高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(一)

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。

【考点】直线的斜率和倾斜角。

6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.2.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.3.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。

4.已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可知：，即，故，解得，故选B【考点】直线的倾斜角．5.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．6.若三个点P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝( )A．－1B．3C．D．51【答案】B【解析】三点共线问题一般可由斜率相等列出方程求参数的值，由得，∴．【考点】三点共线问题．7.已知过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根据倾角好斜率的关系可知，给定的过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的斜率为，故选A.【考点】本试题考查了直线的倾斜角的概念。

点评：解决该试题的关键是利用倾斜角与斜率的关系，得到关于m的关系式，然后求解得到结论，这是高考中重要的一个知识点，属于基础题。

8.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】把直线方程化成斜截式方程为,因为AC＜0，BC＜0,所以,直线的斜率,所以直线经过一、二、四象限，不通过第三象限.【考点】直线方程的斜截式与一般式的互化.点评：判断直线经过哪些象限，不经过哪些象限，一般要把直线方程化成斜截式，然后根据斜率的值的正负，和在y轴上截距的正负，判断出直线经过哪些象限.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为.10.直线y =" x" + b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是A．|b|=B．或C．D．以上都错【答案】B【解析】因为x=，化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：-，-1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：-1＜b≤1或b=-,故选B11.根据下列条件求直线方程（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.【答案】(1) (2);【解析】(1)由倾斜角为,可求出其斜率为,又因为过点（2，1），然后写出点斜式方程再化成一般式即可.（2）截距相等包括过原点，和斜率为-1两种情况，当过原点时直线方程为,当斜率为-1时，设直线方程为x+y=a,因为过点（-3，2），所以a=-1,所以直线方程为x+y+1=0.12.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】解：∵切线倾斜角小于∴斜率0＜k＜1．设切点为（x0，x3-8x），则k=y′|x=x=3x2-8，∴0＜3x20-8＜1，＜x02＜3．又∵x∈Z，∴x不存在．故选D13.直线x＝－1的倾斜角为（）A．135°B．90°C．45°D．0°【答案】B【解析】因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°.14.已知点，则直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为点，则直线的斜率为-，则其倾斜角，选C15.直线的斜率是（）A B C D【答案】A【解析】将方程化为斜截式，所以斜率为，所以选A16.．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合位置关系可知直线的斜率的取值范围是.故选C.17.已知直线过两点，且的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则实数的值为（▲）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要考查直线的斜率公式。

