第六章《实数》复习 公开课一等奖

《实数》教学设计1.理解实数的概念和分类.2.理解实数的相反数、绝对值以及与数轴的关系.3.初步理解实数的运算法则.借助于有理数知识的学习,尝试对实数进行分类,体验科学分类的标准.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】1.实数的概念分类.2.通过类比理解实数的相反数和绝对值.3.理解有理数的运算律继续适用于实数.【难点】无理数和数轴上的点一一对应.第课时1.理解无理数和实数的概念.2.能够对实数按照一定标准进行分类.在按不同标准给实数分类的过程中,培养学生的分类能力.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】正确理解实数的概念.【难点】实数的分类.【教师准备】实数的分类图示和教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片【学生准备】复习平方根、立方根的相关知识.导入一:复习有理数分类的知识:(1)有理数是怎样的小数?(2)按照正负的标准怎么划分有理数?(3)有理数还可以怎样进行分类?[设计意图]有理数的分类标准对于实数的分类有重要的借鉴意义,从小数的角度认识有理数,便于和无理数进行分类对比.导入二:我们知道,有理数包括整数和分数,其中整数可以看成是分母为1的分数,也就是说所有的分数都可以化成有限小数、循环小数的形式.除此之外,我们还知道有另外一种小数,这就是无限不循环小数.这样一种新的小数就呈现在我们面前,我们怎样称呼它们呢?[设计意图]从小数的角度对比有限小数或无限循环小数与无限不循环小数之间的区别,为引入无理数的概念做准备.),等能化成小数或无限循环小数1.无理数.探究使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现?3,-,,,,.发现:上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即:3=3.0,-=-0.6,=5.875,=0.,=0.1,=0..归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.观察:很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数.下列说法正确的是()A.无限小数就是无理数B.带根号的数都是无理数C.不能除尽的分数都是无理数D.无限不循环小数都是无理数〔解析〕本题主要考查无理数的概念.A不正确,如0.是无限小数,但0.是有理数;B不正确,如带根号,但它是有理数;C不正确,如除不尽,但是有理数.故选D.[知识拓展](1)有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括:①开方开不尽的数,例如,等;②含有π的数,例如π,,等;③有特殊特征或有一定规律的无限小数,例如:0.101001000100001000001……(每两个相邻的1中间依次多1个0)等;④无限不循环小数.(2)无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数,无限循环小数是有理数.2.实数及其分类.思路一出示问题:(1)什么是实数?(2)有理数有哪两种分类方法?(3)参照有理数的分类方法,怎样对无理数进行分类?(4)你能综合一下有理数和无理数的分类吗?[设计意图]第(1)问是让学生自我概括实数的定义;第(2)问是为学生进行实数分类做准备,为学生进行实数分类提供方法指导;第(3)(4)问是引导学生尝试不同方法对实数进行分类.问题处理:(1)找学生回答问题,并让学生举例说明.(2)学生讨论后老师总结.有理数有两种分类方法,一是根据定义划分,即划分为有限小数和无限循环小数;二是根据正负划分为正有理数、0、负有理数.(3)鼓励学生尝试对无理数进行分类,仍然提示学生从定义和正负的标准进行分类.从定义角度,无理数是无限不循环小数;从正负的角度分为正无理数和负无理数.学生在参照有理数对无理数分类的时候,容易错分为正无理数、负无理数和0,纠正学生这种错误的分类方法,并让学生对这个错误进行讨论.(4)仍然是从学生对有理数和无理数的划分经验出发,鼓励学生按照定义和正负的标准对实数进行分类.思路二(1)实数的概念:有理数和无理数统称实数.(2)实数的分类:①按定义分:实数②按实数的符号性质分:实数追问:按照定义划分和按照符号性质划分,两种方式的优缺点是什么?[知识拓展](1)一个数要么是有理数,要么是无理数,不存在交叉的情况.(2)实数的分类标准不是唯一的,不论哪种分类方法,都要把实数作为一个整体,做到不重不漏.把下列各数填入相应的集合内.π,,5.2,,0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1),,,,-,,,.整数集合;负分数集合;正数集合;负数集合;有理数集合;无理数集合.处理方式:学生交流讨论完成,老师提醒学生要注意避免遗漏的现象,并肯定学生给出的正确答案.实数1.下列实数中是无理数的为()A.3.14B.C.D.解析:根据无理数的概念,无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数即可判定选择项.A,B,D中3.14,,=3是有理数,C中是无理数.故选C.2.下列说法错误的是()A.实数可以分为有理数和无理数B.实数可以分为正实数、零、负实数C.无理数都是无限不循环小数D.无理数都是带根号的数解析:根据无理数、实数的定义即可对各选项进行判定.A.实数可以分为有理数和无理数是正确的,不符合题意;B.实数可以分为正实数、零、负实数是正确的,不符合题意;C.是正确的,不符合题意;D.π是无理数,不带根号,故无理数都是带根号的数的说法错误,符合题意.故选D.3.下列说法错误的是()A.的平方根是±2B.是无理数C.是有理数D.是分数解析:A.的平方根是±2,故选项说法正确;B.是无理数,故选项说法正确;C.=-3是有理数,故选项说法正确;D.不是分数,它是无理数,故选项说法错误.故选D.4.请在横线上任意写出一个无理数,使得下面的不等式成立:-3< <-2(只需写一个).解析:答案不唯一,如因为4<5<9,所以2<<3,所以-3<-<-2.故可填-.第1课时1.无理数例12.实数及其分类例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第1题.【选做题】教材第57页习题6.3第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.不存在最小的实数B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数D.带根号的数都是无理数2.在实数0,,-,0.74,π中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知a为实数,则下列四个数中一定为非负实数的是 ()A.aB.