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第二节 洛必达法则

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洛必达法则

洛必达法则

∞+)内单调递增.
n .x
(7) yxe (n>0, x≥0)
=
3
' n.. 1 xn .xn..
解：y=nx e .xe = 1 x( .) ， (n>0, x≥0) ，
xe nx
当x∈(0, n) 时，y' >0 ，当x∈(,n+∞) 时，y' <0 ，
解：取函数() =ln xa, ∈ +∞), fx () = 1 .a，得驻点x= 1,
fx .xx (0, '
x a
4
当0 <<1
时，fx >0 ，因此函数x 在(0, 1
x '( ) f ())内单调增加；
aa
1 <<∞ '
xf ()1
当x +时，f () <0 ，因此函数x 在(, +∞) 内单调减少.
从而f ()为最大值,又lim fx =.∞， lim fx =.∞，故
1+()()(aa)
ax→0 x→+∞
1 1 1
..
当f ..=ln .1 =0 ，即a =时，曲线y =ln x .ax 与x 轴仅有一个交点，这时原方程
..aa e
有惟一实根.
当f ..1 =ln 1 .>0 ，即0 <<1
x 1 = lim
.1 =.
x.>1 x .1 x .1 x.>1 x .1 x.>12x 2
1
(16) lim ( ) tan x
x.>0+ x

高等数学课件同济版第二节洛必达法则

高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题

高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)

2.洛必达法则

2.洛必达法则

1 lnabc 3
lim (axbxcx)1x limelny3 abc
x0
3
x0
1
例10 求lim(coxt)lnx. ( 0 ) x0
解
1
y(coxt)lnx.
lnylncotx. lnx
limlny
x0
limln(cox)t x0 lnx

lim
x0
x 2
arctanx
1
解 (1) lim 2 x
1
lim x
1 x2 1
x
x2
xl im1x2x2 1.
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例6 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin x limxsinx x 0 xsin x x0 x2
x 0
x l i0 m xxx l i0 m eln y1
例8 求lim(sinx)tanx. ( 1 ) x 2
解 设 y(sx i)tn ax.n则 ly n ta xln n sixn
lim ln ylim taxlnn six n limlnsin x
f (x) g( x)
例1 求极限 (1)limex ex x0 sinx
(2)lx im 0xxs3inx
解
(1)原式 lim (exex) x 1 (sixn)
limex ex x1 cosx
=2
(2)原 式 lx i0m (x (xs3)ix n)lxim 013cxo2 sx
x a g( x ) “若f(a)=g(a)=0”这个条件应该可以去掉。
洛必达法则1：设

洛必达法则详解

洛必达法则详解
x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )

e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得

B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1

e
lim
x 1
x 1
e .

洛必达法则

洛必达法则

一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式 定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、 分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定 式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足 的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛 必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定

洛必达法则

不一定．
例 f(x)xsix,n g(x)x
显然
f (x) lim x g(x)
1cosx lim x 1
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
limxsinx1 极限存在． x x
2. lim3sinxx2co1xs x0(1coxs)ln1(x)
3 2
ln1(x)～ x
分析: 原式 1lim3sinxx2co1xs 1 (3 0)
2
2
lim6cos6x 3. x 2cos2x
2
说明:
一】 例五 !! 例六x表 时 !!
明
ln x, xn(n0), ex(0)
后者比前者趋于 更快 .
二】 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解
决
例如!!
计算问题 .
用洛必达法则
xlim例 3.1xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
洛必达【一六六一 –
一七0四】 法国数学家!!它著有《无穷小分析》 【一六九并六在】该!!书中提出了求未定式极 限的方法!!后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”它. 在一五岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 !!以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在!! 它去世后的一七二0 年出版了它的关于圆 锥曲线的书 .
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
2. 型
解决方法:
0
通分
0
转化
步骤: 11 0 0 .
0 0 00
例一 求lim ( 1 1).