2.1 直线的斜率与倾斜角考点一倾斜角【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l x +y ﹣3＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°（2）（2020·全国高二课时练习）l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180°【答案】（1）C （2）C【解析】直线l +y ﹣3＝0的倾斜角为α则tan k α== [0,180)α∈︒，所以120α=︒故选：C（2）由题意，可得直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°α<<180°，故选C. 【一隅三反】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线310x -=的倾斜角α为（ ）． A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】直线310x -=的斜率k =α，[)0,180α∈︒︒，则tan α=以120α=︒，故选：C2．（2020·广东高一期末）直线y 2-的倾斜角是（ ） A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【答案】A【解析】设直线的倾斜角为[),0,ααπ∈，由题意直线的斜率k =tan k α==3πα=.故选：A.考点二 斜率【例2】（2020·全国高二课时练习）过点(A )与点(B )的直线的倾斜角为（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒【答案】A【解析】1AB k ===，故直线的倾斜角为45︒.故选：A.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意，过过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)mm-=--，解得1m=.故选：A.2．（2020·湖南天心.长郡中学高一月考）直线l经过()2,1A，()2(,)1B m m R∈两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A．0,B．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】直线l的斜率为2212121121y y mk mx x--===---，因为m R∈，所以(],1k∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：D.3．（2019·浙江下城.杭州高级中学高二期中）若直线l的倾斜角α满足23πα<<，且2πα≠，则其斜率k满足（）A．0k<<B．k>C．0k>或k<D．0k>或3k<-【答案】Ctanθ.【解析】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠， 故tan 0α>或tan α<，即0k >或k < C.考点三 倾斜角与斜率综合运用【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知点(2,1),(3,)A B m -，若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】因为(2,1),(3,)A B m -，所以()1132AB m k m --==+-，因为13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以13m⎡+∈-⎢⎣，设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t an 3α⎡∈-⎢⎣，所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.【答案】斜率的范围：([),1,-∞⋃+∞；倾斜角的范围：45120θ︒≤≤︒. 【解析】如图所示.∵10121AP k -==-，001BP k ==-，又直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，所以由图像可得：([),1,k ∈-∞+∞，因此倾斜角的范围为：45120θ︒≤≤︒.2．（2020·全国高二课时练习）已知直线l 过点()1,1M m m +-，()2,1N m . （1）当m 为何值时，直线l 的斜率是1？ （2）当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90︒？【答案】（1）m =32；（2）m =1. 【解析】（1）由题意，1121121MN m m k m m m ---===+--，解得32m =； （2）若直线l 的倾斜角为90︒，则l 平行于y 轴，所以12m m +=，得1m =.3．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】如图所示：设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ，直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k ，则，110121k -==-，230141k --==--， 所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为：[]1,1-, 所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 考点四 直线平行【例4】（2020·四川达州.高三其他（文））直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．4C ．2-D ．2【答案】D【解析】当0a =时，1:0l y =，2:0l x =，此时12l l ⊥，不满足条件， 当0a ≠时，应满足22aaa a，解得2a =，综上，2a =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·黑龙江高一期末）若直线2x +（a +2）y +4＝0与直线（a ﹣1）x +2y +2＝0平行，则实数a 的值为（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．2或﹣3 D ．23-【答案】A【解析】∵ 直线2(2)40x a y +++=与直线(1)220a x y -++=平行， ∴ (2)(1)22a a +-=⨯，解得：2a =或3a =-，当2a =时，直线2440x y ++=与直线220x y ++=重合，∴2a =舍去；当3a =-时，直线240x y -+=与直线4220x y -++=平行，∴3a =-成立.故选：A.2．（2020·江苏淮安。

直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。

2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。

(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。

3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。

5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。

查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.直线的斜率为______________________。

【答案】【解析】将直线化为普通方程为，斜率为.【考点】参数方程与普通方程互化；直线方程3.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率4.过点P和Q的直线斜率为1，那么的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】【解析】根据,有,可得.【考点】斜率计算.5.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.6.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0。

【考点】直线的倾斜角与斜率.7.已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为A．B．C．D．【答案】C【解析】当点在轴时设，因为，所以，解得；当点在轴时设，因为，所以，解得，所以满足条件的点有3个.【考点】直线的斜率、两直线的位置关系.8.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.9.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.10.直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因为，所以，所以，即，因为，结合正切函数图象可知【考点】由直线方程求斜率，斜率的定义及倾斜角范围11.已知直线经过点，求分别满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角的正弦为；（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为直线过定点，故只需求其斜率即可，由已知，根据同角三角函数基本关系式，求，再用直线点斜式方程；（2）直线与与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积与直线在坐标轴的截距有关，所以可设直线的截距式方程，由面积为4，可得关于的方程，又直线过定点，代入得关于，联立可求.试题解析：（1）设直线的倾斜角为，，由得，，当时，由点斜式方程得：即；当时，由点斜式方程得：即，综上：直线方程为或；（2）设直线在轴上的截距为，可设直线方程为，由题意得得，，即：.【考点】1、直线的点斜式方程；2、直线的截距式方程.12.直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线的倾斜角满足=，所以，=。

2.1 直线的斜率与倾斜角【题组一 倾斜角】1．（2020·江苏如东高一期中）直线1y =+的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 【答案】B【解析】因为：1y =+，所以：k k tan θ=，则tan θ=θ=3π 故选：B.2．（2020·江苏淮安。

