七年级二元一次方程组复习讲义

博途教育学科教师辅导讲义(一〕学员: 年级：七年级日期：2021.3.16辅导科目：数学学科教师：云风时间：课题七下第二章二元一次方程组授课课时2课时1、通过复习,使学生灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组。

教学目标2、学会解决实际问题,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。

教学容二元一次方程组〖教学重点与难点〗◆教学重点：知识构造,数学思想方法.◆教学难点：实际应用问题中的等量关系.〖教学过程〗一、知识梳理知识点1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的,x y312x y -=解． 例1.方程是二元一次方程，那么的取值为〔 〕A 、≠0B 、≠－1C 、≠1D 、≠2解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．选B例2.假设二元一次方程有正整数解，那么的取值应为〔 〕A 、正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0解题思路： 由 ， 都是正整数，选A 例3.二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,那么a+b 的值为________。

解题思路：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a 、b 的方程组，解出a 与b 的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b 的值。

解：把x=2，y=1代入原方程组，得24(1)25(2)a b b a +=⎧⎨+=⎩(1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3 练习1.x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，那么x-y 的值为。

教学目标1、进一步理解并掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念；2、能选择运用适当的方法解二元一次方程组；3、能够运用二元一次方程组解决一些简单实际问题的能力；4、进一步感受现实世界中有关数量关系的数学模型。

重点、难点重点：1、熟练掌握运用消元法解二元一次方程；2、熟练掌握列二元一次方程组解应用题的方法。

难点：1、消元法的选择运用；2、培养学生合理、有序地分析问题的能力考点及考试要求教学内容：列方程解应用题的基本关系量（1）行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆水速度=静水速度—水流速度（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3）浓度问题：溶液×浓度=溶质（4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间列方程组解应用题的常见题型（1）和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2）产品配套问题：加工总量成比例（3）速度问题：速度×时间=路程（4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类1．顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速2．逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速（5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题（6）增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量（7）浓度问题：溶液×浓度=溶质（8）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9）利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%（10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量（11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数x y 10x+y 10x+y=x+y+9新两位数y ｘ10y+x 10y+x=10x+y+27解方程组109101027x y x yy x x y+=++⎧⎨+=++⎩，得14xy=⎧⎨=⎩，因此，所求的两位数是14．点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x 元，进价为y 元，则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ；打八折时的卖出价为0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组0.920%0.810x y y x y -=⎧⎨-=⎩，解得200150x y =⎧⎨=⎩， 因此，此商品定价为200元．点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得120502201x y x y +=⎧⎨⨯=⨯⎩，解之，得20100x y =⎧⎨=⎩． 故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即a b=甲产品数乙产品数； （2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c==甲产品数乙产品数丙产品数． 四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时，则()3120120x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得40120x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得8040x y =⎧⎨=⎩， 因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．五、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则300621200x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理，得3003600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得150150x y =⎧⎨=⎩， 因此，甲、乙两重货物应各装150吨．点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．六、工程问题例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得()41505200125y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，解得337518x y =⎧⎨=⎩. 点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．七、实际问题例7（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆.由题意，得⎩⎨⎧=+=+.23046,50y x y x 解得，⎩⎨⎧==.35,15y x 故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售每吨获利（元） 100 250 450现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.（2）设应安排x 天进行精加工， y 天进行粗加工.由题意，得⎩⎨⎧=+=+.140166,15y x y x ，解得，⎩⎨⎧==.5,10y x 故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.三、模拟演练1、（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为x 人，到乙工厂的人数为y 人题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：2、（金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？ 解；设共买x 枚10分邮票，y 枚20分邮票题中的两个相等关系：1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数可列方程为：2、10分邮票的总价+ =全部邮票的总价可列方程为：10X+ =3、（做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？题中的两个相等关系：1、做4个小狗的时间+ =3时42分可列方程为：2、 +做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：4、（行程问题）甲、乙二人相距6km ，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

数学七年级下册讲义第7讲二元一次方程模块一基础多元一次方程组知识导航1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫二元一次方程。

例如，25x y+=，20u v-=，132m n=等，都是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

