湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知集合{}2,1A =-，集合{}2,1B m m =--,且A B =，则实数m 等于（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．42.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．1y x=B ．tan y x =C ．3xy =D ．3y xx =+3.给出下列三个命题： ①若a b =,则a b =；②若AB DC =，则四边形ABCD 是正方形； ③若ma na =(0a ≠,m ，n ∈R )，则m n =． 其中正．确．的命题为（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③4。

已知函数()()21sin π,10,0x x x f x e x -⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()12f f a +=,则a 的值为（ ）A ．1B ．1或22- C ．2D ．125.已知角α的终边过点(),3P a a --（0a ≠)，则sin α=（ ) A ．310310 B 310C 10-D 6.若1e ，2e 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A ．12e e -，21ee -B ．122e e +，1212e e+C ．2123ee -，1264e e -D ．12e e +，12e e-7。

在下列给出的函数中,以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数的是（ ）A ．πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 2y x =D ．sin 2x y =8.在()0,2π内使sin cos x x >的x 的取值范围是（ )A ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π3π,,4242⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭9。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±． 故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ð为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{0,4}U A =ð，所以{}()0,2,4U A B =ð，故选C ．考点：集合的运算．2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．||y x =【答案】B考点：函数的单调性．3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射f ：A B →使集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是（ ） A ．()3,1 B ．31(,)22C ．31(,)22-D ．(1,3)【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，令21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22x y ==，即在映射f 下，象(2,1)的原象是31(,)22，故选B ．考点：映射的概念及其应用．4.设集合{}|02M x x =≤≤，{}|02N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】试题分析：根据映射的概念，可知能表示为M 到N 的函数关系的只有②③，故选B ． 考点：映射的概念．5.下列各对函数中，是同一函数的是（ ）A ．()f x =，()g x =B ．||()x f x x =，1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x =，212()(n g x -=（n 为正整数）D ．()f x =，()g x =【答案】C考点：同一函数的概念． 6.函数||x y x x=+的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由函数||x y x x=+，可知，当0x >时，1y x =+，当0x <时，1y x =-，根据一次函数的图象可知，函数||x y x x=+的图象为选项D ，故选D ． 考点：函数的图象．7.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=（a ，b N +∈），则a b +=（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，函数值的求解，函数零点的存在性定理及函数零点的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记函数零点的存性性定理和准确求解函数值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 8.若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =0211x <-<，解得112x <<，所以函数的定义域为1(,1)2，故选A ． 考点：函数的定义域．9.若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则1()2f 的值为（ ） A ．3log 2- B ．2log 3-C ．19D【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x =是函数3xy =的反函数，所以()3log f x x =，所以3311()log log 222f ==-，故选A ．考点：指数函数与对数函数的概念及应用． 10.已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ） A ．16 B ．116 C ．2D ．12【答案】D考点：幂函数的解析式及应用．11.函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点为（ ） A ．()0,4 B ．()0,1C ．7(1,)2-D ．(1,4)-【答案】A 【解析】试题分析：由函数()2log (1)3x a f x x =+++，令0x =，解得0(0)2log (01)34a f =+++=，所以函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点()0,4，故选A ．考点：函数过定点问题．12.已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质．13.已知函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,3 B ．()1,3C ．[2,3)D ．[]1,3【答案】C 【解析】试题分析：由函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则10302a a a -<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得23a ≤<，故选C ．考点：分段函数的单调性．14.若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞-+∞ D ．[4,4)-【答案】D 【解析】试题分析：令23t x ax a =--，则由函数2()log f x t =在区间(,2]-∞-上是减函数，可得函数t 在区间(,2]-∞-上是减函数且(2)0t ->，所以有22(2)4230at a a ⎧≤-⎪⎨⎪-=-+>⎩解得44a -≤<，故选D ． 考点：复合函数的单调性及其应用．【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的单调性及其应用，二次函数的图象与性质，复合函数的单调性等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中根据复合函数单调性的判定方法——同增异减和正确理解对数函数的定义域是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 15.已知函数1()1f x x=-（0x >），若存在实数a ，b （a b <），使()y f x =的定义域为(),a b 时，值域为(,)ma mb ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14m <B ．104m <<C ．14m <且0m ≠ D ．14m > 【答案】B考点：函数性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的定义域与函数的值域，函数的单调性与函数值域之间的关系等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数学转化思想和二次函数性质的应用，本题的解答中熟练掌握一元二次函数的图象与性质及判别式与根的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，满分15分．）16.计算21log 32.51log 6.25lg ln 2100++++= ． 【答案】132【解析】试题分析：由222511log 3log 61422.5521113log 6.25lg 2log lg(10)ln 221610022e +-++=+++=-++=．考点：对数的运算．17.设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 ．【答案】[]10,2-考点：函数的奇偶性的应用．18.一次函数()f x 是减函数，且满足[]()41f f x x =-，则()f x = ． 【答案】21x -+ 【解析】试题分析：因为一次函数()f x 是减函数，设()(0)f x ax b a =+<，所以[]2()()()41f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，所以24,1a ab b =+=，解得2,1a b =-=，所以函数的解析式为()f x =21x -+． 考点：函数的解析式．19.某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）． 【答案】2020 【解析】试题分析：设第n 年开始超过200万元，则2016130(112%)200n -⨯+>，化简得(2016)lg1.12lg 2lg1.3n ->-，所以2016 3.8n ->，取2020n =，所以开始超过200万元的年份为2020年．考点：等比数列的应用问题．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的应用问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式及其应用，不等式的性质，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理能力与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题意得到关于年份的函数解析式是解答的关键．20.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间x (0)x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，32()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时，丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 【答案】③④⑤考点：函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中涉及到指数函数、幂函数、一次函数和对数型函数的增长速度以及各类基本初等函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据各类基本初等函数，利用取特值验证结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.设a R ∈，集合A R =，{}2|(2)2(2)30B x R a x a x =∈-+--<． （1）若3a =，求集合B （用区间表示）； （2）若A B =，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()3,1B =-；（2）(1,2]-．试题解析：（1）3a =时，2230x x +-<，解得31x -<<， ∴集合()3,1B =-． （2）当A B R ==时，（i ）当20a -=，即2a =时，30-<符合题意；（ii ）当20a -≠，则有220,4(2)12(2)0,a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩解得12a -<<． 综上，a 的取值范围为(1,2]-． 考点：集合的运算．22.已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5(2)3f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）222()3x f x x+=-；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，得对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，列出方程即可求解q 的值，再由5(2)3f =-，解得p 的值，即可得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可判定和证明函数的单调性．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，即222233px px q x q x++=-+-，整理得33q x q x +=-+，∴0q =，又∵5(2)3f =-，∴425(2)63p f +==--，解得2p =，∴所求的解析式为222()3x f x x +=-． （2）由（1）可得22221()()33x f x x x x+==-+-，设1201x x <<<，则由于122121211()()()()3f x f x x x x x ⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦2121211()()3x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦1221122()3x x x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦121221()(1)3x x x x =--12121212()3x x x x x x -=-⋅ ，因此，当1201x x <<<时，1201x x <<，从而得到12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴(0,1)是()f x 的递增区间．考点：函数的奇偶性的应用及单调性的判定． 23.已知函数()2xf x =，||1()22x g x =+． （1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值． 【答案】（1）(2,3]；（2）2log (1x =．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x-⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =+．考点：指数函数的图象与性质．24.物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则min t 后物体的温度()f t 满足：010()()kt f t e θθθ-=+-⨯（其中k 为正的常数，2.71828e =…为自然对数的底数），现有65C ︒的物体，放在15C ︒的空气中冷却，5min 以后物体的温度是45C ︒．（1）求k 的值；（2）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8C ︒？【答案】（1）15ln 53k =；（2）15min ．试题解析：（1）由题意可知，1=65θ，015θ=，当5t =时，45θ=，于是535k e -=， 化简得35ln 5k -=，即15ln 53k =． （2）由（1）可知()1550kt f t e-=+（其中15ln 53k =）， ∴由25.81550kt e -=+，得27125kt e -=， 结合15ln 53k =，得5327()5125t =，得15t =． ∴从开始冷却，经过15min 物体的温度是25.8C ︒．考点：函数的实际应用问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质的应用，函数解析式的求解，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题意建立函数关系式，利用指数函数与对数函数的性质解答是求解的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．25.已知函数()|1|2f x x x x =-+．（1）当3a =时，求方程()f x m =的解的个数；（2）若()f x 在(4,2)-上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）当6m =或254时，方程有两个解，当6m <或254m >时，方程一个解，当2564m <<时，方程有三个解；（2）6a ≤-或2a ≥-．试题解析：（1）当3a =时，22,3,()5, 3.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ 当6m =或254时，方程有两个解； 当6m <或254m >时，方程一个解； 当2564m <<时，方程有三个解． （2）22(2),,()(2),.x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ①22a a -≤且22a a +≥，即22a -≤≤，()f x 在R 单调递增，满足题意； ②22a a ->且22a a +≥，即2a <-， ()f x 在(,)a -∞和2(,)2a -+∞上单调递增， ∵()f x 在(4,2)-上单调递增，∴2a ≥或242a -≤-， ∴6a ≤-； ③22a a ->且22a a +<，即2a <-且2a >，舍去； ④22a a -≤且22a a +<，即2a >， ()f x 在2(,)2a +-∞和(,)a +∞上单调递增， 因为()f x 在(4,2)-上单调递增，所以222a +≥或4a ≤-， 所以2a >．综上，6a ≤-或2a ≥-．考点：函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的性质，一元二次函数的图象与性质的应用，方程解的个数的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分类讨论思想的应用，本题的解答中去掉绝对值号，得到分段函数的解析式，利用二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是（ ） A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆2.下列图形中不能作为函数()y f x =的图象的是（ ）3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x =B ．()f x x =，2()x g x x=C ．()f x x =，()g x =D ．()f x x =，()g x =4.设a ，b R ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -=（ ） A ．2B ．1-C ．1D ．2-5.设集合{}||1|2A x x =-<，[]{}|2,0,2xB y y x ==∈，则AB =（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1,4)D ．[1,3)6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B ．3y x x =--C ．3xy -=D ．1y x x=-7.函数y = ）A ．[4,0)(0,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1]D ．[]4,1-8.函数||xxa y x =（01a <<）的图象的大致形状是（ ）9.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x a =++（a 为常数），则(1)f -等于（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-10.定义在R 上的()f x 满足：①()()0f x f x --=；②对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞（12x x ≠），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-11.设函数42()f x x x =+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 12.在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40m ，高为40m ）中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（ ）A ．[]15,20B ．[]12,25C ．[]10,30D ．[]20,3013.若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,)4-∞B ．3[0,)4C ．3(0,)4D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）．对于给定的*n N ∈，定义[][](1)(1)(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+……，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数6xC 的值域是（ ）A ．[]4,25B ．(3,4]C ．25(3,][15,30)3D ．(3,4](5,15] 15.已知函数2()f x x =，若不等式2(2)4()3(1)a f x af x f x ≤++对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤-或32a ≥ B ．1322a -≤≤ C ．3122a -≤≤ Da ≤≤第Ⅱ卷（共55分）二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16.若(21)f x x +=，则(5)f = ．17.已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则用列举法表示集合A = ． 18.已知()y f x =是定义在区间(1,1)-上的减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 ．19.已知2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 20.在一次研究性学习中，老师给出函数()1||xf x x =+（x R ∈），四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ①函数()f x 的值域为(1,1)-；②若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；③若规定1()()f x f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，则()1||n xf x n x =+对任意*n N ∈恒成立；④若实数a ，b 满足(1)()0f a f b -+=，则1a b +=．你认为上述四个结果中正确的序号有 ．（写出所有正确结果的序号）三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（1）求值：162164()201649-++；（2）已知13a a-+=，求22a a --的值．22.已知全集U R =，集合{}2|3100M x x x =-++≥，{}|121N x a x a =+≤≤+． （1）若2a =，求()R M N ð；（2）若MN M =，求实数a 的取值范围．23.已知函数1()4f x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）写出()f x 的单调地增区间，并用定义证明．24.已知12()2x x nf x m+-+=+是定义在R 上的奇函数．（1）求n ，m 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 25.已知函数2()1f x x =-，()|1|g x a x =-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若a >0，求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．长郡中学2016—2017学年度高一第一学期第一次模块检测答案一、选择题二、填空题16.2 17.{}2,4,5 18.203（，） 19.[]0,2 20.①②③④三、解答题21.解：（1）原式32723341694=⨯+-⨯+=． （2）∵112122()25a a a a --+=++=，又11220a a-+>，∴1122a a-+=又112122()21a aa a ---=+-=，∴11221a a--=±，1111221112222()()()()()a a a a a a a a a a a a -------=+-=++-=±22.解：（1）2a =时，{}|25M x x =-≤≤，{}|35N x x =≤≤， ∴{}|35R N x x x =<>或ð， ∴{}()|23R MN x x =-≤<ð．综上，2a ≤．23.解：（1）()f x 的定义域为{}|0x x ≠． 又1()(4)()f x x f x x-=-+=-， ∴()f x 为奇函数．（2）()f x 的单调递增区间为1(,)2-∞-，1(,)2+∞． 证明：设1212x x <<，12121211()()44f x f x x x x x -=+--121212()(41)x x x x x x --=， ∵1212x x <<，∴120x x -<，12410x x ->，120x x >， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在1(,)2+∞上为增函数． 同理，()f x 在1(,)2-∞-上为增函数．24.解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f =，即102n m-=+，∴1n =． ∴112()2xx f x m+-=+，又(1)(1)0f f +-=，∴11122041m m--+=++，∴2m =． （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在R 上为减函数，又()f x 是奇函数，∴22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有2320t t k -->， ∴4120k ∆=+<，即13k <-．25.解：（1）由|()|()f x g x =，得2|1||1|x a x -=-， 即|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =是该方程的根，从而欲原方程只有一解， 即要求方程|1|x a +=有且仅有一个等于1的解或无解， ∴0a <．（2）∵2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,1,1,11,1, 1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧-+-≤-⎪=--++-<<⎨⎪+--≥⎩①当12a>，即2a >时，结合图形可知()h x 在[]2,1-上递减，在[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，∵(2)(2)h h ->，∴()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +． ②当012a <≤，即02a <≤时，结合图形可知()h x 在[]2,1--，,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减， 在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，2()124a a h a -=++， 经比较，知()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +， 即0a >时，()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +．。

