2 y 2 2 相切，可得﹣ ++ =b=b=1 ，又 a 2﹣ c 2=1，解得 a=2， c= ，即有椭圆的方程为+y 2=1；（2） F 2（， 0），设 M （ x 1， y 1）， N （x 2， y 2），设直线 l ： x=my + ，代入椭圆方程可得，（ 4+m 2） y 2+2 my ﹣ 1=0 ， y 1+y 2=﹣， y 1y 2=﹣，由=3，可得 y 1=﹣ 3y 2，解方程可得 m= ±，即有直线 l 的方程为 x= ± y+ ；（3）△ F MN面积为 S= 2c?|y 1﹣ y 2| = ? 1?= ?= ? ，令1 m2≤ 4?=2，+=t（ t ≥1），则 S=4 ?当t=3，即 m=±时， S 获得最大值，且为2．2016年7月31日。

2016年山东省滨州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共计50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=｛x∈R|x＞0｝，函数f(x）=的定义域为A,则∁U A为（）A．[e，+∞）B．(e,+∞）C．(0，e）D．(0，e]2．复数z=（i为虚数单位),则｜z｜(）A．25 B． C．5 D．3．函数y=｜log2x｜﹣（）x的零点个数是(）A．0 B．1 C．2 D．34．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α,则n∥α;③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α，n⊄β，则n∥α,n∥β(）A．②④B．①②④ C．①④D．①③5．已知函数f（x）=，则fA．B．2 C．16 D．326．设随机变量X服从正态分布N（3，4），则P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个必要不充分条件是（）A．a=1或2 B．a=±1或2 C．a=2 D．a=7．设x，y满足条，若目标函数z=ax+by(a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．8．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教,每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区,甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有（）A．27种B．30种C．33种D．36种9．已知△ABC外接圆的圆心为O，,，A为钝角，M是BC边的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知椭圆C1:=1（a＞b＞0）与双曲线C2:x2﹣=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A．a2=B．a2=3 C．b2=D．b2=2二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分.11．执行如图所示的程序框图，输出的k值是______．12．不等式|x﹣1｜+|x﹣4｜≤2的解集为______．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=______．14．在平面直角坐标系xOy中，以点(2，1）为圆心且与直线mx+y﹣2m=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．15．设函数f(x）=log(｜x|）+,则使得f（x）＞f（2x﹣1)成立的x取值范围是______．三、解答题：本小题共6小题，共75分。

山东省滨州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题详细信息1.难度：中等已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，4}，则（∁A）∪B=（）UA．{1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{1，2，3，4}详细信息2.难度：中等i为虚数单位，则=（）A．1+iB．-1+iC．1-iD．-1-i详细信息3.难度：中等如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．详细信息4.难度：中等如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4详细信息5.难度：中等已知向量=（1，2），=（x，6），且∥，则x的值为（）A．1B．2C．3D．4详细信息6.难度：中等执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．4详细信息7.难度：中等已知不等式|x+2|+|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2详细信息8.难度：中等已知{an }为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=（）A．24B．27C．15D．54详细信息9.难度：中等函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度详细信息10.难度：中等设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2C． 2D．详细信息11.难度：中等2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（）A．20种B．24种C．30种D．36种详细信息12.难度：中等定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a-1B．2-a-1C．1-2-aD．1-2a二、填空题详细信息13.难度：中等某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万3 4 5 6元）销售额y（万元）25 30 40 45根据上表可得回归方程：为7．据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于．详细信息14.难度：中等设的展开式中的常数项等于．详细信息15.难度：中等设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．