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高中物理 必修2 圆周运动的运动学问题1、描述圆周运动的物理量描述圆周运动的基本参量有：半径、线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等。
（1）v =∆l∆t =2πr T =2πrf（2）ω=∆θ∆t =2πT（3）T =1f =2πr v3、圆周运动中的运动学分析 （1）对公式v =ωr 的理解当r 一定时，v 与ω成正比；当ω一定时，v 与r 成正比；当v 一定时，ω与r 成反比。
（2）对a =v 2r=ω2r =ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比。
在分析传动装置中的各物理量时，要抓住不等量和想等量的关系，具体有： （1）同一转轴的轮上各点角速度ω相同，而线速度v=ωr 与半径r 成正比。
（2）当皮带（或链条、齿轮）不打滑时，传动皮带上各点以及用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，而角速度ω=vr 与半径r 成反比。
（3）齿轮传动时，两轮的齿数与半径成正比，角速度与齿数成反比。
1、如图所示装置中，A、B、C三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比，周期之比，转速之比，频率之比。
答案：①2:1:2:4；②2:1:1：1；③4：1:2:4；④1:2:2:2；⑤2:1:1:1；⑥2:1:1:12、一个环绕中心线AB以一定的角速度转动，P、Q为环上两点，位置如图所示，下列说法正确的是（A）A．P、Q两点的角速度相等B．P、Q两点的线速度相等C．P、Q两点的角速度之比为3∶1D．P、Q两点的线速度之比为3∶13、自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径R B＝4R A、R C＝8R A，如图所示．正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比a A∶a B∶a C等于（C）A．1∶1∶8 B．4∶1∶4C．4∶1∶32 D．1∶2∶44、如图所示，传动轮A、B、C的半径之比为2︰1︰2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。
高一物理必修第二册第六章圆周运动同步提升综合测试卷含答案解析如图所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为1.25mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部的压力为0.75mg 。
求A 、B 两球落地点间的距离。
【答案】2R【详解】两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力对A 球，由牛顿第二定律得21.25A v mg mg m R +=得A v =同理对B 球：20.75B v mg mg m R -=得B v =两球离开轨道后均做平抛运动，设落地时间为t ，则2122R gt = 得t =A 、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差对A 球：A A s v t =解得3A s R =对B 球：B B s v t =解得B s R =所以A 、B 两球落地点间的距离2A B s s R -=82．如图所示，把一个质量1kg m =的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A 、B 两个固定点相连接，绳a 、b 长都是1m ， AB 长度是1.6m ，直杆和球旋转的角速度等于多少时， b 绳上才有张力？（210m/s g =）【答案】 3.5rad s ω>【解析】已知a 、b 绳长均为1m ，b 绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg 与a 绳拉力Ta F 的合力F 提供向心力，其受力分析如图所示由图可知1m AC BC ==，10.8m 2AD AB == 故在ADC ∆中0.8cos 0.81AD AC θ===，解得sin 0.6θ=，即37θ≈︒由图可知小球做圆周运动的轨道半径为sin 10.6m 0.6m r DC AC θ===⨯= 根据牛顿第二定律得：2tan F mg m r θω==解得：35rad/s ω===≈． 当直杆和球的角速度 3.5rad/s ω>时，b 中才有张力．83．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R =0.3m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O 等高处固定一光滑直杆。
一、选择题1．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为15，盘面上离转轴距离为1m r =处有一质量1kg m =的小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为6.6N 。
