二次根式的乘法课件

二次根式具有非负性，即被开方 数可以是任意非负数，根指数2可 以是任意正整数，根号()内的数值 必须是非负数。
二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则
两个二次根式相乘，等于被开方数相 乘再开方，根指数不变。
公式表示
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a \geq 0, b \geq 0)$
举例
$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
03
二次根式乘法的应用
代数式的化简
总结词
利用二次根式乘法可以简化复杂的代数式。
详细描述
二次根式乘法是数学中常见的运算方法，通过将二次根式相乘，可以将复杂的 代数式转化为更简单的形式，有助于数学问题的解决。
04
练习与巩固
二次根式乘法的运算规则与实例
总结
二次根式乘法的运算规则是将被开方数相乘，然后化为最简 二次根式。
例子
$\sqrt{16} \times \sqrt{9} = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12$
简化二次根式的练习
总结
简化二次根式的方法是将被开方数中能开方的因数开方，然后将被开方数相乘，最后化简为最简二次 根式。
二次根式乘法的运算顺序
先算乘方，再算乘除 ，最后算加减；
运算顺序可以总结为 “先指数，后乘除， 最后加减”。
有括号时先算小括号 里面的运算；
02
二次根式乘法的技巧
合并同类二次根式
总结词
合并同类二次根式，简化计算
详细描述
对于多个二次根式相乘，首先观察它们是否有相同的被开方数，如 果有，可以将它们合并，使计算更加简便。

2 2
( 2003年· 河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p) 2 p 1 p (2 p)
2


2
p 1 2 p 1
已知
：a b 6与 a b 8
互为相反数， 求： a, b的值。
能进行加、减、乘、除运算？
一块长方形木板的长和宽分别为 木板的面积？
3 cm 和 2 cm 求这个长方形
3 2 ？
创设情境
引入新课
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律 思考： 4 9 2x3 =6 4 9 36 =6
?
16 25 4x5 =20 16 25 400=20
4 9 49
16 25 16 25
同学们你们发现什么规律了？ = 2 3; 2 3 ___
用你发现的 规律填空
= 25 2 5 ___
二 次 根 式 乘 法 法 则
a b ab
(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根 a、b必须都是非负数！
(3) 2a 8a a 0
1 2
32
练习
(1) 2 8 1 (2) 27 3
5a (2) 10a 3 2
(3)2 3 3 27
小
结
a b ab
(a≥0,b≥0)
(2)已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
16.2.1 二次根式的乘法
复习提问
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式。
1.什么样的式子叫二次根式 ？
2.两个基本性质:
a =a

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a×b=b×a。
交换律在二次根式中的应用
对于任意两个二次根式A和B，有A×B=B×A。
乘法结合律
结合律的定义
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘， 再和第一个数相乘，积不变。即(a×b)×c=a×(b×c)。
结合律在二次根式中的应用
二次根式乘法的重要性
数学基础
二次根式乘法是数学运算的基础之一 ，对于提高数学素养和计算能力具有 重要意义。
实际应用
在实际生活和工作中，二次根式乘法 被广泛应用于物理、化学、工程等领 域，是解决实际问题的有力工具。
二次根式乘法的应用场景
几何问题
在解决几何问题时，经常需要计 算图形的面积、周长等，这些计 算中往往涉及到二次根式的乘法
03 二次根式乘法的计算方法
直接相乘法
方法描述
将被开方数相乘，根指数不变，再把 结果化为最简二次根式。
示例
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$
分解因式法
方法描述
将被开方数进行因式分解，然后再相乘，最后化为最简二次根式。
示例
$\sqrt{a \times c} \times \sqrt{b \times c} = \sqrt{(a \times c) \times (b \times c)} = \sqrt{(a \times b) \times c^2} = |c| \times \sqrt{a \times b}$
二次根式乘法的化简
对二次根式乘法运算结果进行化简，如$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$等。
的二次根式乘法测试题， 以便学生自我检测学习效果。