【全国百强校word】湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一上学期期末考试化学试题可能用到|的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24A1-27 S-32 Cl-35.5 K-39 Fe-56一、选择题：(本题共15小题，每小题只有一个最佳答案，毎题3分，共45分)1. 我国重点城市近年来已发布“空气质量日报”。

下列物质中不列入污染指数的是A. 二氧化硫B. 二氧化氮C. 二氧化碳D. 可吸人颗粒物【答案】C【解析】A二氧化硫、B二氧化氮、D可吸入颗粒物都是空气主要污染物，对人体有害，列入空气污染指数中，虽然C二氧化碳可导致温室效应，但不列入污染指数。

答案选C。

2. 对于易燃、易爆、有毒的化学物质，往往会在其包装上面贴上危险警告标签。

下列物质贴错了包装标签的是A. AB. BC. CD. D【答案】C【解析】A、浓硫酸具有强烈的腐蚀性，应贴腐蚀品的标志，符合题意，正确；B、汽油属于易燃物，应贴易燃品标志，符合题意，正确；C、酒精属于易燃物，不属于剧毒品，应贴易燃液体的标志，错误；D、氯酸钾属于易爆物，应贴爆炸品标志，正确。

答案选C。

3. 下列关于纯净物，混合物，强电解质，弱电解质和非电解质的正确组合是A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】A、盐酸是混合物不是纯净物，错误；B、各物质的组合都正确；C、碳酸钙是电解质，错误；D、漂白粉是主要成分为氯化钙和次氯酸钙的混合物，氯气属于单质，单质既不是电解质也不是非电解质，错误。

答案选B。

4. 下列实验方案设计中，可行的是A. 用萃取的方法分离汽油和煤油B. 加稀盐酸后过滤，除去混在铜粉中的少量镁粉和铝粉C. 用溶解过滤的方法分离KNO3和NaCl固体的混合物D. 将O2和H2的混合气体通过灼热的氧化铜，以除去其中的H2【答案】B【解析】A、汽油和煤油都是有机物混合后相互溶解，不能分层，无法用萃取的方法分离，错误；B、铜粉中的少量镁粉和铝粉，加入盐酸后镁粉和铝粉均生成盐和氢气，铜不与盐酸反应，过滤后可除去杂质，正确；C、KNO3和NaCl易溶于水，用溶解、过滤的方法不能分离KNO3和NaCl固体的混合物，应该重结晶分离，错误；D、将O2和H2的混合气体通过灼热的氧化铜，O2和H2加热会迅速反应，甚至发生爆炸，错误。