若重力加速度g 取l0m/s 2，sin150.26=，则下列说法正确的是（ ）A ．小物体做匀速圆周运动线速度的大小为2m/sB ．小物体受到合力的大小始终为4NC ．小物体在最高点受到摩擦力大小为0.4N ，方向沿盘面指向转轴D ．小物体在最高点受到摩擦力大小为1.4N ，方向沿盘面背离转轴2．如图所示，一个小球在F 作用下以速率v 做匀速圆周运动，若从某时刻起，小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿a 、b 、c 三种轨迹运动的原因，下列说法正确的是（ ）A ．沿a 轨迹运动，可能是F 减小了一些B ．沿b 轨迹运动，一定是v 增大了C ．沿b 轨迹运动，可能是F 减小了D ．沿c 轨迹运动，一定是v 减小了3．如图所示，竖直平面上的光滑圆形管道里有一个质量为m 可视为质点的小球，在管道内做圆周运动，管道的半径为R ，自身质量为3m ，重力加速度为g ，小球可看作是质点，管道的内外径差别可忽略。
已知当小球运动到最高点时，管道刚好能离开地面，则此时小球的速度为（ ）A．gR B．2gR C．3gR D．2gR4．一石英钟的秒针、分针和时针长度是2：2：1，它们的转动皆可以看做匀速转动，（）A．秒针、分针和时针转一圈的时间之比1：60：1440B．分针和时针针尖转动的线速度之比为12：1C．秒针和时针转动的角速度之比720：1D．分针和时针转动的向心加速度之比144：15．中学生常用的学习用具修正带的结构如图所示，包括上下盖座，大小齿轮，压嘴座等部件。
大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互吻合，a，b点分别位于大小齿轮的边缘。
c点在大齿轮的半径中点，当修正带被匀速拉动进行字迹修改时（）A．大小齿轮的转向相同B．a点的线速度比b点大C．b、c两点的角速度相同D．b点的向心加速度最大6．如图所示为某种水轮机示意图，水平管中流出的水流垂直冲击在水轮机上的挡板上，水轮机圆盘稳定转动时的角速度为 ，圆盘的半径为R，挡板长度远小于R，某时刻冲击挡板时该挡板和圆盘圆心连线与水平方向夹角为30°，水流的速度是该挡板线速度的4倍，不计空气阻力，则水从管口流出速度的大小为（）A ．/2R ωB ．R ωC ．2R ωD ．4R ω7．某活动中有个游戏节目，在水平地面上画一个大圆，甲、乙两位同学（图中用两个点表示）分别站在圆周上两个位置，两位置的连线为圆的一条直径，如图所示，随着哨声响起，他们同时开始按图示方向沿圆周追赶对方。
竖直平面内的圆周运动问题绳球模型和杆球模型一、单选题（本大题共5小题，共20.0分）1.如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环可视为质点，从大环的最高处由静止滑下。
重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )A. B. C. D.2.如图所示，轻杆的一端有一个小球m，另一端有光滑的固定转轴O．现给小球一初速度v，使小球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示小球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（）A. 一定是拉力B. 一定是支持力C. 一定等于0D. 可能是拉力,可能是支持力,也可能等于03.质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )A. 受到向心力为B. 受到的摩擦力为C. 受到的摩擦力为D. 受到的合力方向指向圆心4.如图所示，在竖直平面内有一“V”形槽，其底部BC是一段圆弧，两侧都与光滑斜槽相切，相切处B、C位于同一水平面上。
一小物体从右侧斜槽上距BC平面高度为2h的A处由静止开始下滑，经圆弧槽再滑上左侧斜槽，最高能到达距BC所在水平面高度为h的D处，接着小物体再向下滑回，若不考虑空气阻力，则( )A. 小物体恰好滑回到B处时速度为零B. 小物体尚未滑回到B处时速度已变为零C. 小物体能滑回到B处之上,但最高点要比D处低D. 小物体最终一定会停止在圆弧槽的最低点5.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。
如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。
现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。
00专题2ꢀ竖直面内的圆周运动题型1ꢀ竖直面内圆周运动过桥模型的应用1．[广东佛山一中2018高一下期中]实验室模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力．在较大的平整木板上相隔一定的距离两端各钉4个钉子，将三合板弯曲成拱桥形两端卡入钉内，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数，下列说法正确的是ꢀ(ꢀꢀDꢀ)A．玩具车静止在拱桥顶端时比运动经过顶端时的示数小一些B．玩具车运动通过拱桥顶端时对桥压力不可能为零C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小解析玩具车静止在拱桥顶端时对拱桥压力等于玩具车的重力，当玩具车以一定的速度通过拱桥顶端时，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得ꢀꢀ，解得ꢀꢀꢀ，所以玩具车运动通过拱桥顶端时电子秤示数比静止ꢀ通过拱桥顶端时，此时N＝0，故B错误．玩具车运动通过在拱桥顶端时的示数小，故A错误．当玩具车以ꢀ知，速度越大，支持力N越小，则示拱桥顶端时，加速度方向向下，处于失重状态，故C错误．根据ꢀ数越小，故D正确．2.ꢀ如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端系一个质量为m的小球，当汽车以某一不为零的速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L；当汽车以同一速率匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，1弹簧竖直且长度为L，下列说法正确的是(ꢀꢀ)ꢀB2A．