用机械能守恒定律求解连接体问题

9 专题：动能定理和机械能守恒定律综合应用连接体和链条问题[学习目标]1. 知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同2. 能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目．3. 会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.4. 会分析处理链条类机械能守恒问题一、机械能的变化量ΔE 与其他力做功的关系质量为m 的物块在竖直向上的恒力F 的作用下由静止向上加速运动了h ，此过程恒力F 做功多少，物块机械能变化了多少？(空气阻力不计，重力加速度为g ) 【答案】 恒力F 做功W F ＝Fh . 对物块，由动能定理得Fh －mgh ＝12mv 2物块机械能的变化量ΔE ＝12mv 2＋mgh ＝Fh故物块机械能增加Fh .二、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒． 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧① 当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE k ＝－ΔE p 来求解． ② 当研究对象为两个物体组成的系统时：a.若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔE k ＝－ΔE p 来求解．b. 若A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔE A ＝－ΔE B 来求解．c.从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE 减＝ΔE 增来列式．d. 注意寻找连接各物体间的速度关系的连接物，如绳子、杆或者其他物体，然后在寻找几个物体间的速度关系和位移关系。

3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh 的关系．三、连接体问题解题思路与技巧1．不含弹簧的系统机械能守恒问题①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．③多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．2．含弹簧的系统机械能守恒问题①通过其他能量求弹性势能，根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．②对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．③物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．知识点一：动能定理和机械能守恒定律的比较动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．【探究重点】【例题精讲】1.（2022届·河北省唐山市高三上学期期末）如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接置于粗糙水平面的物块。

用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。

机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用一、连接体物体系统的机械能守恒两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。

二、系统机械能守恒的常用表达式三、绳连接的物体系统机械能守恒如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。

但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。

【题型1】如图所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，不计空气阻力，求：(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取10m/s2)【题型2】一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．【题型3】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，开始时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2)针对训练1.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A 、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A 、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A 、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A 、B 静止。

机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？练习Word文档1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且M>m,开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。

求Array（1）当M由静止释放下落h高时的速度（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。

一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。

开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。

物块A与斜面间无摩擦。

设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。

Word文档求物块B上升的最大高度H。

3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。

Word文档例2.长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？练习Word文档1、如图所示，一粗细均匀的U形管装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？Ah2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是A．绳拉车的力始终为mgB．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mgC．小车获得的动能为mghD．小车获得的动能为Word文档Word 文档例题3.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L 和L .开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。

用机械能守恒定律解连接体问题在用机械能守恒定律解连接体问题时,一定要注意下面几个问题一、何选取系统应用机械能守恒定律必须准确的选择系统.系统选择得当,机械能守恒；系统选择不得当,机械能不守恒。

对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果。

例1、如图1所示，长为2L 的轻杆OB ，O 端装有转轴，B 端固定一个质量为m 的小球B ，OB 中点A 固定一个质量为m 的小球A ，若OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求（1）A 、B 球摆到最低点的速度大小各是多少？（2）轻杆对A 、B 球各做功多少？（3）轻杆对A 、B 球所做的总功为多少？析与解：有学生分别选A 、B 球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：221A mv mgl = 2212B mv l mg = 由上两式得：gl v gl v B A 4,2==上述解法其实是不对的，错在何处呢？是系统选择错误。

事实上，小球A （B ）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A 、B 球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）。

对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错。

那么，应该选择什么系统呢？应选A 、B 球及地球所组成的系统，机械能是守恒的。

（1） 选A 、B 及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：l mg mgl mv mv B A 221212,2,+=+ ① A B v v 2= ② 由①②式可得：gl v gl v B A 8.4,2.1,,== （2）由上不难得到：A A v v <, B B v v >,即A 、B 间的轻杆对B 球做正功，对A 球做负功。

轻杆对A 球做功为：mgl mv mv W A A A 4.0212122,-=-= 同理可得，轻杆对B 球做功为：mgl W B 4.0=（3）轻杆对A 、B 所做总功为0。