详细信息16.难度：中等定义平面向量的一种运算：⊗=||•||sin＜，＞，则下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=（⊗）+（⊗）；④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2-x2y1|．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．三、解答题详细信息17.难度：中等已知向量=，=，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2B）的取值范围．详细信息18.难度：中等在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y），记ξ=．（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．详细信息19.难度：中等如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DA B为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD中点．（I）试证：CD⊥平面BEF；（II）高PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大小30°，求k的取值范围．详细信息20.难度：中等某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n（n∈N*）千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出千克．（Ⅰ）当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s；（Ⅱ）试写出销售量s与n的函数关系式；（Ⅲ）当a=50，b=200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少？详细信息21.难度：中等已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．详细信息22.难度：中等已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）。

2016届山东省滨州市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题 1．复数i iz (12+=为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：复数()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以复数i i z (12+=为虚数单位）的共轭复数是1i +，其对应的点位于第一象限，故选A.【考点】1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2．已知集合{}3,2,1=A ，{}A y x A y A x y xB ∈+∈∈=,,),(，则集合B 的子集的个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．16 【答案】C【解析】试题分析：因为集合{}3,2,1=A ，{}A y x A y A x y xB ∈+∈∈=,,),(，所以集合B ()()(){}1,1,1,2,2,1=，集合B 的子集的个数为8，故选C. 【考点】1、集合的概念；2、子集.3．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,43,x y x x y 则y x z 3-=的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．554 【答案】A【解析】试题分析：作出约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,43,x y x x y 对应的可行域如下，y x z 3-==表示可行域内的点(),x y 到直线30x y -=的距离，由上图可知，点()2,2A -到直线30x y -=，所以y x z 3-=的最大值为8故选A.x【考点】线性规划．4．设0>a 且1≠a ，则“1>b a ”是“0)1(>-b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：因为0>a 且1≠a ，若1>b a ，如果1a >，那么0b >,则0)1(>-b a ，如果01a <<，那么0b <，则0)1(>-b a ，总之“1>ba ”是“0)1(>-b a ”的充分条件；反过来，若0)1(>-b a ，则10100a ab b ><<⎧⎧⎨⎨><⎩⎩或，这时总能推出 1>b a ，所以“1>ba ”是“0)1(>-b a ”的必要条件，综上故选C.【考点】充分条件与必要条件．5．在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足31=，若),(R ∈+=μλμλ，则μλ+的值为（ ） A ．41 B ．31C ．1D ．4 【答案】A【解析】试题分析：因为1134AN NM AN AM =⇒=，又因为),(R ∈+=μλμλ，所以44AM AB AC λμ=+，由于三点,,B M C 共线，所以441λμ+=，从而μλ+的值为41，故选A. 【考点】平面向量．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的2016=N ，那么输出的=S （ ）A ．2015131211+⋅⋅⋅+++B ．!20151!31!211+⋅⋅⋅+++C ．2016131211+⋅⋅⋅+++D ．!20161!31!211+⋅⋅⋅+++【答案】D【解析】试题分析：由程序框图可知：第一次运行1,1,2,T S K ===第二次运行11,1,3,22!T S K ==+=第三次运行11112,1,4,33!2!3!T S K ===++=……………，第2016次运行1111...,201720162!3!2016!S K =++++=>输出1111...2!3!2016!S =++++，综上故选D.【考点】程序框图． 7．若函数x xe aex f -=-)(为奇函数，则ee xf 1)1(-<-的解集为（ ）A ．)0,(-∞B ．)