立体几何 苏教版

1.2.1平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？★★答案★★没有.水平放置的正方形的直观图梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？★★答案★★点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC上M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？★★答案★★前者不在，后者在.思考2观察下图，你能得出什么结论？★★答案★★不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？★★答案★★不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理公理文字语言图形语言符号语言作用(推论)公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内⎭⎪⎬⎪⎫A∈αB∈α⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线⎭⎪⎬⎪⎫P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据.(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC ∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P 、Q 、R 三点共线. 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR .∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR .又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线. 命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点.求证：CE 、D 1F ，DA 三线交于一点.证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点. 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点.反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.★★答案★★A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.★★答案★★无数解析由公理2可得.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)★★答案★★①③④⑤4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.★★答案★★1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内.因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课时作业一、填空题1.下列推理正确的是________.(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.★★答案★★①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确.2.下列说法中，正确的是________.(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形.★★答案★★②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.3.如图所示，用符号语言可表示为________.(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.★★答案★★①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.★★答案★★PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.★★答案★★ 4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.★★答案★★ 6解析如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.★★答案★★P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8.下列命题中正确的是________.(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点.★★答案★★①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确.9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.★★答案★★ 5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.★★答案★★ 34a 解析 延长DM 交D 1A 1的延长线于G 点，连结GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a . 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体经过P ，Q ，R 的截面图形是________.★★答案★★ 正六边形解析 如图，连结B 1D 1，作RG ∥B 1D 1交C 1D 1于G ，连结QP 并延长与CB 的延长线交于M ，连结MR 交BB 1于E ，连结PE ，PE 为截面与正方体的交线.同理，延长PQ 交CD 的延长线于N ，连结NG 交DD 1于F ，连结QF .∴截面PQFGRE 为正六边形.二、解答题12.已知：A ∈l ，B ∈l ，C ∈l ，D ∉l ，如图所示.求证：直线AD ，BD ，CD 共面.证明 因为D ∉l ，所以l 与D 可以确定一个平面α，因为A ∈l ，所以A ∈α.又D ∈α，所以AD ⊂α.同理，BD ⊂α，CD ⊂α，所以AD ，BD ，CD 在同一平面α内，即直线AD ，BD ，CD 共面.13.如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.解 由题意得点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上.由于AB >CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ，∴E ∈平面SAC .同理可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连结SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线.三、探究与拓展14.空间中有A ，B ，C ，D ，E 五个点，已知A ，B ，C ，D 在同一个平面内，B ，C ，D ，E 在同一个平面内，那么这五个点________.(填序号)①共面；②不一定共面； ③不共面；④以上都不对.★★答案★★ ②解析 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面.A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD ＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点. 证明 如图，连结EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ，所以EH ，FG 共面，且EH ，FG 不平行.不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD .因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD .又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ，所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .。

第1章立体几何初步空间几何体的表面积和体积1.3.2 空间几何体的体积A组基础巩固1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是()D．1解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝13S△ADC·D1D＝13×12×AD·DC·D1D＝13×12＝16.答案：A2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()C．200D．240解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝（2＋8）×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.答案：C3．(2023·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72 cm3B．90 cm3C．108 cm3D．138 cm3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝V三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．答案：B4．已知直角三角形的两直角边长为a，b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶b B．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a2解析：以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝13πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积V ＝13πa 2b .所以13πb 2a ∶13πa 2b ＝b ∶a .答案：B5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) πC ．43πD ．323π解析：由题意可知，6a 2＝24，所以a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，所以R ＝3，所以V 球＝43πR 3＝43π.答案：C6．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶1解析：S 1S 2＝4πr 214πr 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.答案：A7．(2023·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π·22×2＋π·12×4＝203π(m 3)．答案：203π8.已知高为3的直棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B 1-ABC 的体积为________．解析：因为S △ABC ＝34×12＝34，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，所以VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.答案：349．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为23π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π2的等腰直角三角形．答案：12l 2B 级 能力提升10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图所示，几何体的高为2，V ＝23－14×π·12×2×2＝8－π.答案：B11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRrD ．π(R ＋r )2解析：如图所示，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .答案：C12．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于对棱AB 的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S . 所以V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，V 柱A 1B 1C 1-FEC ＝Sh .所以V 柱A 1B 1C 1FECV 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh73Sh －Sh ＝34. 答案：3∶4或4∶313．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR3，所以r 1＝R3.同理，C 2＝4πR 3，所以r 2＝2R 3.又母线为R ，所以h 1＝223R ，h 2＝53R .所以V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3.故V 1∶V 2＝1∶10. 答案：1∶1014.如图所示，在等腰三角形ABC 中，E ，F 分别为两腰AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．解：由题意画出图形，如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h 2，底面半径为r 2.所以V －V 柱V ＝1－V 柱V＝1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 213πr 2h ＝1－38＝58.15.如图所示，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．解：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即14×2x ＝2r ，所以x ＝4r .又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，所以r ＝2325＋2＝52－2.所以圆锥的高h＝x2－r2＝15r＝15×(52－2)．所以圆锥体积V＝1πr2·h＝13π·(52－2)2×15×(52－2)＝153×(52－2)3π.3。