3-2 洛必达法则


注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x

3-2第二节洛必达L’Hospital法则


系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x

型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a

第二节洛必达法则

直到不是未定式 2. 条件充分不必要，只有在 lim f ′( x) 存在 前提下，才能使用法则
F ′( x)
+ − x → a , x → a , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ 3.
条件 2) 作相应的修改 , 该法则 仍然成立.
tan x 例1 求 lim . (0) x→0 0 x
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
∞ 二、 型未定式 ∞
三、其他未定式
如果当x → a (或x → ∞)时, 两个函数f ( x)与F ( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
f ( x) lim x→a F ( x) ( x →∞ )
0 ∞ 称为 或 型未定式. 0 ∞
0 tan x 例如： lim , ( ) x→0 0 x
2
sin x 2 2 2 1 x = lim = = . 2 x →0 sin x 2+2 2 2 2 2 + 2 cos x x
2
1 2 2 ( x ) 另解： 1 2 原式 = lim 2 2 = . x →0 x x 2
2.
e −1 lim x →0 ln(1 + 2 x )
3x
f (sin x) − f (0) 3.设f ( x)可导, 求 lim x →0 ln(1 + 2 x)
则
o
f ( x) f ′( x) lim = lim x →a F ( x ) x →a F ′( x )
(洛必达法则)
当x → ∞时, 该法则仍然成立 .
ln x 例1 求 lim (α > 0) α x→+∞ x
∞ ( ) ∞
1/ x 1 解 原式 = lim = lim α = 0. α − 1 x→+∞ αx x→+∞ αx
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第二节 洛必达法则
如果当x a →（或x →∞时），()f x 与()F x 都趋近于零或都趋近于无穷大，那么极限
()
()()
lim
x a
x f x F x →→∞可能存在、也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别记为
00或∞
∞
． 定理1 设
（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋近于零；
（2）在点a 的某去心领域内，()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠； （3）()
()
lim
x a
f x F x →''存在（或为无穷大）， 则
()
()()
()lim lim .x a x a f x f x F x F x →→'=' 证 因为求
()
()
f x
g x 当x a →时的极限与()f a 及()g a 无关，所以可以假定()()0f a g a ==.于是由条件（1）、（2）可知，()f x 及()g x 在点a 的某邻域内是连续的.设x 是这邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的闭区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有
()()()()()()()
()
00f x f x f x f g x g x g x g ξξ'-==
'-（ξ在x 与a 之间）. 令x a →，并对上式两端求极限，注意到x a →时a ξ→，故由上式及再根据条件（3）得
()()()()()()()()
lim lim lim lim .x a x a a x a f x f f f x g x g g g x ξξξξξ→→→→'''===''' 例1 求()0sin lim
0.sin x ax
b bx
→≠
解 ()()
000sin sin cos lim
lim lim .sin cos sin x x x ax ax a ax a bx b bx b bx →→→'===' 例2 求332132lim .1
x x x x x x →-+--+
解
()()()()3
332113
22
2211
12
32
32lim lim 11
33
33
63
lim lim lim
.
321622
321
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x →→→→→'-+-+=--+'--+'
--====---'
--
例3 求30sin lim
.x x x
x
→- 解 ()()()()
320000032
sin 1cos sin 1cos sin 1
lim lim lim lim lim .3663x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→''----=====''
定理2 设
（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零； （2）x N >时()f x '与()F x '都存在，且()0F x '≠； （3）()
()
lim x f x F x →∞''存在（或为无穷大），
则()()
()
()
lim
lim
.x x f x f x F x F x →∞
→∞'='
例4 求arctan 2
lim .1x x x
π
→∞
-
解 arctan arctan 22lim lim 1
1x x x x x x ππ
→+∞→+∞'
⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭='
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
2
2221
1lim
lim 1.1
1x x x x x x
→+∞
→+∞-+===+-
例5 求()ln lim
0.n
x x
n x →∞>
解 ()()
11
ln ln 1
lim
lim
lim lim 0.n n n
x x x x n
x x
x x nx nx x -→+∞→+∞
→+∞→+∞'
=====' 例6 求lim n
x x x e
→+∞（n 为正整数，0λ>）．
解 连续应用洛必达法则n 次，得
()
()
()2121!
lim lim lim lim lim 0.n n n n x x x n x x x x x x x x n n x x nx n e e e e e
λλλλ--→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞'-======' 习题3-2
1.用洛必达法则求下列极限：
（1）()
0ln 1lim x x x →+；
解 ()
001ln 11lim
lim 1.1
x x x x x →→++== （3）0tan lim
sin x x x
x x
→--；
解 222
00002
tan sec 1tan lim lim lim lim 2.1sin 1cos 1cos 2
x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====---
（5）()2
2
ln sin lim
2x x
x π
π→
-；
解 ()()()()22221
cos lnsin cot sin lim lim lim 222422x x x x
x x x x x x ππππππ→→→==--⋅--- 22
csc 1lim .88x x π→
-=-=--
（7）0
ln tan 7lim ln tan 2x x
x
+
→；
解 2220002
1
sec 77
ln tan 7tan 2sec 77tan 7lim lim lim 1ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x
+++→→→⋅⋅==⋅⋅⋅⋅ 2202s e c 77
l i m 1.
7s e c 22
x x x x x +→=⋅⋅= （9）1ln 1lim arccot x x x
→+∞⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
；
解 222
22
11111ln 1111lim
lim lim lim 1.arccot 11x x x x x x x x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝
⎭+++ ⎪+⎝⎭====+-
++
（11）0
lim cot 2x x x →；
解 200011
lim cot 2lim
lim .tan 22sec 22
x x x x x x x x →→→===
（13）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；
解 221112
1111lim lim lim .11122x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫-===- ⎪---⎝
⎭ 2.验证极限sin lim x x x
x
→∞+存在，但不能用洛必达法则求出．
证 由于极限()()
sin lim x x x x →∞'+'，即1cos lim 1x x
→∞+不存在，故不能用洛必达法则求出．
但极限sin lim
x x x
x →∞+是存在的，该极限可以用下面的方法求出．
sin sin lim lim 110 1.x x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭。