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基于遗忘因子递推最小二乘法的锂电池等效电路模型参数辨识
方法
基于遗忘因子递推最小二乘法的锂电池等效电路模型参数辨识方法是一种将遗忘因子递推最小二乘法应用于锂电池等效电路模型参数辨识的方法。
锂电池等效电路模型是描述锂电池动态响应的数学模型，通过辨识锂电池等效电路模型的参数，可以准确预测锂电池的充放电过程。
遗忘因子递推最小二乘法是一种增量式最小二乘法，可以实时辨识参数，并能快速适应参数变化。
在锂电池等效电路模型参数辨识中，遗忘因子递推最小二乘法可以根据实时观测数据，不断更新锂电池等效电路模型的参数。
具体的方法步骤如下：
1. 设置初始参数。
根据锂电池等效电路模型的特性，设置初始参数的取值。
2. 获取实时观测数据。
通过实验或监测系统获取锂电池的实时观测数据，例如电压、电流等。
3. 根据观测数据计算预测值。
利用当前的参数值和锂电池等效电路模型，计算预测的电压、电流等值。
4. 计算测量误差。
将观测数据与预测值进行比较，计算测量误差。
5. 更新参数。
利用遗忘因子递推最小二乘法的更新公式，根据测量误差调整参数值。
6. 重复步骤3-5，直到达到收敛条件。
通过以上步骤，可以实现锂电池等效电路模型参数的实时辨识
和更新。
这种方法具有较高的辨识精度和实时性，适用于锂电池等效电路模型参数的在线辨识和控制应用。
电动汽车锂电池戴维南等效电路模型参数辨识研究李百华;郭灿彬;钟其水;涂涛【摘要】首先分析了锂离子电池的特性和充放电原理,介绍了锂离子电池的戴维南(Thevinin)等效电路模型,并采用脉冲法和递推最小二乘法相结合对戴维南等效电路模型参数进行辨识,实现了戴维南等效电路模型参数的实时在线辨识,为电动汽车锂电池的等效电路模型的分析研究提供了一种可行方式.【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2017(036)001【总页数】4页(P83-85,88)【关键词】电动汽车;等效电路;脉冲法;最小二乘法【作者】李百华;郭灿彬;钟其水;涂涛【作者单位】广东机电职业技术学院,广东广州510515;广东机电职业技术学院,广东广州510515;电子科技大学航空航天学院,四川成都611731;电子科技大学航空航天学院,四川成都611731【正文语种】中文【中图分类】U469.72+2随着汽车需求不断上升，能源短缺与环境污染日趋严重，电动汽车具有无污染、电能来源多样的优点，其发展得到广泛重视。
电动汽车锂电池存在过充或过放后将产生不可恢复的破坏性影响，不正常工作状态下将会导致自燃等安全问题[1]。
通过建立有效理论模型对其工作状态、特性和性能作有效评价是必要的。
目前，常用的电池模型有多种，戴维南等效电路模型由于模型参数简单、计算量适中得到广泛采用。
本文通过分析戴维南等效电路模型，研究等效电路模型参数辨识，得到该等效电路模型参数的确定方法[2]。
锂离子电池正极一般采用钴酸锂、锰酸锂、磷酸铁锂、镍酸锂等锂离子化合物，负极一般采用石墨等可以嵌入锂离子的化合物[3]。
磷酸铁锂离子电池正极充放电变化如图1所示，锂离子通过电解液和电池隔膜在电池的正负极间来回转移。
电池组等效为电压源、内阻、一阶RC串联的电路，如图2所示，其中R1是电池的欧姆内阻，一阶RC表征电池充放电过程中极板的极化电容和电阻[4]。
这样电池组充放电过程中电压的突变特性可由内阻R1表征，电压的渐变特性可由Rp和Cp表征。
二阶等效电路模型参数辨识在电子工程和电气工程领域，等效电路模型是一种常用的工具，用于描述和分析复杂的电路系统。
特别是在处理一些具有相似特性的复杂系统时，等效电路模型能极大地简化问题，使我们能够更容易地理解和分析系统的行为。
在本文中，我们将探讨二阶等效电路模型的参数辨识。
首先，让我们了解一下什么是二阶等效电路模型。
在电路分析中，二阶等效电路模型通常用于描述由电阻（R）、电感（L）和电容（C）组成的网络。
这个模型包含了三个关键参数：电阻（R）、电感（L）和电容（C），这三个参数决定了电路的频率响应和动态行为。
参数辨识是二阶等效电路模型应用中的一个关键步骤。
它涉及到使用已知的输入和输出数据来估计模型参数。
在这个过程中，我们需要选择适当的辨识算法，并确定算法的输入和输出。
通常情况下，输入数据是施加在电路上的激励信号，而输出数据是电路的响应信号。
在实际应用中，我们通常使用最小二乘法、递推估计法、卡尔曼滤波器等方法进行参数辨识。
这些方法各有优缺点，选择哪种方法取决于具体的应用场景和可用的数据。