-aC.a2D.-|-a|4.已知数0.101001000100001…,它的特点是:从左向右看,相邻的两个1之间依次多一个0,这个数是有理数还是无理数?为什么?5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根及立方根中,哪些是有理数?哪些是无理数?【能力提升】6.下列说法正确的是()A.a一定是正数B.是有理数C.2是有理数D.平方等于自身的数只有17.在-7.5,,4,,-π,0.,中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.请你任意写出三个无理数:.9.面积为的圆,它的半径长是有理数还是无理数?为什么?10.把下列各数分别填在相应的集合中.-,,-,0,-,,,0.,3.14.【拓展探究】11.把下列各数写入相应的集合中.-2,0,10%,π,-,,-,3.14,0.,0.1010010001,-,0.212112…(两个2之间依次增加一个1).(1)整数集合:;(2)有理数集合:;(3)无理数集合:.12.在旧房改造工程中,小明家分到一套新居室,他想用100块正方形地砖铺满30 m2的客厅.请你想一想正方形地砖的边长是否为有理数,请你与同伴交流,并估计正方形地砖的边长(精确到0.1 cm).【答案与解析】1.A(解析:根据实数中的有关概念可知:A.不存在最小的实数,故选项正确;B.有理数不仅包括有限小数,还有无限循环小数,故选项错误;C.无限不循环小数才是无理数,故选项错误;D.带根号且开方开不尽的数才是无理数,故选项错误.故选A.)2.B(解析:无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有π,2π等、开方开不尽的数以及像0.1010010001…等有这样规律的数.由此即可判定选择项.在实数0,,-,0.74,π中无理数有,π,共2个.故选B.)3.C4.解:这个数是无理数,因为这个数是无限不循环小数,属于无理数.5.解:平方根是无理数的有2,3,5,6,7,8,10,是有理数的有1,4,9.立方根是无理数的有2,3,4,5,6,7,9,10,是有理数的有1,8.6.B(解析:A.a可以代表任何数,故A不一定是正数,故A错误;B.属于分数,分数是有理数,故B正确;C.是无理数,故2也是无理数,故C错误;D.0的平方也等于自身,故D错误.故选B.)7.B(解析:无理数就是无限不循环小数.可以判定无理数有,-π,共2个,故选B.)8.答案不唯一,如,,π等9.解:无理数.理由如下:由题意得πr2=,解得r2=.因为r大于0,所以r=,故面积为的圆半径长是无理数.10.解:有理数集合:-,-,0,,0.,3.14;无理数集合:,-,.11.(1)-2,0,(2)-2,0,,10%,-,3.14,0.,0.1010010001 (3)π,-,-,0.212112(两个2之间依次增加一个1)12.解:设地砖边长为a cm,30 m2=300000 cm2,100a2=300000,所以a2=3000,因为542=2916,552=3025,分数的平方是分数,所以a不是有理数,a≈54.8.本课时的学习理念是通过类比有理数学习进行的,在给出无理数的定义和对实数进行分类的过程中都注意了方法的类比,降低了学习的难度,提升了学生的学习兴趣,深化了学生对类比思想的认识.受知识内容的影响,本课时的教学过渡环节略有欠缺,存在突然提出问题和交代知识的现象.例题设置的容量比较大,容易淡化学生学习的重点.加强导入环节的设计,使整个课堂活动融为一体;缩减两个例题的容量,突出重点知识的巩固和训练;在实数分类的过程中,对分类的方法和注意给予必要的提示.把下列各数分别填入相应的集合内.,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),,-,-|-3|,,,-,0.,.(1)有理数集合:;(2)无理数集合:;(3)正实数集合:;(4)负实数集合:.〔解析〕本题考查实数的概念.由定义先找出无理数,填入无理数集合,其余是有理数,再按正、负分类,填入相应的集合,注意0既不是正数,也不是负数.解:(1)有理数集合:,,-|-3|,-,0.,….(2)无理数集合:π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),-,,,,….(3)正实数集合:,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),,,0.,….(4)负实数集合:-,-|-3|,,-,….第课时1.知道实数与数轴上的点一一对应.2.学会比较两个实数的大小.3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义.了解实数的绝对值、相反数等概念.知道实数和数轴上的点一一对应,进一步掌握数形结合的思想方法.体会数形结合思想,进一步增强学生应用数学的意识.【重点】1.实数与数轴上点的一一对应关系.2.实数的相反数与绝对值的意义.【难点】实数与数轴上点的一一对应关系.【教师准备】教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片.【学生准备】复习数轴、相反数、绝对值的概念.导入一:我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢?无理数可以用数轴上的点来表示吗?[设计意图]通过设问开门见山地直接进入课时学习,便于迅速集中学生的注意力.导入二:以前我们学习有理数时,知道所有的有理数都可以在数轴上找到表示它的点,但数轴上的点并不都表示有理数.如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少?[设计意图]通过数形结合的演示,帮助学生感知数轴上的点存在着与实数的对应关系.1.实数与数轴.(1)感知数轴表示无理数.师:刚才的圆从数轴原点滚动一周到达点O',滚动的距离是多少呢?生:3.14(部分同学会说到π).师:非常准确地说,这个距离是3.14吗?生:应该是π.师:既然原点到点O'的距离是π,那么在数轴上点O'表示的数是什么,这个数是有理数还是无理数?生:表示π,是无理数.师:刚才的问题说明,数轴上的点可以表示π这个有理数,那么数轴上的点还能表示其他的无理数吗?生:(不同说法)师:我们还是按照刚才的办法,借助图形说话吧.(2)数轴与实数一一对应.如图所示,正方形OCAD是边长为1个单位长度的正方形,等我们学习了勾股定理后,会知道它的对角线OA长为,以O为圆心,OA长为半径画弧交数轴于A',A″,则A'表示的数即为,A″表示的数即为-.总结:数轴上还有许许多多这样表示无理数的点,所以数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,因此可以说数轴上任何一点所表示的数都是一个实数;反过来,任何一个实数在数轴上都能找到表示它的点.