第五篇球03-2020年高考数学选填题专项测试(文理通用)(解析版)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（5分）（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．（5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A ．B．2+C ．﹣2D．2﹣6．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（5分）执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E 两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．（5分）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．（5分）已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A ．B ．C．1D ．12．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（新课标卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效。

．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===I 则P 的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。

显然P={}3,1，子集数为22=4 故选B（2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。

解法一：直接法512ii =-()()()i i i i i +-=+-+22121215，故选C 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。

（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2xy -=解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。

(4).椭圆221168x y +=的离心率为A.13 B. 12C. 33D. 22解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422==a c ,故选D 。

2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

绝密★启用前 考试时间：2020年7月7日15:00-17:002020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理科)试题 (解析版)试卷总分150分， 考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,。

2020高考数学选填题专项测试03（抛物线）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·广西蒙山中学高三）抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,0D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0），即有p=2，即可得到焦点坐标为()1,0. 【详解】抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0），则抛物线y 2=4x 的2p=4，解得 p=2，则焦点坐标为（1，0），故选C【点睛】本题考查抛物线的方程和性质, 抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0）.是基础题. 2.（2020·荆门市龙泉中学高三）抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A ．1x 4=-B ．x 1=-C ．1y 4=-D ．y 1=-【答案】D 【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a 的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y 轴上，直线10x y +-=与y 轴交点为()0,1，故111,44a a ==，即抛物线的方程为24x y =，故准线方程为1y =-，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.3．（2020·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知双曲线()222103y x t t -=>的一个焦点与抛物线218y x =的焦点重合，则实数t 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D 2【答案】A 【解析】【分析】计算抛物线的焦点为()0,2，得到234t +=，解得答案. 【详解】抛物线218y x =，即28x y =的焦点为()0,2.故234t +=，故1t =.故答案为：1. 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点问题，意在考查学生对于双曲线和抛物线的理解.4．（2020·北京高三）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =（ ）A ．22±B ．-42C ．42±D ．2【答案】C 【解析】【分析】先求出抛物线22y px =的准线方程，然后根据点()4,A m 到准线的距离为6，列出462p+=，直接求出结果.【详解】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =.∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，∴2244m =⨯⨯，∴42m =±2±【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.5．（2020·河南高三）已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（），则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k =+，所以41612λ=-=-故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

10 5
【点睛】
本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对于几何概型及其概率的计算中，注意几何度量，可以
是线段的长度、面积、体积等，而这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关,着重考查 了分析问题和解答问题的能力. 6．某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点 M、N 分别对应正视图上的点 A，B，若在 此正三棱柱侧面上，M 经过三个侧面到达 N 的最短距离为 6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值 时，它的高为（ ）
a2 4
b2 36
1．
∴1 a2 b2 2 a2 b2 ab ，
4 36
4 36 6
即 ab≤6，当且仅当 a2 b2 1 ，即 b 3 2 时， 4 36 2
三棱柱侧面积有最大值 S＝3ab＝18． 故选：C． 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求 法，是中档题．
A． 2
B．2
C．3 2
D．4
【答案】C 【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体正三棱柱，设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，由已知求得 a2 b2 1．再 4 36
由基本不等式求最值得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体正三棱柱如图，
设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，
则
9a2
b2
6 ，即
7．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：(1) f x 1 2 f x , (2)当 x 0, 2, f x x 2 x 1 ，
则有
A．
f
3 2
f
1
f
1
B．
f
1
f
3 2
f

（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ， 根据三角形全等条件“ AAS ”， 可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试