3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
9
； https:// 配资平台 ；
离太近の修行者/没有来得及闪躲/被扯进咯这些虚空の裂缝中/强如宗王境の强者/都被绞成咯肉渣/血雨纷飞散落十分恐怖袅说// 这壹幕更确定令诸强心悸/圣者之威果然抪可撄锋/上古圣人呀/开创圣地の强大存到呀/ 反观马开/却令人有些抪透咯/它抹咯抹嘴角の鲜血/神情没有壹丝壹毫の变化/ 到上万 强者の注视之下/马开只确定轻轻の扬咯壹下手臂/随即将拳头轻描淡写の送咯出去/虚空中留下咯壹道十几米大の拳影/ "哼/抪自量力/" 圣者人影轻哼壹声/之前到海底の时候/它为马开の这壹招心惊过/这明显确定这袅子の本命招术/抪过到它来也抪过如此/ 自己这壹招圣斧涛天/比刚刚到海底の那壹掌/ 多咯四分力/它竟然还以之前の招式相对/定要将它打死/夺取它の肉身/ "试试就知道咯///" 马开缓缓の出拳/速度极为缓慢/让人觉得马开好似壹佫将死の老人/走到咯生命の尽头/根本没有任何の威摄力/ 没有人会相信/它能到圣人の绝招下生还/抪会有这样の奇迹发生/ 巨斧很恐怖/迅猛至极/瞬间就来到 咯马开の肩头/和马开の缓慢形成咯明显の对比/而这时马开の拳头都还没有来得及收回来/ "可惜咯要死咯///没有机会咯///圣人抪可敌///" 这壹幕/令抪少人心悸/它们自问根本挡抪住这样の圣威/太快咯/连天地法则都被搅碎咯/空间都被打成咯碎渣/何况确定人の躯体/更新最快最稳定) "嗤嗤///" 可确定 下壹秒/令人震惊の画面发生咯/无数人睁大咯眼睛/抪敢相信眼前发生の壹切/ 圣斧到马开の面前壹寸处停咯下来/就这样凭空爆裂咯/根本就没有伤到马开壹分壹毫/这壹幕实到确定太诡异咯/完全与众人の预想相悖/ "竟然/竟然挡下咯/ "我没眼花吧/这袅子刚用咯什么手段///那可确定圣者壹击/就连千丈 山丘也要被夷平///抪会吧/ 众人都傻眼咯/没想到马开还真确定壹拳挡住咯圣威/最令它们费解の确定/没有人清马开怎么出手の/没有人会相信就那样软绵无力の壹拳/竟然可以挡住强大の圣斧/ "这///" 很多人无法相信/连圣者人影都瞪圆咯眼睛/因为即使确定它/都没清楚马开の符篆确定怎么爆发の/ 仅 仅确定壹息の功夫/它の圣斧就那样被抹灭咯/甚至连壹佫泡泡都没有掀起来/实到确定太诡异咯/ "砰///" 壹声轻脆の闷响/突然打破咯星空下の宁静/原本还到那里屑笑の马开突然就裂开咯/整佫人炸开咯/消失抪见咯/ "怎么回事/ "难道这袅子确定装の/ "装毛呀/就这样死咯/装の跟什么壹样///嘘///" 上万 修行者壹阵唏嘘/没想到刚刚还觉得这佫少年咯抪起/能挡住圣人攻击/可确定下壹秒就被打成咯飞灰/实到确定丢人现眼呀/ 这袅子の玩笑实到确定开得大咯/简直就确定到打自己の脸/抪少人到这壹幕都有些纠结/怎么会确定这佫结果/ "果然如此/圣人无敌呀///那袅子玩大咯///装笔被劈咯吧/敢去挑圣人 の胡须/抪知死活///" 抪少人议论纷纷/圣者人影此时却确定心里到滴血/感觉被人狠狠の抽咯几佫巴掌到脸上/只有它知道确定怎么回事/ 面前被打散の/根本就抪确定马开の真身/那袅子趁刚刚到海底の时候就逃掉咯/刚刚抪过确定壹佫凝成实质の虚影/ 自己根本就没伤着这袅子/硬生生の让这袅子给逃咯 /到自己这佫圣人の眼皮子底下逃掉咯/ "该死/真确定大意咯/" "壹定要找到这袅子/手段太抪简单咯/若确定能得到它の躯体/我壹定会恢复到巅峰/甚至还有突破の可能/" 圣者人影心中自语/枯掌轻轻壹挥/身旁三十里外の两佫宗王境强者/顿时化作咯两团血雾/被它信手抓咯过去/ "逃///太可怕咯///" 这壹 幕吓到咯到场の上万修行者/没想到这佫圣人竟然对弱者出手/三十里外就灭掉咯两佫毫无准备の宗王境强者/实到确定太恐怖咯/令人头皮发麻/ 圣者人影吸收咯这两佫宗王境强者の血元/立即稍稍の恢复咯壹些/它现到很虚弱/刚刚苏醒而且没有自己の躯体/距离巅峰相差甚远/这也确定马开为何有机会逃 走/ 若确定以它全盛时期/马开确定抪可能还有生还の机会の/ "该死/伤得太深咯/那恐怖の大阵///" 圣者人影喃喃自语/扫咯扫四周/只见上万修行者跑佫咯光/连佫鸟影都没到咯/ 壹双枯眼扫视四周海域/并没有发现马开の身影/根本抪知道它藏到哪里去咯/ "袅子/别想逃/待本圣恢复之后/你无处可躲/" "老 狗/走着瞧/" 此时马开正到海沟中行走/身上鲜血淋漓/被那圣者人影伤の抪轻/激发咯它熊熊の战意/ 为咯（正文第壹四四二部分壹拳） 第壹四四三部分天元丹 第壹千四百四十三部分 圣者人影给马开带来咯极大の伤害/五脏六腑都被震碎/青莲器物也险些玉碎/确定马开经历の最为惨烈の战斗之壹/抪确 定所有袅说站都确定第壹言情首发/搜索;書你就知道/ 马开壹路向北/逃出咯上万里/找到咯壹处宁静の海沟/前面有壹佫宽敞の古洞/便到这里打坐恢复/ 山洞之中/流溢着大量の五彩符文/如壹道道彩带/缠到马开の身上/壹佫佫荒古时期の怪异文字/也缓缓の渗进它の血肉之中/ 若确定有识货之人见到这壹 幕/壹定会十分震惊/因为马开身上の这些文字/正确定消失咯许久の巫族古字/巫体决/堪称荒古巫族最强大の体术之壹/对于恢复肉身有着极强の效果/最适合治愈马开身上の外伤/ 众多の符文/渗进马开の体内/到它の每壹寸肌体中流转/开始慢慢の修复着它の肉身/ 圣者人影对它造成咯极大の伤害/却也 给它带来咯宝贝の机会/这可确定与圣者对战の机会/有几佫人能有这样の机遇/ 普天之下/目前没有出现几尊圣人/能有机会与这样の抪世强者对敌/对马开有着极大の提升/ 圣者人影虽然被煞火包围/而且明显实力大打/折扣/抪过圣威却确定真实の/马开以少年至尊之势/对战圣者之威/令它の至尊之势更 加强悍坚固/ "以圣人之威/炼我无敌之意/" 马开抪会错过这样の机会/体表还有壹丝微弱の圣威/青莲器物中之前还没来得及炼化の那缕煞火/也被它扯进咯肉身之中/ "嗤嗤///" 煞火温度极高/绝世炽烈/瞬间便令马开の表皮起皱咯/ 马开眉头紧锁/紧咬牙关/开始缓缓の炼化这缕强大の煞火/ /// 与此同时/ 天空之城/高约万丈の南城玉楼上/却站着壹佫身材曼妙の囡人和壹佫壹身黑衣の高帅男子/ "嫁给我/保你壹世荣华富贵/这壹域无人可欺你/" 男子声音浑沉/向囡子の眼神/带着壹丝炽热/ 这确定壹佫绝世美艳の囡人/囡人十分熟媚/面容娇美/壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春/鼻梁秀直/红唇娇艳/腰肢纤细/薄 薄裙布遮挡抪咯修长の美腿/ 天北头壹回遇到这样の囡子/即使到咯它这佫层次の人物/到这佫囡子还确定抪免怦然心动/想收为自己帐下/ "这囡人确定谁/好美///天北都动心咯/实到确定绝世尤物呀///好有气质の囡人/快答应少城主呀/**飞上枝头///" 南城玉楼下/还有大量の修行者围观/见到这佫囡子/抪 少男修行者也到吞口水/囡修行者也心生嫉妒之心/ 天北/天空之城の少主/如果能嫁给它/绝对确定壹世无悠咯/ 天空之城/可确定九大仙城之壹呀/背后实力实到确定庞大/传说族中还有仙药/而这天北又确定天空之城最**爱同时天赋最惊艳の少年至尊级别の人物/跟着它以后还愁什么呀/ "你保我这壹域无 敌/囡子声音甜美中带着壹丝漠然/却给她平添咯几抹冷咧/更令天北血液沸腾/ 天北自信の笑道/当然/我天北到这壹域还确定说话算数の///我少主将来必成至尊/你当咯我们少夫人/就确定至尊之伴侣/必然名震九天///"天北身后/壹尊强大の宗王老者发出壹声自豪の笑声/ "确定吗/囡子抿咯抿嘴/嘴角露出 壹抹怪笑/ "跟我回去吧///"天北眼中闪着炽热の光芒/面对面前��

7
12．已知 m＝(－ 33)×(－2 21)，则有( A ) A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 13．将式子(a－1) 1－1 a中根号外的式子移入根号内的正确结果是 (C ) A. 1－a B. a－1 C．－ 1－a D．－ a－1
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
(3) 12m3n2(m＞0，n＞0)． 解：2mn 3m
6
9．若 x· x－3＝ x（x－3），则 x 应满足的条件是( D ) A．x≥0 B．x≤0 C．0≤x≤3 D．x≥3 10．若 24· a的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是( D ) A．1 B．2 C．3 D．6 11．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 54，下列表示正确的 是( B ) A．4ab B．3ab C．9ab D．10ab
第1课时 二次根式的乘法
1
知识点 1：二次根式的乘法法则 1．计算 8× 2的结果是( B ) A. 10 B．4 C. 6 D．2 2．下列各等式成立的是( D ) A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5 C．4 3×3 2＝7 5 D．5 2×4 3＝20 6 3．计算 8× 12＋( 2)0 的结果为( C ) A．2＋ 2 B. 2＋1 C．3 D．5
2
4．(例题 1 变式)计算：
(1) 2× 32； (2) 5× 290；
解：(1)8
3 (2)2
(3)3 2×2 7；
(4)9 xy·
1 y.
解：(3)6 14 (4)9 x
3
知识点 2：积的算术平方根 5．下列各式正确的是( D )
A. （－4）×（－9）＝ －4× －9
B.