所以说实数和数轴上的点一一对应.下列说法中正确的有()①每个实数都可以用数轴上的一个点来表示;②在数轴上表示不相等的两个实数的点也不相同;③数轴上的每个点都表示一个有理数;④数轴上的每个点都表示一个实数,且不同的点所表示的实数也不相等;⑤有理数与数轴上的点一一对应;⑥每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.A.2个B.3个C.4个D.5个〔解析〕数轴上的每个点均与一个实数相对应,故①②④⑥均正确.有理数均可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点除了表示有理数外,还表示无理数,故③⑤是错的.故选C.2.实数的大小和有关概念.问题:(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小?这种比较方法对实数也适用吗?总结:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.(2)怎样表示一个实数的相反数和绝对值?总结:数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a表示一个实数,则有|a|=(3)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢?两个正实数,绝对值较大的值也较大;两个负实数,绝对值大的值反而小;正数大于零,负数小于零,正数大于负数.(教材例1)(1)分别写出-,π-3.14的相反数;(2)指出-,1-分别是什么数的相反数;(3)求的绝对值;(4)已知一个数的绝对值的,求这个数.〔解析〕数a的相反数是-a,也就是说两个数是相反数是互相的.绝对值要注意实数的非负性,对于含义字母的绝对值必须进行说明或讨论.一个数和它的相反数的绝对值是相等的.解:(1)因为-(-)=,-(π-3.14)=3.14-π,所以-,π-3.14的相反数分别是,3.14-π.(2)因为-=,-=-1,所以-,1-分别是,-1的相反数.(3)因为=-=-4,所以||=|-4|=4.(4)因为||=,|-|=,所以绝对值为的数为和-.[知识拓展]对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较.1.实数和数轴上的点是一一对应的.2.有理数大小比较的方法同样适用于实数.3.数a的相反数是-a;|a|=1.和数轴上的点一一对应的数是 ()A.整数B.有理数C.无理数D.实数解析:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.故选D.2.-的相反数是()A. B.-C.-D.解析:实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同,在一个数前面加上“-”,就是该数的相反数,由此即可求解.根据相反数的定义得-的相反数是-(-)=.故选A.3.-2的相反数是,-2的绝对值是.解析:-2的相反数是-(-2),即2-.-2的绝对值是|-2|=2-.答案:2-2-4.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.(1);(2) .解:(1)的相反数是-,倒数是,绝对值是.(2)=-,所以的相反数是,倒数是-,绝对值是.第2课时1.实数与数轴例12.实数的大小和有关概念比较大小相反数绝对值例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第3题.【选做题】教材第57页习题6.3第6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列语句不正确的是 ()A.有理数可以用数轴上的点表示B.数轴上的点表示有理数C.无理数可以用数轴上的点表示D.实数与数轴上的点是一一对应2.下列命题中,正确的是()A.相反数等于本身的数只有0,1B.倒数等于本身的数只有1C.平方等于本身的数有+1,0,-1D.绝对值等于本身的数只有0和正数3.在数轴上表示-的点到原点的距离为.4.如图,A是硬币圆周上一点.假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则点A'对应的实数是.5.写出下列各数的相反数和绝对值.(1)-1.41;(2)2-.【能力提升】6.下列各组数中互为相反数的是()A.-2和B.-2和C.-2和-D.|-|和7.如图,数轴上的点P表示的数可能是()A. B.-C.-3.8D.-8.如图,“以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以数轴的原点O为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”,该图说明数轴上的点并不都表示.9.已知数轴上两点A,B到原点的距离是和2,求线段AB的长度.【拓展探究】10.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简|a|-|a+b|的结果为 ()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b11.已知x,y互为倒数,c,d互为相反数,a的绝对值为3,z的算术平方根是5,求(c+d)(c-d)+xy+的值.【答案与解析】1.B(解析:根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解.A.有理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;B.数轴上的点既可以表示有理数,也可以表示无理数,故本选项错误;C.无理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;D.实数与数轴上的点是一一对应的,故本选项正确.故选B.)2.D(解析:根据倒数、相反数、平方以及绝对值的意义判断即可得到结果.A.相反数等于本身的数只有0,本选项错误;B.倒数等于本身的数有1和-1,本选项错误;C.平方等于本身的数有0,1,本选项错误;D.绝对值等于本身的数有0和正数,本选项正确,故选D.)3.(解析:由于数轴上的点到原点的单位长度数即为它到原点的距离,由此即可解决问题.因为表示-的点距离原点有个单位长度,所以它到原点的距离为.)4.π+1(解析:将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则转过的距离是圆的周长π,因而点A'对应的实数是π+1.)5.解:(1)-1.41的相反数为-(-1.41)=-+1.41,绝对值为|-1.41|=-1.41. (2)2-的相反数为-(2-)=-2+,绝对值为|2-|=-(2-)=-2+.6.A(解析:根据算术平方根、立方根的性质、绝对值的规律分别化简即可作出判断.A.