高一期末）直线10x y -+=的倾斜角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】B【解析】设直线10x y -+=的倾斜角为[),0,ααπ∈，由题意直线10x y -+=的斜率1k =， 所以tan 1k α==，4πα=.故选：B.3．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））直线10x +=的倾斜角为（ ） A ．6π B ． 3πC ．23πD ．56π 【答案】A【解析】由直线10x +=，则33y x =+，设直线的倾斜角为α，所以tan α=，所以6πα=.故选：A4．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））直线10x +=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】D【解析】设直线的倾斜角为α．直线的点斜式方程是1)y x =+，∴直线的斜率tan k α==．[0α∈，)π，∴56πα=．故选：D ． 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为 ( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°【答案】D【解析】根据题意，画出图形，如图所示：因为0180α︒≤<︒，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0135α︒≤<︒，1l 的倾斜角为45α+︒；当135180α︒≤<︒时，1l 的倾斜角为45180135αα︒+-︒=-︒，故选D ．【题组二 斜率】1．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）直线320-=x 的斜率为（ ）A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】已知直线方程化为斜截式为3y =-C ．2．（2020·江苏宿迁.高一期末）若直线过两点()1,1-，(2,1+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】A【解析】直线过点()1,1-，(2,1+∴直线的斜率k ==α满足tan 3α=； 0180α︒≤<︒，∴30α=︒故选：A.3（2020·江苏无锡。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题1.直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为()A．40°B．50°C．140°D．130°【答案】C【解析】,所以，故选C.【考点】直线的参数方程2.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，π)B．∪C．D．∪【答案】B【解析】xsinα＋y+2=0的斜率为-sina，-sina取值范围为[-1,1]，故斜率范围为[-1,1]，即倾斜角的范围就是∪.【考点】倾斜角与斜率.3.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0。

【考点】直线的倾斜角与斜率.4.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.5.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是___ __.【答案】【解析】根据直线方程知道直线的倾斜角为零角.【考点】由直线的方程求直线的斜率.6.在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为.（Ⅰ）若直线过点，求直线的方程；（Ⅱ）若直线在轴、轴上的截距之和为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意知道所求直线的斜率为，经过点.由点斜式方程可得的方程；（Ⅱ）设直线的方程为.再由直线在轴、轴上的截距之和为解得.试题解析：（Ⅰ）由题意，直线的斜率为，所以直线的方程为，即：.（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以设直线的方程为.令，得.令，得.由题知，解得.所以直线的方程为，即.【考点】直线的点斜式方程；直线方程中的截距.7.直线l经过点，则它的倾斜角是（）A．300B．600C．1500D．1200【答案】D【解析】由二点先求斜率,通过斜率再求倾斜角.由斜率公式,再由倾斜角的范围知, 故选D【考点】直线的倾斜角8.直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线的倾斜角满足=，所以，=。

