原函数与导函数的关系

原函数图像与导函数图像间的对应关系利用导函数的图象可以形象地描述原函数的单调、极值情况,所以有关图像问题是近几年高考热点问题，如何研究这类图像问题，这类问题有什么解题策略，为帮助大家学习下面总结如下．结论一：由导函数函数值符号看原函数结论1:连续可导函数的导函数图像在轴上方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递增;在轴下方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递减。

同理可以根据原函数图像研究导函数的图像。

例1设()y f x '=是函数()y f x =的导数, ()y f x '=的图象如右图所示, 则()y f x =的图象最有可能是( )分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解析：由导函数的图象可知，原函数的单调性应为(0)-∞，增，)2,0(减，(2,)+∞增，故选C.点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．例 2.已知二次函数()f x 的图象如上图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是_____.A y O x 1B x y OC x O 1 yD x O y分析：由图象可以看出，函数在函数是先减后增，故根据单调性与导数的对应关系作出选择解析：由图知，当x ＜1时，导数为负；当x ＞1时，导数为正；当x ═1时，导数为0；对照四个选择项，只有C 有这个特征，是正确的．故应选C ．点评：考查导数的正负与函数单调性的关系，利用图象法来考查这一知识点，是现在比较热的一方式．结论二;由导函数零点看原函数结论2:导函数的变号零点是原函数极值点。

其中导函数图像从轴上方过渡到下方的零点为原函数的极大值点;从轴下方过渡到上方的零点为原函数的极小值点．例3. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：根据当f'（x ）＞0时函数f （x ）单调递增，f'（x ）＜0时f （x ）单调递减，可从f ′（x ）的图象可知f （x ）在（a ，b ）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，再结合极值点的定义，然后得到答案．解析：从f ′（x ）的图象可知f （x ）在（a ，b ）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a ，b ）内只有一个极小值点．故选A ．点评：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础，利用极值点的特征以及结论2就可以正确求解。

课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。

由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。

备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。

教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。

最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。

对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。

整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。

2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。

证明的思路也要逆向思考。

发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。

3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶对称，研究前面的四个命题还是否成立。

研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a比迁移前面的方法。

能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。

4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。

教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。

4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。

教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。

原函数与导函数的区别
函数的最基本定义是一个把一个变量X映射到另一个变量Y的关系式。

函数分为原函数与导函数。

原函数是一个函数表达式，简单地说是把自变量x对应到因变量y上。

而导函数是原函数的变形，是原函数的切线斜率值。

两者都是函数，有着不同的用途，也有着不同的特点。

原函数
原函数是一种函数，只能表示x与y之间的关系，而不能表示代入x变化时y的变化情况。

原函数可以表示如x的平方、平方根、三角函数等，也可以表示经过高次拟合的复杂的函数。

从数学角度来讲，原函数是计算x变化时y的变化情况的基础。

导函数
导函数是原函数的变形，是原函数在每一个点处的斜率。

也就是说，是求解每个点处函数的梯度。

导函数可以描述原函数的变化趋势，比如当x变小时y是减小还是增大。

而且可以用来求解各种数学问题，比如求解函数的极值以及求解微分方程。

原函数与导函数的区别
原函数与导函数有着明显的不同，从功能上来说，它们各自有着不同的作用。

1.能上的区别：原函数是把x与y之间的关系表达出来，而导函
数是把x变化时y的变化情况表达出来。

2.质上的区别：原函数是一个可以描述因变量y随自变量x变化关系的函数，而导函数是原函数的变形，表示每个点的斜率，是原函数的梯度。

3.解上的区别：原函数可以用来求解x与y之间的关系，比如求函数极值、做图等；而导函数可以用来求函数极值以及求解微分方程。

结论
原函数与导函数是数学中不可分割的组成部分。

二者在功能上、性质上和求解上都有着明显的不同，它们各自有着不同的作用，要想在数学中取得更好的效果，就要正确掌握它们的特点和用法。

导数与原函数独立在微积分学中，导数和原函数是两个非常重要的概念。

导数可以用来衡量函数在某一点的斜率，原函数可以用来求解函数在给定区间内的面积。

而在讨论这两个概念时，一个有趣的问题是它们之间是否是独立的。

简单来说，导数与原函数是独立的。

这意味着，一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。

在接下来的文章中，我们将详细阐述这个问题，并提供一些例子来说明。

首先我们来看一个常见的例子：函数 $f(x)=|x|$。

显然这个函数在 $x=0$ 的导数不存在。

因为在 $x=0$ 附近，函数的图像是一个 V 形，左右两边的斜率不同，所以导数不存在。

如果我们尝试求解 $f(x)$ 的原函数，会发现其并不存在。

这是因为 $f(x)$ 不是连续可微的，即它不满足牛顿-莱布尼茨公式的条件。

我们可以得出结论：这个函数存在导数但没有原函数。

接下来再看一个例子：函数 $f(x)=x^2$。

这个函数的导数是 $f'(x)=2x$，即导数存在且为 $2x$。

而对于原函数，我们可以非常容易地得到 $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$，其中 $C$ 为任意常数。