第I卷选择题（共50分）一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。

每小題所列四个选项中，只有一项是最符合题意的)1.据甲骨文记载，商王鼓吹“帝”是王的祖宗神，王是“帝”的嫡系子孙。

这反映了商代A.王权与神权相结合B.按血缘亲疏分配权力C.权力向皇帝高度集中D.开始确立“家天下”制度2.伏尔泰说：“儿女孝敬父亲是国家的基础。

在中国，父权从来没有削弱，一省一县的文官被称为父母官，而帝王被称是一国的君父。

”这反映了中国古代A.男性社会地位高B.家国一体的政治特征C.传统道德影响大D.中央集权制度的完善3.《姓氏起源》一书对“宋”姓的解释：周武王克商灭纣，建立周朝，封微子(商王后裔）于商丘，建立宋国，共传36代，亡于齐国；宋亡国后，原王公之族散居各地，以原国“宋”为姓，乃成宋姓。

从宋姓起源中不能得出的历史信息是A.周礼维护中央集权统治B.诸侯争霸导致宋国灭亡C.周代实行分封制和宗法制D.反映早期政治制度特点4.春秋时，晋楚等国已开始了县的设置，但县大夫和县公仍大都由卿大夫及其子弟担任。

战国逐渐形成了郡县两级制的地方管理体系，郡守、县令多由国君自行任免。

这说明A.春秋战国时期已经普遍实行郡县制B.县的设置早于郡，所以县的地位高于郡C.郡县制的发展经历了由贵族政治到官僚政治的转变D.秦朝最先推行郡县制5.十八世纪，不少启蒙思想家都推崇中国的科举制度：“它所体现的许多有价值的观念具有永久的生命力。

”“科举制度”具有永久的生命力”的本质是A.公平竞争B.以文治国C.分科考试D.重视教育6.东汉时期，宦官专权和外戚干政的局面交替出现，即“宗室权落，外戚兴起；外戚势衰，而宦官又盛”。

这一现象的根源是A.皇帝权力的渐趋衰微B.宗族观念的根深蒂固C.君主专制制度的弊端D.地方割据势力的膨胀7.下列图1到图2的变化，反映的本质问题是A.中央集权加强B.中央官制简化C.君主专制强化D.行政效率提高8.“据统计，当时希腊共有300多个城邦，其中90%左右的小邦都是弹丸之地，人口不超过几千，面积不过几十平方千米或更小。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合A ={1，3}，集合B ={1，2，4，5}，则集合A ∪B =（ ）A. {1,3，1，2，4，5}B. {1}C. {1,2，3，4，5}D. {2,3，4，5} 2. 已知tan α=−√3，π2＜α＜π，则sinα的值为（ ）A. 12B. √32C. −12D. −√323. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线，若向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，则k 的值为（ ）A. ±43B. ±34C. ±2√33D. ±√324. 如果奇函数f （x ）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f （x ）在区间[-8，-2]上是（ ）A. 增函数且最小值为−6B. 增函数且最大值为−6C. 减函数且最小值为−6D. 减函数且最大值为−6 5. 函数f （x ）=2x +3x -7的零点所在的区间是（ ）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6. △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2-c 2+b 2=ab ，则C =（ ）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 60∘或120∘ 7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cosAcosB =ba ，则△ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合A ={x|(12)x2−x−6＜1}，B ={x|log 4(x +a)＜1}，若A ∩B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1<a <2B. 1≤a ≤2C. ⌀D. 1<a ≤29. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cosα=15x ，则tanα=（ ）A. 43B. 34C. −34D. −4310. 化简sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2−α)cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(9π2+α)的结果是（ ）A. 1B. sinαC. −tanαD. tanα11. 先把函数f （x ）=sin （x -π6）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y =g （x ）的图象．当x ∈[π4，3π4]时，函数g （x ）的值域为（ ）A. [−√32,1]B. [−12,1]C. [−√32,√32]D. [−1,0012. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知x ∈[2，3]时，f （x ）=x ，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A. x +4 B. 2−x C. 3−|x +1| D. 2−|x +1|13. 若函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1-x 2|的最小值为3π2，则ω的值为（ ）A. 13B. 23C. 43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在a ⃗ =（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（ ）A.B.C.D.15. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2则关于x 的方程6[f （x ）]2-f （x ）-1=0的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. lg2+lg5+π0=______．17. 已知tanα=3，则2sinα−cosαcosα+3sinα=______．18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则b⃗ 在a ⃗ 上的投影是______． 19. 若函数f （x ）=2x 2-kx -3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．20. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，则1x +1y 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB=√3．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量a⃗=（cosα，sinα），b⃗ =（cosβ，sinβ），|a⃗-b⃗ |=2√55．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k2=0，解得k=±．故选：A．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y 取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712+√33【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵bsinAacosB=√3．又∵由正弦定理asinA =bsinB，可得：sin B=bsinAa，∴可得：sinBcosB=tan B=√3，∵B∈（0，π），∴B=π3．（2）由sin C=2sin A及正弦定理asinA =bsinB，得c=2a，①．又b=2√3，B=π3，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．=√3 2sin2x−1+cos2x2+32，=sin(2x−π6)+1，令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），解得：−π6+kπ≤x≤kπ+π3（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[−π6+kπ，kπ+π3]（k∈Z）．（2）由于f（x）=sin(2x−π6)+1，所以f（α）=sin(2α−π6)+1，f（β）=sin(2β−π6)+1，角α，β的终边不共线，所以2α+2β−π3=π，整理得α+β=2π3，所以tan（α+β）=-√3．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）|a ⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，同理|b ⃗ |=1．∵|a ⃗ -b ⃗ |=2√55，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2√55，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=45，∴cos （α-β）=35．（2）∵0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513， ∴0＜α-β＜π，cosβ=√1−sin 2β=1213． ∴sin （α-β）=√1−cos 2(α−β)=45． ∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin （α-β）cosβ+cos （α-β）sinβ =45×1213+35×(−513)=3365． 【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出； （2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin （α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）f （x ）+f （-x ）=2x 2当x ≥0时，2x 2≤2x ⇒0≤x ≤1， 当x ＜0时，2x 2≤-2x ⇒-1≤x ＜0， ∴集合C =[-1，1]．（2）f （a x ）-a x +1-11=0⇒（a x ）2-（a -1）a x -11=0，令 a x =u则方程为 h （u ）=u 2-（a -1）u -11=0 h （0）=-11，u =a x ，x ∈[−1,1]，对称轴x =a−12当a ＞2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴1a <a−12<a函数在区间[1a ,a]内先单调递减，再单调递增 此时ℎ(a−12)<ℎ(1a )<ℎ(0)<0则ℎ(a)=a −11≥0即可 解得：a ≥11当1<a ≤2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴a−12<1a<a函数在区间[1a ,a]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≤0ℎ(a)=a 2−(a −1)a −11≥0⇒a ≥11，又1<a ≤2此时无解当 0＜a ＜1时，u ∈[a ，1a ]，h （u ）=0 在[a ，1a ]上有解，对称轴a−12<0<a <1a函数在区间[a,1a ]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≥0ℎ(a)=a −11≤0⇒0＜a ≤13，∴当 0＜a ≤13或 a ≥11时，方程在C 上有解，且有唯一解． 【解析】（1）直接把函数f （x ）=x 2+x 代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f （x ）=x 2+x 代入方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1），方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1）在C 上有解，转化为a x 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，集合，则集合（）A．3，1，2，4，B．C．2，3，4，D．3，4，【答案】C【解析】集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合，由此利用集合，集合，能求出集合．【详解】解：∵集合，集合，∴集合．故选C．【点睛】本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．已知，，则sinα的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解．【详解】解：∵，∴，解得或．∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．已知，，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由向量与互相垂直，得，由此能求出k．【详解】解：∵，，且与不共线，向量与互相垂直，∴，解得．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．如果奇函数在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则在区间[-8，-2]上是（）A．增函数且最小值为B．增函数且最大值为C．减函数且最小值为D．减函数且最大值为【答案】D【解析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．【详解】解：根据题意，在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即，且，又由为奇函数，则在区间[-8，-2]上是减函数，且，则有，故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．【详解】解：函数，因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数．．．.．．函数的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.6．中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则C=（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】直接由已知结合余弦定理求解．【详解】解：在中，由，可得，∵，∴．故选：B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，则ABC ∆的形状是（ ）A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】试题分析：cos sin sin 2sin 2cos sin A b B A B A B B a A ==∴=∴=或2A B π+=,由4sin 3sin A B =可知A B ≠，所以2A B π+=，三角形为直角三角形【考点】解三角形8．已知集合,，若，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据，求得实数a 的取值范围． 【详解】解：由，可得，解得，或，故．由，可得，解得，∴B=（-a ，4-a ）．若，则有，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9．设是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=( )A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：因为，所以,又因为α是第二象限角，所以，所以.【考点】三角函数的定义，三角函数符号，平方关系公式，商数关系公式。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±． 故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