第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

2023苏教版四上册数学认识立体几何简介本文档旨在介绍2023年苏教版四上册数学教材中关于认识立体几何的内容。

立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到三维空间中的图形和形体。

通过研究立体几何，学生将能够认识不同的几何形体及其特点，培养空间思维能力，为将来的数学研究奠定基础。

单元一：认识立体本单元主要介绍了什么是立体以及立体的特点。

学生将研究到常见的几何立体体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等，了解它们的定义和特征，以及它们在日常生活中的应用。

单元二：认识平面与立体的关系本单元主要介绍了平面和立体之间的关系。

学生将研究到平面和立体的基本概念，包括平面的定义、特征以及与立体的关系。

通过比较平面和立体的性质，学生将能够更好地理解它们之间的联系和区别。

单元三：认识立体的表面与体积本单元主要介绍了关于立体的表面积和体积的计算方法。

学生将研究如何计算不同几何体的表面积和体积，并掌握相应的计算公式。

通过实际问题的训练，学生将能够应用所学的知识解决实际问题，培养数学思维和解决问题的能力。

单元四：认识立体的投影本单元主要介绍了立体的投影。

学生将研究到几何体在平面上的投影以及投影在立体上的应用。

通过研究投影的概念和方法，学生将能够更好地理解几何体的形状和结构，培养空间思维和观察问题的能力。

总结通过本文档的介绍，我们可以看到2023年苏教版四上册数学认识立体几何的教材内容主要包括认识立体、认识平面与立体的关系、认识立体的表面与体积以及认识立体的投影。

这些内容将帮助学生认识不同的几何立体，培养空间思维和解决问题的能力。

希望本文档能对教师和学生有所帮助。

1.1.4 直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点 斜二测画法思考1 边长为2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？★★答案★★ A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ， A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？★★答案★★ 没有都画成正方形.梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.类型一 平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示.(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示.反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示.由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________.★★答案★★ 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)， ∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形.命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝ O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连结BC ，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________.★★答案★★2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱.过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面.①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P －ABCDEF 的顶点.在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′. (3)成图.连结P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3).1.利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________.★★答案★★ 16或64解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm. ★★答案★★ 5解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析 在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或与y 轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，连结AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图.1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.课时作业一、填空题1.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形.★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.3.给出以下说法，其中不正确的是________.(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形.★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确.4.下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.5.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________.(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确.6.如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________.★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO.7.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________.(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点.★★答案★★ ①③④解析 根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直.8.一个长方体的长，宽，高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________. ★★答案★★ 4,4,4解析 根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.9.在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC 为______(填形状)，面积为________ cm 2.★★答案★★ 矩形 8解析 由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，∴四边形OABC 的面积为S ＝2×4＝8(cm 2).10.如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________.★★答案★★ 1解析 作CD 、BE ⊥OA 于点D 、E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)，∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2＝1(cm).二、解答题11.如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图.解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示.画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示.(2)如图②所示，在x ′轴的正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴的正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连结B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.12.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .解 (1)过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于点D ′，E ′.(2)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上取两点E ，D ，使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′D ′，再分别过E ，D 作y 轴的平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′，连结OB ，OC ，BC ，并擦出辅助线及x 轴，y 轴，即求出原△ABC .13.如图所示，在△ABC 中，AC ＝12 cm ，AC 边上的高BD ＝12 cm ，求其水平放置的直观图的面积.解 方法一 画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ， 所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2). 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2). 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2).三、探究与拓展14.水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是______三角形.★★答案★★ 钝角解析 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形.15.用斜二测画法画出正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形的直观图△ABC .(3)画侧棱.过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，使得AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图.。

