数列小结

数列知识小结数列是一种按照一定规则排列的数的集合。

数列是数学中非常基础且重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

数列的研究可以帮助我们了解数的规律，计算数的和、平均值等，并且在代数、微积分、概率论等各个数学分支中都有重要的应用。

数列的定义：数列是按照一定规则排列的数的集合。

数列中的每一个数称为这个数列的项，数列中的第一个项称为首项，数列中的第n个项称为第n项，数列中任意一项与它前面的项之间的差称为公差。

数列可以用通项公式表示，通项公式是关于n的函数，用来表示数列中第n项的表达式。

数列的分类：1. 等差数列：等差数列指的是数列中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是首项，d是公差。

2. 等比数列：等比数列指的是数列中任意相邻两项之间的比值是一个常数，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an是第n项，a1是首项，r是公比。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式可以表示为an = an-1 + an-2，其中an是第n项。

数列的性质：1. 数列的前n项和：数列的前n项和表示的是数列中从第一项到第n项之间所有项的和。

等差数列的前n项和可以用公式Sn = (a1+an)*n/2表示，其中a1是首项，an是第n项，n是项数。

等比数列的前n项和可以用公式Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)表示，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

2. 数列的通项和递推关系：数列的通项公式可以通过递推关系定义，即通过已知的前几项推导出通项公式。

递推关系通常是一个递归表达式，其中前几项的关系用于推导出下一项的值。

3. 数列的极限：数列的极限表示的是当项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个实数。

数列存在极限的条件是数列既有上界又有下界，并且数列的公差或公比在一定的条件下满足特定的约束。

1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。

（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

数列总复习1、 分类：（1） 有穷数列（2） 无穷数列要点：寻找数列的通项公式。

（3） 递增数列：d>0（4） 递减数列：d<0（5） 常数列：d=0（其中d 为后一项减前一项的差。

）方法：常用作差法与作商法进行比较，进而判断是递增、递减数列。

2、 表示方法：（1） 列表法（2） 解析法<1>递推公式：通过递推公式求通项公式，了解是否可选用累加法。

<2>通项公式：多出在选择题，可以用代入法。

（3） 图象法：主要与函数相联系，函数方程的x 改为+∈N n 即为通项公式。

3、 等差数列：（1） 定义（2） 通项公式：为非零常数）（B A B An a d n a a n n ,,)1(1+=-+=<1>性质： {}{}{}{}{}{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+±++++++=≠==+=++=+>>+是等差数列也为非零常数也为等差数列，则中，若数列在等差数列仍为等差数列则中，若在等差数列仍为等差数列每隔一项所组成的数列在等差数列则中，若）在等差数列（则数列为递减数列。

公差则数列为递增数列，若中，若公差）在等差数列（),(,)6(,...,,)5(0),(,,)4()3(,2,0,01987654321b k b ka b a b a a a a a a a a a a a n m n a m a a a a a a a q p n m a d d a n n n n n n m m n n n q p n m n n <2>运用（3） 等差中项：2,,b a A b A a +=⇔是等差数列 （4） 前n 项和 <1>公式),(,2)1(2)(211为非零常数B A B An S d n n na S a a n S n n n n +=-+=+=性质{}{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+===≠=+-=≠==--++++.1,-12;,-2,4.0)(,)3().(),(,,2,...,,111232n n S S a S S n m a a S S nd S S n m S S m a S n m S S a n m S n m n S m S a S S S S S S n a n n n n n m m n n n m m n n n n n n n n n 偶奇奇偶偶奇奇偶偶奇时，为奇数当项数时，为偶数那么，当项数，，偶项之和记为其奇项之和记为是等差数列，项数为）设数列（，则中，若等差数列则中，若）等差数列（也为等差数列，则项和为等差数列，前）（运用<2>公式推导<3>基本运算4、 等比数列：（6） 定义（7） 通项公式：m n m n n n q a a q a a --==11性质 {}{}{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<=><<<><<<>>⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅≠=⋅=+⋅=⋅+=+∈=+-时为摆动数列。

等差数列知识总结一、重要公式和结论1、在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：2、等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．=n a⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n3、等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d ⑵ a n ＝a m ＋ ×d4、等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ． 5、等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ． 6、数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b ∈R) 二、等差数列的性质：1、公式特征：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

2、基本设法：为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， …（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…， ,…（公差为2d ）3、通项，前n 项和的函数特征：当公差0d ≠时，等差数列的通项公式 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和 是关于n 的二次函数且常数项为4、单调性：若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。

3．重要性质：当m n p q +=+时,则有 ，特别地，当2m n p +=时，则有 .如例：（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k、p是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.例：等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S =偶奇－ ；:S S =奇偶 项数为奇数21n -时，S S -=奇偶 ，21______n S -=；:______S S =奇偶。

数列知识点总结春季高考数列是高中数学中的重要内容，常常在各种考试中出现，对于考生来说，掌握数列是非常必要的。

本文将对数列的知识点进行总结，并提供一些解题方法和技巧。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

常用的记号是an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

1. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：Sn = n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和。

2. 求解等差数列的性质对于已知等差数列的首项、公差和项数，可以求解该数列的最后一项、前n项和以及某一项的值。

3. 等差数列的性质与应用等差数列具有一些特殊的性质和应用，比如:（1）等差数列的中间一项等于首项与末项的平均值；（2）等差数列的任意一项等于它前后两项的平均值；（3）等差数列可以用来描述一些变化规律，比如弹簧振子的运动、每天增加的收入等。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

常用的记号是an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过以下公式求得：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和。