-2和互为相反数,本选项正确.故本题应选A.)7.B(解析:A,B,C,D根据数轴所表示的数在-2和-3之间,然后结合选项分析即可求解.A.为正数,不符合题意,故选项错误;B.因为-<-<-,所以-符合题意,故选项正确;C.-3.8在-3的左边,不符合题意,故选项错误;D.-<-,那么-在-3的左边,不符合题意,故选项错误.故选B.)8.有理数(解析:因为四边形OBCD是边长为1的正方形,所以OC=,所以OA=OC=,因为是无理数,所以该图说明数轴上的点并不都表示有理数.)9.解:因为到原点的距离实际表示这个数的绝对值,而A,B到原点的距离是和2,所以点A表示的数为或-,点B表示的数为2或-2.那么AB=2-或AB=2-(-)=2+或AB=-(-2)=2+或AB =--(-2)=2-.综上可知线段AB的长度为2+或2-.10.C(解析:由题设可知a<0,a+b<0,|a|-|a+b|=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b,故应选C.)11.解:因为x,y互为倒数,所以xy=1,因为c,d互为相反数,所以c+d=0,因为a的绝对值为3,所以a=±3,因为z的算术平方根是5,所以z=25.当a=3时,(c+d)(c-d)+xy+=0+1+=;当a=-3时,(c+d)(c-d)+xy+=0+1-=-.体现数形结合思想和类比思想是本课时自始至终贯彻的一个教学理念.在数轴上的点可以表示有理数的问题中,突出的是数形结合思想;在比较实数大小、相反数、绝对值问题上,体现的是类比思想.这两种教学思想的贯彻,使本课时的教学有了准确的定位和方向.处理无理数可以在数轴上表示的问题中,教师的演示和讲解略多,没有给学生更多的动手操作的时间.教材例1可以让学生自己尝试独立去完成,不必老师详细地讲解.在教材“探究”问题的教学中,可以让学生深入思考怎样在数轴上表示含有π的无理数,这样更能加深学生对无理数可以在数轴上Array表示的认识.处理在数轴上表示的时候,可以让学生进一步思考如何表示其他的带有根号的无理数,这样更能深化学生对数轴可以表示所有无理数的认识.1.实数的有关性质.(1)a与b互为相反数⇔a+b=0.(2)a与b互为倒数⇔ab=1.(3)|a|≥0.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等,如||=|-|.(5)正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.(6)非负数有平方根.(7)任意实数都有一个立方根.2.实数中的非负数的四种形式及性质.(1)形式:①|a|≥0;②a2≥0;③≥0(a≥0);④中a≥0.(2)性质:①非负数有最小值,为零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③若几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.比较下列各对实数的大小.(1)-和-3.1; (2)π和3.14;(3)0.16和; (4)-5和;(5)和.〔解析〕本题考查实数大小的比较.按照实数大小的比较法则进行比较,同时个别题也需要一些技巧.解:(1)因为3.12=9.61<10,所以|-|>|-3.1|,所以-<-3.1.(2)因为π≈3.142,所以π>3.14.(3)因为=0.4,0.4>0.16,所以>0.16.(4)因为==5,5>-5,所以>-5.(5)因为()6=8,=9,8<9,所以<.第课时了解有理数的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行简单的实数运算.在实数运算时,根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.在知识的学习过程中,感受事物之间的相互联系.【重点】实数的运算法则.【难点】实数的混合运算.导入一:讨论下列各式错在哪里.1.-32×3÷=9×3÷3=9.2.=1-.3.|-|=-.4.当x=±时,=0.[设计意图]通过寻找算式的错误,感受实数的运算法则和性质与有理数的运算法则和性质的一致性.导入二:实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等还同样适用吗?[设计意图]根据学生以往的学习经验直接提出问题,帮助学生迅速建立起知识之间的联系.1.实数运算律.教师出示运算律名称,让学生用字母表示.(1)加法交换律:a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)乘法交换律:ab=ba.(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.问题:(1)写出的字母如果代表实数,运算律还成立吗?(2)分别举例说明你对运算律的理解.(3)分母不为0的条件仍适用实数吗?问题提示:(1)仍然成立;(2)在这里学生所列举的事例要做出限制,要求学生利用无理数进行举例,这样才能加深对实数运算律的理解;(3)分母不为0的条件仍适用于实数.2.例题讲解.(教材例2)计算下列各式的值.(1)(+)-;(2)3+2.解:(1)(+)-=+(-)(加法结合律)=+0=.(2)3+2=(3+2)(分配律)=5.(教材例3)计算(结果保留小数点后两位).(1)+π;(2)·.解:(1)+π≈2.236+3.142≈5.38.(2)·≈1.732×1.414≈2.45.总结:在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.[知识拓展](1)在实数范围内,开平方运算不能无条件进行,只有正数和0可以开平方,负数不能开平方.(2)在学习实数的运算法则及运算律时,采用了类比思想,类比有理数的运算法则及运算律来学习掌握.实数的运算律(1)加法交换律:a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)乘法交换律:ab=ba.(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.1.估计+1的值是()A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间解析:应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.因为32=9,42=16,所以3<<4,所以+1在4到5之间.故选C.2.若x,y为实数,且|x+2|+=0,则的值为()A.1B.-1C.2D.-2解析:因为|x+2|+=0,所以x=-2,y=2,所以=(-1)2015=-1.故选B.3.如图是一个简单的数值运算程序,若输入x的值为,则输出的数值是.解析:=4,依题意得到程序为:±=±=±2.故填±2.4.计算.。