例如，2323521x y x yx y x⎧+=+=⎧⎪⎨⎨-==⎪⎩⎩，等都是二元一次方程组。

3、二元一次方程组的基本解法方法方法1：代入消元法：方法2：加减消元法。

题型一解二元一次方程组例题1解下列方程组：（1）430210x yx y-=⎧⎨-=-⎩.（2）134342 x yx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩.题型二解三元一次方程组例题2解方程组：34145217 223 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩练习2解方程组：（1）751 x yx y zx y z+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩.（2）5 428 9313 a b ca b ca b c++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.总结归纳注意事项：①当解方程组需要进行通分时，需要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数，切勿漏乘；②区分清楚通分和分子分母整数化（分子分母同时扩大或缩小相同倍数，分数的大小不变）的区别；模块二含参方程组题型一整体思想与含参方程例题3已知二元一次方程组()()()()235231x y x yx y x y++-=⎧⎪⎨+--=-⎪⎩，则1x=，y=________．练习3解方程组：()() 2152110 1217102x yx y⎧--++=⎪⎨-+-=⎪⎩.例题4若关于x y 、的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a b 、的二元一次方程组()()()()3526a b m a b a b n a b +--=⎧⎪⎨++-=⎪⎩的解是________． 练习4已知关于,x y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为34x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组1112223434a x b y c a x b y c -=⎧⎨-=⎩的解为________． 题型二 含参方程组解的关系例题5关于x y 、方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=⎩与关于x y 、的方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，试求出2017(2)a b +的值.练习51.已知方程组42x y x y m-=⎧⎨+=⎩中,x y 的互为相反数，则m 的值为（ ）. A.2 B.-2 C.0 D.42.已知方程组352,23x y k x x y k +=+⎧⎨+=⎩与y 的值之和等于2，则k 的值为（ ）. A.4 B.-4 C.3 D.-3 题型三 含参方程组的整数解问题例题61.方程27x y +=的解有________个，其中正整数解它们是________.2.已知m 为整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，则m =________ 练习6若a 为自然数，m n 、是方程组3210033220n m a n m a +=-⎧⎨-=-⎩的解，且m n 、均为正整数，则该方程组的所有解的组数是________.题型四 含参方程组解的存在性 例题7已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩①无数多个解；②唯一解；③无解.分别求三种情况下a b 、的值.练习7已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎨=-+⎩，当k b 、为何值时，方程组： ①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.巩固加油站巩固1解下列方程组.（1）661x y x y -=⎧⎨=+⎩.（2）3425212x y x y -=⎧⎨+=⎩.巩固2解方程组：（1）32123253x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③.（2）3213272312x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③.巩固3关于x y 、的方程组31428mx ny x y +=⎧⎨+=⎩与5236x ny n x y -=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则m n -=________. 巩固4若关于x y 、的方程组3522718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则此方程组的解为x =________；y =________.巩固5对于二元一次方程210x y +=. （1）求其正整数解. （2）若7x y +=，求,x y 的值.巩固6当m n 、为何值时，关于x y 、的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩. （1）无解.（2）唯一解. （3）有无数多解.。