试卷第1页，共10页绝密★启用前【百强校】2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期中试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：30分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下列句子有语病的一项是 （ ）A ．这篇别具特色的报道体现出较高的政策把握水平和驾驭文字的能力。

B ．读了《奥斯维辛没有什么新闻》一文，深切感受到了纳粹对人类的惨绝人寰的摧残和迫害，控诉了纳粹滔天暴行的罄竹难书。

C ．《别了，“不列颠尼亚”》用灵活的笔法、深沉的感情、丰厚的内涵，记录了中华民族发展史上的一件大事，也为我们上了一堂形象而深刻的历史课。

D ．特写性消息侧重于“再现”，往往采用文学手法，集中、突出地描述某一重大事件的发生现场，或某些重要和精彩的场面，生动、形象地将所报道的事实再现在读者面前。

2、下列句子中，加点词语使用错误的一项是（ ）A ．传统的文史哲学科，有许多蜚声中外的学术大师，有浩如烟海的学术资料，有非常成熟的学科体系，这是其它学科难以相比的。

B ．也许是大家都知道巴金老人对玫瑰情有独钟，一束束象征热情与朝气的红玫瑰将冬试卷第2页，共10页日里巴老的病房装点得春意盎然。

C ．《包身工》被称为我国报告文学的经典之作，“包身工”“芦柴棒”已经成为家喻户晓的名词，给每一位认真读过本文的人以心灵的震撼。

D ．听他讲到他最喜爱的《桃花扇》，讲到“高皇帝，在九天，不管……”那一段，他悲从中来，竟痛哭流涕而情不自禁。

3、下列词语中，字音字形全都正确的一项是（ ） A ．戊戌（xū） 戎马生涯（róng ） 左顾右盼 笔而记之 B ．覆盖（fù） 步履维艰（lǔ） 文彩斐然 博闻强记 C ．差别（chà） 涕泗交流（sì） 剑拔驽张 酣畅淋漓 D ．激亢（kàng ） 引吭高歌（káng ） 流言蜚语 泪下沾巾试卷第3页，共10页第II 卷（非选择题）二、语言表达（题型注释）4、在下面一段文字横线处补写恰当的语句，使整段文字语意连贯，内容贴切，逻辑严密。

2
2
10.
化简������������������(������
‒
������)������������������(3������
‒
������)������������������(
‒
������
‒
������)������������������(9������
2
+
������)的结果是（ ）
解析式为 f（x）=（ ）
A. ������ + 4
B. 2 ‒ ������
C. 3 ‒ |������ + 1|
D. 2 ‒ |������ + 1|
3������
13. 若函数������(������) = ������������������������������ ‒ 3������������������������������，ω＞0，x∈R，又 f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为 2 ，则 ω
2017-2018 学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）
1. 设集合 A={1，3}，集合 B={1，2，4，5}，则集合 A∪B=（ ）
A. {1,3，1，2，4，5}
B. {1}
C. {1,2，3，4，5}
D. {2,3，4，5}
a、b、c，若������������������������
=
������
������，则△ABC
的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）2．已知α是第一象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角3．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）4．已知向量，若，则m=（）A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．15．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y36．若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或7．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）8．已知，则的值是（）A．B．C．2 D．﹣29．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2） B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）10．若f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，）C．（，）D．[，]11．函数y=的图象是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．13．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A． B．πC． D．14．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1） C．（0，]D．（，+∞）15．已知向量满足：对任意λ∈R，恒有，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．已知=（4，2），则与垂直的单位向量的坐标为．17．已知，则tan（α﹣2β）=．18．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．20．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②对于任意的a ＞0，均有f（1）=1；③对于任意的a＞0，函数f（x）的最大值均为4．其中所有正确的结论序号为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．已知函数．（1）试确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．22．已知O为坐标原点，为常数），若．（1）求y关于x的函数解析式f（x）；（2）若时，f（x）的最大值为2，求a的值，并指出函数f（x），x ∈R的单调区间．23．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？24．如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．25．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在[a，b]⊆D区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f（x），x∈D叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）若函数是闭函数，求实数k的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．2．已知α是第一象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【考点】半角的三角函数；象限角、轴线角．【分析】由题意α是第一象限角可知α的取值范围（2kπ， +2kπ），然后求出即可．【解答】解：∵α的取值范围（2kπ， +2kπ），（k∈Z）∴的取值范围是（kπ， +kπ），（k∈Z）分类讨论①当k=2i+1 （其中i∈Z）时的取值范围是（π+2iπ， +2iπ），即属于第三象限角．②当k=2i（其中i∈Z）时的取值范围是（2iπ， +2iπ），即属于第一象限角．故选：D．3．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数在y轴左侧是余弦函数，右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单调性，函数不是偶函数，然后求解其值域得答案．【解答】解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为[﹣1，+∞）．故选：D．4．已知向量，若，则m=（）A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．1【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．【分析】根据即可得到关于m的方程，解方程即可得出m的值．【解答】解：∵；∴1•m﹣（﹣2）•2=0；∴m=﹣4．故选B．5．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．6．若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】向量的模．【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，由此分别求得、、的值，再根据==，运算求得结果【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，∴=1×1×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣．====2．②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，则=1×1=1，=1×3=3，=1×3=3，====5．综上可得，则=2或5，故选C．7．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．8．已知，则的值是（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用化简•得结果为﹣1，进而根据的值，求得，则答案取倒数即可．【解答】解：∵•=（﹣）•==﹣1∴=2∴=故选A9．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2） B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选A．10．若f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，）C．（，）D．[，]【考点】函数零点的判定定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据函数f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0有两个零点，我们易得函数为二次函数，即m﹣2≠0，又由两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，根据零点存在定理，我们易得：f（﹣1）•f（0）＜0且f（1）•f（2）＜0，由此我们易构造一个关于参数m的不等式组，解不等式组即可求出答案．【解答】解：∵f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0有两个零点且分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内∴∴∴＜m＜故选：C11．函数y=的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据x的变化趋势，得到y的变化趋势，问题得以解决．【解答】解：当x→﹣∞时，x3→﹣∞，3x﹣1→﹣1，故y→+∞，当x→+∞时，x3→+∞，3x﹣1→+∞，且故y→0，故选：A．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．【解答】解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．13．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A． B．πC． D．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】由题意得，x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，由此选出符合条件的选项．【解答】解：函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，∴x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，故sinx能取到最小值﹣1，最大值只能取到，例如当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a最小为；当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a取得最大为，即≤b﹣a≤，故b﹣a一定取不到，故选：D．14．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1） C．（0，]D．（，+∞）【考点】函数的值域．【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．15．已知向量满足：对任意λ∈R，恒有，则（）A．B．C．D．【考点】向量的模；向量的减法及其几何意义．【分析】由已知两边同时平方可得，≥，整理之后，结合二次不等式的性质可得可得，△≤0，从而可求【解答】解：∵恒有两边同时平方可得，≥整理可得，对任意λ都成立∴ []≤0整理可得，∴∴故选B二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．已知=（4，2），则与垂直的单位向量的坐标为或．．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】设出与垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组，求解后即可得到答案．【解答】解：设与垂直的单位向量．则，解得或．故答案为或．17．已知，则tan（α﹣2β）=2．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，则tan（α﹣2β）=tan[（α﹣β）﹣β]===2，故答案为：2．18．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1=0根个数，即方程|log0.5x|=（）x根个数，即函数y=|log0.5x|与y=（）x图象交点的个数，画出函数图象，数形结合，可得答案．【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1=0根个数，即方程|log0.5x|=（）x根个数，即函数y=|log0.5x|与y=（）x图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y=|log0.5x|与y=（）x图象，如下图所示：由图可得：函数y=|log0.5x|与y=（）x图象有2个交点，故函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点有2个，故答案为：219．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）20．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②对于任意的a ＞0，均有f（1）=1；③对于任意的a＞0，函数f（x）的最大值均为4．其中所有正确的结论序号为②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】通过建立如图所示的坐标系，可得y=f（x）==（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．x∈[0，1]．通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）．得y=f（x）==（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．x∈[0，1]．①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=5（x﹣）+．∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上可得：函数f（x）的值域为[，4]．因此①不正确．②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=，当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当a时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．已知函数．（1）试确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）利用f（0）=0，确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题意，f（0）=a﹣=0，∴a=，f（﹣x）=a﹣；∵f（x）+f（﹣x）=a﹣+a﹣=2a﹣=2a﹣1；∴经检验a=，f（x）为奇函数；（2）函数f（x）在定义域R内单调递增．任意设两个实数x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在定义域R内单调递增．22．已知O为坐标原点，为常数），若．（1）求y关于x的函数解析式f（x）；（2）若时，f（x）的最大值为2，求a的值，并指出函数f（x），x ∈R的单调区间．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）进行数量积的坐标运算得出f（x）=，化简后即可得到；（2）由x的范围可得出2x+的范围，从而求出f（x）的最大值2+1+a=2，求出a的值，并可写出f（x）的单调增减区间．【解答】解：（1）f（x）====（2）当x时，2x+；故f（x）max=2+1+a=2，解得a=﹣1；f（x）的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z．23．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（II）由已知中y=．对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（Ⅱ）当k=4，所以y=…当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…24．如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围来求出矩形面积的最大值即可．【解答】解：设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN=sinα，ON=cosα．，∴即∴BC=2CN=2sinα故：====∵，∴取得最大，此时．故当，即时，S矩形25．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在[a，b]⊆D区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f（x），x∈D叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）若函数是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解；（2）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化：a，b为方程x=k+的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根，由二次方程实根分布求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则，解得，所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）若函数是闭函数，且为[﹣2，+∞）的增函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，可得a，b为方程x=k+的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根，设f（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，当k≤﹣2时，有，即为，解得﹣＜k≤﹣2，当k＞﹣2时，有，即有，无解，综上所述，k的取值范围是（﹣，﹣2]．2017年3月22日。

湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题（无答案）数学一、选择题：本大题共15个小题,每题3分,共45分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．设集合{}1,3=A ，集合{}1,2,4,5=B ，那么集合=A B 〔 〕A ．{}1,3,1,2,4,5B ．{}1C ．{}1,2,3,4,5D ．{}2,3,4,5 2．tan 3=-α，2<<παπ，那么sin α的值为〔 〕A ．12 B ．32 C ．12- D ．32-3．4=a ，3=b ，且a 与b 不共线，假定向量+a kb 与-a kb 相互垂直，那么k 的值为〔 〕A ．43±B ．34± C ．233± D ．32±4．假设奇函数()f x 在区间[]2,8上是减函数且最小值为6，那么()f x 在区间[]8,2--上是〔 〕 A ．增函数且最小值为-6 B ．增函数且最大值为-6 C ．减函数且最小值为-6 D ．减函数且最大值为-6 5．方程2370+-=xx 的解所在的区间为〔 〕A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边区分是,,a b c ，假定222-+=a c b ab ，那么=C 〔 〕 A ．30° B ．60° C ．120° D ．60°或120° 7．∆ABC 中，内角,,A B C 所对边的长区分为,,a b c ，假定cos cos =A bB a，那么∆ABC 为〔 〕 A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．集合26112--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x A x ，(){}4log 1=+<B x x a ，假定=∅A B ，那么实数a 的取值范围为〔 〕A ．12<<aB ．12≤≤aC ．∅D ．12<≤a9．设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5=x α，那么tan =α〔 〕 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 10．化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭πππαπαααππαπαπαα的结果为〔 〕A ．tan -αB ．tan αC ．1tan -αD ．1tan α11．先把函数()sin 6⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x π的图象上各点的横坐标变为原来的12〔纵坐标不变〕，再把新失掉的图象向右平移3π个单位，失掉()=y g x 的图象．事先3,44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，函数()g x 的值域为〔 〕 A ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,0- 12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3∈x 时，()=f x x ，那么[]2,0∈-x 时，()f x 的解析式为〔 〕A ．4+xB ．2-xC ．31-+xD ．21-+x13．假定函数()sin 3cos =-f x x x ωω，0,>∈R x ω，又()12=f x ，()20=f x ，且12-x x 的最小值为32π，那么ω的值为〔 〕 A ．13 B ．23 C ．43D ．214．如图，正三角形ABC 的中心位于点()0,1G ，()0,2A ，动点P 从点A 动身沿∆ABC 的边界按逆时针方向运动，设()02∠=≤≤AGP x x π，向量OP 在()1,0=a 方向上的射影为y 〔O 为坐标原点〕，那么y 关于x 的函数()=y f x 的图象大致为〔 〕A ．B ．C ．D ．15．定义在R 上的奇函数()f x ，事先0>x ，()()121,0212,22-⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x f x x ．那么关于x 的方程()()2610--=⎡⎤⎣⎦f x f x 的实数根个数为〔 〕A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题〔每题3分，总分值15分，将答案填在答题纸上〕16．0lg 2lg5++=π ． 17．tan 3=α，那么2sin cos cos 3sin -=+αααα．18．向量,a b 满足2=b ，a 与b 的夹角为60°，那么b 在a 上的投影是 ．19．假定函数()223=--f x x kx 在区间[]2,4-上具有单调性，那么实数k 的取值范围是 ． 20．在∆ABC 中，9⋅=AB AC ，sin cos sin =⋅B A C ，6∆=ABC S ，P 为线段AB 上一点，且=⋅+⋅CA CB CP x y CACB，那么11+x y的最小值为 ． 三、解答题 〔本大题共5小题，共40分．解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤．〕21． 集合()(){}320=+-≤A x x x ，{}14=≤≤B x x ． 〔1〕求A B ；〔2〕求()RA B ．22． 设∆ABC 的内角,,A B C 的对边区分为,,a b c ，且sin 3cos =b Aa B．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假定23=b ，sin 2sin =C A ，求,a c 的值． 23． 函数()233sin cos cos 2=-+f x x x x ． 〔1〕求()f x 的单调递增区间； 〔2〕假定角,αβ的终边不共线，且()()=ff αβ，求()tan +αβ的值．24． 向量()cos ,sin =a αα，()cos ,sin =b ββ，255+=a b ． 〔1〕求()cos -αβ； 〔2〕假定02<<πα，02-<<πβ，且5sin 13=-β，求sin α． 25． 二次函数()2=+f x x x ，假定不等式()()2-+≤f x f x x 的解集为C ． 〔1〕求集合C ；〔2〕假定函数()()111+=--x x g x f a a 〔0>a 且1≠a 〕在集合C 上存在零点，务实数a 的取值范围．。