《实数》教学设计一、教学目标1、知识技能（1）了解无理数和实数的概念以及实数的分类。

（2）知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

2、数学思考（1）经历从有理数扩充到实数及对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识及集合思想。

（2）通过在数轴上表示实数进一步发展数形结合意识。

3、解决问题（1）通过与有理数分类类比对实数进行分类,扩展学生的数系知识,培养学生的类比以及集合思想。

（2）在探究活动中学会用数轴上的点表示实数,渗透数形结合思想，培养学生的探究能力。

4、情感态度（1）经历无理数的产生,培养学生追求真理的意识。

（2）了解数系扩充，体验数学来源于生活应用于生活，更好地激发学习兴趣。

二、教学重点1、了解无理数和实数的概念，能对实数进行分类。

2、知道实数与数轴上的点一一对应关系。

三、教学难点1、对无理数的认识。

四、教学过程活动一：知识回顾，方法类比问题一：【教师】我们学过了有理数的定义、有理数的运算性质，以及有理数的分类，有理数按照定义、性质可以怎样分类呢？【学生甲】按照定义可分为整数和分数。

【学生乙】按照性质可分为正有理数、零、负有理数。

【设计意图】类比有理数按定义和性质分类的方法，展开本节课实数的分类学习，为本节课的学习作铺垫。

活动二：设问计算，呼唤新知问题一：求助：于家堡金融区高铁站门口需要修建一个正方形的花坛，图纸中已知正方形的面积，求工人应该修建的花坛边长为多少？你能来帮助他们吗？【教师】你是如何求出面积为 的正方形边长的？ 【学生】 的算术平方根是 ，所以正方形的边长为 【教师】评价：我们依据了算术平方根的意义求出了正方形的边长。