1.3.1空间几何体的表面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么？★★答案★★直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面中心.思考2下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？★★答案★★S直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.思考3下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？★★答案★★S正棱锥侧面积＝12nah′＝12ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.思考4 如何求多面体的表面积？★★答案★★ 一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积. 梳理 (1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此，直棱柱的侧面积是S 直棱柱侧＝ch . ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长为c ，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h ′，它的侧面积是S 正棱锥侧＝12ch ′.知识点二 正棱台的表面积思考1 什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？★★答案★★ 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台. 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.思考2 如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c ，上底面周长为c ′，你能根据展开图，归纳出正n 棱台的侧面面积公式吗？★★答案★★ S 正棱台侧面积＝12 n (a ＋a ′)h ′＝12(c ＋c ′)h ′.思考3 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？★★答案★★ 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出. 棱台的表面积等于侧面积与底面积的和.梳理 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c ′，c ，斜高为h ′，则其侧面积是S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′.知识点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ ★★答案★★ S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l ).思考2 圆锥SO 及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？★★答案★★ 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l ).思考3 圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？★★答案★★ 由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则x x ＋l ＝rR ，解得x ＝rR －r l .S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形 ＝12(x ＋l )×2πR －12x ×2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2). 梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.解(1)如图所示，设O1、O分别上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF ⊥BC，连结C1F，则C1F为正四棱台的斜高.由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝22(b－a).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝22(b－a)，又EF＝CE·sin 45°＝12(b－a)，∴C1F＝C1E2＋EF2＝⎣⎡⎦⎤22(b－a)2＋⎣⎡⎦⎤12(b－a)2＝32(b－a).∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2).(2)∵S 侧＝S 底，S 底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b . 引申探究若四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长. 解 如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中， EF ＝x ＋10－x 2＝5(cm).∵E 1F ＝12 cm ， ∴斜高E 1E ＝13 cm.∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512， 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.反思与感悟 (1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到. 跟踪训练1 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积. 解 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底， ∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2，∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE ，∴9＋⎝⎛⎭⎫PE 22＝PE 2， ∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12， S 侧＝2S 底＝2×12＝24， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36. 类型二 求旋转体的表面积例2 圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm 2.(结果中保留π) ★★答案★★ 1 100π 解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c ， 因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π×SA ＝2π×10， 所以SA ＝20. 同理可得SB ＝40. 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)×AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2). 故圆台的表面积为1 100π cm 2.引申探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径. 解 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面半径为3r ，由题意知母线长l ＝3， ∵S 侧＝π(r ＋3r )×3＝84π，∴r ＝7.反思与感悟 (1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2 若圆锥的母线长为2 cm ，底面圆的周长为2π cm ，则圆锥的表面积为________ cm 2.★★答案★★ 3π解析 因为底面圆的周长为2π cm ，所以底面圆的半径为1 cm ，所以圆锥的底面积为π cm 2，圆锥的侧面积为12×2×2π＝2π(cm 2)，所以圆锥的表面积为3π cm 2.类型三 简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)解 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52 m ，其侧面积为S 1＝π×52× 1.22＋2.52(m 2).下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8(m 2). ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S ＝S 1＋S 2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.05(m 2).反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.跟踪训练3 有两个相同的直棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围.解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28.三棱柱有三种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a 2＋48. 最小的是一个四棱柱，即24a 2＋28<12a 2＋48， 即a 2<53，又a >0，∴0<a <153.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，153.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________. ★★答案★★ 2π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________. ★★答案★★ 4 解析 ∵l ＝R ＋r2，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2＝32π，∴l ＝4. 3.若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍. ★★答案★★ 2 解析 ∵h ′h ＝233，OM h ′＝h ′2－h 2h ′＝1－h 2h ′2＝1－1(h ′h)2＝1－34＝12. 设底面边长为a ，正三棱锥的侧面积为3·12h ′a ，正三棱锥的底面积为3·12·OM ·a ，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h ′∶OM ＝2， 故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍.4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm ，表面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.★★答案★★ 112或72解析 设底面边长、侧棱长分别为a cm 、l cm ，则⎩⎨⎧a 2＋a 2＋l 2＝9，2a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，l ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，l ＝3.∴S 侧＝4×4×7＝112(cm 2)或S 侧＝4×6×3＝72 (cm 2).5.以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径.解 如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.① 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解. 3.S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2).课时作业一、填空题1.正三棱锥的底面边长为a ，高为33a ，则此棱锥的侧面积为________. ★★答案★★154a 2解析 如图，在正三棱锥S —ABC 中，过点S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，则O 为△ABC 的中心，连结AO 并延长与BC 相交于点M ，连结SM ，SM 即为斜高h ′，在Rt △SMO 中，h ′＝(33a )2＋(36a )2＝156a ， 所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2.2.若圆柱的底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是________. ★★答案★★ 4πS解析 设圆柱的底面半径为r ，则πr 2＝S ，r ＝Sπ.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S 侧＝(2πS π)2＝4πS . 3.正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为________ cm 2.★★答案★★972解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm ，下底长为2 cm ，高为正六棱台的斜高.又边长为1 cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2 cm 的正六边形的中心到各边的距离是 3 cm ，则梯形的高为12＋(3－32)2＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2). 4.圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为________.★★答案★★ 3π解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝12＋(3)2＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.5.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________.★★答案★★ 160解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，所以l 21＝152－52，l 22＝92－52.又l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，所以a ＝8，所以S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160.6.一个长方体的长，宽，高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________.★★答案★★ 3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3.7.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1—AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________.★★答案★★ 1∶ 3解析 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1—AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1—AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.8.若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______.★★答案★★ 35π解析 ∵圆台的母线长为(2－1)2＋22＝5，∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π. 9.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.★★答案★★ 2∶1解析 ∵S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.10.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________.★★答案★★ (2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2＝(2＋2)a 2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.★★答案★★ 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1，∴S 表＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.二、解答题12.如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为点D .以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解 在△ABC 中，由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5知，AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .所以CD ＝125，记为r ＝125， 那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125， 母线长分别是AC ＝3，BC ＝4， 所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π. 所以，所求旋转体的表面积是845π. 13.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值.解 (1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，所以圆锥的侧面积S ＝π×2×210＝410π (cm 2).(2)画出轴截面如图所示.设圆柱的半径为r .由题意知r 2＝6－x 6， 所以r ＝6－x 3， 所以圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )， 所以当x ＝3 cm 时，S 最大＝6π cm 2.三、探究与拓展14.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________.★★答案★★ 7解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15.如图，已知正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积.解 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′.过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2， ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2，∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2， ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝183， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.。