L＝LꢀꢀꢀB．L>LꢀꢀC．Lꢀ<LꢀD．三种情况均有可能121ꢀ212ꢀ解析当汽车在水平地面上匀速行驶时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k.根据平衡条件得当汽车以同一速率匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得比较可得L＞L，故A、C、D错误，B正确．12题型2ꢀꢀ竖直面内圆周运动绳模型的应用3．(多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(ꢀCꢀD) A．小球在最高点时的向心力一定等于重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球在最高点的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，满足一定的条件时绳子的拉力可以为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝ꢀ，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D正确．4．[黑龙江哈尔滨第六中学2019高一下月考](多选)如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a ，下列判断正确的是(ꢀC ꢀD )A ．利用该装置可以得出重力加速度，且g ＝B ．绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标a 的位置不变解析当F ＝0时，v 2＝a ，则有ꢀꢀ，故A 错误；在最高点，根据牛顿第二定律得ꢀꢀ，绳长不变时，小球质量越小，斜率越大，故B 错误，ꢀ可知图线与纵轴的交点坐标a 的位置与质量无关，ꢀ，图线的斜率ꢀC 正确；根据ꢀꢀ故D 正确．题型3ꢀ竖直面内有约束的圆周运动杆模型的应用5．[河南商丘九校2018高一下期中]如图所示，长度为0.5ꢀm的轻质细杆OA，A端固定一质量为3ꢀkg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若小球通过最高点时的速度为2ꢀm/s，取g＝10ꢀm/s2，则此时轻杆OA受到小球的作用力为(ꢀꢀ)BA．6ꢀN的拉力ꢀꢀB．6ꢀN的压力C．54ꢀN的拉力ꢀꢀD．54N的压力解析小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，假设轻杆对小球的弹力方向向上为F，此时小球受N到的合力提供向心力，有ꢀꢀ说明轻杆对小球提供向上的支持力，根据牛顿第三定律可知，轻杆OA受到小球向下的压力，大小为6ꢀN，故选项B正确．ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ6．[黑龙江哈师大附中2019高一下月考]如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧管壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(ꢀꢀ)CA．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力B．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球通过最高点时的最小速度v min＝解析小球在水平线ab以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故A、B错误；小球在水平线ab以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；在最高点，由于外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用，故小球通过最高点时的最小速度为0，故D错误．7．(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球A，另一端固定在光滑的水平轴上，轻杆绕水平轴转动，使小球BCA在竖直面内做圆周运动，小球A在最高点的速度为v，下列叙述中正确的是(ꢀꢀ)A．v的极小值为B．v由零逐渐增大时，小球所需要的向心力也逐渐增大C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D．当v由ꢀ逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小解析小球在最高点的最小速度为零，此时重力大小等于杆的支持力，故A错误．在最高点，根据得，当v由零逐渐增大时，小球所需要的向心力也逐渐增大，故B正确．在最高点，当杆的作用力为零时，ꢀꢀꢀ，杆提供拉力，有ꢀꢀꢀ逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，故，当v由零逐渐增大到ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ时，杆对小球的C正确．当ꢀꢀꢀꢀꢀ时，杆提供支持力，有ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ弹力逐渐减小，反之当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，故D错误．1．[河北邢台一中2019高一下月考]甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为细绳)．乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆)．丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动．丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动．则下列说法正确的是(ꢁCꢁ)A．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是ꢁv＝B．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力解析甲、丙图中当重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg＝mꢁ，所以小球通过最高点的最小速度为v＝ꢁ，乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误．2．如图所示，长度均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.今使小球在竖直面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点的速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点的速率为2v时，每根绳的拉力大小为(ꢀꢀ)A解析当小球到达最高点的速率为v时，有ꢀꢀ；当小球到达最高点的速率为2v时，有ꢀ，所以两绳拉力的合力F＝3mg，由几何知识得ꢀꢀ，故A正确．3．(多选)如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上．小滑块运动过程中，物体始终保持静止，关于物体对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是(ꢀBꢀC)A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左B．滑块运动到B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右C．滑块运动到C点时，N＞(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力D．滑块运动到D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左解析小滑块在A点时，滑块对物体的作用力在竖直方向上，物体与滑块组成的系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，故A错误．小滑块在B点时，需要的向心力向右，所以物体对滑块有向右的支持力的作用，对物体受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，小滑块与物体之间没有作用力，则物体受力平衡，所以物体对地面的压力N＝Mg，故B正确．小滑块在C点时，滑块的向心力向上，所以滑块对物体的压力要大于滑块的重力，故物体受到的滑块的压力大于mg，则物体对地面的压力大于(M＋m)g，在水平方向上，小滑块与物体之间没有作用力，则物体与地面间无摩擦力，故C正确．小滑块在D点和B点的受力情况类似，由B点的分析可知，物体对地面的压力N＝Mg，故D错误．4．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点．如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则(ꢀꢀ)BDA．绳a对小球的拉力不变ꢀꢀꢀB．绳a对小球的拉力增大C．小球一定前后摆动ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀD．小球可能在竖直面内做圆周运动解析绳b被烧断前，小球在竖直方向的加速度为零，a绳中张力大小等于重力大小，在绳b被烧断瞬间，a绳中张力与重力的合力提供小球的向心力，而向心力竖直向上，绳a的张力大于重力，即张力突然增大，故A错误，B正确；小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳b被烧断后，若角速度ω较小，小球原来的速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直面内摆动，若角速度ω较大，小球原来的速度较大，小球可能在垂直于平面ABC的竖直面内做圆周运动，故C错误，D正确．5．[重庆巴蜀中学2019高一下月考](多选)一竖直放置的光滑圆形轨道连同底座总质量为M，放在水平地面上，如图所示，一质量为m的小球沿此轨道做圆周运动．A、C两点分别是轨道的最高点和最低点．轨道的B、D两点与圆心等高．在小球运动过程中，轨道始终静止，重力加速度为g.则关于轨道底座对地面的压力N的大小及地面对轨道底座的摩擦力方向，下列说法不正确的是(ꢀABꢀD)A．小球运动到A点时，N>Mg，摩擦力方向向左B．小球运动到B点时，N＝Mg＋mg，摩擦力方向向右C．小球运动到C点时，N>Mg＋mg，地面对轨道底座无摩擦力D．小球运动到D点时，N＝Mg，摩擦力方向向右解析小球在A 点时，若v ＝ꢀ，则轨道对小球的作用力为零，有N ＝Mg ；若v>，则轨道对小球有向下的弹力，所以小球对轨道有向上的弹力，有N ＜Mg ；若v<ꢀꢀ，则轨道对小球有向上的弹力，所以小球对轨道有向下的弹力，有N ＞Mg.在这三种情况下，轨道底座在水平方向上均没有运动趋势，不受摩擦力，故A 错误．小球在B 点时，根据ꢀ故B 错误．小球运动到C 点时，根据ꢀ压力大小大于mg ，则底座对地面的压力N ＞mg ＋Mg ，底座在水平方向上没有运动趋势，不受摩擦力，故C 正确．小球运动到D 点时，根据ꢀꢀꢀꢀꢀ，轨道对小球有向左的弹力，则小球对轨道有向右的弹力，轨道底座所受的摩擦力方向向左，压力N ＝Mg ，故D 错误．本题选错误的，故选A 、B 、D.知，轨道对小球有向右的弹力，则小球对轨道有向左的弹力，底座受到向右的摩擦力，压力N ＝Mg ，ꢀꢀ知，轨道对小球有向上的支持力，则小球对轨道有向下的压力，6．[黑龙江大庆实验中学2019高一下月考](多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示．则(ꢀꢀ)ꢀCDA．小球的质量为B．当地的重力加速度大小为C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等解析＝b，则有由题图乙知，小球在最高点时，若v＝0，则F＝mg＝a；若F＝0，则v2故A、B错误．当v＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v＝c时，杆对小222＝2b时，有ꢀꢀ球弹力方向向下，小球对杆的弹力方向向上，故C正确．vꢀꢀ解得F＝mg，即小球受到的弹2力与重力大小相等，故D正确．7.[湖北孝感高级中学2018高一上期末](多选)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时(ꢀꢀ)ACA．球B的速度大小为B．球A的速度大小为C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg解析球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝mꢀꢀ，解得v＝，故A正确；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝ꢀꢀ，故B错误；球B到最高点时，杆对球B恰好无作用力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝mꢀꢀꢀ，解得F＝1.5mg，转轴对杆的作用力大小等于小球对杆的作用力大小，即等于杆对小球的作用力大小，故C正确，D错误．8．[黑龙江哈尔滨第六中学2018高一下期中](多选)如图所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一质量为m的小球，现在最低点A点给小球一水平向右的初速度，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球在运动过程中始终受到一竖直向上的恒力F作用，不计一切阻力．下列说法正确的是(ꢀꢀ)A CA．若F＝mg，则小球做的是匀速圆周运动B．若F<mg，则小球在最高点B点的最小速度为C．若F<mg，则小球在最高点B点的最小速度为D．若F>mg，则小球在最高点B点的最小速度为解析当F＝mg时，恒力F和重力平衡，绳对球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，故小球在绳的作用力下做匀速圆周运动，故A正确；若F＜mg时，F和mg的合力mg－F为等效重力，等效重力加速度ꢀꢀ此时球能过最高点时的临界速度ꢀꢀ故B错误，C正确；当F＞mg时，小球的等效重力为F－mg，此时等效重力方向竖直向上，故最高点B在等效重力方向为等效最低点，所以小球在B点的最小速度为ꢀꢀꢀ故D错误．9．[吉林延边敦化中学2018期末]如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，这被称为“魔力陀螺”．它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点．质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝ꢀ通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.(1)求质点的质量；(2)若磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B点的最大速率．答案与解析(1)质点在最高点A点时，根据牛顿第二定律有ꢀ(2)质点在最低点B点时，根据牛顿第二定律有ꢀꢀꢀ根据牛顿第三定律有F＝F′＝7mg，联立得A Aꢀ当F B＝0时，质点的速率最大，有ꢀꢀ联立得10．[河北冀州中学2019高一下月考]如图所示，一质量为m＝0.5ꢀkg的小球，用长为0.4ꢀm的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10ꢀꢀm/s2，则：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4ꢀm/s时，轻绳拉力为多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45ꢀN，小球的速度不能超过多大？答案与解析(1)小球在最高点，对小球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得ꢀꢀꢀ由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，F不可能取负值，即F≥0②，联立①②得ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ，代入数值得v≥2ꢀm/s，所以，小球要做完整的圆周1运动，在最高点的速度至少为2ꢀm/s.(2)将v2＝4ꢀm/s代入①得，F＝15ꢀN.(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得ꢀꢀꢀ将F′＝45ꢀN代入③得v3＝4m/s，即小球的速度不能超过4ꢀm/s.11．如图所示，轻杆长2l，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，两者一起在竖直面内绕O轴做圆周运动．(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力大小和方向；(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)小题中A球到达最高点时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和方向又如何？(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，则求出此时A、B球的速度大小．答案(1)4mg，方向竖直向下ꢀ(2)2mg，方向竖直向下ꢀ(3)见解析解析(1)A在最高点时，对A有ꢀ为4mg，方向竖直向下．对B有ꢀꢀ，可得TOB＝4mg，所以O轴所受力的大小(2)B在最高点时，假设杆对B的作用力竖直向下，则对B有ꢀ所以O轴所受力的大小为2mg，方向竖直向下．ꢀ，可得T′OA＝2mg，(3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量分析可知B球应在最高点且杆对B的作用力竖直向下．对B有ꢀꢀ，对A有ꢀꢀ若O轴不受力，则有T＝T，可得12。
解决竖直面内圆周运动临界问题的方法重/难点重点：解决竖直面内圆周运动临界问题的方法。
难点：解决竖直面内圆周运动临界问题的方法。
重/难点分析重点分析：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置——最高点和最低点。
难点分析：用极限法通过分析极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。
提供的向心力（沿半径方向的合力）等于需要的向心力（F供=F需）时，物体做圆周运动。
当F供>F需时物体做近心运动，当F供<F需时物体做离心运动，这是分析临界问题的关键。
突破策略竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。
（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即2mvmgr=临界。
上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界②能过最高点的条件：v≥v临界。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力2vN m mgr=-。
③不能过最高点的条件：v<v临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。
（2）如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0。
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0v<<2vN mg mr=-，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。
当v=时，N=0；当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力2vN m mgr=-，其大小随速度的增大而增大。
高中物理必修二第六章圆周运动经典大题例题单选题1、离心现象在生活中很常见，比如市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，车辆将转弯，请拉好扶手”。
这样做可以（）A．使乘客避免车辆转弯时可能向前倾倒发生危险B．使乘客避免车辆转弯时可能向后倾倒发生危险C．使乘客避免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒发生危险D．使乘客避免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒发生危险答案：D车辆转弯时，如果乘客不能拉好扶手，乘客将做离心运动，向外侧倾倒发生危险。
故选D。
2、如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道放在竖直平面内，AB连线为竖直直径，一小球以某一速度冲上轨道，运动到最高点B时对轨道的压力等于重力的2倍。
则小球落地点C到轨道入口A点的距离为（）A．2√3R B．3R C．√6R D．2R答案：A在最高点时，根据牛顿第二定律3mg=m v2 R通过B点后做平抛运动2R=12gt2x=vt 解得水平位移x=2√3R故选A。
3、已知某处弯道铁轨是一段圆弧，转弯半径为R，重力加速度为g，列车转弯过程中倾角（车厢底面与水平面夹角）为θ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度（轨道不受侧向挤压）为（）A．√gRsinθB．√gRcosθC．√gRtanθD．√gR答案：C受力分析如图所示当内外轨道不受侧向挤压时，列车受到的重力和轨道支持力的合力充当向心力，有F n=mg tan θ，F n=m v2R解得v=√gR tanθ故选C。
4、做匀速圆周运动的物体，它的加速度大小必定与（）A．线速度的平方成正比B．角速度的平方成正比C．运动半径成正比D．线速度和角速度的乘积成正比答案：DA．根据a=v2 r可知只有运动半径一定时，加速度大小才与线速度的平方成正比，A错误；B．根据a=ω2r可知只有运动半径一定时，加速度大小才与角速度的平方成正比，B错误；C．根据，a=ω2ra=v2r当线速度一定时，加速度大小与运动半径成反比；当角速度一定时，加速度大小与运动半径成正比，C错误；D．根据a=ω2r，v=ωr联立可得a=vω可知加速度大小与线速度和角速度的乘积成正比，D正确。
第六章圆周运动专题强化练3圆周运动的动力学问题一、选择题1.(2020广东深圳高级中学高三上测试,)转笔是一项深受广大中学生喜爱的休闲活动,其中也包含了许多的物理知识。
如图所示,假设某同学将笔套套在笔杆的一端,在转笔时让笔杆绕其手指上的某一点O在竖直平面内做匀速圆周运动,则下列叙述中正确的是( )A.笔套做圆周运动的向心力是由笔杆对它的摩擦力提供的B.笔杆上离O点越近的点,做圆周运动的向心加速度越大C.当笔杆快速转动时,笔套有可能被甩走D.由于匀速转动笔杆,笔套受到的摩擦力大小不变2.(2020天津静海一中高一上期末,)如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上,有一物体随圆筒一起转动且未相对滑动。
当圆筒以较大的角速度ω匀速旋转以后,下列说法正确的是( )A.物体受到4个力的作用,其中弹力增大,摩擦力也增大了B.物体受到4个力的作用,其中弹力增大,摩擦力减小了C.物体受到3个力的作用,其中弹力和摩擦力都减小了D.物体受到3个力的作用,其中弹力增大,摩擦力不变3.(2020河北鸡泽一中高一下测试,)(多选)质量均为m的小球A、B分别固定在一长为L的轻杆的中点和一端点,如图所示。
当轻杆绕另一端点O在光滑水平面上做角速度为ω的匀速圆周运动时,则( )A.处于中点的小球A的线速度为LωB.处于中点的小球A的加速度为Lω2C.处于端点的小球B所受的合外力为mω2LD.轻杆OA段中的拉力与AB段中的拉力之比为3∶24.(2020福建厦门六中高三上模拟,)如图所示,A、B、C三个物体放在水平旋转平台上随平台一起做匀速圆周运动,三个物体与旋转平台间的动摩擦因数均为μ,已知A的质量为2m,B、C的质量均为m,A、B离转轴的距离均为R,C距离转轴2R,以下说法正确的是( )A.若转速加快,A最先相对平台滑动B.若转速加快,C一定不会最先相对平台滑动C.若都没相对平台滑动,则向心加速度a A=a C>a BD.若都没相对平台滑动,则摩擦力f A=f C>f B5.(2020浙江东阳中学高三上月考,)如图所示,金属环M、N用不可伸长的细线连接,分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上,当整个装置以竖直杆为轴、以不同大小的角速度匀速转动时,两金属环一直相对杆不动,下列判断正确的是( )A.转动的角速度越大,细线中的拉力越大B.转动的角速度越大,环M与水平杆之间的弹力越大C.转动的角速度越大,环N与竖直杆之间的弹力越大D.转动的角速度不同,环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等二、非选择题6.(2020天津静海一中高一上期末,)如图所示,水平圆盘中心放一质量为M的物块,一根细绳一端连接物块,另一端绕过光滑的圆盘边缘后连接一个质量为m的小球,圆盘以角速度ω匀速转动时,小球随着一起转动,此时小球距圆盘中轴线的距离为r,物块恰好没有滑动,重力加速度大小为g。
6.4 专题：竖直面内的圆周运动及圆周运动的临界问题一、基础篇1.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。
已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)()A．1 rad/s B. 2 rad/sC. 3 rad/s D．3 rad/s解析：选B对A有μ1m A g≥m Aω2r，对A、B整体有(m A＋m B)ω2r≤μ2(m A＋m B)g，代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故B正确。
2.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A．绳的拉力可能为零B．桶对物块的弹力不可能为零C．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大D．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变解析：选D由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。
绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。
由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C 错误，D 正确。
3.如图所示，杂技演员在表演节目时，用细绳系着的盛水的杯子可以在竖直平面内做圆周运动，甚至当杯子运动到最高点时杯里的水也不会流出来。
下列说法中正确的是( )A ．在最高点时，水对杯底一定有压力B ．在最高点时，盛水杯子的速度可能为零C ．在最低点时，细绳对杯子的拉力充当向心力D ．在最低点时，杯和水受到的拉力大于重力解析：选D 水和杯子恰好能通过最高点时，在最高点细绳的拉力为零，由它们的重力提供向心力，它们的加速度为g ，此时水对杯底恰好没有压力。
教科版物理必修2 第二章第3节圆周运动的实例分析 1 火车、汽车拐弯的动力学问题（讲义）（1）对火车进行受力分析：火车受铁轨支持力N 的方向不再是竖直向上，而是斜向弯道的内侧，同时还有重力G 。
（2）支持力与重力的合力水平指向内侧圆心，成为使火车转弯所需的向心力。
【规律总结】转弯处要选择内外轨适当的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力N 来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。
3. 限定速度v分析：火车转弯时需要的向心力由火车重力和轨道对它的支持力的合力提供。