【学生】依次口述各题答案。

2536255656【设计意图】通过与生活密切相连的实际情景引入新课，不仅激发学生的学习兴趣，同时让学生通过构造边长为 的正方形感受数系扩充的必要。

问题二：把下列各数写成小数的形式【学生】独立计算，口述答案，困惑 写成小数的形式是多少。

6.3.1实数教学设计一、教材依据人教版七年级下册6.3实数二、设计思路1、指导思想与设计理念：参照我校的高效课堂模式进行本节课的教学，培养学生“自主探究，合作交流，先学后教，当堂训练”的学习习惯。

2、教材分析：本套教材先联系实际学习认识算术平方根后，再进一步认识平方根。

这样可以引发学生的疑惑，激发学生学习兴趣，从而使学生积极主动地投入到数学活动中去。

本节篇幅不长，内容也不多，但知识比较抽象，而且与学生以前接触的数学知识差异较大，根据以前的教学经验，我感觉学生学习起来不会很顺手，而且它又是以后学习二次根式、一元二次方程的基础，需要老师在教学中精心构思，认真落实。

3、学情分析：学生在前面学习有理数的过程中，对有理数已经有了一定的认识，但是本节内容较以前更能体现出数学的合理性、现实性和全面性，应充分考虑学生的不同层次和理解、应用能力上的差异，所以应在复习、衔接旧知识的基础上进行新知的学习探究，再及时辅以阶梯式的训练以确保完成教学目标。

三、教学目标1、知识技能：了解无理数和实数的概念、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。

2、过程方法：在探索无理数的过程中，感悟从特殊到一般的研究问题的方法，感知数形结合的思想。

3、情感态度：在探究活动中培养学生严谨的学习态度和勇于探索的钻研精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学概念的完整性，建立学好数学的自信心。

四、教学重点掌握无理数的概念，能够正确地对实数进行分类。

五、教学难点实数的概念和分类六、教学准备充分阅读、理解新课标的具体要求，在研读教科书的基础上制做多媒体课件，针对学生的活动，全班共分10个小组，起始定为1-6号，一般按数学成绩排列，回答问题时一般从大号到小号提问，而每组的回答机会基本均等，抢答除外，每组有专人负责计分，口头答对加1分，板演正确加3分，抢答之内容加倍，其它情况有教师机动掌握，以提高学生的积极性为目标，促进学生的表达能力为方向，每节课结束后汇总分数，计入当天的班级成员量化考评学习部分。

人教版数学七年级下册第六章《实数》复习课一等奖创新教案第六章《实数》复习课1教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．教学重难点1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2．算术平方根的意义及实数的性质．教学准备课件、计算器．教学过程借用思维导图引导学生复习知识要点：【设计意图】用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的练习，梳理知识，建构体系。

一、算术平方根1. 定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，a叫做被开方数。

0的算术平方根是0,即2.双重非负性：二、平方根1.定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.注意区别：：表示a的算术平方根；：表示a的算术平方根的相反数；：表示a的平方根；练一练①：求25的算术平方根：②：求25的平方根：③：求7 的平方根：师生活动：教师注意引导学生相互纠错，强化学生对算术平方根和平方根的辨析.判断下列计算是否正确:数a的算术平方根就是a的正的平方根.【设计意图】用各具有代表性的数，设计的开放性题目引导学生对平方根与立方根的知识的应用，考查学生灵活应用知识的能力。

2.平方根的特征：正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根若a+2没有平方根，那么a的范围是。

三、立方根1.定义：如果x3=a，那么x叫做a的立方根. a的立方根记作2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.任何数都有立方根，并且只有一个.平方根与立方根的特征的比较：3.互为相反数的两个数的立方根的关系：互为相反数的两个数，它们的立方根也是互为相反数.【设计意图】用用图表的方式简洁直观地引导学生总结归纳平方根与立方根的表示方法及性质，突出平方根与立方根之间的区别与联系。