我们可以得出结论：这个函数存在原函数也存在导数。

再看一个例子：函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。

这个函数没有原函数，但是它在$x=0$ 处的导数是 $f'(0)=\frac{1}{0}$，即它的导数不存在。

这说明了导数和原函数的独立性，即这个函数不存在原函数但存在导数。

导数与原函数是独立的。

一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。

在求解导数和原函数时，我们需要根据具体的函数性质来决定是否存在原函数或导数，不能简单地认为它们之间必然存在对应关系。

对于导数存在但原函数不存在的函数，我们需要通过其他方式来计算函数在给定区间内的面积。

常见的方法是通过积分，其中不定积分和定积分是最基本的两种类型。

不定积分是原函数的一个概念，它可以用来求解某个函数 $f(x)$ 的所有原函数。

原函数与二阶导函数的关系
原函数和它的二阶导函数之间有着密切的关系。

对于函数 y = f(x)，其二阶导函数为 y'' = f''(x)。

当 f''(x) > 0，则函数 y = f(x) 在该点是凹函数，即具有下凹形状。

当 f''(x) < 0，则函数 y = f(x) 在该点是凸函数，即具有上凸形状。

当 f''(x) = 0，则函数 y = f(x) 在该点是平函数，即具有平凡形状。

另外，二阶导函数也可以用来判定函数的单调性，如果二阶导函数在整个定义域内都是正数，那么原函数就是下凹函数，即单调递增，反之就是下凸函数，即单调递减，如果在整个定义域内都是0，则原函数是常函数。

导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。

对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。

这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。

二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。

也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。

2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。

这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。

在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。

三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。

也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。

2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。

这个点就是函数的最高点或者最大点。

在这个点上，函数的取值达到了最大值。

四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。

通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。

同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。

2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。

某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。

这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。

五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。

然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。

导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。

原函数的极值点是原导函数的零点
我们要证明原函数的极值点是原导函数的零点。

首先，我们需要理解什么是极值点和导数。

假设我们有一个函数 f(x)，它的导数是 f'(x)。

极值点是函数 f(x) 的一个点，在该点附近，函数值要么是最大要么是最小。

导数 f'(x) 描述了函数 f(x) 的变化率。

当 f'(x) = 0 时，意味着函数 f(x) 在该点上没有变化，即函数值在该点上可能达到极值。

因此，我们的目标是证明：原函数的极值点是原导函数的零点。

证明：
假设 x = c 是 f(x) 的极值点。

那么，根据极值的定义，存在一个邻域 N(c)，使得在这个邻域内，f(x) 在 c 点的值要么是最大要么是最小。

这意味着 f'(c) = 0，因为如果 f'(c) 不为0，那么函数在 c 点会有一个确定的方向变化，这与极值的定义矛盾。

所以，原函数的极值点是原导函数的零点。

一阶导单调递增说明原函数在高中数学或者大学高阶数学中，我们通常会遇到求导和求原函数的问题。

其中，如果一个函数的一阶导单调递增，那么我们可以通过这一性质来说明这个函数的原函数是什么样子的。

接下来，我们将分步骤阐述这一逻辑过程。

Step 1：了解导数和原函数在讲解一阶导单调递增说明原函数之前，我们需要先梳理一下导数和原函数之间的关系。

在微积分中，导数和原函数是两个重要的概念。

导数是函数在某个点处的变化率，表示函数曲线在某一个点的切线的斜率。

而原函数则是指导数为该函数的函数。

如果我们把导数看作是一条线性的函数，那么原函数就是这条线性函数的反函数，即将导数函数进行积分得到的函数。

Step 2：理解一阶导数单调递增当我们说一个函数的一阶导单调递增时，意味着它的导数在定义域上是单调递增的。

也就是说，随着自变量的增大，导数的值也在逐渐变大。

如果我们将这个单调递增的导数看作是一条线性函数，那么它的倾斜度也会越来越大。

Step 3：推论原理：一阶导单调递增说明原函数在前两步的基础上，接下来就可以得出结论：若一个函数的一阶导数单调递增，那么这个函数的原函数一定是单调递增的凸函数。

（凸函数是一类类似“山峰”的函数，具有比较普遍的数学特性）。

为什么这是成立的呢？我们可以从函数的图像入手，通过观察导数函数的变化，来推论出原函数的变化。

举个简单的例子，假设有一条导数为$y=x$的直线。

那么对于原函数，我们可以得到$y=\dfrac{x^2}{2}$。

这个函数恰好就是一个单调递增的凸函数，符合前述推论的理论。

Step 4：证明原理：一阶导单调递增推出凸函数既然我们可以从函数图像中观察到一阶导数单调递增的规律，那么在更深入的数学层面上，我们是否可以通过求导和积分来证明这一点呢？答案是肯定的。

如果一个函数的一阶导数单调递增，那么其一阶导数在不同点取的斜率不同，而这种差异性导致了图像上的“弯曲”和“拐点”，最终使得该函数成为了一个凸函数。

二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数是一阶导数的导数。

一阶导数是函数在某一点的斜率，二阶导数则是一阶导数在这一点的变化率。

一阶导数告诉我们函数的变化趋势，而二阶导数告诉我们函数的变化趋势的变化情况。

原函数是函数的积分，即原函数是一阶导数的反函数。

一阶导数告诉我们函数在某一点变化的快慢，原函数则可以算出函数在某一点的值。

而对于二阶导数，由于它描述了一阶导数的变化情况，我们可以通过对一阶导数进行积分来得到二阶导数对应的原函数。

综上所述，二阶导数，一阶导数和原函数之间存在着密切的关系。