一、同步知识梳理知识网络结构图二、同步题型练习01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 ⑴是2．若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 . 33.解方程组：⑴ ⎩⎨⎧=+=-52723y x y x ⑵⎩⎨⎧=+=-5202y x y x二元一次方程组的解为⎩⎨⎧==13y x 二元一次方程组的解为⎩⎨⎧==21y x⑶126218x y x y z x z y -=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩三元一次方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===7910z y x4．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底5．汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A ，B 两种账篷共600顶.已知A 种帐篷每顶1700元，B 种帐篷每顶1300元，则A 、B 两种帐篷各多少顶?A 种帐篷400顶，B 种帐篷200顶.6．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3本，则这一摞笔记本共有多少本?笔记本共有45本7．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这个个位数字与十位数字对调后的两位数，则这个两位数是多少?这个两位数为168．2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?第一块田产量为20千克，第二块田为37千克一、专题精讲专题1 运用某些概念列方程求解 【专题解读】在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题例1 若212135a b a b xy ++--==0,是关于x,y 的二元一次方程,则a =_______,b =_______.分析 依题意,得 解得 答案:25 45- 【解题策略】准确地掌握二元一次方程的定义是解此题的关键.专题2 列方程组解决实际问题【专题解读】方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市2a+b +1=1, a -2b -1=1, 2,545a b ==-规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手；（1）仔细审题，寻找关键词语；（2）采用画图、列表等方法挖掘相等关系.例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？分析 由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成112，乙每天完成118. 解：设原计划甲做x 天，乙做y 天，则有解这个方程组，得答：原计划甲做8天，乙做6天.【解题策略】若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，最后利用“工作量=工作效率×工作时间”列出方程.专题3 整体代入法解方程组【专题解读】结合方程组的形式加以分析,对于用一般代入法和加减法求解比较繁琐的方程组,灵活灵用整体代入法解题更加简单.例3 解方程组 分析 此方程组中,每个方程都缺少一个未知数,且所缺少的未知数又都不相同,每个未知数的系数都是1,这样的方程组若一一消元很麻烦,可考虑整体相加、整体代入的方法.解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51, 即x+y+z+m =17,⑤⑤-①,得m =9,⑤-②,得z =5. ⑤-③,得y =3,⑤-④,得x =0.所以原方程组的解为专题4 巧解连比型多元方程组【专题解读】连比型多元方程组通常采用设辅助未知数的方法来求解.例4 解方程组111,12181112 1.12218x y x y +=⨯+⨯= x =8, y =6. x+y+z=8,① x+y+m =12,② x+z+m =14,③ y+z+m =17.④x =0, y =3,z =5, m =9. ,234x y t x y t +++==① 27.x y t ++=②解:设234x y t x y tk +++===, 则x+y =2k ,t+x =3k ,y+t =4k ,三式相加,得x+y+t =92k , 将x+y+t =92k 代入②,得92k =27,所以k =6,所以②-⑤,得x =3,②-④,得y =9,②-③,得t =15. 所以原方程组的解为专题5 转化思想【专题解读】对于直接解答有难度或较陌生的题型，可以根据条件，将其转化成易于解答或比较常见的题型.例5 二元一次方程x+y =7的非负整数解有( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.无数个分析 将原方程化为y =7-x ,因为是非负整数解,所以x 只能取0,1,2,3,4,5,6,7,与之对应的y 为7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8个非负整数解.故选C.【解题策略】对二元一次方程求解时,往往需要用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数,从而将求方程的解的问题转化为求代数式的值的问题.专题6 消元思想【专题解读】 将未知数的个数由多化少,逐一解决的思想即为消元思想.例6 解方程组分析 解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法,关键是“消元”，把“三元”变为“二元”，再化“二元”为“一元”，进而求解.解法1:由③得z =2x +2y -3.④把④代入①,得3x +4y +2x +2y -3=14, 即5x +6y =17.⑤把④代入②,得x +5y +2(2x +2y -3)=17, 即5x +9y =23.⑥由⑤⑥组成二元一次方程组解得 X+y =12, ③ t+x =18, ④y+t =24. ⑤ x =3, y =9, t =15. 3x +4y+z =14,① x +5y +2z =17,②2x +2y-z =3.③ 5x +6y =17, ⑤ 5x +9y =23, ⑥x =1, y =2.把x =1,y =2代入④,得z =3. 所以原方程组的解为解法2:由①+③,得5x +6y =17.⑦ 由②+③×2,得5x +9y =23.⑧ 同解法1可求得原方程组的解为 解法3:由②+③-①,得3y =6,所以y =2. 把y =2分别代入①和③,得 解得所以原方程组的解为【解题策略】消元是解方程组的基本思想,是将复杂问题简单化的一种化归思想,其目的 是将多元的方程组逐步转化为一元的方程,即三元 二元 一元. 专题7 含有字母的方程组【专题解读】 把字母当成常数解决问题，或者当成三元一次方程组求解例7 已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋24 ③ ③－②,得 2x ＋7y ＝22 ④ 由x ＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y ＝－10 ∴y ＝2 将y ＝2代入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==24y x 带入①得 3×4＋2×2＝2k ＋12 ∴k ＝2. 【解题策略】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；另一种是直接由方程组解出x 、y ，其中x 、y 含有k ,即用含k 的代数式分别表示x 、y ，再代入x ＋y ＝6得以k 为未知数的一元一次方程，继而求k 的值.专题8 看错了系数 【专题解读】二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解仍然是没看错的二元一次方程的一组解例8 已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，x =1, y =2, z =3. x =1, y =2, z =3. 3x+z =6, 2x-z =-1, x =1, z =3. x =1, y =2,z =3. 消元 转化 消元 转化因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 .解：34【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c 的方程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==1312y x 是方程ax ＋by ＝－16的解，由此可得关于a 、b 的又一个方程，由此三个方程可求得a 、b 、c 的值.二、专题过关检测1：在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x ，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个检测2：一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果乙先做5天后，甲加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?甲每天做60个零件，乙每天做40个零件 检测3：已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为 ，x ＋y 的值为 .-1 ，311 检测4：已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为9，求k 的值.k 的值的为21检测5：甲、乙两人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+234y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值. ①②A 、B 、C 的值分别为5，1，-5检测6：解方程组27532234416x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③原方程组的解为2312x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩检测7：求方程3x +2y ＝17的正整数解．原方程的正整数解为⎩⎨⎧x =1y =7 或⎩⎨⎧x =3y =4 或⎩⎨⎧x =5y =1三、学法提炼1、专题特点：本章节要求学生会解二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系列出方程组．同时要求学生体会消元法思想和类比的方法解复杂的方程组2、解题方法: 主要是用到消元思想，将复杂的问题简单化3、注意事项 ： 在复习解一元一次方程时，明确一元一次方程化简变形的原理，类比学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法，同时在学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法时，要认真体会消元转化的思想原理，在学习用方程组解决突际问题时，要积极探究，多多思考，正确设未知数，列出恰当的方程组，从而解决实际问题．一、 能力培养综合题1 对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．14综合题2 已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y ＋7m ＝20,那么m 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3综合题3 一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析:【解】设现在老师x 岁，学生y 岁，依题可列方程组37①370②x y x x y ⎧-=-⎨-=-⎩ 解此方程组得2513x y ⎧=⎨=⎩答:老师今年25岁，学生今年12岁.综合题4 已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为133公顷、10公顷和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量； 第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量； 第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.解:设牧场每公顷原有草x 吨，每公项每周新长草y 吨，每头牛每周吃草a 吨，依题意，得101044123310109921x y a x y a ⎧+⨯=⨯⎪⎨⎪+⨯=⨯⎩解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得10.80.9x a y a⎧=⎨=⎩ 设第三块牧场18周的总草量可供z 头牛吃18个星期，则:24241824(10.80.918)36(头)1818x y a a z a a+⨯⨯+⨯===答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.二、 能力点评本模块注重学生思维能力的培养，重点考察学生对知识的灵活运用，其中不乏对小学经典问题的探究思考，激发学生的兴趣。