7.8+1机械能守恒定律解连接体问题导学案一.连接体：两个或两个以上的物体在相互作用力的关联下参与运动的系统称为连接体二.连接体组成的系统机械能守恒条件外力只有重力做功，且内力不是滑动摩擦力和介质阻力，连接体系统机械能守恒。

三.连接体系统守恒条件理解物体间只有动能和势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能（如内能），则系统的机械能守恒。

四.应用例1.如图，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？跟踪训练1：如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砝码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为多大？例2：如图所示，物体A、B用绳子连接穿过定滑轮，已知m A=2m B, 绳子的质量不计，忽略一切摩擦，此时物体A、B距地面高度均为H，释放A，求当物体A刚到达地面时的速度多大（设物体B到滑轮的距离大于H）？【跟踪训练2】如图所示，物体A、B通过定滑轮以细绳相连，已知两物体的质量m A＞m B，使两物体A、B位于同一水平面，当它们离地面的高度为h时，由静止开始释放，若不计滑轮质量及一切阻力，求当A被释放后，物体B能上升的最大距离．例3：如图小球A、B质量分别是m、2m.通过轻绳跨在半径为R光滑的半圆曲面上。

由静止释放。

求小球A刚到半圆顶端时的速度？跟踪训练3、如图7-37所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面的一部分，一根不可伸长的西线两端分别系住物体A 、B ，m A =2 m B ，从图示位置由静止开始释放A 物体，当物体B 达到最高点时，求：（1）B 的速度大小（2）B 由静止到最高点过程中绳的张力对物体B 所做的功。

例4：如图2所示，质量为m 的A 、B 两球固定在轻杆的两端，杆可绕O 点在竖直面内无摩擦转动，已知两物体距O 点的距离L 1=2L 2=2L ，现在由图示位置静止释放，当A 下降到最低端时的速度？跟踪训练4. 如图所示, 一根轻杆长为2 l , 它的左端O 点为固定转动轴, 轻杆可以绕 O 轴在竖直平面内无摩擦转动, 它的中点及右端各固定一个小球A 和B , 两球的质量分别是m 和 2 m , 重力加速度为g ．现用外力使杆处于水平位置, 从静止释放．求小球A 和小球B 运动到最低处时的速度大小；图7－37例5：如图所示，一固定的偰形木块，其斜面的倾角θ=30о,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮.一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A、B连接,A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升. 物块A与斜面间无摩擦.设当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。

