定积分在物理中的应⽤定积分在物理中的应⽤⽬录：⼀．摘要⼆．变⼒沿直线所作的功三．液体的侧压⼒四．引⼒问题五．转动惯量摘要：伟⼤的科学家⽜顿，有很多伟⼤的成就，建⽴了经典物理理论，⽐如：⽜顿三⼤定律，万有引⼒定律等；另外，在数学上也有伟⼤的成就，创⽴了微积分。
微积分（Calculus）是⾼等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应⽤的数学分⽀。
它是数学的⼀个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应⽤。
微分学包括求导数的运算，是⼀套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可⽤⼀套通⽤的符号进⾏讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算⾯积、体积等提供⼀套通⽤的⽅法。
微积分最重要的思想就是⽤"微元"与"⽆限逼近"，好像⼀个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成⼀⼩块⼀⼩块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就⾏。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是⼀种数学思想，‘⽆限细分’就是微分，‘⽆限求和’就是积分。
⽆限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是⽤⼀种运动的思想看待问题。
微积分堪称是⼈类智慧最伟⼤的成就之⼀。
在⾼中物理中，微积分思想多次发挥了作⽤。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插⼊若⼲个分点 a=X0在每个⼩区间[Xi-1，Xi]上任取⼀点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与⼩区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ?=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在⼩区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作： ()dx x f ab ?即： ()()ini iab x f I dx x f ?==∑?==11设物体在连续变⼒F(x)作⽤下沿x 轴从x=a 移动到x=b,⼒的⽅向与运动⽅向平⾏,求变⼒所作的功.在[a,b]上任取⼦区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变⼒F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a=例1．在⼀个带+q 电荷所产⽣的电场作⽤下，⼀个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场⼒为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：-=-==b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=?∞+2例2. 在底⾯积为S 的圆柱形容器中盛有⼀定量的⽓体，由于⽓体的膨胀，把容器中的⼀个⾯积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中⽓体压⼒所作的功.解：建⽴坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反⽐，即xSpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===?例3.⼀蓄满⽔的圆柱形⽔桶⾼为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的⽔全部吸出需做多少功？解：建⽴坐标系如图，在任⼀⼩区间[x,x+dx]上的⼀薄层⽔的重量为dx g 23πρ??（KN ）这薄层⽔吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299?==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压⼒设液体密度为ρ深为h 处的压强：h g pρ=*当平板不与⽔⾯平⾏时，所受侧压⼒就需⽤积分解决.例4.⼀⽔平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的⼀个端⾯所受的侧压⼒. 解：建⽴坐标系如图.所论半圆的⽅程为 2 2xR y-±=()R x ≤≤0利⽤对称性，侧压⼒元素 dx x R x g dP222-=ρ端⾯所受侧压⼒为322322R g dx x R x g P ?=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，⼩窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压⼒元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ，故端⾯所受侧压⼒为 ()dx x R x R g PR R222++=?-ρ令 t R x sin =↓Rg 0222arcsin 224?+-=ρ3R g ρπ=引⼒问题质量分别为1m ，2m 的质点，相距r ，⼆者间的引⼒：⼤⼩：221rmm kF =⽅向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引⼒，则需⽤积分解决.例5.设有⼀长度为l ，线密度为µ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有⼀质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引⼒.解：建⽴坐标系如图.细棒上⼩段[x ，x+dx]对质点的引⼒⼤⼩为22xa dxm kdF +=µ故垂直分⼒元素为αcos dF dF y22xa a x a dx m k +?+-=µ()2322x a dxakm +-=µ棒对质点的引⼒的垂直分⼒为()+-=2023222l yxa dxa km F µ2222l x a a x a km+-=µa a l km +-=µ棒对质点引⼒的⽔平分⼒0=x F故棒对质点的引⼒⼤⼩为22412la a l km F +=µ说明1.当细棒很长时，可视l 为⽆穷⼤，此时引⼒⼤⼩为akm µ2⽅向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引⼒沿y 轴从a 处移动到b （a dy ly y l km dW 22412+-=µ+-=b aly y dyl km W 2242µ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2cos xa dxakm dF dF y +-=?-=µα()2322sin xa xdxkm dF dF x +=?=µα∴ ()+-=lyxa dxa km F 02322µ()+=lxkm F 02322µ引⼒⼤⼩为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需⽤积分解决. 例6.设有⼀个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中⼼与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建⽴坐标系如图.设圆盘⾯积为ρ.对应于[x,x+dx]的⼩圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为321212I MRR dx x ===?πρπρ ??? ?=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建⽴坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平⾏y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RR y--=222I ρdx x R xR2224-=?ρtdt t R 220ρ（令x=Rsint ）244141MRR ==ρπ ??? ?=2R M πρ1. ⽤定积分求⼀个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1）先⽤微分分析法求出它的微分表达式dQ ⼀般微分的⼏何形状有：条、段、环、带、扇、⽚、壳等. （2）然后⽤定积分来表⽰整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应⽤：变⼒做功，侧压⼒，引⼒，转动惯量等.○1抓起污泥后提出井⼝，已知井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓⽃提升到井⼝，问克服重⼒需做多少焦⽿（J ）功？（99考研）提⽰：作x 轴如图.将抓起污泥的抓⽃由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓⽃⾃重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -?=30502抓⽃升⾄x 处所需时间：3x（s ）提升抓⽃中的污泥：-=32020003()dx x x W??-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没⼀点处线密度的⼤⼩等于该点到原点距离的⽴⽅，再点O 处有⼀单位质点，求星形线在第⼀象限的弧段对这质点的引⼒.提⽰：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ?=dF dF x()ds yx x yx k 222122+?+=kxds =kyds dF dF y=?=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin3sin cos 3cos ?+-??=? ??=2042sin cos 3πtdt t k a253ka=同理253kaF y=故星形线在第⼀象限的弧段对该质点的引⼒⼤⼩为2253kaF =在⾼中物理中还有很多例⼦，⽐如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引⼒势能等都⽤到了微积分思想，所有这些例⼦都有它的共性。