苏教版初三数学立体几何的应用与探索立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的各种几何形体以及它们之间的关系。

在苏教版的初三数学教材中，立体几何作为一个单元被深入讲解，并通过实例练习来帮助学生掌握应用立体几何解决实际问题的能力。

本文将探索苏教版初三数学中立体几何的应用与实践。

第一节棱柱的应用棱柱是一个常见的立体几何形体，它具有各种各样的应用。

例如，在建筑领域中，我们经常使用棱柱来表示柱体结构，通过计算棱柱的体积和表面积可以预估材料的用量和施工成本。

此外，棱柱还可以用来解决一些日常生活中的问题，比如计算一个笔筒的容量或者一个水泵房的空间尺寸等。

在数学教材中，苏教版通过一系列实例来教授如何计算棱柱的体积和表面积。

学生们需要理解棱柱的定义以及相关公式，然后应用这些知识来解决问题。

通过这样的练习，他们可以更好地理解数学原理，并培养应用数学解决实际问题的能力。

第二节圆锥的探索圆锥是另一个常见的立体几何形体，它的应用也非常广泛。

在建筑和工程领域中，圆锥常用于设计建筑物的天花板和斜坡等结构。

在日常生活中，我们也可以发现许多与圆锥有关的实际问题，比如计算冰淇淋蛋筒的容量、斜坡路的坡度等等。

苏教版初三数学教材中通过实例和练习让学生探索圆锥的应用。

学生们需要学习圆锥的定义、性质以及相关公式，然后应用这些知识解决各种问题。

这种探索式的学习方法有助于学生深入理解几何概念，并将其应用于实际生活中。

第三节球体的应用球体是立体几何中最简单且最常见的形体之一，它具有许多重要的应用。

在建筑领域中，球体常用于设计圆顶和球形建筑物，在体育领域中，球体则用于各种球类运动比赛中。

此外，球体也用于计算天体的体积和表面积等等。

苏教版初三数学教材中通过实例和计算让学生掌握球体的应用。

学生们需要学习球体的定义、性质以及计算公式，然后应用这些知识解决各种问题。

通过这样的练习，学生可以加深对立体几何的理解，并将其应用于日常生活和其他学科中。

第5课时线面垂直的综合应用学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？★★答案★★平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线P A斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA 就是斜线段P A在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠P AO，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一 与线面角有关的问题例1 已知∠BAC 在平面α内，P ∉α，∠P AB ＝∠P AC .求证：点P 在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．证明 如图所示，作PO ⊥α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为O ，E ，F ，连结OE ，OF ，OA.⎭⎪⎬⎪⎫PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∠P AE ＝∠P AF P A ＝P A⇒Rt △P AE ≌Rt △P AF ⇒AE ＝AF .⎭⎪⎬⎪⎫PO ⊥αAB ⊂α⇒⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥POAB ⊥PE PO ∩PE ＝P⇒AB ⊥平面PEO ⇒AB ⊥OE .同理，AC ⊥OF .在Rt △AOE 和Rt △AOF 中，AE ＝AF ，OA ＝OA ， 所以Rt △AOE ≌Rt △AOF . 于是∠EAO ＝∠F AO ，因此，点P 在α内的射影O 在∠BAC 的平分线上． 反思与感悟 (1)求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1 如图所示，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，C 1H ⊥AB ，证明：点H 是C 1在平面ABC 内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．(1)证明：A1C1∥平面ACD；(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.(3)证明∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)★★答案★★①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．★★答案★★a2－b23．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．★★答案★★垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．★★答案★★ 3解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝ 3.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的任意一点，∴BC ⊥AC . 又在圆柱OO 1中，AA 1⊥底面⊙O ，∴AA 1⊥BC ， 又AA 1∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面A 1AC .(2)取BC 的中点E ，连结DE ，O 1E ，∵D 为AC 的中点，∴在△ABC 中，DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，又在圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且A 1O 1＝12AB ，∴DE ∥A 1O 1，DE ＝A 1O 1，∴四边形A 1DEO 1为平行四边形，∴A 1D ∥EO 1. 而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ， ∴A 1D ∥平面O 1BC .立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如： (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．课时作业一、填空题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是____．★★答案★★ 8解析 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， P A ⊥平面ABC ，∴AB ⊥P A ，P A ⊥DA ，P A ⊥AC . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，可得PD ⊥BC ，∴图中直角三角形有△P AC ，△P AB ，△P AD ，△ABC ，△ABD ，△ADC ，△BPD ，△DPC ，共8个． 2．下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α或b ⊂α. 其中正确的命题是________．(填序号) ★★答案★★ ①②③⑥3．已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为________．★★答案★★332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心． ∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 斜边的中点D ，如图． ∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝332.4．下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)★★答案★★①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．★★答案★★①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．★★答案★★3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线P A垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)★★答案★★①②③解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC.故②正确．8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．★★答案★★ 4解析∵AC⊥BD，SD⊥AC，BD与AC相交，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确；∵AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故②正确；∵SD⊥平面ABCD，∴SA在平面ABCD的射影是AD，故③正确；∵AB∥CD，故④正确．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★B1D1⊥A1C1(★★答案★★不惟一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA1到平面BB1C1C的距离为________．★★答案★★3 2a解析∵AA1∥BB1，∴AA1∥平面BB1C1C，∴AA1到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离．取BC的中点D，连结AD，则AD⊥BC.又AD⊥BB1.∴AD⊥平面BB1C1C.∴AD＝32a，∴AA1到平面BB1C1C的距离为3 2a.11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________．★★答案★★线段CB1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC.则BD1⊥平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝2，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，BD BB1＝12，BB1B1C1＝22，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且P A垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解如图，过点A作AD⊥PC于点D，∵BC⊥平面P AC，AD⊂平面P AC，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离，∵∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即∠PBA＝45°，∴P A＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝ 5.∵AD·PC＝P A·AC，∴AD＝2×15＝255，即点A到平面PBC的距离为25 5.15.如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC ⊥AB ；(2)若AA 1＝26，侧棱CC 1上是否存在点P 使得MC ⊥平面ABP ？若存在，求出PC 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点N ，连结MN ，CN ，则MN ⊥底面ABC ，MN ⊥AB .因为△ABC 是正三角形，所以NC ⊥AB ，由MN ∩NC ＝N ，MN ⊂平面MNC ，NC ⊂平面MNC ，可得AB ⊥平面MNC ，从而AB ⊥MC .(2)解 由(1)知，MC ⊥AB ，若存在点P 使得MC ⊥平面ABP ，则必有MC ⊥BP . 过M 作MQ ⊥B 1C 1，垂足为Q ，连结QC ，则QC 是MC 在平面BCC 1B 1内的射影，只需QC ⊥BP 即可，此时Rt △QC 1C 与Rt △PCB 相似，QC 1C 1C ＝PC CB， 所以PC ＝QC 1·CB C 1C ＝3×426＝6，点P 恰好是CC 1的中点．。