x 0
y
1
②
x
y
1 0
③
x 1
y
1
④
x
y
2 7
中，是方程 32xxyy11的解有 ①、③ ；
练一练 5那.么已a知-3byx的== 1值-1是是_方_-程_2_2_2x_+-_aa.=y3=b3b的一个解，
练一练 6.在方程ax+by=10中，当x=-1时y=0, 当x=1时y=5, 求a、b的值. 解 由已知得：aa5b1010 解得：ab410
1．下列是二元一次方程的是 （ B ）
A、3x 6 x
B、3x 2 y C、2x+ 3 1
y
D、2x 3y xy
含有两个未知 数，且含有未知数 的项的次数都是一 次的方程叫做二元 一次方程
练一练
2．若方程 3xm2 5 y3n 0 是关于x、y的二元
一次方程，则m+n= 1 .
m 2 1
第二章 二元一次方程组
第2章 二元一次方程组复习
知识 目标
能力 目标
情感 目标
教学目标
1. 进一步理解并掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念. 2.能运用适当方法解二元一次方程组.
提高运用二元一次方程组解决某些简单问题的能力.
进一步感受现实世界中数量之间的相等关系和数学模型.
知识要点
1.含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都
是一次的方程叫做二元一次方程.使二元一次方
程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一
次方程的解.
2.由两个一次方程组成，且含有二个未知数的方
程组，叫做二元一次方程组.同时满足二元一次
方程组中各个方程的解，叫做二元一次方程组的

第七章 二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。

而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m2=n 等都不是二元一次方程。

2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：⎩⎨⎧-=+=-8532y x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337b a b a 、⎩⎨⎧=-=+12n m n m 、⎩⎨⎧-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。

而⎩⎨⎧-=+=-8532z x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337a a a a 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+121n m n m 等都不是二元一次方程组。

注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。

如：⎩⎨⎧-==852y x 、⎩⎨⎧-==112t s 也是二元一次方程组。

3．二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的 两个方程 左右两边的值都相等的 两个 未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