2. 求解等比数列的性质对于已知等比数列的首项、公比和项数，可以求解该数列的最后一项、前n项和以及某一项的值。

3. 等比数列的性质与应用等比数列具有一些特殊的性质和应用，比如:（1）等比数列的任意一项等于它前后两项的平方根；（2）等比数列可以用来描述一些增长规律，比如累积利息的计算、细胞的繁殖等。

三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都依赖于前一项或前几项的数列。

常用的递推公式有等差数列的递推公式和等比数列的递推公式。

1. 递推数列的解法对于已知递推数列的首项和递推关系，可以通过不断迭代计算得到该数列的每一项。

2. 递推数列的应用递推数列可以用来描述一些复杂的变化规律，比如兔子生长问题、斐波那契数列等。

等差数列一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ， 则=n 。

数列复习小结一、知识结构二、思想方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，分组求和法，裂项相消法，累加法，累乘法等．三、等差数列 1相关公式：（1） 定义：——————————————.（2） 通项公式：————————————————————— （3） 前n 项和公式：——————————————————— （4） 通项公式推广：——————————2.等差数列}{n a 的性质（1）对于任意正整数n ，都有21a a a a n n -=-+（2）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么—————（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则—————— （4）对于任意的实数b ，数列}{n ba 是等差数列， （5）已知}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列（6）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等差数列（7）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列.（8）若)(n m S S n m ≠=，则n n S +=（9）若p S q S q p ==,，则p q S +=（10）bn an S n +=2，反之也成立四、等比数列 1相关公式：（1）定义：——————————. （2）通项公式：——————.（3）前n 项和公式：n S =（4）通项公式推广：n a =2.等比数列}{n a 的一些性质（1）对于任意的正整数n ，均有1n na a += （2）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则____________.（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则p r a a =（4）对于任意的非零实数b ，}{n ba 也是等比数列（5）已知}{n b 是等比数列，则}{n n b a 也是等比数列（6）如果0>n a ，则}{log n a a 是______数列（7）数列}{log n a a 是等差数列，则}{n a（8）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等比数列(9)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列五、数列前n 项和 （1）重要公式：123___________.n +++= ；2222123__________________.n +++= ；333212[_______________]n ++=（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+（3）等比数列中，m m m n n n m S q S S q S S +=+=+（4）裂项求和：1________________.()n n k =+； !______________.n n ⋅=______________.=六、典型例题1. 已知数列｛n a ｝的前n 项和n S ，满足：log 2（n S +1）=n+1．求此数列的通项公式n a ．2. 在数列｛n a ｝中，a 1=0，1+n a +n S =n 2+2n （n ∈N+）．求数列｛n a ｝的通项公式．3. 在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，求证△ABC 为正三角形4. 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1. (1)设n b =1+n a -2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列， (2)设C n =n na 2,求证：}{n C 是等差数列．5.设{n a }, {n b }都是等差数列，它们的前n 项和分别为n A , n B , 已知1235-+=n n B A n n . 求 ⑴n n b a ； ⑵85b a6.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,(1) 如果a 2＝9, S 4＝40, 问是否存在常数c ，使数列{c S n +}成等差数列； (2)如果n S ＝n 2－6n , 问是否存在常数c ，使得1++n S c ＝22++++n n S c S c7．已知1a , a 2, 3a , …, n a , …构成一等差数列，其前n 项和为n S ＝n 2, 设n b ＝n na 3, 记{n b }的前n 项和为n T . (1) 求数列{n a }的通项公式； (2) 证明：n T <1.8．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，n b ＝nS 1, 且3a 3b ＝21,3S ＋5S ＝21.(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 求证：1b ＋2b ＋3b ＋……＋n b <2.9．已知函数f (x )＝(x －1)2, 数列{n a }是公差为d 的等差数列，数列{n b }是公比为q 的等比数列(q ∈R , q ≠1, q ≠0),若1a ＝f (d －1), 3a ＝f (d ＋1), 1b ＝f (q －1), 3b ＝f (q ＋1), (1) 求数列{n a }, {n b }的通项公式； (2) 设数列{n c }对任意的自然数n 均有1332211+=++++n nn a b c b c b c b c 成立， 求1c ＋3c ＋5c ＋……＋12-n c10.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.。

初中常见规律知识归纳（一）与“数列”相关的规律小结：等差数列通项公式一般与公差的N 倍有关；二级等差数列通项公式通常与N 平方有关；等比数列的通项公式通常与公比的N 次方有关；二级等比序列通常可以转换成等比序列再确定通项公式； （二） 典型例题1、“自然数三角形”应用（包含纵多的二级等差数列）问题1：求“自然数三角形”中第1~n 行中数据总个数是多少？提示：由于该三角形中每行的数据个数组成的数列为：1 2 3 4 5 6 7 …… n此数列是一个公差为1的等差数列，求三角形中数据总个数，就是求这个等差数列的和。

2)1(+=n n S n 问题2：求虚线区第m 个数是多少？提示：虚线区的数据组成的数列为：1 5 13 25 …此数列是一个公差为4的二级等差数列，可以运用二级等差数列的通项公式寻找第m 个数。

1)1(2+-m m2、“自然数矩阵”应用问题1：图中虚线框住的16个数的和为多少？352 问题2：如果虚线框住的左上角第一个数为a ，那么框出的16个数的和为多少？ 19216+a1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21… ……第①行 ……第②行 ……第③行 ……第④行 ……第⑤行 ……第⑥行 ……第n 行424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413121110987654321 242322211716151410987321+++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a。