1学习空间几何体要“三会”一、会辨别例1下列说法：①一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥．其中说法正确的个数为________．分析可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断．解析一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错．故填0.★★答案★★0评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．二、会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．★★答案★★北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．三、会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示．分析三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行．解作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连结DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2空间几何体中常见错例剖析在空间几何体的解题中，很容易出现错误，本文将结合几道具体的错例来谈谈如何防止出现类似的错误．一、空间几何体概念不清例1下列结论中正确的是________．(填序号)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在的直线为旋转轴，将三角形旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．错解①②③④剖析①错误，如两个结构相同的三棱锥叠放在一起形成的几何体的各个面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如以一个直角三角形ABC 的斜边AB 为旋转轴旋转一周，其形成的曲面所围成的几何体是同底的两个圆锥，但此几何体不是圆锥．③错误，若六棱锥的底面各边长相等，则其底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，且侧棱长相等，则棱锥的侧棱长必然大于底面边长． ④显然正确． 正解 ④二、斜二测画法的规则错误例2 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．错解 2剖析 与y 轴平行的那条边和在x 轴上的边垂直，且长度应是原长的2倍，所以其面积应为S ＝12×|－2|×(2×|－2|2)＝2 2. 正解 2 2三、空间想象能力不足致错例3 用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是_______________________． (填序号)①正六边形；②菱形；③直角三角形；④等腰梯形；⑤钝角三角形． 错解 ②剖析 空间想象能力和作图能力不强，没有动手实验的学习习惯，做截面问题仅凭直觉．①④显然可以得到．而截面可能是正方形，正方形是菱形，所以②也可得到．③⑤均为三角形，这时截面必与从一个顶点出发的三条棱相交，构造一个“角”，如图，截面三角形PQR 必为锐角三角形．任选一个∠PQR 为例，PQ 2＋QR 2－PR 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)－(a 2＋c 2)>0，所以∠PQR 为锐角．同理，∠QPR ，∠PRQ 也为锐角． 所以，本题★★答案★★为③⑤. 正解 ③⑤3“三共”问题的证法精析一、证明点共线例1如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C与截面DBC1交于点O，AC与BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．证明因为C1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因为M∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．因为O为平面A1ACC1与平面DBC1的交点，所以O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两个平面的公共点，所以O∈C1M，即C1、M、O三点共线．评注证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理2证明这些点同在两个平面的交线上．二、证明线共点例2如图，△ABC与△A1B1C1三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点．分析要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上．证明由A1B1∥AB知，A1B1与AB可确定平面α.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分别确定平面β和γ.又△ABC与△A1B1C1不全等，则A1B1≠AB.若AA1，BB1的交点为P，则P∈AA1，且P∈BB1.又β∩γ＝CC1，BB1⊂β，则P∈β；AA1⊂γ，则P∈γ.所以点P在β∩γ的交线上，即P∈CC1，这样点P在AA1，BB1，CC1上，即三对对应顶点的连线相交于一点．评注解决此类问题的一般方法：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其直线上．三、证明线共面例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．分析四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明．证明分两种情况证明：①有三条直线过同一点，如图，因为A∉l4，所以过A，l4可确定平面α.因为B，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.所以AB⊂α，AC⊂α，AD⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．②任意三条直线都不过同一点，如图．因为l1∩l2＝A，所以过l1，l2可以确定平面α.又因为D，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α.由E∈α，B∈α，可得BE⊂α，即l3⊂α.同理可证l4⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．评注证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面α，另两条直线确定一个平面β，再证α，β重合，从而三线共面．4巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题．一、作辅助线来解题例1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BB 1D 1D .证明 如图，取D 1B 1的中点O ，连结OF ，OB .因为OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以OF 綊BE ，即四边形OFEB 为平行四边形， 所以EF ∥BO .又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .评注 将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一．二、作辅助面来解题例2 如图，已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，α∩β＝b ，求证：a ∥b .分析 要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决．条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破． 证明 过a 作平面γ，δ，使得γ∩α＝c ，δ∩β＝d .因为γ∩α＝c ，直线a ∥平面α，a ⊂γ，所以a ∥c . 同理可证a ∥d .所以c ∥d .由d ⊂β，c ⊄β，得c ∥β. 因为c ⊂α，α∩β＝b ，所以c ∥b .又a ∥c ，所以a ∥b .评注本题要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面．5转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．一、证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．