（即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“⎩⎨⎧”把方程中两个未知数的值连接起来写。

二元方程解的写法的标准形式是：⎩⎨⎧==by a x ，（其中a 、b 为常数） （二）二元一次方程组的解法 1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

二元一次方程组知识点一（二元一次方程和方程组）【知识梳理】1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。

注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。

注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

3.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.4.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．【例题精讲】例题引入（1）如果设这个班有x名女同学，y名男同学.由女生人数的一半比男生人数少15人，可得什么方程？答：______.由再来4名女同学，男女生人数就相等了，你能得怎样的方程？答：______. （2）如果设小华买了x 张80分的邮票，y 张2元的邮票，你能得到怎样的方程？答：______.例1. 下列方程①x x 263=+，②3=xy ，③42=-x y ，④y y x 2410=-，⑤21=+y x ，⑥532=+xy x ，⑦03=+-z y x ，⑧1332=+y x 中，二元一次方程有 个。

例2. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）.A.⎩⎨⎧+==-13032x y y xB.⎩⎨⎧=-=+211z y xC.⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x D.⎩⎨⎧-=+=6352x x y例3. 若321325a b b x y +---=是二元一次方程，则a = ，b = ．例4、 以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（ ）.A.⎩⎨⎧=-=+10y x y x B.⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C.⎩⎨⎧=-=+20y x y x D.⎩⎨⎧-=-=+20y x y x例5、 若⎩⎨⎧-==22y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .例6、 写出5=+y x 的一组正整数解 ；题型二 代入法解法二元一次方程组例1、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 例2、用代入法解方程组5341x y x y =+⎧⎨+=⎩ . ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14766.0532.0y x y x ；题型三 加减法解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+.732,423t s t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.732,143n m nm题型四 二元一次方程组解法的运用例1、方程组43235x y kx y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .例2、小明和小华同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩，小明看错了m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩小华看错了n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来．例3、阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组191817171615x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得222x y +=，所以1x y +=．③ ③×16，得161616x y += ④，②－④，得1x =-，从而2y =．所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．请你用上述方法解方程组200820072006200620052004x y x y +=⎧⎨+=⎩，【课堂练习】1. 有一些苹果箱，若每只装苹果25kg，则剩余40kg无处装；若每只装30kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6:5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，若设(1)班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程组应为 ( ) .A．65240x yx y=⎧⎨=-⎩B．65240x yx y=⎧⎨=+⎩C．56240x yx y=⎧⎨=+⎩D．56240x yx y=⎧⎨=-⎩4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元 C．赔了约7元 D．赚了约7元二、填空题5．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．6．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为 _______ 元．7．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.8．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．知识点二（二元一次方程的解法）【知识梳理】1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．【例题精讲】题型1 运用某些概念列方程求解在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题例1. 若01212=+--++b a b a y x 是关于x,y 的二元一次方程,则a =_______,b =_______.题型2 列方程组解决实际问题方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手；（1）仔细审题，寻找关键词语；（2）采用画图、列表等方法挖掘相等关系.例2. 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？列方程解下列问题1、有甲乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？2、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。

第八章二元一次方程组复习一、知识结构二、知识定义二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

三、讲练结合例1用加减消元法解方程组例2 如果是同类项，则、的值是（）A、＝－3，＝2B、＝2，＝－3C、＝－2，＝3D、＝3，＝－2例4 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程求的值。

例5每张铁皮能做铁盒的圆底40个或者做盒身25个（一盒身配俩个盒底）现有36张铁皮，如何下料，才能使盒身与盒底配套？练习：一米3木头能做8个桌面，或做24条桌腿，（一桌面配4条腿）问：现有7米3的木头，如何下料，才不浪费木头？例6一个两位数，个位，十位、数字的和为8把个位与十位数字对调，所得新俩位数比原两位数大54，求原两位数。

练习：一个俩位数，个位、十位数字的和为11把个位与十位数字对调，所得新俩位数比原俩位数大9，求原俩位数。

练习：一个俩位数，十位上数字比个位上的数字的四倍大1，把个位，十位数字对调，所得新数比原数小63，求原俩位数。

例7：某中学去年有学生4200人，计划今年初中增加百分之八，高中增加百分之十一，这样全校学生可增百分之十，求该中学去年初中、高中各多少人？练习：某中学向灾区，计划捐书3500本，实际捐书4125本，已知、初中捐计划的百分之一百二，高中捐计划的百分之一百一十五，求：初、高中原计划各捐多少本书。