C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．

2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）06数列02第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·广东高三期末）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为（ ）A ．36B ．32C ．28D ．24【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出． 【详解】16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．2．（2020·陕西高三）设数列{a n }是正项等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则公比q =( )A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】C 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】由a 2a 4=1，S 3=7，可知公比q ≠1，则()241311171a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，联立方程可得，q =12或a =﹣13 (舍)，【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．（2020·福建高三模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则10S 的值为（ ）A ．－110B ．－90C ．90D ．110【答案】D 【解析】【分析】根据等比中项的定义得2739a a a =，结合公差可求出首项，从而可得答案．【详解】∵7a 是3a 与9a 的等比中项，∴2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，∴2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，∴20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-，∴1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等比中项的应用，属于基础题．4．（2020·定远县育才学校高三）在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质得出181n a a =，结合182n a a +=，得出1a 和n a 的值，并设等比数列{}n a 的公比为q ，由11211n n a a qS q-==-，求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出n 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =.若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =， 121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--，解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =；若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，选：B.【点睛】本题考查等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前n 项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考查运算求解能力，属于中等题.5．（2020·四川高三月考）已知等差数列}{n a 满足1592a a a π++=，则28cos()a a +=（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的性质求得28a a +的值，由此求得28cos()a a +的值.【详解】由于等差数列}{n a 满足15955232,3a a a a a ππ++===，所以28cos()a a +=()541cos 2coscos cos 3332a ππππ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查诱导公式，属于基础题.6．（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9nn a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（ ）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】C 【解析】【分析】先讨论出数列{}n a 的单调性，根据单调性得出答案.【详解】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+，解得203n <，又*n N ∈，所以6n ≤.于是127a a a <<<L ， 当7n ≥时，11n na a +<，故78a a >>L ，因此最大项为7a .故选：C 【点睛】本题考查求数列的最大项和数列的单调性，属于中档题. 7．（2020·山西高三月考）公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（ ） A ．72- B ．73C ．213-D ．137【答案】B 【解析】【分析】设{}n a 的公差为()d d ≠0，根据367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，化简求得1a d ，的关系再求解.【详解】设{}n a 的公差为()d d ≠0，由367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.8. （2020·福建高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，972S =.数列{}n b 的首项为3，且13n n b b +=-，则210020a b =（ ）A ．3-B ．13C ．3D ．13-【答案】D 【解析】【分析】由等差数列可得132195122210993672a a a a d S a a d +==+=⎧⎨==+=⎩,解得141a d =⎧⎨=⎩,即可求得10a ,再由13n n b b +=-可得数列{}n b 是周期数列,求得2020b ,即可求解.【详解】由题,因为132195122210993672a a a a d S a a d +==+=⎧⎨==+=⎩,所以141a d =⎧⎨=⎩,即()413n a n n =+-=+,所以1013a =, 又13b =,且13n n b b +=-,则21b =-,33b =,所以数列{}n b 是周期为2的数列,则202021b b ==-,所以20201013a b =-,故答案为:13-【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的周期性的应用,考查运算能力. 9. （2020·四川省泸县第二中学高三）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若637S S =-，则4332a a a a +=+（ ）A ．2-B ．2C ．1 或2-D ．3【答案】A 【解析】【分析】先根据637S S =-求出等比数列{}n a 的公比q ，然后化简4332a a a a ++可得结果．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ．①当1q =时，637S S =-不成立．②当1q ≠时，由637S S =-得61317(1)(1)11a a q q q q =--⨯---，整理得317q +=-，即38q =-，解得2q =-．所以43333222(1)2(1)q q a a a a q a a a a ++===+=-+．【点睛】利用公式求等比数列的前n 项和时，在公比q 不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为1q =和1q ≠两种情况求解，考查计算能力，属于基础题．10. （2020·江苏高三开学考试）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____.A ．42B ．24C ． 42-D ．24-【答案】C【解析】【分析】由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值.【详解】由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-，可得：942S =-。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2020年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。

试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。

1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2020年《考试说明》。

2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。

全卷结构、题型包括难度基本稳定。

填空题比较基础，平和。

不需要太繁的计算，考生感觉顺手。

许多试题源于课本，略高于课本。

3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。

如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。

4. 深化能力立意。

知识与能力并重。

全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。

许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。

5. 关注联系，有效考查数学思想方法。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b）g（xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。

得 PF1 (2a m, 3m 3a), PF2 (2a m, 3m 3a) ，
所以
PF1
PF2
4m2
6ma
a2
4(m
3 4
a)2
13 4
a2
．由于
m [a
，
0]
，
可知当
m
3 4
a
时，
PF1 PF2
取得最小值，此时
yP
3a 4，
当 m 0 时， PF1 PF2 取得最大值，此时 yP
（1）证明: BE / / 平面 PAD ； （2）平面 BDE 将四棱锥 P ABCD 分成多面体 PE ABD 和多面体 E BCD 两部分，求上述两个多面 体的体积比VPE ABD :VEBCD ．
1
EF / / CD/ /AB
【解析】（1）取 PD 中点 F ，连接 EF 、 AF ，依题意
.
【答案】①③④
【解析】∵ y ' 3x2 ，∴曲线 y x3 在点
an , an3
处的切线方程为
y
an3
3an2
x
an
，
则 an3 3an2
an1 an
.∵ an
0 ，∴ an1
2 3
an
，则
an
是首项为
1，公比为
2 3
的等比数列，从而
a2
2 3
，
a3
4 9
，
4 i 1
ai
B．8
C． 2 3
D． 4 3
【解析】由
e
c a
2
，得
c
2a,
b
3a ，故线段 MN 所在直线的方程为 y