百度文库湖南师大附中2016－2017 学年度高一第一学期期末考试数学时量： 120 分钟满分：150分得分： ____________第Ⅰ卷 (满分 100 分 )一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a ， 3) ， B(1，－ 2) ，若直线 AB 的倾斜角为135°，则 a 的值为A． 6 B ．－ 6 C． 4 D．－ 42．对于给定的直线l 和平面a，在平面 a 内总存在直线m 与直线lA．平行B．相交C．垂直 D ．异面3．已知直线l1： 2x＋ 3my － m＋ 2＝ 0 和 l2： mx＋ 6y－ 4＝ 0，若 l1∥ l2，则 l1与 l2之间的距离为510 2 5 2 10A. 5B. 5C. 5D. 54．已知三棱锥P－ ABC 的三条侧棱PA 、PB、PC 两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3， PC＝ 3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A． 16πB． 32πC． 36πD ． 64π5．圆 C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 12＝ 0 与圆 C2： x 2＋ y2－ 8x－ 6y＋ 16＝ 0 的位置关系是A．内含 B．相交 C．内切 D ．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若 m∥ n， m? β，则 n∥ β B ．若 m∥ α，α∩β＝ n，则 m∥ nC．若 m⊥ β，α⊥β，则 m∥ α D ．若 m⊥ α， m⊥β，则α∥ β7．在空间直角坐标系O－ xyz 中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0 ，0，2) ，B(2 ，2，0) ，C(0 ，2，0) ，D(2 ， 2， 2) ，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点 P(3， 1)为圆 (x － 2)2＋ y2＝ 16 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为A． x－ 3y＝ 0 B． 2x－ y－ 5＝ 0C． x＋ y－ 4＝ 0D． x － 2y－ 1＝ 09．已知四棱锥 P－ ABCD 的底面为菱形，∠ BAD ＝ 60°，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD ，则下列说法中错误的是A．异面直线PA 与 BC 的夹角为60°C．二面角 P－ BC － A 的大小为45°D． BD ⊥平面PAC10．已知直线l 过点 P(2， 4)，且与圆O： x2＋ y2＝ 4 相切，则直线 l 的方程为A． x＝ 2 或 3x－ 4y＋ 10＝ 0B． x＝ 2 或 x ＋ 2y－ 10＝ 0C． y＝ 4 或 3x － 4y＋ 10＝ 0D． y＝ 4 或 x＋ 2y－ 10＝ 011．在直角梯形BCEF 中，∠ CBF ＝∠ BCE ＝ 90°， A 、 D 分别是BF、 CE 上的， AD ∥ BC ，且 AB ＝ DE ＝2BC ＝ 2AF ，如图 1.将四边形ADEF 沿 AD 折起，连结 BE、 BF 、 CE，如图 2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A． AC ∥平面BEFB．直线 BC 与 EF 是异面直线C．若 EF⊥ CF，则平面 ADEF ⊥平面ABCDD．平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直答题卡题号1 23 4 567 8910 11得分答案二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．12．若直线 l： x － y＋ 1＝ 0 与圆 C： (x－ a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．V 1 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V2＝________ ．14．已知三棱锥 P－ ABC 的体积为10 ，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________ ．三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15． (本小题满分8 分 )已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3 ， 0) ， B(4， 6) ， C(0 ， 8) ．(1)求 BC 边上的高所在直线l 的方程；16.(本小题满分10 分 )已知圆 C 经过 A( －2， 1) ， B(5， 0) 两点，且圆心 C 在直线y＝ 2x 上．(1)求圆 C 的标准方程；(2)设动直线l： (m ＋2)x ＋ (2m ＋ 1)y － 7m － 8＝ 0 与圆 C 相交于 P， Q 两点，求 |PQ|的最小值．17． (本小题满分12 分 )如图，在三棱柱ABC － A 1B 1C1中， A 1A ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA 1， D 为 BC 的中点．(1)证明： A 1B ⊥平面AB 1 C;(2)求直线A1 D 与平面 AB 1C 所成的角的大小．百度文库第Ⅱ卷 (满分 50 分 )一、本大题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分．2<1 ， N ＝ {y|y ＝ lg (x2＋ 1)} ，则 N∩ ?RM＝ ______ ．18．已知集合 M ＝ x|x19．已知函数 f(x)在定义域R 上单调递减，且函数 y＝ f(x－ 1)的图象关于点A(1 ， 0)对称．若实数t 满足 f(t2－ 2t)＋ f(－ 3)>0 ，则t－1的取值范围是 ( ) t－ 31 1A. 2，＋∞B. －∞，22 1C. 0，3D. 2， 1 ∪ (1 ，＋∞ )二、本大题共 3 个大题，共 38 分．20． (本小题满分12 分 )如图，四棱锥S－ ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍， P 为侧棱 SD 上的点．(1)求证： AC ⊥ SD；(2)若 SD ⊥平面 PAC ，侧棱 SC 上是否存在一点E，使得 BE∥平面PAC ？若存在，求 SE∶ EC 的值；若不存在，试说明理由．21.(本小题满分13 分 )f（ x）设函数 f(x) ＝ mx 2－ mx－ 1， g(x) ＝.(1)若对任意x∈ [1 ， 3]，不等式f(x)<5 － m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当 m＝－14时，确定函数g(x) 在区间 (3，＋∞ )上的单调性．22.(本小题满分13 分 )已知圆 C： (x － a)2＋ (y － a－ 2)2＝ 9，其中 a 为实常数．(1) 若直线 l： x＋ y－ 4＝ 0 被圆 C 截得的弦长为 2，求 a 的值；(2) 设点 A(3 ， 0) ， O 为坐标原点，若圆 C 上存在点 M ，使 |MA| ＝ 2|MO|，求 a 的取值范围．湖南师大附中2016－ 2017 学年度高一第一学期期末考试数学参考答案第Ⅰ卷 (满分 100 分 )一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分 .题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案D C B A C D B C D A D 二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．314. 3412． [－ 3， 1] 13.2三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】 (1) 因为点 B(4 ， 6) ， C(0 ， 8) ，则 k BC＝8－6＝－ 1 .(1 分 ) 0－ 4 2因为 l ⊥ BC ，则 l 的斜率为 2.(2 分 )又直线 l 过点 A ，所以直线 l 的方程为 y ＝ 2(x － 3)，即 2x－ y－ 6＝ 0.(4 分 ) (2)因为点 A(3 ， 0) ， C(0 ， 8) ，则 |AC|＝9＋ 64＝73.(5 分 )又直线 AC 的方程为x＋y＝ 1，即 8x＋ 3y－ 24＝ 0， (6 分 ) 3 8则点 B 到直线 AC 的距离 d＝32＋18－24＝26.(7 分 ) 64＋ 9 731所以△ ABC 的面积 S＝2|AC| × d＝ 13. (8 分 )3 1 1 116．【解析】 (1) 方法一：因为线段 AB 的中点为2，2 ，k AB＝－7，则线段 AB 的垂直平分线方程为y－2 ＝7 x－3，即 y＝ 7x － 10. (2 分 ) 2联立 y＝ 2x，得 x＝ 2， y＝ 4.所以圆心C(2 ， 4)，半径 r＝ |AC|＝16＋ 9＝ 5.(4 分)所以圆 C 的标准方程是(x － 2)2＋ (y－ 4)2＝ 25.(5 分 )方法二：设圆 C 的方程为x2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0，则－2D ＋ E＋ F＋ 5＝ 0，5D＋ F＋ 25＝ 0，解得D＝－4，E＝－8，F＝－5.(3分)E＝ 2D ，所以圆 C 的方程是x2＋ y2－ 4x－ 8y－ 5＝ 0，即(x－ 2) 2＋ (y－ 4) 2＝ 25.(5 分 )(2)直线 l 的方程化为(2x ＋ y－ 8) ＋ m(x ＋ 2y－ 7)＝ 0.2x＋ y－ 8＝ 0，x ＝ 3，令得所以直线l 过定点 M(3 ， 2)． (7 分 ) x ＋ 2y－ 7＝ 0，y ＝ 2，由圆的几何性质可知，当 l⊥ CM 时，弦长 |PQ|最短．百度文库2则 |PQ|min ＝ 2 r 2－ |CM | ＝ 2 25－ 5＝ 4 5.(10 分 )17． 【解析】 (1) 因为 A 1A ⊥平面 ABC ，则 A 1A ⊥ AC.又 AC ⊥ AB ，则 AC ⊥平面 AA 1 B 1B ，所以 AC ⊥ A 1B.(3 分 )由已知 ，侧面 AA 1 B 1 B 是正方形 ，则 AB 1⊥ A 1 B.因为 AB 1∩ AC ＝ A ，所以 A 1B ⊥平面 AB 1 C.(5 分 )(2)方法一： 连结 A C ，设 AB1 ∩ AB ＝ O ，连 CO ，交 A D 于 G.111因为 O 为 A 1 B 的中点 ， D 为 BC 的中点 ，则 G 为 △ A 1BC 的重心．因为 A 1O ⊥平面 AB 1 C ，则 ∠ A 1 GO 是 A 1D 与平面 AB 1 C 所成的角． (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1＝ 1，则 A 1 B ＝ BC ＝ A 1C ＝ 2.2226得 A 1O ＝ 2 ， A 1 G ＝ 3A 1D ＝ 3 × 2sin 60°＝ 3 .A 1 O3在 Rt △ A 1OG 中， sin ∠ A 1GO ＝ A 1 G ＝ 2 ，则 ∠ A 1GO ＝ 60° . 所以直线 A 1 D 与平面 AB 1 C 所成的角为 60° .(12 分 )方法二： 分别取 AB ， B 1B 的中点 E ， F ，连 DE ， EF ， DF ，则 ED ∥ AC ， EF ∥ AB 1 ，所以平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C.因为 A 1B ⊥平面 AB 1C ，则 A 1B ⊥平面 DEF. 设 A 1B 与 EF 的交点为 G ，连 DG ，则 ∠ A 1DG 是直线 A 1 D 与平面 DEF 所成的角 . (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1 1 1＝ 1，则 A B ＝ BC ＝ A C ＝ 2. 得 A 1G ＝ 3A 1B ＝3 2， A 1D ＝ 2sin 60°＝6.442在 Rt △ A 11DG A 1 G＝ 3，则 ∠ A 1DG ＝ 60° .GD 中， sin ∠ A ＝A 1 D 2所以直线 A 1 D 与平面 AB 1C 所成的角为 60° . (12 分 )第 Ⅱ 卷 (满分 50 分 )百度文库【解析】 M ＝ (－ ∞ ， 0) ∪ (2，＋ ∞ )， N ＝ [0，＋ ∞)，所以 N ∩ ?RM ＝ [0 ， 2]．19． B 【解析】 因为 y ＝ f(x － 1)的图象关于点 A(1 ， 0)对称 ，则 y ＝ f(x)的图象关于原点对称，即 f(x)为奇函数．由 f (t 2 － 2t)＋ f(－ 3)>0 ，得 f(t 2 － 2t )>－ f(－ 3)＝ f(3)， 因为 f(x)在 R 上是减函数 ，则 t 2－ 2t<3，即 t 2－ 2t － 3<0，得－ 1＜ t ＜ 3.t － 1 2 t － 1 1因为 y ＝ t － 3 ＝ 1＋ t － 3 在区间 (－ 1， 3) 上是减函数 ，则 t － 3< 2，选 B.二、本大题共 3 个大题 ，共 38 分．20． 【解析】 (1) 连接 BD ，设 AC 交 BD 于点 O ，连接 SO ，由题意得 SO ⊥AC ，又因为正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，所以 AC ⊥ 平面 SBD,∵ SD? 平面 SBD ，所以 AC ⊥ SD. (6 分 )(2)在棱 SC 上存在一点 E ，使得 BE ∥ 平面 PAC.设正方形边长为a ，则 SD ＝ 2a.由 SD ⊥平面 PAC 得 PD ＝ 42a，故可在 SP 上取一点 N ，使 PN ＝ PD.过点 N 作 PC 的平行线与SC 的交点为 E ，连接 BN ，在 △ BDN 中，易得 BN ∥ PO ，又因为NE ∥ PC ，所以平面 BEN ∥平面 PAC ，所以 BE ∥ 平面 PAC.因为 SN ∶ NP ＝ 2∶ 1，所以 SE ∶ EC ＝ 2∶ 1. (12 分 )21． 【解析】 (1) 由 f(x)<5 － m ，得 mx 2－ mx － 1<5－ m ，即 m(x 2 － x ＋ 1)<6.因为 x 2－ x ＋ 1＝ x － 1 2 ＋ 3>0，则 m< 2 6 .(3 分 )2 4 x － x ＋ 16 设 h(x) ＝ x 2－ x ＋ 1，则当 x ∈ [1 ， 3]时， m ＜ h(x)恒成立．因为 y ＝ x 2 － x ＋ 1 在区间 [1 ，3] 上是增函数 ，则 h(x) 在区间 [1， 3] 上是减函数 ， h(x) min6＝ 7.＝ h(3) 所以 m 的取值范围是 6－ ∞ ， 7 . (6 分 )1百度文库1x＋ 1当 m ＝－ 4时， g(x) ＝－4.(7 分 )x － 1x 2 1 x 1 1 设 x 1>x 2>3，则 g(x 1)－ g(x 2)＝ 4 ＋ 2 － 4 ＋1 － 1 ＝ x － 1 xx 2 － x 1 ＋1 － 1 ＝ x － x ＋ x － x2＝2 1 14 4x 2 － 1 x 1－ 14 （ x 1－ 1）（ x 2－ 1）1－ 1.(10 分 )(x 1－x 2)（ x 1－ 1）（ x 2－ 1）4因为 x 1－ 1>x 2－ 1>2 ，则 (x 1 － 1)(x 2－ 1)>4 ，得 1 1 ，又 x 1（ x 1－ 1）（ x 2 － 1） <4 2 1 ) 2 )<0，－ x >0，则 g(x － g(x即 g(x 1)<g(x 2 )，所以 g(x) 在区间 (3 ，＋ ∞ )上是减函数． (13 分 ) 22． 【解析】 (1) 由圆方程知 ，圆 C 的圆心为 C(a ， a ＋ 2)，半径为 3.(2 分 ) 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，则d 2 ＋ 1＝ 9，即 d ＝ 2 2.(4 分 )所以 |a ＋（ a ＋ 2）－ 4|＝ 2 2，即 |a － 1|＝ 2，所以 a ＝－ 1 或 a ＝ 3.