二元一次方程组相关知识归纳1.二元一次方程二元一次方程具备以下四个特征：（1）是方程；（2）有且只有两个未知数；（3）方程是整式方程，即各项都是整式；（4）各项的最高次数为1.2.二元一次方程的解.3.二元一次方程组.它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数.4.二元一次方程组的解.1概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；、②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.加减消元法2概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．(1)、三元一次方程的概念(2)、三元一次方程组的概念(3)、三元一次方程组的解法三元一次方程组解题的基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。

1对1个性化辅导教案【课堂专项训练】基础导练（1）1．若235(23)0x y x y -++-+=，则x-y= ．2．如果32370a b b a x y ---+=4是二元一次方程，则a = ，b = ． 3．解方程组323211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②的最好解法是（ ）A ．由①得32y x =-，再代入②B ．由②得3112x y =-，再代入①C ．由②－①，消去xD ．由①×2＋②消去y4．已知二元一次方程组47194517x y x y +=-⎧⎨-=⎩①②，方程①减去②得（ ）A ．2y ＝－2B ．2y ＝－36C ．12y ＝－2D ．12y ＝－365．解方程组35471010x y x y -=⎧⎨-=⎩较简便的方法是（ ）A ．用代入法消xB ．用加减法消xC ．用代入法消yD ．用加减法消y 6．解二元一次方程组（1）39211x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）5212326x y x y +=⎧⎨+=⎩（3）41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）5361253x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩（5）2(2)73492x y y x y +=⎧⎨+=-⎩基础导练（2）1．某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人，求课外小组的人数x 和应分成的组数y ．依题意得（ ） A ．7385y x y x =+⎧⎨+=⎩B ．7385x yx y +=⎧⎨-=⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩2．一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍的房间数为（ ）A ．20B ．15C ．12D ．10 3．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）A ．1902822x y x y +=⎧⎨⨯=⎩B ．1902228x y y x +=⎧⎨⨯=⎩C ．2190822y x x y +=⎧⎨=⎩D ．21902822y x x y +=⎧⎨⨯=⎩4．根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）A ．51元B ．35元C ．8元D ．7.5元4题图5．学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了．”老师今年 岁．6．购买一批布料给校文艺队每人做一套演出服，大号每套需要布料4.9米，中号每套需要布料4.2米．若全部做大号，则差布3.9米，若全部做中号，则余布3.8米，请你算一算，校文艺队有几名队员，共购买了多少米布?7《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？【课后作业】：基础1．在方程3212x y+=中，用x表示y应为____________，用y表示x应为______________．2．在解方程组4()3()272()4()2a b a ba b a b+--=⎧⎨+--=⎩时，我们可设a b x+=，a b y-=，此时方程组将变形为．3．一个两位数的两个数字之和为7，两个数字之差为3，则此两位数为．4．已知1xy=⎧⎨=-⎩，41xy=⎧⎨=⎩都是方程8ax by+=的解，则a=，b=．5．已知方程组44543y xy x=+⎧⎨=+⎩①②，指出下列方法中比较简洁的解法是（）A．利用①，用含x的式子表示y，再代入②B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①6．解方程组347910250m nm n-=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（）A．由①得743nm+=，再代入②B．由②得10-259nm=，再代入①C．由①得347m n=+，再代入②D．由②得910-25m n=，再代入①7．用代入法解方程组（1）23326x yx y=+⎧⎨+=⎩（2）35123x yx y-=-⎧⎨=⎩（3）244263a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（4）3(3)15(1)3(5)a bb a-=-⎧⎨-=+⎩应用1．小华的妈妈为爸爸买了一件衣服和一条裤子，共用了306元．其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价为_______元．2．某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，则甲、乙两种储蓄分别是_________元和________元．3．买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x 桶，乙种水y 桶，可列方程组为______________．4．某人将甲、乙两种股票卖出，其中甲种股票卖价为1200元，赢利20%，乙种股票卖价也是1200元，但亏损20%，则该人交易后的结果是（ ）A ．赚100元B ．赔100元C ．不赚不赔D ．无法确定5．某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．6．一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货问菜农应付运费多少元？1．1．1 2．a ＝3， b ＝4 3．C 4．D 5．D 6．（1）43x y =⎧⎨=⎩；（2）332x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（3）72x y =⎧⎨=⎩；（4） 113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（5）171223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ C 2．A 3．A 4．C 5．25岁 6．11名队员，50米布 7．设树上x 只，树下y 只.基础1．31,42x -+2433y - 2．4327242x y x y -=⎧⎨-=⎩3．52或25 4．4；－ 8 5．B 6．C 7．（1）93,48x y ==-；（2）x ＝3，y ＝2；（3）a ＝4，b ＝4；（4）a ＝5，b ＝7 应用1．120 2．5000元，3000 元 3．8625075%x y y x+=⎧⎨=⎩ 4．B 5．200万元，150万元 6．设甲车运x 吨．乙车运y 吨，4528.543627, 2.5x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，所以运费为：（4×5＋2×2.5）×20＝500元．。