此外，还需要考虑模型的稳定性和可辨识性。
如果一个模型是不可辨识的，那么我们无法从给定的输入输出数据中估计出模型参数。
在确定了合适的辨识算法后，我们就可以开始进行参数辨识了。
这个过程通常包括以下几个步骤：数据采集、数据预处理、模型建立、参数估计和结果验证。
在每个步骤中，都需要仔细考虑和处理各种问题，以确保最终的参数估计值准确可靠。
总之，二阶等效电路模型的参数辨识是一个复杂的过程，需要综合考虑多种因素和方法。
通过准确地估计模型参数，我们可以更好地理解和预测电路的行为，从而在设计、优化和控制电路方面取得更好的效果。
第四章 等效电路模型参数在线辨识通过第三章函数拟合的方法可以确定钒电池等效电路模型中的参数，但是在实际运行过程中模型参数随着工作环境温度、充放电循环次数、SOC 等因素发生变化，根据离线试验数据计算得到的参数值估算电池SOC 可能会造成较大的估计误差。
因此，在实际运行时，应对钒电池等效电路模型参数进行在线辨识，做出实时修正，提高基于模型估算SOC 的精度。
4.1 基于遗忘因子的最小二乘算法参数辨识是根据被测系统的输入输出来，通过一定的算法，获得让模型输出值尽量接近系统实际输出值的模型参数估计值。
根据能否实时辨识系统的模型参数，可以将常用的参数辨识方法分为离线和在线两类，离线辨识只能在数据采集完成后进行，不能对系统模型实时地在线调整参数，对于具有非线性特性的电池系统往往不能得到满意的辨识结果；在线辨识方法一般能够根据实时采集到的数据对系统模型进行辨识，在线调整系统模型参数。
常用的辨识方法有最小二乘法、极大似然估计法和Kalman 滤波法等。
因最小二乘法原理简明、收敛较快、容易理解和掌握、方便编程实现等特点，在进行电池模型参数辨识时采用了效果较好的含遗忘因子的递推最小二乘法。
4.1.1 批处理最小二乘法简介假设被辨识的系统模型：12121212()()()1n n n n b z b z b z y z G z u z a z a z a z------+++==++++L L（4-1） 其相应的差分方程为：11()()()nni i i i y k a y k i b u k i ===--+-∑∑（4-2）若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声，则被辨识模型式（4-2）可改写为：11()()()()nni i i i z k a y k i b u k i v k ===--+-+∑∑（4-3）式中，()z k 为系统输出量的第k 次观测值；()y k 为系统输出量的第k 次真值，()y k i -为系统输出量的第k i -次真值；()u k 为系统的第k 个输入值，()u k i -为系统的第k i -个输入值；()v k 为均值为0的随机噪声。
第四章 等效电路模型参数在线辨识通过第三章函数拟合的方法可以确定钒电池等效电路模型中的参数，但是在实际运行过程中模型参数随着工作环境温度、充放电循环次数、SOC 等因素发生变化，根据离线试验数据计算得到的参数值估算电池SOC 可能会造成较大的估计误差。
因此，在实际运行时，应对钒电池等效电路模型参数进行在线辨识，做出实时修正，提高基于模型估算SOC 的精度。
4.1 基于遗忘因子的最小二乘算法参数辨识是根据被测系统的输入输出来，通过一定的算法，获得让模型输出值尽量接近系统实际输出值的模型参数估计值。
根据能否实时辨识系统的模型参数，可以将常用的参数辨识方法分为离线和在线两类，离线辨识只能在数据采集完成后进行，不能对系统模型实时地在线调整参数，对于具有非线性特性的电池系统往往不能得到满意的辨识结果；在线辨识方法一般能够根据实时采集到的数据对系统模型进行辨识，在线调整系统模型参数。
常用的辨识方法有最小二乘法、极大似然估计法和Kalman 滤波法等。
因最小二乘法原理简明、收敛较快、容易理解和掌握、方便编程实现等特点，在进行电池模型参数辨识时采用了效果较好的含遗忘因子的递推最小二乘法。
4.1.1 批处理最小二乘法简介假设被辨识的系统模型：12121212()()()1n n n n b z b z b z y z G z u z a z a z a z------+++==++++L L（4-1） 其相应的差分方程为：11()()()nni i i i y k a y k i b u k i ===--+-∑∑（4-2）若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声，则被辨识模型式（4-2）可改写为：11()()()()nni i i i z k a y k i b u k i v k ===--+-+∑∑（4-3）式中，()z k 为系统输出量的第k 次观测值；()y k 为系统输出量的第k 次真值，()y k i -为系统输出量的第k i -次真值；()u k 为系统的第k 个输入值，()u k i -为系统的第k i -个输入值；()v k 为均值为0的随机噪声。