6.3 实数（第二课时）一、教学内容解析1.内容实数相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算2.内容解析本节在实数第一课时的基础上，通过了解有理数相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算对实数同样适用，这时之后代数运算的基础.学生在七年级上学期学习了有理数，学生学习中可以对运算中的无理数通过替换，回归到有理数运算辅助理解实数的运算，学生对实数的认识是逐步加深的.基于以上分析本节课的教学重点是：掌握实数求相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握求实数相反数、绝对值运算；（2）掌握实数加、减、乘、除、乘方与开方运算.2.目标达成目标（1）的标志：给学生一些实数（包括代数式形式）可以求其相反数、绝对值运算；达成目标（2）的标志：给学生一些实数（包括代数式形式）算式可以求其加、减、乘、除、乘方与开方的混合运算；三、教学诊断分析学生表面上可以理解有理数的运算推广到实数，但遇到无理数参加运算时，总会出现“自创”运算的情况，与学生对无理数比较陌生，和不重视无理数的定义有关.基于以上分析，本节的教学难点是：对无理数的认识.四、教学过程设计1.复习引入有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应预案：学生复习第一课时内容；师生活动：教师指示，学生完成学案复习.设计意图：让学生复习第一课时内容基础上进行本届内容学习.2.介绍新知，巩固练习有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.思考的相反数是_______，π-的相反数是________，0的相反数（1是_________.（2=_______，π-=_______，0=_______.数a的相反数是a-，这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a 表示一个实数，则,0;0,0;,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时.例1（1）分别写出 3.14π-的相反数；（2）指出-分别是什么数的相反数；（3（4.解：（1）因为(()3.14 3.14,ππ-=--=-所以， 3.14π-的相反π-.（2）因为)11-=-=所以-1的相反数.（34,==-4 4.=-=（4==或预案：教师介绍实数相反数、绝对值运算，学生学习运算定义，巩固练习.师生活动：教师介绍实数相反数与绝对值的运算，学生练习，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用实数相反数与绝对值运算定义时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范.设计意图：是学生了解并巩固求实数相反数与绝对值的运算.3.继续学习，巩固练习实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算.在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.例2 计算下列各式的值：（1）（2）解()10===()(232=+=在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.例3 计算（结果保留小数点后两位）(1π(2解：((1 2.236 3.142 5.38;2 1.732 1.414 2.45.π+≈+≈≈⨯≈预案：教师介绍实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，学生学习运算定义，巩固练习.师生活动：教师介绍实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，学生练习，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用加、减、乘、除、乘方、开方运算法则时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范. 设计意图：使学生了解并巩固加、减、乘、除、乘方、开方运算，介绍近似计算的方法.4.巩固强化练习1.求下列各数的相反数与绝对值：2.5,2,02π-2.求下列各式中的实数x ：()21;3x = ()20;x = ()3x ()4.x π=3.计算()1 (2+预案：巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算.师生活动：学生练习巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用加、减、乘、除、乘方、开方运算法则时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范.设计意图：学生了解并巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算.5.课堂测试测试1. 实数2的相反数是__________，绝对值是_________.2.计算(1(2()3+设计意图：课堂测试，检验学习漏洞，讲解提升.班级：40名同学，满分25人，部分正确13人，全部错误2人，错误集中在抄写错误，绝对值的运算两个部分，已经面向全体进行了反馈和讲解.6.小结、作业.有理数关于相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方、开方运算的规则对实数同样适用设计意图：小结内容，布置作业.7.反思为下次可准别的复习：计算()(12计算下列各式的值：()12;(2;设计意图：承上启下，衔接下一节的内容.五、时间安排本节时间安排如图所示.。