F 合=mgtanα=r vm 2① 由于轨道平面和水平面的夹角很小，可以近似地认为tanα≈sinα=h/d ②②代入①得：mg d h =r vm 2思考：在转弯处：（1）若列车行驶的速率等于规定速度，则两侧轨道是否受车轮对它的侧向压力。
（2）若列车行驶的速率大于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。
（3）若列车行驶的速率小于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。
二、汽车转弯中的动力学问题1. 水平路面上的转弯问题：摩擦力充当向心力umg=mv2/r。
由于摩擦力较小，故要求的速度较小，否则就会出现离心现象，发生侧滑，出现危险。
2. 实际的弯道都是外高内底，以限定速度转弯，受力如图。
Mgtanθ=Mv2/r v=θtanrg，侧向下摩擦力的水平分力补充当v >θtanrg不足的合外力；，侧向上摩擦力的水平分力抵消部v <θtanrg分过剩的合外力；，沿斜面方向的摩擦力为零，重力v =θrgtan和支持力的合力提供向心力。
例题1在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的最大速度为108 km/h。
汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.4倍。
（g取10 m/s2）（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？（2）如果高速公路上设计了圆弧拱桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？思路分析：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供。
习题课3竖直面内运动的两种模型和临界问题题型一竖直面内圆周运动的轻绳和轻杆模型轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝grv临＝0讨论分析(1)能过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，－F N＋mg＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心并随v的增大而增大(多选)如图所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力[解析] 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v ＝gl ，故C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D 正确。
[答案] CD(2021·哈尔滨六中高一期中)如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部的压力为0.75mg 。
求A 、B 两球落地点间的距离。
[解析] 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A 、B 两球落地点间的距离等于它们做平抛运动的水平位移之差。
一、选择题1．如图所示，水平桌面上放了一个小型的模拟摩天轮模型，将一个小物块置于该模型上某个吊篮内，随模型一起在竖直平面内沿顺时针匀速转动，二者在转动过程中保持相对静止（ ）A ．物块在d 处受到吊篮的作用力一定指向圆心B ．整个运动过程中桌面对模拟摩天轮模型的摩擦力始终为零C ．物块在a 处可能处于完全失重状态D ．物块在b 处的摩擦力可能为零C 解析：CAD ．物体在b 、d 处受到重力、支持力、指向圆心的摩擦力，则吊篮对物体的作用不指向圆心，故AD 错误；B ．在d 处对摩天轮受力分析，有重力、地面的支持力、物体对吊篮水平向左的摩擦力，摩天轮要保持平衡，则需要受到地面的摩擦力，故B 错误；C ． a 处对物体受力分析，由重力和支持力的合力提供向心力，有2+=vG F m R支2v F F G m R==-压支则当gR v =时0F =压故C 正确。
故选C 。
2．如图所示，竖直平面上的光滑圆形管道里有一个质量为m 可视为质点的小球，在管道内做圆周运动，管道的半径为R ，自身质量为3m ，重力加速度为g ，小球可看作是质点，管道的内外径差别可忽略。
已知当小球运动到最高点时，管道刚好能离开地面，则此时小球的速度为（ ）A gRB 2gRC 3gRD ．2gR D解析：D小球运动到最高点时，管道刚好要离开地面，说明此时小球对管道的作用力竖直向上，大小为3N F mg =根据牛顿第三定律可知，管道对小球作用力方向竖直向下，大小为F N ，则由牛顿第二定律得2N v F mg m R+=解得2v gR =故选D 。
3．一石英钟的秒针、分针和时针长度是2：2：1，它们的转动皆可以看做匀速转动，（ ）A ．秒针、分针和时针转一圈的时间之比1：60：1440B ．分针和时针针尖转动的线速度之比为12：1C ．秒针和时针转动的角速度之比720：1D ．分针和时针转动的向心加速度之比144：1C 解析：CA ．秒针、分针和时针转一圈的时间分别为1分钟、1小时、12小时，所以::1:60:720T T T =秒分时故A 错误； B ．由2rv Tπ=结合，秒针、分针和时针长度是2：2：1，知分针和时针针尖转动的线速度之比为:24:1v v =分时故B 错误； C ．由2w Tπ=得秒针和时针转动的角速度之比::720:12:1w w w =秒分时故C 正确； D ．由2a rw =::720:12:1w w w =秒分时结合，秒针、分针和时针长度是2：2：1，知分针和时针转动的向心加速度之比:288:1a a =分时故D 错误。