2,(-∞C ．),2(+∞D ．),0(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由于函数()f x 为R 上奇函数，所以()001f a =⇒=，所以()1x x f x e e =-，由于xe 为增函数，而1x e 为减函数，所以()1x xf x e e=-是减函数，又因为()11f e e-=-，由e e x f 1)1(-<-可得()()11f x f -<-，从而110x x ->-⇒>，故选D. 【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数()f x 是R 上的奇函数求出a 的值，进而确定()f x 的表达式，其次再确定函数f ()x 的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式ee xf 1)1(-<-的解集，最终使问题得到解决． 8．一个盒子里装有标号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的9张标签，随机地选取7张标签，则取出的7张标签的标号的平均数是5的概率为（ ） A ．91 B ．92 C ．32 D ．98 【答案】A【解析】试题分析：问题等价于“取出的7张标签的标号的和是35”，又等价于“选出两张并且和为10”，而这样的选法有()()()()1,9,2,8,3,7,4,6共4种，而所有的取法有2936C =，从而所求概率是41369p ==，故选A. 【考点】古典概型．9．将函数x x f 2sin 2)(=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象.若对满足4)()(21=-x g x f 的21,x x ，有6min21π=-x x ，则=ϕ（ ）A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】试题分析：由条件可知()()2sin 22g x x ϕ=-，再根据题意可知()()max min 4f xg x -=,由于0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以不妨设1122332,222424x x x x ππππϕϕ=⇒=-=⇒=+，那么34463ππππϕϕ⎛⎫-+=⇒= ⎪⎝⎭，故选D. 【考点】三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由f()x 的解析式x x f 2sin 2)(=进而得到()g x 的解析式，再根据题目条件得出关于参数ϕ的式子，并从中解得参数ϕ的值，问题得到解决.10．已知抛物线x y 82=的焦点到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ ）A ．]2,1(B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2[+∞ 【答案】B【解析】试题分析：抛物线的焦点是()2,0F ，2bc≤≤从而得22e ≤，进而解得离心率的取值范围是]2,1(，故选B.【考点】1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于,a b 的一个不等式，再结合222a b c +=，即可求得双曲线的离心率e 的取值范围，并最终使问题得以解决.二、填空题11．函数1log 4)(22--=x x x f 的定义域为______.【答案】)2,0(【解析】试题分析：要使函数有意义，则24002x x x ⎧-≥⎪>⎨⎪≠⎩，解得02x <<，所以函数的定义域为)2,0(，故答案填)2,0(.【考点】1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式. 12．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为25.085.0-=∧x y ，后来因工作人员不慎将下表中的实验【答案】5.2【解析】试题分析：由表中数据可得34567344.5617.55,555c c x y +++++++++====，将点17.55,5c +⎛⎫⎪⎝⎭代入25.085.0-=∧x y 可解得 2.5c =，故答案填5.2.【考点】回归分析.13．已知不等式a x x ≤-+2的解集不是空集，则实数a 的取值范围是______. 【答案】),2[+∞-【解析】试题分析：由于不等式a x x ≤-+2的解集不是空集，所以()min 2a x x ≥+-，而222x x x x +-≤+-=，所以222,x x -≤+-≤即()min 22a x x ≥+-=-，故答案填),2[+∞-.【考点】1、绝对值不等式；2、极端不等式.14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】332 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，其中,4,PA ABC PA ABC ⊥=∆平面是等腰三角形，并且4,AC AC =边上的高是4，所以3283ABC S V ∆=⇒=，故答案填332.BC【考点】1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.15．已知函数()()()2log 02cos 262x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在互不相等的实数4321,,,x x x x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，则4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是_____. 【答案】)15,12(【解析】试题分析：作出函数()()()2log 02cos 262x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象如下，设)()()()(4321x f x f x f x f ===t =，由图可知01k <<，并且当1t →时，123412,26x x x x ⎧→⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩，此时123412x x x x ⋅⋅⋅→，当0t →时，1234,135x x x x →⎧⎪→⎨⎪→⎩，此时123415x x x x ⋅⋅⋅→，综上4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是)15,12(，故答案填)15,12(.x【考点】1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据)()()()(4321x f x f x f x f ===，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围.