令：1212()[(1),(2),,(),(1),(2),,(3)][,,,,,]Tn n k y k y k y k n u k u k u k a a a b b b =-------=h θL L L L （4-4）则式（4-3）可变换为：()()()z k k v k =+h θ（4-5）式中，θ为待估参数。
令1,2,k m =L ，则有(1)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2),()()(1)()(1)()m m z h y y n u u n z h y y n u u n z m h m y m y m n u m u m n ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z H L L L L M M M M M M M M L L 1212[,,,,,],[(1),(2),,()]T T n n m a a a b b b v v v m ==θV L L L于是，式（4-5）的矩阵形式为m m m =+Z H θV （4-6）最小二乘法的思想就是寻找一个θ的估计值ˆθ，使得各次测量的(1,2,,)i Z i m =L 与由估计ˆθ确定的测量估计ˆˆi i Z =H θ之差的平方和最小，即 ˆˆˆ()()()min T m m m m J θ=--=Z H θZ H θ（4-7）使()min J θ=的θ估计值记作ˆθ，称作参数θ的最小二乘估计，其值为 1ˆ()T T m m m m-=θH H H Z （4-8） 最小二乘估计虽然不能满足式（4-6）中的每个方程，使每个方程都有偏差，但是它使所有方程偏差的平方和达到最小，兼顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，有利于抑制测量误差。
4.1.2 递推最小二乘法简介前面给出的批处理最小二乘法是拟合工具箱进行数据拟合遵循的基本原理，可以进行简单的离线辨识。
若每次处理的数据量较大，应用批处理最小二乘法时，不仅占用内存大，而且不能用于参数在线实时估计。
而电池系统是强非线性系统，其参数受工作状态影响较大，需要利用输入输出数据在线估计模型参数。
为了减少计算量，减少数据在计算机中所占的内存，更为了能够实时地辨识出电池系统的特性，在用最小二乘法进行参数估计时，把它转化成参数递推的估计。
所谓参数递推估计算法就是当辨识系统在运行时，每获得一次新的观测数据后，就是在上次估计结果的基础上，利用新引入的观测数据对上次估计的结果，根据递推参数进行修正，从而递推地得到新的参数估计值。
因此，递推最小二乘算法 (Recursive Least Squares ，RLS)能够随着新的观测数据的逐次引入，一次接着一次进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度，其基本思想可以概括为：新的估计值ˆ()k θ=旧的估计值ˆ(1)k θ-+修正项（4-9） 即新的估计值ˆ()k θ是在旧的估计值ˆ(1)k θ-的基础上，利用新的观测数据对旧的估计值进行修正而得的。
其具体实现如下：1ˆˆˆ()(1)()[()()(1)]()(1)()[()(1)()1]()(1)()()[()(1)()1]T T T T k k k z k k k k k k k k k k k k k k k k -=-+--=--+=---+θθK h θK P h h P h P P K K h P h （4-10）式中，k 时刻的参数估计值ˆ()k θ等于1k -时刻的参数估计值ˆ(1)k -θ加上修正项，修正想正比于新息ˆ()()()(1)T zk z k k k =--h θ%，其增益为()k K ，()k P 为数据协方差阵，是对称的正定阵。
要启动算法，必须为算法提供初始的ˆ()k θ和()k P 的初始值。
一般任意假设ˆ(0)θ，而令(0)α=P I ，这里α为很大的正实数，I 为相应维数的单位阵。