高中生·高考指导文"汪志杰若干个物体通过一定的方式连接在一起，就构成了连接体，其连接方式一般是通过细绳、轻杆或轻弹簧等物体来实现的．连接体问题涉及多个物体，具有较强的综合性，是力学中能力考查的重要内容，在高考中也经常出现．连接体问题的解题关键是寻找连接体之间的内在联系．解决连接体问题的有效方法，除常用的整体法与隔离法外，还可利用机械能守恒定律求解．一、轻绳连接模型解答此类问题应注意：连接体运动过程中，与绳子连接的物体沿着绳子方向的速度大小一定相等；轻绳内部张力处处相等，且与运动状态无关．因此，此类模型中的单个物体机械能一般不守恒，但系统机械能守恒．例１如图１所示，质量分别为ｍ和Ｍ的物块Ａ和Ｂ用不可伸长的细绳连接，Ａ放在倾角为α的固定斜面上，Ｂ能沿杆在竖直方向上自由滑动．杆到滑轮中心的距离为Ｌ，开始时将Ｂ抬高到使细绳水平．求当Ｂ由静止开始下落ｈ时的速度．（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）解析设Ｂ下降ｈ时速度为ｖ１，此时Ａ上升的速度为ｖ２，沿斜面上升的距离为ｓ．选Ａ、Ｂ和地球组成的系统为研究对象，由于系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，其重力势能的减少量等于其动能的增加量，即有Ｍｇｈ－ｍｇｓ·ｓｉｎα＝１２Ｍｖ２１＋１２ｍｖ２２．①由于Ｂ下落，使杆与滑轮之间的一段绳子既沿其自身方向运动，又绕滑轮转动，故ｖ１可分解为图２所示的两个分速度．由图２知ｖ２＝ｖ１ｃｏｓθ＝ｖ１·ｈＬ２＋ｈ２!．②由几何关系知ｓ＝Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ．③联立①、②、③三式可解得ｖ１＝２（Ｌ２＋ｈ２）［Ｍｇｈ－ｍｇｓｉｎα（Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ）］ＭＬ２＋（Ｍ＋ｍ）ｈ２!．小结若系统内的物体通过不可伸长的轻绳相连接，则系统的机械能守恒．本题还需结合相关物体的速度关系式才能求解．例２如图３所示，质量均为ｍ的小球Ａ、Ｂ、Ｃ，用两条长均为Ｌ的细线相连，置于高为ｈ的光滑水平桌面上．Ｌ＞ｈ，Ａ球由静止状态从桌面边缘落下．若Ａ球、Ｂ球下落着地后均不再反弹，则Ｃ球离开桌面边缘时的速度大小是多少？（不计摩擦）解析本题的物理过程如下：Ａ球下落带动Ｂ球和Ｃ球运动．Ａ球着地前瞬间，Ａ、Ｂ、Ｃ三球速率相等，且Ｂ、Ｃ两球均在桌面上．因Ａ球着地后不反弹，故Ａ、Ｂ两球间细线松弛，Ｂ球继续运动并下落，带动小球Ｃ，在Ｂ球着地前瞬间，Ｂ、Ｃ两球速率相等．故本题的物理过程应划分为两个阶段：第一个阶段，从Ａ球开始下落到Ａ球着地瞬间；第二个阶段，从Ａ球着地后到Ｂ球着地瞬间．在第一个阶段，选三个球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×３ｍ×ｖ２１．①在第二个阶段，选Ｂ、Ｃ两球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×２ｍ×ｖ２２－１２×２ｍ×ｖ２１．②由①、②解得ｖ２＝１５ｇｈ!３．小结要重视对物体运动过程的分析，明确运动过程中有无机械能和其他形式能量之间的转换，对有能量形式转换的部分不能应用机械能守恒定律．二、轻杆连接模型由于轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度相同．若轻杆一端固定，则杆转动时，杆上各点具有相同的角速度．求解此类问题需注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化．例３如图４所示，一轻杆上有质量均为ｍ的小球ａ和ｂ，轻杆可绕Ｏ点在竖直平面内自由转动，Ｏａ＝ａｂ＝Ｌ．将杆拉成水平后，由静止开始释放，求轻杆转动到竖直方向时ａ、ｂ两球的速度．◎高考题库◎巧用机械能守恒定律求解连接体问题５１高中生·高考指导解析设杆转到竖直方向时，ａ、ｂ的速度大小分别为ｖａ、ｖｂ，规定ｂ球到达的最低点所在的水平面为零势面，由机械能守恒定律得ｍｇＬ＋ｍｇ·２Ｌ＝１２ｍｖ２ａ＋１２ｍｖ２ｂ．又ｖｂ＝２ｖａ，由此可得ｖａ＝３０ｇＬ!５，ｖｂ＝２５３０ｇＬ!．小结此题易误认为ａ、ｂ两小球在下摆过程中各自机械能守恒，而事实上重力和轻杆对ａ、ｂ均做功，并使其机械能不守恒，但是ａ、ｂ组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的．例４如图５所示，长为ｌ的轻质杆两端有质量均为ｍ的两个相同的小球Ａ和Ｂ，Ａ靠在竖直墙壁上，Ｂ与地面接触，两处均不计摩擦．开始时杆与水平面成６０°角，放手后Ａ下滑、Ｂ右滑．当杆与水平夹角θ为多大时，Ａ刚好脱离墙壁？此时Ｂ球速度为多大？解析设Ａ刚好脱离墙壁时Ａ、Ｂ的速度分别为ｖＡ、ｖＢ，Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，系统机械能守恒，有ｍｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．