三、解答题16．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，102cos ,7,4-=∠==∠ADB AC CAD π.（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）若10=BD ，求ABD ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）28. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据4ADB C π∠=∠+，以及102cos -=∠ADB ，即可求得C sin 的值；（Ⅱ）先根据正弦定理求出AD 的长，再由三角形的面积公式1sin 2S ab C =即可求出ABD ∆的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为102cos -=∠ADB ，且),0(π∈∠ADB ， 所以1027cos 1sin 2=∠-=∠ADB ADB . 又因为4π=∠CAD ，所以4π-∠=ADB C .所以4sincos 4cossin )4sin(sin πππ⋅∠-⋅∠=-∠=ADB ADB ADB C5422102221027=⨯+⨯=. （Ⅱ）在ACD ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=sin sin ， 所以241027547sin sin =⨯=∠⋅=ADC C AC AD . 所以281027102421sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ADB BD AD S ABD . 【考点】1、三角形正弦定理；2、三角形面积.17．小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同. （Ⅰ）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）49；（Ⅱ）分布列见解析，203. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率，另外也可利用独立重复试验求对应事件的概率；（Ⅱ）首先列出随机变量X 的所有可能的取值，再根据事件的互斥性和独立性求出X 取各值时的概率，最后即可求得X 的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）记“甲第i 次抢得红包”为事件)2,1(=i A i ，“甲第i 次没有抢得红包”为事件i A . 则31)(=i A P ，32)(=i A P . 记“甲恰有1次抢得红包”为事件A ，则2121A A A A A +=， 由事件的独立性和互斥性，得)()()()()()()()(212121212121A P A P A P A P A A P A A P A A A A P A P +=+=+=.9431323231=⨯+⨯=. （Ⅱ）记“乙第i 次抢得红包”为事件)3,2,1(=i B i ，“乙第i 次没有抢得红包”为事件i B . 则31)(=i B P ，32)(=i B P . 由题意知X 的所有可能取值为20,15,10,5,0， 由事件的独立性和互斥性，得278)32()()0(3321====B B B P X P .278)32(312)()5(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .9231)32(32)31()()10(22321321=⨯+⨯=+==B B B B B B P X P .27432)31(2)()15(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .271)31()()20(3321====B B B P X P .所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望3202712027415921027852780)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .【考点】1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列.18．如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90=∠CMD ，平面⊥CMD 平面BCD ，⊥AB 平面BCD .（Ⅰ）求证：AM CD ⊥；（Ⅱ）若2==BC AM ，求直线AM 与平面BDM 所成的角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）721. 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得到线线垂直；（Ⅱ）先根据等体积法求出点A 到平面BDM 的距离，再结合直角三角形的边角关系即可求出直线AM 与平面BDM 所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：取CD 的中点O ，连接OM OB ,.因为BCD ∆是等边三角形，所以CD OB ⊥.因为CMD ∆是等腰直角三角形， 90=∠CMD ，所以CD OM ⊥.又平面⊥CMD 平面BCD ，平面 CMD 平面CD BCD =，⊂OM 平面CMD ， 所以⊥OM 平面CMD ，因为⊥AB 平面BCD ，所以AB OM ∥.所以B A M O ,,,四点共面.因为O OM OB = ，⊂OB 平面OMAB ，⊂OM 平面OMAB ，所以⊥CD 平面OMAB .因为⊂AM 平面OMAB ，所以AM CD ⊥.（Ⅱ）在平面OMAB 内作AB MN ⊥，垂足为N ，则OB MN =. 因为BCD ∆是等边三角形，2=BC ，所以2,3==CD OB . 在ANM T R ∆中，12222=-=-=OB AM MN AM AN .因为CMD ∆是等腰直角三角形，90=∠CMD ，所以121==CD OM . 所以2=+=+=OM AN NB AN AB .