2.1 直线的倾斜角与斜率（精练）【题组一 直线的倾斜角】1．（2021·浙江）直线0x y -=的倾斜角为（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．135︒【答案】A【解析】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于0︒且不大于180︒，所以倾斜角为45︒．故选：A ．2．（2021·江西景德镇市）直线103x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒D ．150︒【答案】D10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴150θ︒=.故选：D3．（2021·全国高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为10°，直线l 1//l ，直线l 2⊥l ，则l 1与l 2的倾斜角分别为（ ） A ．10°，10° B ．80°，80° C ．10°，100° D ．100°，10°【答案】C【解析】∵l 1//l ，∴它们的倾斜角相等，即l 1的倾斜角为10°， ∵l 2⊥l ，若l 2的倾斜角为θ，则tan10tan 1θ︒⋅=-，∴tan cot10tan800θ=-︒=-︒<，即90180θ︒<<︒，∴100θ=︒.故选：C.4．（2021·全国高二课时练习）(多选)若直线l 的向上的方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角可能为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】BC【解析】y 轴正方向对应的直线的倾斜角为90︒，因此所求直线的倾斜角为60︒或120︒． 故选：BC ．5．（2021·全国高二课时练习）(多选)若经过A (1-a ，1+a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（ ） A ．3-B ．2-C ．1D ．2【答案】AB 【解析】解析：k AB =11132a a a a+-=----<0，即2+a >0，所以a >2-，CD 满足．故选：AB ．6．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）直线()21230a x ay +--=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,,424πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】A【解析】设直线()21230a x ay +--=的倾斜角为θ， 当0a =时，2πθ=；当0a ≠时，则2111tan (,1][1,)22a a a a θ+⎛⎫==+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 因为0θπ≤<所以3,,4224ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A7．（2021·山东）若斜率(,[1k ∈-∞，)+∞，求倾斜角α的范围 . 【答案】2[,)(,)4223ππππ【解析】[0α∈，)π，则tan k α=，斜率(,[1k ∈-∞，)+∞，(,k ∈-∞时，2,23ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，[1,)∈+∞k 时，[,)42ππα∈， 2[,)(,)4223ππππα∴∈， 故答案为：2[,)(,)4223ππππ． 8．（2021·全国高二课时练习）a 为何值时，过点(2,3)A a ，(2,1)B -的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？【答案】当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角.【解析】当横坐标相等时，即22a =，即1a =时，直线AB 的斜率不存在，直线的倾斜角为直角； 当横坐标不相等时，即当1a ≠时，132221AB k a a --==--，若直线的倾斜角α是锐角，则2tan 01AB k a α==>-，即10a ->，得1a >； 若直线的倾斜角α是钝角，则2tan 01AB k a α==<-，即10a -<，得1a <. 综上，当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为角. 【题组二 直线的斜率】1．（2021·江西吉安市）下列命题正确的是（ ） ①直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒； ②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； ③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； ④任何一条直线都有倾斜角和斜率． A ．①② B ．①④C ．①②④D ．①②③【答案】A【解析】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒，所以是正确的； 对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得tan k α=， 当12k k =时，可得tan tan αβ=，则αβ=，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确； 对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确． 故选: A.2．（2021·广西南宁市）过点()2,M m -，(),4N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A 【解析】由题得41,12mm m -=∴=+.故选：A 3．（2021·全国高一课时练习）已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______． 【答案】3k ≥或1k ≤- 【解析】如图所示：因为直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间， 当直线l 的倾斜角小于90时，有PB k k ≥； 当直线l 的倾斜角大于90时，有PA k k ≤， 由直线的斜率公式可得，()()41211,33232PA PB k k ----==-==---，所以直线l 的斜率k 的取值范围为3k ≥或1k ≤-. 