《二元一次方程组》复习讲义知识导航知识点1 二元一次方程组的概念概念：含有个未知数，且且含有的次数都是1方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.知识点2 解二元一次方程组（1）二元一次方程的解：一般的，使二元一次方程两边的两个未知数的值，就是二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.（2）二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解.（3）解二元一次方程组的思想是.知识点3 解二元一次方程组的基本方法是：（1）消元法：把二元一次方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）消元法：当二元一次方组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程..知识点4 三元一次方程组及解法（1）三元一次方程组的概念：一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是，并且一共有，像这样的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.方法总结①方程思想:方程思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想方法,是指在求指数学问题时,从已知和未知量之间的数学量关系入手,得出相等关系.把方字语言转化为符号语言即转化为方程(组),再通过解方程(组)使数学问题获得解决.②消元的数学思想消元是解方程的基本思想,消元的目的是将多元方程逐步转化为一元方程,本章中消元的两个基本策略是代入消元和加减消元.第三部分：考点突破考点1 二元一次方程组的概念 1.下列是二元一次方程的是.（1）2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0 (4) x 2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=1 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a .考点2 方程组的解法及解的应用 3.解二元一次方程组 （1）⎩⎨⎧-=-=+13y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=22332y x yx （3）（5）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=-+725222z y x z y x z y x （4）4.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.求m ，n 的值．考点3 方程组的应用5..小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买)，中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买__支．6.小明在某商店购买商品A 、B 共两次，这两次购买商品A 、B 的数量和费用如表：若小丽要购买3个商品A 和2个商品B ，则她要花费多少元钱？4 393 6 6 1627.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，甲矿泉水的成本是24元/箱，销售价是36元/箱；乙矿泉水的成本价是33元/箱，销售价是48元/箱. （1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？8.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9.由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电，规定：在每天7：00至24：00为用电高峰期，电价为a 元/度，每天0：00至7：00为用电平稳期，电价为b 元/度，若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的31，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的41，已知4月份用电12万度，交电费6.4万元，5月份用电16万度，交电费8.8万元.（1）求a 、b 的值；（2）若平稳期用电为x 万度，电费为y 元，已知6月份用电20万度． ①求出y 与x 之间的函数关系式；②为将电费控制在10万元至10.6万元之间，那么该厂6月份在平稳期用电量占当月总用电量比例应在什么范围？《二元一次方程组》过关测试卷（总分：100分 时间：60分钟 命题人：任艳霞）一、选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩2.方程组⎩⎨⎧=-=-82352y x y x ，消去y 后得到的方程是（ ）A 、01043=--x xB 、8543=+-x xC 、8)25(23=--x xD 、81043=+-x x3.已知b a 、满足方程组⎩⎨⎧=-=+43125b a b a ，则b a +的值为（ ）A.－4B.4C.－2D.24.一等腰三角形的两边长为x ，y ，满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ，则此等腰三角形的周长为（ ）A.4B.5C.3 D5或45.若二元一次方程，，有公共解，则的取值（ ） A 、3 B 、－3 C 、－4 D 、46.若0125=+-+++b a b a ，则=-2015）（a b （ ）A.－1B.1C.20155D.－20155二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 7.方程52=+y x 的正整数解是_.8.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是____．9.若⎩⎨⎧==12y x 是方程⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx m x 的解，则()=+2012n m 的值是__________.10.若，则＝ ，＝ .三、解答题（共56分） 11.（10分）解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-632223y x y x12.（12分）已知方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解是多少？13.（12分）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？14.（14）某服装店用6 000元购进A ，B 两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？15.某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． (1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．。