①又Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，两小球沿杆方向的速度相同，即ｖＡｓｉｎθ＝ｖＢｃｏｓθ．②由①、②两式解得ｖＢ＝２ｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）ｓｉｎ２θ!．③令ａ＝２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ，ｂ＝ｓｉｎθ，ｃ＝ｓｉｎθ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３!．因为ａ＋ｂ＋ｃ３≥ａｂｃ３!，所以当ａ＝ｂ＝ｃ时，ａｂｃ有最大值，此时ｖＢ＝ｇｌａｂｃ!有最大值．由２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ解得ｓｉｎθ＝３!３，则θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３．将ｓｉｎθ＝３!３代入③式得ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．此时Ａ受墙壁的水平作用力减小到零，刚好脱离竖直墙壁．故当θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３时，Ａ刚好脱离竖直墙壁，此时ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．小结运用机械能守恒定律，应注意研究对象的选取和定律守恒的条件．本题中Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，整个系统机械能守恒，但是系统的某一部分的机械能并不守恒．意识到Ａ、Ｂ组成的系统机械能守恒并找出Ａ、Ｂ之间的速度关系是解本题的关键．三、轻弹簧连接模型求解此类问题的关键在于分析物体的运动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化关系．由两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同的速度，弹簧处于自然长度时弹性势能最小（为零）等隐含条件．例５如图６所示，质量为ｍ１的物体Ａ经一轻质弹簧与其正下方地面上的质量为ｍ２的物体Ｂ相连，弹簧的劲度系数为ｋ，Ａ、Ｂ都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体Ａ，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，Ａ上方的一段绳沿竖直方向．在挂钩上挂一质量为ｍ３的物体Ｃ并从静止状态释放，已知它恰好能使Ｂ离开地面但不继续上升．若将Ｃ换成另一个质量为（ｍ１＋ｍ３）的物体Ｄ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次Ｂ刚离地面时Ｄ的速度的大小是多少？（重力加速度为ｇ）解析开始时，Ａ、Ｂ静止，设弹簧压缩量为ｘ１，有ｋｘ１＝ｍ１ｇ．①挂上Ｃ并释放后，Ｃ向下运动，Ａ向上运动．设Ｂ刚要离地时弹簧伸长量为ｘ２，有ｋｘ２＝ｍ２ｇ．②Ｂ不再上升，表示此时Ａ和Ｃ的速度为零，Ｃ已降到最低点．根据机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为$Ｅ＝ｍ３ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．③Ｃ换成Ｄ后，当Ｂ刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得１２（ｍ１＋ｍ３）ｖ２＋１２ｍ１ｖ２＝（ｍ１＋ｍ３）ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）－$Ｅ．④由③、④两式得１２（２ｍ１＋ｍ３）ｖ２＝ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．⑤由①、②、⑤三式得ｖ＝２ｍ１（ｍ１＋ｍ２）ｇ２（２ｍ１＋ｍ３）ｋ!．小结此题考查的知识点有胡克定律、共点力作用下物体的平衡、机械能守恒定律及其应用，其难点是系统弹性势能的增加量的计算和隐含条件（两种情况下弹簧弹性势能的增加量相等）的挖掘．四、轻盘连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间角速度和线速度的关系．例６如图７所示，半径为ｒ、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，◎高考题库◎５２圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴Ｏ，在盘的最右边固定一个质量为ｍ的小球Ａ，在Ｏ点的正下方离Ｏ点ｒ２处固定一个质量也为ｍ的小球Ｂ．放开盘，让其自由转动，求：（１）Ａ转到最低点时的线速度是多少？（２）在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度是多少？