递推最小二乘法具有简单实用、收敛可靠，且不需要验前统计知识等优点，并且当测量误差为白噪声时，递推最小二乘估计是无偏的、一致的和有效的，但它也存在以下缺点：1.当模型噪声为有色噪声时，递推最小二乘估计不是无偏的、一致的和有效的估计；2.递推算法随着数据的增长，会出现“数据饱和”现象。
即随着数据的增长，增益矩阵()k K 将逐渐趋于零，以致递推算法失去修正能力，偏离真值。
为了克服“数据饱和”现象，采用降低旧数据影响的办法来修正该算法。
针对电池系统的时变特性，在辨识算法中必须充分利用新数据所包含的信息，尽可能降低旧数据的影响，获得跟踪参数变化的实时估计。
4.1.3 遗忘因子递推最小二乘法简介遗忘因子法就是为克服“数据饱和”现象和解决时变问题而提出的一种递推辨识方法，其基本思想是对旧数据加遗忘因子，降低旧数据信息在矩阵()k P 中的占有量，增加新数据信息的含量。
具体实现公式如下：1ˆˆˆ()(1)()[()()(1)]()(1)()[()(1)()]1()[()()](1),01T T T k k k z k k k k k k k k k k k k k μμμ-=-+--=--+=--<≤θθK h θK P h h P h P I K h P （4-11）遗忘因子递推最小二乘法的结构和计算流程与递推最小二乘法基本一致，且初始状态的赋值与递推最小二乘算法一样。
但遗忘因子的取值对算法的性能会产生直接影响，当μ取值较大时，算法的跟踪能力下降，鲁棒性增强；当μ取值较小时，算法的跟踪能力增强，鲁棒性下降，对噪声更为敏感。
一般情况下，μ的取值范围在095～0.99之间为宜。
4.2 被辨识的数学模型为了利用最小二乘法对钒电池等效电路进行在线辨识，对第三章提出的改进RC 模型，建立其数学方程，得到如下关系式：()1p oc ohm p p R V R I V R C s =+++ （4-12）通分并整理得：()p p oc oc ohm p p ohm p p p R C V s V R R C Is R R I R C Vs V +=++++（4- 13）令：()p pohm p p ohm p a R C b R R C c R R ===+（4-14）代入式（4-9）得：oc oc aV s V bIs cI aVs V +=+++（4-15）由于数据采集系统的采样时间为1s ，因此可令：()(1)s x k x k =--（4-16）代入式（4-4）得系统的差分方程：[()(1)]()[()(1)]()[()(1)]()oc oc oc a V k V k V k b I k I k cI k a V k V k V k --+=--++--+（4-17）经整理得：(1)()(1)()()(1)(1)()(1)oc oc a V k aV k b c I k bI k a V k aV k +--=-++-++--（4-18）继续化简得：()(1)()(1)()(1)1111oc oc a b c b aV k V k I k I k V k V k a a a a +--=-+-+--++++（4-19）然后令：123111a k a b c k a b k a =-++=-+=+（4-20）则有：1231()(1)()(1)()(1)oc oc V k k V k k I k k I k V k k V k +-=+-++-（4-21）式（4-21）就是适合计算机处理的钒电池改进的RC 电路数学模型，式中()V k 、(1)V k -、()I k 和(1)I k -是可以直接测量的电压和电流数据，()oc V k 和(1)oc V k -是根据电池的SOC -OCV 曲线获得的开路电压。
然后再根据式（4-14）和式（4-20）可求得：313121121312(1)ohm p p k R k k k k R k k k C k k k =--=+=-（4-22）至此，可以利用含遗忘因子的递推最小二乘法求解出ohm R 、p R 和p C 。
4.3 基于遗忘因子递推最小二乘法的电池参数辨识仿真4.3.1 电池模型参数辨识步骤4.3.2 双向变换器小信号动态模型双向DC/DC 变换器是非线性电路，当它运行在某一稳态工作点附近时，DC/DC 变换器的实际输出中包含了直流和低频的调制频率电压，还包括开关频率及其变频带、开关频率谐波及其变频带等分量错误!未找到引用源。
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当开关频率及其谐波分量幅度较小时，开关频率谐波及其变频带可以忽略，此时电路状态变量的小信号扰动量之间的关系呈现线性特性，这时就可以把它当作线性系统来近似，这就是小信号建模的概念。