6．3 实数第1课时实数知识与技能1．了解无理数和实数的概念．2．会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力．3．了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义．4．了解实数范围内相反数的绝对值的意义．过程与方法了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小．情感、态度与价值观了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算．重点正确理解实数的概念．难点正确理解实数的概念．一、创设情境，导入新课学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类．试一试1．使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，－35，478，911，1190，59动手试一试，说说你的发现并与同学交流．(结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式)可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．2．追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ (课件展示) 阅读下列材料：设x ＝0.3·＝0.333…①则10x ＝3.333…②则②－①得9x －3＝0，即x ＝13.即0.3·＝0.333…＝13. 根据上面提供的方法，你能把0.7·，0.14··化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数．二、合作交流，探究新知1．在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数．我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”．有理数和无理数统称为实数．(1)你能尝试着找出三个无理数来吗？(2)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？－π，13，3.1，0.8080080008，…，2，38，36，325，π2. 解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数一定是无理数吗？”2．实数的分类(1)画一画学生自己回忆并画出有理数的分类图．(2)挑战自己请学生尝试画出实数的分类图．做一做：把下列各数填入相应的集合内：－π，13，3.1，49，0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1)，14，2，38，－52，36，325，π2. 整数集合{ …}分数集合{ …}正数集合{ …}负数集合{ …}有理数集合{ …}无理数集合{ …}我们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如3和－3，34和－34等，实数的相反数的意义与有理数一样． 请学生回忆在有理数中绝对值的意义．例如，|－3|＝3，|0|＝0，|23|＝23等．实数绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同． 试一试：完成教材第54页思考题．引导学生类比地归纳出下列结论：数a 的相反数是－a .一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.1．求下列各数的相反数和绝对值：2．5，－7，－π5，0，32，π－3. 2．一个数的绝对值是3，求这个数．3．求下列各式的实数x ：(1)|x |＝|－32|； (2)求满足x ≤4 3的整数x .三、运用新知，深化理解例1 在下列实数中：157，3.14，0，9，π，5，0.1010010001…，无理数的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，5，0.1010010001….故选C.【方法总结】常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数；第二类是化简后含有π的数；第三类是无限不循环的小数．例2 把下列各数分别填到相应的集合内：－3.6，27，4，5，3－7，0，π2，－3－125，227，3.14，0.10100….(1)有理数集合{ …}；(2)无理数集合{ …}；(3)整数集合{ …}；(4)负实数集合{ …}．【分析】实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．解：(1)有理数集合{－3.6，4，5，0，－3－125，227，3.14，…}；(2)无理数集合{27，3－7，π2，0.10100…，…}；(3)整数集合{4，5，0，－3－125，…}；(4)负实数集合{－3.6，3－7，…}．【方法总结】正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．例3 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【分析】首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，∴点B到点A的距离为1＋3，则点C到点A的距离也为1＋ 3.设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋3，∴x ＝－2－3，∴点C所表示的实数为－2－ 3.【方法总结】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．例4 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是3和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】∵3≈1.732，∴3和5.7之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.【方法总结】要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．四、课堂练习，巩固提高1．教材P56练习第1～3题．2．《·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知实数错误!六、布置作业1．《·高效课堂》相关作业．2．教材P57习题6.3第1～3题．第2课时实数的运算知识与技能了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用．过程与方法1.会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数字的概念．2.能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值．情感、态度与价值观通过运算的训练，加强学生对实数运算的兴趣，让学生在愉快中学习到新知识.重点实数的运算．难点用计算器将实数按要求对结果取近似值．一、创设情境，导入新课同学们，你们想飞出地球，遨游太空吗？这是长期以来人类的一种理想，可是地球的吸引力毕竟是太大了，飞机飞得再快也得回到地面，只有当物体速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度叫第一宇宙速度，计算公式是：V＝gR(千米/秒)，其中g(＝9.8米/秒2)是重力加速度，R(＝6370千米)是地球半径．请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？生：V＝0.0098×6370≈7.9(千米/秒)．师：可见计算器对实数的运算既快又准，那么本节课我们就学习实数的运算．二、合作交流，探究新知(一)比一比1．问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立．2．我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数．示例：比较下列各组数里两个数的大小(1)2，1.4；(2)－5，－6；(3)－2，33.【分析】像示例(1)，即可以将2，1.4的大小比较转化为2，1.96的大小比较；也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值(取近似值时，注意精确度要相同)的大小，从而比较它们的大小．(二)练一练(1)由学生写出用字母表示有理数的五条运算律．加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：(ab)c＝a(bc)分配律：a(b＋c)＝ab＋ac教师提示：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用．(2)计算：81＝______；－25×36＝______；49＝______.答案：9；－30；23. (3)利用计算器计算：2≈______(精确到0.01)；5≈______(精确到万分位)；5×4≈______(精确到0.01)；6×7≈______(精确到0.1)．答案：1.41；2.236；4.47；6.5.(4)计算：①4－38＋3127－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132； ②|1－2|＋8÷2－2×12. 解：①原式＝2－2＋13－19＝29； ②原式＝2－1＋2－2×22＝1. 通过以上的练一练，由学生归纳实数的运算法则：实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到有括号，则先进行括号里的运算．三、运用新知，深化理解例1 计算下列各式的值：(1)2 3－5 5－(3－5 5)； (2)|3－2|＋|1－2|＋|2－3|.【分析】按照实数的混合运算顺序进行计算．解：(1)2 3－5 5－(3－5 5)＝2 3－5 5－3＋5 5＝3；(2)因为3－2>0，1－2<0，2－3>0，所以|3－2|＋|1－2|＋|2－3|＝(3－2)－(1－2)＋(2－3)＝3－2－1＋2＋2－ 3＝(3－3)＋(2－2)＋(2－1)＝1.【方法总结】进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．例 2 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a2－|b－a|－（b＋c）2.【分析】由于a2＝|a|，（b＋c）2＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.【方法总结】根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝错误!四、课堂练习，巩固提高1．教材P56练习第4题．2．《·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知1．有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用．2．实数的运算顺序．3．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中要求的精确度．六、布置作业1．《·高效课堂》相关作业．2．教材P57习题6.3第4～8题．。

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因为下次再搜索到我的机会不多哦！6 实数教学目标：1.归纳和整理本章知识点，形成系统知识2.强化对平方根、算术平方根、立方根、实数等相关概念的理解3.能够进行简单的实数相关运算教学重点：1、强化对本章所有概念的理解2、能够熟练地进行相关的实数运算教学难点：实数大小的比较一、复习内容1.平方根： 平方根的性质：①________________ _； ② ； ③ ；平方根与算术平方根的关系：2.算术平方根的定义：_________________________________________________________________。

a 的双重非负性的理解：a ≥0 ，a ≥03.立方根的定义：__________________________________________________________________。

立方根的性质：①___________________ ___；②__ ______________________；③__________ __________；4.无理数：______ _____________________；实数：_____________________________________________．实数性质：_____________与数轴上的点是一一对应的，有理数的运算法则、运算律等在实数范围内同样适用。