解析（１）该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．设Ａ球转到最低点时的线速度为ｖＡ，此时Ｂ球的线速度为ｖＢ，则根据机械能守恒定律可得ｍｇｒ－ｍｇ·１２ｒ＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．由圆周运动的知识可知ｖＡ＝２ｖＢ．由上述两式可求得ｖＡ＝２５５ｇｒ!．设在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度为θ（如图８所示），则由机械能守恒定律可得３２ｍｇｒ＝ｍｇｒ（１－ｃｏｓθ）＋ｍｇｒ（１＋１２ｓｉｎθ），易求得θ＝ａｒｃｓｉｎ３５．五、轻支架连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系和重力势能为零的位置的选择．例７如图９所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在Ａ处固定质量为２ｍ的小球，Ｂ处固定质量为ｍ的小球，支架悬挂在Ｏ点，可绕过Ｏ点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时ＯＢ与水平面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是Ａ．Ａ球到达最低点时速度为零Ｂ．Ａ球机械能减少量等于Ｂ球机械能增加量Ｃ．Ｂ球向左摆动所能达到的最高位置应高于Ａ球开始运动时的高度Ｄ．当支架从左向右回摆时，Ａ球一定能回到起始高度解析对三角支架和Ａ、Ｂ球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律．支架向左摆动时，Ａ球的机械能减少，Ｂ球的机械能增加．根据机械能守恒定律可知Ｂ、Ｄ正确．设三角支架的边长为ｌ，当Ａ球摆到最低点时，Ｂ球向左到达Ａ球开始运动时的高度．因摆动中Ａ、Ｂ两球角速度ω相同，由ｖ＝ωｒ可知，Ａ、Ｂ两球的线速度大小也相同，设为ｖ．由机械能守恒定律得２ｍｇｌｃｏｓ６０°－ｍｇｌｃｏｓ６０°＝１２×２ｍ×ｖ２＋１２ｍｖ２，解得ｖ＝ｇｌ３!≠０．由于Ｂ球到达Ａ球开始运动时的高度时，Ａ、Ｂ两球都有一定的速度ｖ，两球还要继续向左摆动，使Ｂ球所能达到的最高位置高于Ａ球开始运动时的高度，所以选项Ａ错，选项Ｃ对．选Ｂ、Ｃ、Ｄ．小结对系统的机械能守恒，可依照题目采用适当的守恒形式．本题判断Ｂ、Ｄ选项采用的是“系统一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量”形式，即!ＥＡ＝!ＥＢ；在判断Ａ、Ｃ选项时，又采用了“系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量”形式，即!Ｅｋ＝!Ｅｐ．一般在初、末态总机械能不易简单写出，而机械能的增加或减少部分又较明显时，利用!ＥＡ＝!ＥＢ或!Ｅｋ＝!Ｅｐ求解会更简便些．从上面各例可以看出，在用机械能守恒定律解连接体问题时，要注意下面几个问题：１．准确地选取系统．应用机械能守恒定律必须准确地选择系统．系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒．当研究一个问题涉及到的不是一个物体而是两个或两个以上的物体时，应具有整体意识，将不同的物体组成系统，这样往往会化繁为简、化难为易．２．选取具体的物理过程．在运用机械能守恒定律解题时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态．选取物理过程必须遵循两个基本原则：一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化．有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解．同时，要重视对物体运动过程的分析，把握守恒条件，明确哪些运动过程中系统机械能守恒．３．灵活选取机械能守恒定律的不同表达式来解题．在运用机械能守恒定律Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２时，必须选取零势面，而且在分析同一问题时只能选取同一零势面．在某些机械能守恒的问题中，运用Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２求解不太方便，而运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０则较为简单．运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０求解的一个特点是不必选取零势面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可．４．对相互关联的多个物体构成的连接体问题一定要搞清各物体速度之间的关系．（责任编校/冯宪ｘｙｘ１２１２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ）◎高考题库◎５３高中生·高考指导。