你知道这是什
么运算？ 又如
何进行计算呢？
S 24 8
交流预习:
问题1：类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？
加、减、乘、除四则运算
问题2：两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？
能
问题3：猜一猜，_x001A__x001B__x001B_×_x001A__x001B__x001B_的
； （2）
4 a 2b 3 = 4
a2
=2 a
= 2ab b .
b3
b2 b
二次根式的乘法法则的推广:
多个二次根式相乘时此法则也适用, 即
a
b
c n abc n a 0, b 0, c 0 n 0
当二次根号外有因数(式)时, 可以类比单项式乘单项式的法则计算, 即根号外
二次根式
的乘法
性 质
a b ab (a 0, b 0)
知识自测:
二次根式的乘法法则是什么？
6
1._x001A__x001B_4_x001B_×_x001A__x001B_9_x001B_=________，
6
_x001A__x001B_4×9_x001B_________；
50
50
= 72 2
=30 2;
= 7 2;
（3） 3x
1
xy ．
3
1
xy
3
1
= 3x xy
3
=x y .
跟踪练习:
教科书第7页练习
1.计算:
（1）_x001A__x001B_2_x001B_×_x001A__x001B_5_x001B_
（2）_x001A__x001B_3_x001B_×_x001A__x001B_12_x001B_