(6 分 )2(2)设点 M(x ， y)，由 |MA| ＝ 2|MO| ，得 （ x － 3） 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2，即 x 2＋ y 2＋ 2x － 3＝ 0. 所以点 M 在圆 D ： (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 4 上．其圆心为 D( － 1， 0)，半径为 2.(8 分 ) 因为点 M 在圆 C 上，则圆 C 与圆D 有公共点 ，即 1≤ |CD| ≤ 5.(9 分 )a 2＋ 3a ＋ 2≥ 0， 所以 1≤（ a ＋ 1） 2＋（ a ＋ 2） 2≤ 5，即a 2＋ 3a － 10≤ 0，（ a ＋ 2）（ a ＋ 1） ≥ 0，即 (11 分 )（ a － 2）（ a ＋ 5） ≤ 0，a ≤ － 2或 a ≥ － 1， 解得 即－ 5≤ a ≤ － 2 或－ 1≤a ≤ 2.－ 5≤ a ≤ 2，故 a 的取值范围是 [－ 5， － 2] ∪ [－ 1， 2] ． (13 分 )百度文库。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[2，+∞）2．（5分）设复数w＝（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）“a＜0”是“函数f（x）＝|x（ax+1）|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．（5分）将函数y＝sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．6．（5分）已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2＝1上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[，1]B．[1，9]C．[，9]D．[，3] 7．（5分）如图所示程序框图中，输出S＝（）A．45B．﹣55C．﹣66D．668．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1B．C．D．与M点的位置有关10．（5分）已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设函数f（x）＝，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|＝．14．（5分）给定双曲线C：x2﹣＝1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN ＝．15．（5分）已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为．16．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）＝sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）在区间[﹣，π]上的最大值和最小值；（2）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，f（A）＝﹣1，a＝2b sin A，求△ABC的面积．18．（12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y＝bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．（12分）设f（x）＝（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a＝g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（2）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+|（a＞0）（I）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴A＝[﹣2，2]．∵A∪B＝A，∴，解得﹣2≤a≤1．故选：C．2．【解答】解：∵＝＝．a为实数，∴复数w＝（）2＝﹣+＝a+，∵w的实部为2，∴a＝2则w的虚部为＝﹣．故选：A．3．【解答】解：当a＜0时，f（x）＝|ax2+x|═|a（x+）2|，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣＞0，又f（x）＝|ax2+x|＝0得两个根分别为x＝0或x＝＞0，∴函数f（x）＝|ax2+x|在区间（﹣∞，0）内单调递减．函数在上单调递减，∴“a＜0”是“函数f（x）＝|（ax+1）x|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．5．【解答】解：∵y＝sin（x+）cos（x+）＝sin（2x+φ），将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）＝sin（2x﹣+φ），∵f（x﹣）为偶函数，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝kπ+，k∈Z，故选：C．6．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设A（2cosα，sinα），则＝（2cosα﹣1）2+sin2α＝3cos2α﹣4cosα+2＝3（cosα﹣）2+，∴cosα＝时，的最小值为；cosα＝﹣1时，的最大值为9，故选：C．7．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T＝（﹣1）2•12＝1，S＝0+1＝1，n＝1+1＝2；第二次运行T＝（﹣1）3•22＝﹣4，S＝1﹣4＝﹣3，n＝2+1＝3；第三次运行T＝（﹣1）4•32＝9，S＝1﹣4+9＝6，n＝3+1＝4；…直到n＝9+1＝10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T＝（﹣1）10•92，S＝1﹣4+9﹣16+…+92﹣102＝1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100＝×9﹣100＝﹣55．故选：B．8．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S＝2×＝1+＝1﹣ln＝1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P＝故选：C．9．【解答】解：如图所示，连接BC1，取＝，则PN∥D1C1，，PN＝1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC＝V三棱锥P﹣BCM＝＝＝．故选：B．10．【解答】解：由题意，|MA|＝|OA|，∴A的纵坐标为5，∵△ABO为等边三角形，∴A的横坐标为，∵点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，∴∴p＝．故选：C．11．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11＝2ab+3，∴ab＝4，∴a+b≥2＝4，在a＝b＝2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．12．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]＝＝的展开式中，常数项为：＝﹣20．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：令x＝0，可得：a0＝1．对（2x﹣1）4＝（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导可得：4（2x﹣1）3×2＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x＝0，可得：a1＝8．上式两边再两次求导可得：4×3×2（2x﹣1）×2×2×2＝3×2×1×a3+4×3×2a4x，令x＝0，可得a3＝﹣32．∴|a0|+|a1|+|a3|＝41．故答案为：41．14．【解答】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．设P（x P，y P），则，又∵x2﹣＝1，∴x2＝+1，则x02＝y02+1．同理x P2＝y P2+1，两式作差得x P2﹣x02＝（y P2﹣y02），即y P2﹣y02＝（x P2﹣x02），则＝，故答案为：15．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中B（﹣2，0），C（1，）设A（，），P（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为θ∵||＝，•＝x+y∴cosθ＝＝＝×∵当P运动到C点时，θ达到最小值；P运动到与x轴负半轴上一点重合时，θ达到最大值∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直线OA、OC的倾斜角分别为、，可得θ∈（，]由此可得：﹣≤cosθ＜，即﹣≤×＜∴﹣≤＜，即的取值范围为[﹣）故答案为：[﹣）16．【解答】解：∵3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1＝6﹣2×3n﹣1．∴3n a n＝（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1＝（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3＝6（n﹣1）﹣2×+3＝6n﹣3n，∴a n＝（n＝1时也成立）．∴＝．∴数列{}的前n项和S n＝＝．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m＝1时，化为：2•3n﹣1＜3，n＝1时成立．此时mn＝1．m＝2时，化为：3n＜21，n＝1，2时成立．此时mn＝2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，＝＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当时，f（x）取最小值；当时，f（x）取最大值1；（2）由正弦定理：＝2R，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，∵a＝2b sin A，sin A＝2sin B sin A，∴sin B＝，∵0＜B＜，∴B＝，由f（A）＝﹣1，即＝﹣1，解得：A＝由正弦定理得：，∴．△ABC的面积．18．【解答】解：（I）＝2013，＝＝260.2，＝（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8＝130．＝4+1+0+1+4＝10．∴b＝＝13，∴回归方程为y﹣260.2＝13（x﹣2013），即y＝13（x﹣2013）+260.2．（II）当x＝2020时，y＝13（2020﹣2013）+260.2＝351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．又∵BC⊂平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM＝λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴＝（﹣，1，0），＝（λ，﹣1，1），设＝（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x＝1，则＝（1，，），∵＝（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cosθ＝cos＜＞＝＝，…（10分）∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当λ＝时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．…（12分）20．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y ＝±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1＝，k2＝，∴k1+k2＝2．②y＝kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝﹣2k ＝，y1y2＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＝﹣，k1＝，k2＝，∴k1+k2＝＝2．21．【解答】解：（1）由题意，得a x ＝＞0故g（x ）＝，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t＝（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]则t′＝﹣3x2+18x﹣15＝﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：所以t最小值＝5，t最大值＝32所以t的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）＝ln（）＝﹣ln令u（z）＝﹣lnz2﹣＝﹣2lnz+z﹣，z＞0则u′（z）＝﹣＝（1﹣）2≥0所以u（z）在（0，+∞）上是增函数又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）＝0即ln＞0即（9分）（3）设a＝，则p≥1，1＜f（1）＝≤3，当n＝1时，|f（1）﹣1|＝≤2＜4，当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，则f（k）＝，＝1+所以1＜f（k）≤1+，从而n﹣1＜≤n﹣1+＝n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，综上所述，总有|﹣n|＜4．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC；…2′∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB∴∠FBC＝∠FCB∴FB＝FC． (5)（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝60°，∴∠D＝30°…7′在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6 …10′[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴由sin2α+cos2α＝1，得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，即x2+y2＝6x+2y，由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得曲线C的极坐标方程为ρ2＝6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ＝6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标为x﹣y+1＝0，∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r＝为半径的圆，圆心C（3，1）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝＝，∴直线被曲线C截得的弦长|AB|＝2＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，当且仅当m＝±1，a＝1时等号成立，∴f（m）+．。