故答案为：3k ≥或1k ≤-4．（2021·全国=课时练习）若三点 ()3,1A ，()2,B b -，()8,11C 在同一直线上，则实数 b = _______． 【答案】9- 【解析】三点 ()3,1A ，()2,B b -，()8,11C 在同一直线上，∴AB AC k k =，即11118323b --=---，解得9b =-.故答案为9-. 5．（2021·全国高二课时练习）若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=________. 【答案】12-【解析】由题意得2222b a +=+，ab +2(a +b )=0，1112a b +=-．故答案为：12-．6．（2021·陕西西安市）若θ是直线l 的倾斜角，且sin cos 5θθ+=，则l 的斜率为 【答案】-2【解析】因为sin cos 5θθ+=，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15， 所以2sin θcos θ＝405-<， 所以(sin θ－cos θ)2＝95，由于[)0,θπ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ，②由①②解得sin 5cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以tan θ＝2-，即l 的斜率为2-.7．（2021·全国高二课时练习）已知点A (1，0)，B (2，C (m ，2m )，若直线AC 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则实数m 的值为________.【答案】3【解析】设直线AB 的倾斜角为α，则直线AC 的倾斜角为2α，又tan α=，0°≤α<180°，所以α=60°，2α=120°， 所以k AC =21mm -=tan120°=，得m=3.故答案为：38．（2021·全国高二课时练习）直线l 1的斜率为k 1l 2的倾斜角为l 1的12，则直线l 1与l 2的倾斜角之和为________. 【答案】90°【解析】因为l 1的斜率k 160°. 又l 1的倾斜角为l 1的12，所以l 2的倾斜角为30°， 所以l 1与l 2的倾斜角之和为60°+30°=90°.故答案为：90°．9．（2021·全国高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． （1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)； （3）(2,3)，(2,5)；（4）(3,－2)，(6,－2)．【答案】（1）3，锐角；（2）－1，钝角；（3）k 不存在，倾斜角是90°；（4）0，倾斜角为0°． 【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1＝x 2＝2知：k 不存在，倾斜角是90°； （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0°．【题组三 直线平行】1．（2021·浙江宁波市·高二期末）已知两条不重合直线1l ，2l ，则“12//l l ”是“1l ，2l 的斜率相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为两条直线1l 与2l 不重合，当1l 与2l 都与x 轴垂直时，有12//l l ，但它们没有斜率， 所以有12//l l 不一定得到1l ，2l 的斜率相等；当1l ，2l 的斜率相等时，它们的倾斜角相等，所以它们平行， 即有1l ，2l 的斜率相等一定能够得到12//l l ，所以两条不重合直线1l ，2l ，则“12//l l ”是“1l ，2l 的斜率相等”的必要不充分条件. 故选：B.2．（2021·北京高三期末）若关于x ，y 的方程组4210210x y x ay ++=⎧⎨++=⎩，(R)a ∈无解，则=a （ ）A ．2 BC ．1D ．2【答案】C【解析】可得方程组无解，等价于直线4210x y ++=和直线210x ay ++=平行， 则42121a =≠，解得1a =.故选：C. 3．（2021·浙江）已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数a =______． 【答案】57【解析】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线；当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //； ∴57a =，故答案为：574．（2021·江西九江市）若直线1l ：420ax y +-=与2l ：10x ay a +--=平行，则实数a 的值为_________. 【答案】2 【解析】由4211a a a =≠+，得2a =.故答案为：2． 5．（2021·陕西榆林市）已知直线1:320l x y +-=与2:630l x ay +-=平行，则a =__________. 【答案】2【解析】因为直线1:320l x y +-=与2:630l x ay +-=平行，所以23361a -=≠-，解得2a =. 此时1:320l x y +-=与2:6230l x y +-=显然平行.故答案为：2.6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知直线1l ：()210ax a y +++=，2l ：20x ay ++=，a R ∈，若12//l l ，则a =___________.【答案】1-或2【解析】∵12//l l ，∴220a a --= ，解得：2a =或1a =- ， 检验，当2a =时，1l ：2410x y ++=，2l ：220x y ++=满足题意； 当1a =-时，1l ：10x y -++=，2l ：20x y -+=满足题意 故答案为：2或1-7（2021·陕西渭南市）在平面直角坐标系中，若直线370x ay +-=与直线60x y ++=将平面划分成3个部分，则a =________. 【答案】3【解析】由题可得直线370x ay +-=与直线60x y ++=互相平行，37116a -∴=≠，解得3a =.故答案为：3. 【题组四 直线垂直】1．（2021·陕西宝鸡市）设直线1:10l kx y ++=，2:(1)210l k x y --+=，若12l l ⊥，则k =（ ）A ．1-B ．1-或2C ．2D ．0【答案】B【解析】由12l l ⊥，则()()1120k k -+⨯-=，即220--=k k ，解得2k =或1k =-故选：B2．（2021·陕西宝鸡市）已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为A ．