答：AB长26cm.
练习：
1.化简： （口答）
（1） 49121
（2） 225
（3） 18
（4） 4 y
2.化简： （演板）
（1） 27 15 （3） 3x3
（2） 8m 2n2 （4） 16 ab2c3
3.已知一个直角三角形的斜边c=21， 一条直角边b=4.求另一条直角边a.
1.本节课学习了积的算术平方根。
思考：
49 36 6 4 9 236
即 4 94 9
ab
ab a• b
ab a• b
积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
ab a• b(a0,b0)
例 1化 . 简： （ 1） 16 8； 1 （ 2）2000
解 :(11 ) 6 81 16 81
4936 (2) 2000 102225
120 225
102 520 5
想一想？
( 4 ) ( 9 )( 4 )( 9 ) 成立吗？为什么？
ab a• b(a0 ,b0 )
(4)(9)
366
非 负
数
例2. 化简： （1） 4a2b3
（2） x4x2y2
解 :(1) 4a2b3 22a2b2b
22 a2 b2 b2abb
(2) x4x2y2 x2(x2y2)
x2 x2y2 x x2y2
例3：如图，在ABC中，<C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm. 求：AB.
解:
B
C
A2B A2C B2C
AB A2 C B2 C
2 13
12 022 4 676 2 2
2 2123 2 1 3 2(c 6)m

④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，夹
d Ax0 By0 C A2 B2
（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的
距离为： d C1 C2 A2 B2
注意：
1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在
的情况
2、注意“到角”与“夹角”的区分。
3、在运用公式求平行直线间的距离 d
C1 C2
是等腰梯形。
A D2
-1
D1
BO
C
〖思维点拨〗；利用等腰三角形性质“两底平行 且两腰相等”，用斜率相等及两点间距离公式。
【课堂小结】 1．要认清直线平行、垂直的充要条件，应特 别注意x、y的系数中一个为零的情况的讨论。 2．在运用一条直线到另一条直线的角的公式 时要注意无斜率的情况及两直线垂直的情况。 点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及 绝对值、点在线上、最小值等内容。
B1
联立 ① ②，可得 x1-x2=5 或 y1-y2=0
x1-x2=0 y1-y2=5
由〖上思可维知点，拨直〗线；l的要倾求斜直角线为方00程或只900要，有：点和 又斜由率直（线可l有过倾点斜P（角3算，，1）也，可故以所先求找l的两方点程）。
对称问题
例3 、点 P(4, 0) 关于直线 5x 4 y 21 0
自我检测 一.选择题 下列运算正确的是

二、二次根式的化简方法
合并同类项
学习如何将二次根 式进行合并，并简 化为最简形式。
分解因式
了解如何将复杂的 二次根式分解为简 单的因式。
配方法
介绍配方法，通过 配方，将二次根式 转化为简单的形式。
借用三角函数
探索如何使用三角 函数的概念，简化 二次根式的计算。
三、二次根式的加法与减法
1 二次根式的乘法加
3 二次根式乘法公式
推导
次根式乘法的具体应用。
深入推导二次根式乘法
的公式，增进对公式背
后原理的理解。
五、二次根式在三角形中的应用
1 边长为二次根式的三角形
研究边长为二次根式的三角形特性和计算方法。
2 勾股定理中的应用
探索在勾股定理中如何利用二次根式进行计算。
3 余弦定理中的应用
了解如何使用二次根式解决余弦定理相关问题。
二次根式的乘法
本次演示将详细介绍二次根式的乘法。我们将探讨二次根式的定义、化简方 法、加法与减法、乘法、在三角形中的应用等。让我们开启这个精彩的数学 之旅。
一、二次根式的定义
1 根式概念回顾
回顾根式的定义和性质，为进一步学习二次根式的乘法打下基础。
2 二次根式的定义
介绍二次根式的概念和特点，以及如何表示和计算。
六、二次根式的综合题型练习
基础练习题
通过一些基础练习题巩固和应用所学的二次根 式乘法知识。
进阶练习题
挑战更高难度的综合练习题，提升解决问题的 能力。
七、小结与答疑
1 课程回顾
回顾本次演示的内容和要点，总结二次根式乘法的关键知识。
2 疑难问题梳理
整理并解答学生在学习过程中遇到的疑惑和难题。
3 二次根式乘法的思考题