长郡中学2016-2017学年度高一第二学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么（）A. ①是系统抽样，②是简单随机抽样B. ①是分层抽样，②是简单随机抽样C. ①是系统抽样，②是分层抽样D. ①是分层抽样，②是系统抽样【答案】A【解析】考点：系统抽样方法．分析：根据系统抽样方法是等距抽样，简单随机抽样对个体之间差别不大，且总体和样本容量较小时采用，从而可得结论．解：∵牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，是等距的∴①为系统抽样某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法故答案为：A2. 一个等差数列的第5项，且，则有（）A. B. C. D.【答案】B学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...解得=−2，d=3.故选B.3. 若，那么下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用特殊值法，令，则，A错；，B错；，C错；，D正确.故选D.4. 已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,再由,可得，故三内角分别为.再由正弦定理可得三边之比，故答案为点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果5. 阅读下面的程序框图，则输出的等于（）A. 14B. 20C. 30D. 55【答案】C【解析】试题分析：由题意得，第一次执行循环体后：不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后：不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后：不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后：满足退出循环的条件，此时输出结果，故选C.考点：程序框图的应用.【方法点晴】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，当循环的次数不多是或有规律可循时，长采用模拟循环的方法解答，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，本题的解答中由已知中写程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运算过程，分析循环中各个变量的变化情况，即可输出计算结果.6. 点在直线上，则的最小值是（）A. 8B. 2C.D. 16【答案】A【解析】根据题意,点在直线上，则有，即，则，分析可得：当时,取得最小值8，故选：A.7. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：垂直于同一条直线的两个平面平行，故B选项正确.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．8. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为，设物体的真实重量为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设天平的左右臂分别为物体放在左右托盘称得的重量分别为,真实重量为,则由杠杆平衡原理知：，,由上式得，，由于故，由均值不等式，真实重量是两次称重结果的几何平均数，而不是算术平均数9. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程表示一个圆，则，∴故答案为：A10. 若实数满足不等式组，则的最大值为（）A. 1B.C. 9D.【答案】C【解析】画出的可行域，如图：可知当直线经过A（4,5）时，截距z 最大，此时为9点睛：本题考查线性规划，截距式的最值，画对可行域很关键，平移所求直线很容易得解11. 公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则等于（）A. -20B. 0C. 7D. 40【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知，整理求得，所以，故选A．考点：等比数列，等差数列．12. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示如下：则7个剩余分数的方差为（）A. B. C. 36 D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意及茎叶图，这个数，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余分数的平均值表示为解得，所以个剩余分数的方差为：，答案为B．考点：1．平均数；2．方差．13. 已知三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取中点，连接，则在中，在中，，所以，设球心到平面ABC的距离为因为平面ABC,且底面为正三角形,所以.因为的外接圆的半径为,所以由勾股定理可得,所以三棱锥外接球的表面积是,故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.14. 数列的通项，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（）A. -10B. -9C. 10D. 9【答案】B【解析】试题分析：因为数列的通项公式为，所以其前项和为，令，所以直线方程为，令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B ．考点：数列求和及直线方程． 15. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是 （ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】由题意得，所以，当时，；当时，；选D.点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16.__________．【答案】205【解析】=17. 直线与直线平行，则的值是___________【答案】0或【解析】试题分析：由直线平行的充要条件得：，解得.故答案为0或.考点：直线平行的充要条件.18. 在中，若，，，则__________ .【答案】【解析】在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=?，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x （0≤x ≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y=f （x ）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=，＜，＞则关于x 的方程6[f （x ）]2-f（x ）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tan α=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f （x ）=2x 2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．20.在△ABC 中，已知，，△，P 为线段AB 上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x ≤4}．（1）求A ∩B ；（2）求（?R A ）∪B ．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sinC=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sinxcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ＝-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠１）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan，∴，解得或．∵，∴sinα＝．故选：B．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k2=0，解得k=±．故选：A．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥６，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】 C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】 C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】 D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．，若A∩B=?，则有，解得1≤a≤２故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=?，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα＝=．再由可得x=-3，∴tanα＝=-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】 C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】 B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】 C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】 A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω＝，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】 C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】 B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤４，则0＜x-2≤２，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤６，则2＜x-2≤４，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】 2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】 1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠０∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4））P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤１设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤１），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（?R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩Ｂ．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（?R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sinB=，∴可得：=tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sinC=2sinA及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sinxcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，）=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ＝-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β］=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ＝-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β］展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥０时，2x2≤２x?0≤x≤１，当x＜0时，2x2≤-2x?-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0?（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则?a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则?0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠１），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠１）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。