10-B ．2-C ．0D ．8【答案】A【解析】∵l 1∥l 2，∴k AB ＝42mm -+＝－2，解得m ＝－8． 又∵l 2⊥l 3，∴1n-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．故选A ． 3．（2021·江西省万载中学）直线()230m x my ++-=与直线30x my --=垂直，则m 为___________. 【答案】1-或2【解析】因为直线()230m x my ++-=与直线30x my --=垂直， 所以()()210m m m +⨯+⨯-=，解得1m =-或2m =故答案为：1-或24．（2021·山西）已知直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =__． 【答案】0或1【解析】当0a =时，两直线分别为0y =、0x =，满足垂直这个条件， 当0a ≠时，两直线的斜率分别为a 和12a a -，由斜率之积为1-有：121aa a-⋅=-，解得1a =． 综上，0a =或1a =． 故答案为：0或1．5．（2021·浙江）已知直线1:32l mx y m +=-，2:(2)1l x m y ++=. 若12l l //，则实数m =_________；若12l l ⊥，则实数m =_________. 【答案】3- 32-【解析】因为直线1:32l mx y m +=-，()2:21l x m y ++=， 所以当12l l //时，()2310m m +-⨯=,解得3m =-或1m =， 当1m =时，两直线重合，不合题意，故实数3m =-， 当12l l ⊥，则()320m m ++=，解得32m =-， 故答案为33,2--. 6．（2021·全国高二课时练习）已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是【答案】垂直【解析】解析由方程3x 2＋mx －3＝0，知∆＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2均存在．设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2． 故选：B7．（2021·铜川市第一中学）直线0x ay a ++=与直线()2310ax a y --+=互相垂直，则实数a 的值为_________. 【答案】2或0【解析】当0a =时，直线为0x =，13y =-，满足条件； 当32a =时，直线为33022x y ++=，23x =-，显然两直线不垂直，不满足；当0a ≠且32a ≠时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上0a =或2a =. 故答案为：2或0.8．（2021·全国高二课时练习）判断下列各对直线是否平行或垂直.（1）经过()2,3A ，()1,0B -两点的直线1l ，与经过点()1,0P 且斜率为1的直线2l ； （2）经过()3,1C ，()2,0D -两点的直线3l ，与经过点()1,4M -且斜率为5-的直线4l ． 【答案】（1）12l l //；（2）12l l ⊥. 【解析】（1）因为()130121l k -==--，所以121l l k k ==，又因为1l 过点()1,0B -，所以1l 一定不过点()1,0P ， 所以12l l //； （2）因为()1101325l k -==--，所以()121515l l k k ⋅=⋅-=-，所以12l l ⊥.【题组五 平行垂直在几何中的运用】1．（2020·全国高二课时练习）已知ABC ∆的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为 A ．()19,62-- B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,62【答案】A 【解析】H 为ABC ∆的垂心 AH BC ∴⊥，BH AC ⊥又311624BC k -==---，211325BH k -==---∴直线,AH AC 斜率存在且4AH k =，5AC k =设(),A x y ，则243356AH ACy k x y k x -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，解得：1962x y =-⎧⎨=-⎩ ()19,62A ∴--本题正确选项：A2．（2021·全国高二课时练习）以A(-1,1), B(2,-1), C(1,4)为顶点的三角形是A ．以A 点为直角顶点的直角三角形B ．以B 点为直角顶点的直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】A【解析】因为A(-1,1), B(2,-1), C(1,4)， 112413,213112AB AC k k ---∴==-==++， 1AB AC k k ∴⋅=-,AB AC A ∴⊥∠为直角，故选A.3．（2021·全国高二课时练习）设两直线()220m x y m +--+=，0x y +=与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为______.【答案】{|2m m ≠±且}3m ≠-【解析】当直线()220m x y m +--+=，0x y +=及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当3m =-时，直线()220m x y m +--+=与直线0x y +=平行；当2m =-时，直线()220m x y m +--+=与x 轴平行；当2m =时，直线()220m x y m +--+=，0x y +=及x 轴都过原点；要使得两直线()220m x y m +--+=，0x y +=与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为{|2m m ≠±且}3m ≠-故答案为：{|2m m ≠±且}3m ≠-4．（2021·全国高二课时练习）若不同两点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．【答案】－1 【解析】313PQ b a k a b-+==∴-+ 线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1. 5．（2020·全国高二课时练习）已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为________．【答案】3【解析】直线BC 的斜率为：32123k -=----＝ ， 即1BC AD BC AD k k ⊥∴⋅-．＝ ，则 3.AD k = 即答案为3.。