由（Ⅰ）知AB OM ∥，因为⊂AB 平面ABD ，⊄OM 平面ABD ， 所以∥OM 平面ABD .所以点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离.在平面BCD 内作BD OK ⊥，垂足为K ，因为⊥AB 平面BCD ，⊂OK 平面BCD ，所以AB OK ⊥.因为⊂AB 平面ABD ，⊂BD 平面ABD ，B BD AB = ， 所以⊥OK 平面ABD ，且2360sin =⋅= OD OK . 在MOB Rt ∆中，222=+=OB OM MB ， 在MOD Rt ∆中，222=+=OD OM MD ，又因为2==BC BD ，所以BM BD =，所以MBD ∆为等腰直角三角形， 所以MBD ∆的面积27)2(2122=-⋅⋅=∆MD MB MD S BDM .设点A 到平面BDM 的距离为h ， 由ABD M BD M A V V --=，得OK S h S ABD BDM ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131， 得721227222123=⨯⨯⨯=⋅=∆∆BDMABDS S OK h . 设直线AM 与平面BDM 所成的角为θ，则721sin ==AM h θ. 所以直线AM 与平面BDM 所成的角的正弦值为721. 【考点】1、线线垂直；2、线面角. 19．已知数列{}n a 的前n 项和2)1(+=n n S n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设)12()1(1nn a n n n a a a b n-+⋅-=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）n T 1)1()2(9139111+⋅-+-⋅+--=+n n n n . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由数列{}n a 的前n 项和公式再结合对n 的讨论，即可求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列{}n b 的通项公式，再利用分组求和法并结合错位相减法以及裂项相消法，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析：（Ⅰ）当1=n 时，111==S a ； 当2≥n 时，n n n n n S S a n n n =--+=-=-2)1(2)1(1. 又11=a 也满足上式，所以n a n =. （Ⅱ）)1()1()2()112()1()12()1(1n n n nn n a a a b n n n n n n a n n n n ++-+-⋅=-++⋅-=-+⋅-=+.设数列{}nn )2(-⋅的前n 项和为n A ，数列{})1()1(n n n ++-的前n 项和为n B ， 则n n n A )2()2(3)2(2)2(132-⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅+-⋅=，1432)2()2()1()2(3)2(2)2(12+-⋅+-⋅-+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅+-⋅=-n n n n n A ，所以132)2()2()2()2()2(3+-⋅--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n n n A ，11)2(31332)2()2(1)2()2()2(++-⋅+--=-⋅----⋅---=n n n n n ，所以1)2(91392+-⋅+--=n n n A . 又)1()1()34()23()12(n n B nn ++⋅-+⋅⋅⋅++-+++-=11)1(-+⋅-=n n .所以11)1()2(913921-+⋅-+-⋅+--=+n n T n n n 1)1()2(9139111+⋅-+-⋅+--=+n n n n .（说明：也可写成⎪⎩⎪⎨⎧++-⋅+--+--⋅+--++为偶数为奇数，n n n n n n T n n n ,1)2(913911,1)2(91391111同样给分） 【考点】1、通项公式及前n 项和公式；2、错位相减法及裂项相消法.20．已知点C 是圆16)1(:22=+-y x F 上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于原点对称，线段F C '的垂直平分线与线段CF 交于点P .（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点)0,4(A ，若直线x PQ ⊥轴，且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B .（1）证明：点B 恒在曲线E 上； （2）求PAB ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）29.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出P 的坐标，并表示出Q 的坐标，进而表示出直线AQ 与直线PF 的交于点B 的坐标，即可证明点B 恒在曲线E 上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得PAB ∆面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）由题设得圆F 的圆心为)0,1(F ，半径为4，PC F P ='， 又4==+FC PF PC ，所以24='>=+'F F PF F P ，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹E 是以F F ',为焦点，以4为长轴长的椭圆.设此椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，且焦距为)0(2>c c ，则⎪⎩⎪⎨⎧+===,222,1,42c b a c a 即⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2b c a 所以动点P 的轨迹E 的方程为13422=+y x . （Ⅱ）（1）设)0)(,(≠n n m P ，则),(n m Q -，且124322=+n m ， 所以直线)4(4:--=x mny AQ ，即04)4(=---n y m nx ①. 直线)1(1:--=x m ny PF ，即0)1(=---n y m nx .