例1如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.证明因为P A垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥BM.因为M是圆周上一点，所以BM⊥AM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM，所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.评注本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．二、证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．例2如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA .证明 (1)如图，取EC 的中点F ，连结DF ，易知DF ∥BC . 因为EC ⊥BC ，所以DF ⊥EC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ， 所以DE ＝DA .(2)如图，取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC .又EC ∥BD ，且BD＝12EC ， 所以MN ∥BD ，且MN ＝BD ， 所以四边形BDMN 是平行四边形， 所以点N 在平面BDM 内． 因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，所以BN ⊥平面ECA .因为BN ⊂平面MNBD ，所以平面BDM ⊥平面ECA . 评注 在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题． 三、证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．例3 如图，已知平面α∩平面β＝CD ，EA ⊥α，EB ⊥β，垂足分别为A ，B ，求证：CD ⊥AB .证明 因为EA ⊥α，CD ⊂α，所以CD ⊥EA .又因为EB ⊥β，CD ⊂β，所以EB ⊥CD . 又因为EA ∩EB ＝E ，所以CD ⊥平面ABE . 因为AB ⊂平面ABE ，所以CD ⊥AB .评注 在证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化归的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下： 线线垂直????判定定理性质定理线面垂直????判定定理性质定理面面垂直．6 几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力的目的．下面就举例说明利用几何法求空间角的策略． 一、求异面直线所成的角求异面直线所成的角主要是根据定义利用平移法作出所成角，平移的主要途径有：(1)利用三角形和梯形的中位线；(2)利用平行线分线段成比例的性质；(3)利用平行四边形(矩形、正方形)的性质；(4)利用线面平行和面面平行的性质等．例1 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱都垂直于底面，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角为________．分析 考虑直线AC 1在平面AA 1C 1C 上平行移动，当点C 1移至A 1时，点A 自然移至CA 的延长线上，因此只需取AD ＝AC 即可顺利求解． 解析 如图，延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连结A 1D .由AC ∥A 1C 1且AC ＝A 1C 1， 得AD ∥A 1C 1且AD ＝A 1C 1， 所以四边形ADA 1C 1为平行四边形．所以∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角． 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1D ＝A 1B ＝BD ＝2， 即△A 1DB 为等边三角形． 所以∠DA 1B ＝60°. ★★答案★★ 60° 二、求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角关键是根据定义作出斜线在平面上的射影，强调“射影”，而射影又主要是通过作出斜线上一点在平面上的射影来实现．例2 如图，三棱锥A －BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，求CQ 与平面BCD 所成角的正弦值．分析 为找出CQ 与平面BCD 所成的角，由线面所成角的定义，只需要找出CQ 在平面BCD 内的射影．解 过点A 作AO ⊥平面BCD ，交平面BCD 于点O ，连结OD ，OB ，OC ，则可以证明O 是△BCD 的中心． 作QP ⊥OD ，则QP ∥AO . 所以QP ⊥平面BCD .连结CP ，则CP 是CQ 在平面BCD 内的射影，从而∠QCP 就是CQ 与平面BCD 所成的角． 设三棱锥的棱长为a ，则在等边△ACD 中，Q 是AD 的中点， 所以CQ ＝32a . 因为QP ∥AO ，Q 是AD 的中点， 所以QP ＝12AO ＝12a 2－(33a )2＝66a . 所以sin ∠QCP ＝QP CQ ＝23.故CQ 与平面BCD 所成角的正弦值为23.三、求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般需先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角．例3 在三棱锥S －ABC 中，已知△ABC 是边长为a 的等边三角形，且SA ⊥底面ABC ，AS ＝12a ，求二面角A －BC －S 的大小． 解 如图所示，因为AB ＝AC ＝a ，∠BAS ＝∠CAS ＝90°，所以SB ＝SC .取BC 的中点D ，连结AD ，SD ，则由等腰三角形的性质，可得SD ⊥BC ，AD ⊥BC .于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS 为二面角A －BC －S 的平面角．因为AS ＝12a ，AD ＝32BC ＝32a ，所以在Rt △ASD 中，tan ∠ADS ＝12a 32a ＝33.所以∠ADS ＝30°，即所求二面角A －BC －S 的大小为30°.评注 在应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.7 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 一、直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析 根据锥体的体积公式V ＝13Sh 知，应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝157，l ＝6r .所以h ＝l 2－r 2＝(6r )2－r 2＝35r 2 ＝35r ＝35×157＝5 3. 所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥的体积为2537π cm 3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 二、分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析 如图，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC 和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S ∆＝4S .111·,33ABC A ABC V S h Sh ∆-三棱锥所以＝＝111114·.33A B C A ABC V S h Sh ∆-三棱锥＝＝1117,3ABC A B C V Sh -三棱台又＝11111111117142.3333C B C B C A B C ABC V V V V Sh Sh Sh Sh -----三棱锥三棱锥三棱台三棱锥所以＝＝＝A B -A B C -A A -11111111:::2:4.B B C C B C V V V 三棱锥三棱锥三棱锥所以＝1A -ABC -A -A评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 三、等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2，1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．解 设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC＝13×1.5×2＝1(cm 3)。