专题复习：二元一次方程组【知识概要】1.二元一次方程：像x ＋y ＝2这样的方程中含有两个未知数（x 和y ），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x ＋y ＝3和2x ＋3y ＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.7.二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）8.方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

9.求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的方程。

【主要思想】一、转化思想“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”： “二元”转化为“一元”.二、方程的思想将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。

产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套
两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺
帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，
列方程组为（
c）
x y 90 A 15x 24y
x y 90 C、 30x 24y
x 90 y
B、48y 15x
y 90 x D、 2(15 x) 24y
解: (1) 设45座客车x辆，学生y 人。
45x+15=y 解得： x=5
60(x-1)=y
y=240
(2)因为，220/45< 300/60，所以因尽可能租用45座的车 45+15=60，所以只需将原计划中的一辆45座车换成一辆 60座的车即可共需:220X4+300=1180元.
1. 某工厂现有库存某种原料1200吨,可 以用来生产A,B两种产品,每生产一吨A种 产品需这种原料2.5吨,生产费用900元,每 生产一吨B种产品需原料2吨,生产费用 1000元,可用来生产这两种产品的资金为 53万,问A,B两种产品各生产多少吨,才能 使库存原料和资金恰好用完?
（4）A、B两地相距36千米，甲从A 地步行到B地，乙从B地步行到A地， 两人同时相向出发，4小时后两人相 遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩 余路程的2倍，求二人的速度？
解：设甲的速度为x 千米/小时, 乙的速度为y 千米/小时
4x+4y=36
36-6x=2(36-6y)
（5）某车间有90名工人，每人每天平均能生
4、当方程组中两个方程的某个未知数 的系数相等或互为相反数时，
把方程的两边分别相减或相加来消去这个 未知数，得到一个一元一次方程。
当方程组中两个未知数系数的绝对值均不相 等，可以把两个方程的两边各自乘以一个适 当的数，使某一个未知数的绝对值相等。

二元一次方程组本章知识点题型➢ 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有 解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是 的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ． 【例1】二元一次方程（组）定义1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n =．2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④12x y =⎧⎨=⎩，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【例2】二元一次方程（组）的解1. 如果32x y ì=ïí=ïî是方程632x by +=的解，则b =．2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5x y =⎧⎨=⎩★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ． 【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组：（1）23525x y x y ì+=ïí+=ïî；（2）13102428x y x y ì-+-=ïíï-+=-î；2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2x =-时，y 的值．【例4】二元一次方程组的变形若23135x y x y ++==，将原方程组化为111222a xb yc a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为 ．➢ 二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是 方程； ②方程组中共含有 未知数； ③每个方程都是一次方程．【例5】系数求解问题在解方程组51044ax yx by+=⎧⎨-=-⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为31xy=-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程组中的b，得到的解为54xy=⎧⎨=⎩．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【例6】方程同解1.已知关于x、y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解相同，求ab的值．2.已知关于x，y的二元一次方程组533321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩的解适合方程6x y+=，求n的值．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【例8】行程问题A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A ，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度． 【小练】已知某铁路桥长800m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s ，整列火车完全在桥上的时间是35s ，求火车的速度和长度．【例9】工程问题一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，那么甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？【小练】2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6公顷；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8公顷．1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．1. 下列方程（组）中，①20x +=；②321x y -=；③10xy +=；④121x x-=；⑤13x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑥201x y x z -=⎧⎨+=⎩，其中是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ．（填序号即可）2. 若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay ì+=ïí-=ïî的解是1x by ì=ïí=ïî，则b a 的值为 ．3. 若234326a b a b ì+=ïí+=ïî，则a b += ．4. 若5232m n x y +与3263m n x y +-是同类项，则m n -= ．5. 解方程组（1）3586510m n m n -=⎧⎨+-=⎩；（2）5115y z x x y z x z y +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩．6. 在解关于x ，y 的方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c ，因而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，试求a b c ++的值．7. 已知方程组23109x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组8432bx ay x y -=⎧⎨-=⎩的解相等，试求a 、b 的值．8. （2015•河北模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y a -=，求该方程组的解．9. 甲乙两地相距120千米，一辆汽车和一辆摩托车从两地同时出发相向而行，1.2小时相遇．相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留10分钟后原速返回，结果在第一次相遇后半小时再次遇到摩托车，问汽车、摩托车每小时各行驶多少千米？。