机械能守恒定律综合应用机械能守恒处理链条问题【例题1】如图8—53所示，光滑的水平桌面离地面高度为2L，在桌的边缘，一根长L的匀质软绳，一半搁在水平桌面上，另一半自然悬挂在桌面上，放手后，绳子开始下落，试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多大? 【变式1】如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？图5-5-9【变式2】如图5所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。

机械能守恒定律处理连接体问题【例题1】如图5－3－6所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中 ( )．A．M、m各自的机械能分别守恒B．M减少的机械能等于m增加的机械能C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M和m组成的系统机械能守恒【变式2】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )A．hB．1.5hC．2hD．2.5h【变式3】如图 4－4－5 所示，质量为 m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边定滑轮与质量为 M 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降 h(h 小于桌面的高度)的距离，木块仍在桌面上，则砝码的速度大小为多少？图5-5-15【变式4】如图5-5-15所示，一轻绳的两端各系一小球（可视为质点），质量分别为M和m（M>m），跨放在一个光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？（2）杆模型：①同一根杆上，转动的角速度w 相等，杆连接的物体没有外力作用时，物体与绳组成的系统机械能守恒，即动能和势能之和不变。

机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M 的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h ，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？练习1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M 和m 的长方形物块，且M>m ,开始时用手握住M ，使系统处于如图示状态。

求（1）当M 由静止释放下落h 高时的速度（2）如果M 下降h 刚好触地，那么m 上升的总高度是多少？2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。

一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。

开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B 上升。

物块A 与斜面间无摩擦。

设当A 沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。

求物块B 上升的最大高度H 。

3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m 1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m 2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。

例2.长为L 质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？练习1、如图所示，一粗细均匀的U 形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A 密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h ，U 形管中液柱总长为4h ，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M ，小桶与沙子的总质量为m ，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h 的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是 A ．绳拉车的力始终为mgB ．当M 远远大于m 时，才可以认为绳拉车的力为mgC ．小车获得的动能为mghD ．小车获得的动能为例题3.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L和L .开始时直角尺的A O 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；h匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。

专题跟踪检测（九） 巧用机械能守恒定律破解三类连接体问题一、选择题(第1～5题为单项选择题，第6～9题为多项选择题) 1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80 m ，体重60 kg ，参加学校运动会时成功地越过高1.90 m 的横杆，该同学跳起时的动能可能是下列哪个值(g 取10 m/s 2)( )A ．500 JB ．600 JC ．800 JD ．2 000 J解析：选C 该同学跳高过程可以视为竖直上抛运动，当重心达到横杆时速度恰好为零，该同学重心升高高度至少为：h ＝⎝⎛⎭⎪⎫1.90－1.802m ＝1.0 m ，根据机械能守恒定律可知，跳起时的动能：E k ＝mgh ＝60×10×1.0 J＝600 J ，因实际过程中可能存在阻力，则可知，只有动能大于600 J 时才能成功越过，但2 000 J 不符合实际，故只有C 正确，A 、B 、D 错误。

2.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m 的小球A ，若将小球A 从弹簧原长位置由静止释放，小球A 能够下降的最大高度为h 。

若将小球A 换为质量为2m 的小球B ，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B 下降h 时的速度为(已知重力加速度为g ，且不计空气阻力)( )A.2ghB.ghC.gh2D ．0解析：选B 质量为m 的小球A ，下降到最大高度h 时，速度为零，重力势能转化为弹簧弹性势能，即E p ＝mgh ，质量为2m 的小球下降h 时，根据功能关系有2mgh －E p ＝12×2mv 2，解得v ＝gh ，选项B 正确。

3.(2020·兴化市模拟)木板固定在墙角处，与水平面夹角为θ＝37°，木板上表面光滑，木板上开有一个孔洞，一根长为l 、质量为m 的软绳置于木板上，其上端刚好进入孔洞，用细线将质量为m 的物块与软绳连接，如图所示。