1.3.2 空间几何体的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积.知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高). 2.锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高).3.台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高).4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径). 2.球的体积公式V ＝43πR 3.知识点三 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为____________.★★答案★★312解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm. ★★答案★★ 0.6解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm 和30cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高. 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20cm ，AB ＝30cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2).由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm). 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上×S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1900(cm 3).类型二 球的表面积与体积 命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比. 解 如图，等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O .设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin30°＝2OE ＝2R .∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，∴V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. ★★答案★★ 6πa 2解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________. ★★答案★★4π3解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是43×π×13＝4π3.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. ★★答案★★ 73πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 命题角度2 球的截面例3 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球的表面积与球的体积.解 如图所示，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ， 解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ， 由勾股定理得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2， 解得R ＝362，则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面.跟踪训练3 用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍. ★★答案★★ 32解析 设球的半径为R ，则S球表＝4πR 2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S 圆＝πR 2，∴两个半球的表面积之和S ＝S 球表＋2S 圆＝6πR 2.∴S ∶S 球表＝3∶2. 类型三 组合体的体积例4 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.解 不会溢出杯子.理由如下： 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12＝64π(cm 3)，所以V 半球＜V 圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.反思与感悟 代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别.跟踪训练4 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所得的几何体的体积.解 如图，过点C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于点E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥 ＝13π(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.1.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________cm. ★★答案★★ 4解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3). 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4(cm).2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________. ★★答案★★ 2π解析 设圆柱的底面半径为r ，则S 侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，得r ＝1，则圆柱的体积为πr 2×2r ＝2π.3.正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍. ★★答案★★ 3 3解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32.∴外接球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫123，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍.4.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________. ★★答案★★3解析 依题意得正六棱锥的高为5－12＝2， 所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.5.如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm 和底面半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.★★答案★★ 29解析 在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm ，则有π×12×(h －20)＝π×32×(h －28)，解得h ＝29(cm).1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系 V 柱体＝ShS ′＝SV 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课时作业一、填空题1.已知正三棱锥S —ABC ，D 、E 分别为底面边AB 、AC 的中点，则四棱锥S —BCED 与三棱锥S —ABC 的体积之比为________.★★答案★★ 3∶4 解析 两锥体高相等，因此V SBCED ∶V SABC ＝S BCED ∶S ABC ＝3∶4.2.一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________. ★★答案★★ π∶4解析 设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4. 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，则V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π. ∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4.3.已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为________. ★★答案★★4581π 解析 由题易得圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，所以圆锥的高h ＝12－⎝⎛⎭⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝⎛⎭⎫232×53＝4581π.4.长方体共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________. ★★答案★★ 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.5.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448＋323)cm 2，则其体积为______cm 3.★★答案★★ 512＋128 3解析 设正方体的棱长为a cm ，则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323，解得a ＝8(cm).∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3). 6.如图，在正直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________.★★答案★★ 8 3解析 由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，由题意可知BD ＝DC 1，故△BDC 1为以点D 为直角顶点的等腰直角三角形.又12BD 2＝6，所以BD ＝23，BC 1＝26，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得a 2＋b 24＝12.① 又由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，②由①②可得a ＝22，b ＝4，∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 7.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.★★答案★★ 7∶5解析 如图，延长A 1A 到A 2，B 1B 到B 2，C 1C 到C 2，且A 1A ＝AA 2，B 1B ＝BB 2，C 1C ＝CC 2，连结A 2C 2，A 2B 2，B 2C 2，则得到三棱柱ABC —A 2B 2C 2，且VABC —A 1B 1C 1＝VABC —A 2B 2C 2.延长B 1E ，C 1F ，则B 1E 与C 1F 相交于点A 2.因为A 2A ∶A 2A 1＝1∶2，所以VA 2—AEF ＝18VA 2－A 1B 1C 1. 又VA 2－AEF ＝14VA 2－ABC ＝14×13VABC —A 2B 2C 2 ＝112VABC －A 1B 1C 1， 所以V 1＝7VA 2－AEF ＝712VABC —A 1B 1C 1， 故V 1∶V 2＝7∶(12－7)＝7∶5.8.圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是________cm.★★答案★★ 3解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm 3.★★答案★★ 500π3解析 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5(cm)，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3(cm 3). 10.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2＝________.★★答案★★ 32π 解析 棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2.底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3， 侧面积S 2＝2πr 2.由V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，得a ＝r ， 所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π. 二、解答题11.一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.解 (1)设圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为l ，则h ＝l 2－R 2＝102－62＝8(cm).(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r ，由△OCD ∽△ACO 1，得OD AO 1＝OC AC， 所以r 6＝8－r 10， 解得r ＝3.因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V 锥－V 球＝13×π×62×8－43π×33 ＝96π－36π＝60π(cm 3).12.如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值.解 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 13.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . 1223343,22Ao S R S R R R ∴ππ⨯π球圆锥侧＝，＝＝ 1233==,BO S R R ⨯圆锥侧 11AO BO S S S S ∴++几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， 1135π.6V V V V R 几何体球圆锥圆锥＝（+）＝A O B O 三、探究与拓展14.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________.★★答案★★ 23解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23. 15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3. 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积为V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r .。