② 联立①②，解得523,5285-=--=m ny m m x ，所以点B 的坐标是)523,5285(---m nm m . 则222222222)52(4936648025)52(3)52(4)85(34--++-=-+--=+m m m m m n m m y x B B 1)52(4100801622=-+-=m m m 所以点B 恒在椭圆E 上.（2）设直线1:+=ty x PF ，3),,(),,(2211=FA y x B y x P ， 则由⎩⎨⎧=++=,1243,122y x ty x 消去x ，并整理得，096)43(22=-++ty y t . 因为0)1(144)43(3636222>+=++=∆t t t 恒成立，所以4311243)1(144222221++=++=-t t t t y y . 所以1113184311821222221+++=++=-=∆t t t t y y FA S PAB .令)1(12≥+=u t u ，设),1[,13)(+∞∈+=u uu u g ， 因为01313)(222>-=-='u u u u g ， 所以函数uu u g 13)(+=在),1[+∞上单调递增，故4)1()(min ==g u g . 所以29418=≤∆PAB S ，即当0=t 时，PAB ∆的面积取得最大值，且最大值为29.【考点】1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出P 的坐标，并表示出Q 的坐标，进而表示出直线AQ 与直线PF 的交于点B 的坐标，即可证明点B 恒在曲线E 上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得PAB ∆面积的最大值.21．已知函数23)(bx ax x f +=在1=x 处取得极值61. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x ，都有)1ln()(+≤'x k x f 成立（其中)(x f '是函数)(x f 的导函数），求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：)(2)1ln(11*=∈++<∑N n n ini . 【答案】（Ⅰ）21,31=-=b a ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得b a ,的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数()f x 的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得)1ln()(+≤'x k x f 在),0[+∞∈x 上恒成立时实数k 的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.试题解析：（Ⅰ）由题设可求得，bx ax x f 23)(2+='，因为)(x f 在1=x 处取得极值61， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==',61)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧===+,61,023b a b a 解得21,31=-=b a .经检验知，21,31=-=b a 满足题设条件.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，232131)(x x x f +-=，所以x x x f +-='2)(，所以)1ln(2+≤+-x k x x 在),0[+∞∈x 上恒成立， 即0)1ln(2≥++-x k x x 在),0[+∞∈x 恒成立. 设)1ln()(2++-=x k x x x g ，则0)0(=g ，,112112)(2+-++=++-='x k x x x k x x g ),0[+∞∈x .设12)(2-++=k x x x h ， 1）当0)1(81≤--=∆k ，即89≥k 时，0)(≥x h ， 所以0)(≥'x g ，)(x g 在),0[+∞单调递增，所以0)0()(=≥g x g ，即当89≥k 时，满足题设条件. 2）当0)1(81>--=∆k ，即89<k 时，设21,x x 是方程0122=-++k x x 的两个实根，且21x x <， 由2121-=+x x ，可知01<x ，由题设可知，当且仅当02≤x ，即021≥⋅x x ，即01≥-k ， 即1≥k 时，对任意),0[+∞∈x 有0)(≥x h ，即0)(≥'x g 在),0[+∞上恒成立，所以)(x g 在),0[+∞上为增函数，所以0)0()(=≥g x g .所以891<≤k 时，也满足题设条件. 综上可知，满足题设的k 的取值范围为1≥k ，所以实数k 的最小值为1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1=k 时，)1ln(2+≤+-x k x x ，即)1ln(2++≤x k x x 在区间),0[+∞上恒成立. 令)(1*∈=N n n x ，得n n nn n n ln )1ln(1)11ln(1122-++=++≤. 所以当2≥n 时，]ln )1[ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 13121112221n n ni ni -++⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++≤∑= )1ln(131211222+++⋅⋅⋅+++=n n)1ln()1(13212111++-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+<n nn 2)1ln()1ln(12++<++-=n n n， 当1=n 时，上式显然成立. 所以原不等式得证.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得b a ,的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数()f x 的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得)1ln()(+≤'x k x f 在),0[+∞∈x 上恒成立时实数k 的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.。