2023苏教版四上册数学认识立体几何介绍本文档旨在介绍2023年苏教版小学四年级上学期数学课程中的认识立体几何内容。

内容概述认识立体几何是小学数学中的一个重要部分，通过研究立体几何，学生可以了解不同几何形体的属性和特征，培养他们的空间想象力和几何思维能力。

本册数学教材包括以下内容：1. 立体几何的基本概念：学生将研究什么是立体几何，以及立体几何中的重要概念，如面、棱、顶点等。

2. 立体几何的分类：学生将了解各种常见的立体几何形体，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。

3. 立体几何的性质和特征：学生将研究每种立体几何形体的性质和特征，例如正方体的六个面都是正方形，每个面都相等，长方体的六个面由两个相等的矩形组成等。

4. 立体几何的应用：课程将引导学生运用所学的立体几何知识，解决一些实际问题，提高他们的综合运算能力和解题能力。

教学目标通过研究本册数学课程中的认识立体几何内容，学生将达到以下目标：1. 理解立体几何的基本概念和常见形体的名称；2. 通过观察、比较和描述，掌握立体几何形体的性质和特征；3. 运用已学的知识解决简单的立体几何问题；4. 培养空间想象力和几何思维能力，为将来研究更高层次的数学打下基础。

研究方法为了有效研究认识立体几何内容，学生可以采用以下研究方法：1. 配合课本进行研究：认真阅读教材中的相关知识点，观察教材中的图形，并按照教材中给出的示例进行练。

2. 制作立体几何模型：学生可以利用纸张、建筑积木等材料制作立体几何形体，以便更好地观察和理解其属性和特征。

3. 解决实际问题：在研究过程中，可以通过解决与立体几何相关的实际问题，提高自己的应用能力和解决问题的能力。

总结认识立体几何是2023年苏教版小学四年级上学期数学课程中的一项重要内容。

通过学习，学生将了解不同几何形体的属性和特征，培养空间想象力和几何思维能力。

学生可以采用配合课本学习、制作立体几何模型和解决实际问题等方法来提高自己的学习效果。