棱台的体积等于棱锥 P − ABC 的体积减去棱锥 P − DEF 的体积.）
ax − y − z = 1
19．用行列式讨论下列关于
x
、
y
、
z
的方程组

x
+
y
−
az
=
2
的解的情况，并
x − y − z = 1
求出相应的解.
20．已知数列an 中， a1 = 3 ， an+1 + an = 3 2n ， n N * .
（2）证明：
Pn+1
−
Pn
=
−
1 2
( Pn
−
Pn−1 )(1
n

98)
；
（3）若最终棋子落在第 99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第100 站，则记
选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
18．如图， P − ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥， D, E, F 分别为棱长
PA, PB, PC 上的点，截面 DEF / / 底面 ABC ，且棱台 DEF − ABC 与棱锥
(Ⅱ) 设 g ( x) = ex f ( x) ，当 m 1 时，若 g ( x1 ) + g ( x2 ) = 2g (m) ，且 x1 x2 ，求
证： x1 + x2 2m . 23．（选修 4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程是
x
=
1
+
2 cos , （ 为参数），以
B．1
C． − 1 2
D． −1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分

2020年全国统一高考数学试卷（理科）(新课标Ⅲ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x，y，y x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A B中元素数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.复数的虚部是()A. −B. −C.D.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A. ，==0.1，==0.4B. ==0.4，==0.1C. ，==0.2，==0.3D. ==0.3，==0.24.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=，其中K为最大确诊病例数.当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为()(193)A. 60B. 63C. 66D. 695.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p>0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. (，0)B. (，0)C. (1,0)D. (2,0)6.已知向量，满足||=5，||=6，=−6，则<，+>=()A. −B. −C.D.7.在ABC中，C=，AC=4，BC=3，则B=()A. B. C. D.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+29.已知2−(+)=7，则=()A. −2B. −1C. 1D. 210.若直线l与曲线y=和圆+=都相切，则l的方程为()A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+11.设双曲线C:−=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且P P.若的面积为4，则a=()A. 1B. 2C. 4D. 812.已知<，<.设a=3，b=5，c=8，则()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为__________．14.的展开式中常数项是__________(用数字作答)．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．16.关于函数f(x)=x+有如下四个命题：f(x)的图像关于y轴对称．f(x)的图像关于原点对称，f(x)的图像关于直线x=对称．f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设数列{}满足=3，=−4n．(1)计算，，猜想{}的通项公式并加以证明;(2)求数列{}的前n项和．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次[0,200](200,400](400,600]空气质量等级1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(3)若某天的空气质量等级为1或2:则称这天空气质量好若某天的空气质量等级为3成4，则称这天空气质量不好根据所给数据，完成下面的2×2列联表并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关⋅人次400人次400空气质量好空气质量不好19.如图，在长方体ABCD−中，点E，F分别在棱D，B.上，且2DE=E，BF=2F．(1)证明：点在平面AEF内;(2)若AB=2，AD=1，，求二面角A−EF−的正弦值．20.已知椭圆C:的离心率为，A，B分别为C的左右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积．21.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A，B两点．(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．23.设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．(1)证明：ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b，c}≥．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．【解答】解：在集合B中，x+y=8，当x，y是正整数且y≥x时，有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)等4个元素，则A∩B中元素个数为4个．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题．【解答】解：因为z=11−3i =1+3i(1−3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i，所以其虚部为310，故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考察样本标准差的计算，属于基础题根据各项数据，先求样本平均数，再计算标准差【解答】解：A中，平均数为1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，标准差为同理可得B中，平均数为2.5，标准差为√1.85，C中，平均数为2.5，标准差为√1.05，D 中，平均数为2.5，标准差为√1.45 故选B4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题． 根据题意可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 的值． 【解答】解：由题可知K 1+e −0.23(t−53)=0.95K ， 所以1+e −0.23(t−53)=2019，e −0.23(t−53)=119 0.23(t −53)=ln19≈3，解得t ≈66 故选C5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．根据直线x =2与抛物线交于D 、E 两点，确定D 、E 两点坐标，由OD ⊥OE 可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可确定p 的值，从而得到抛物线的焦点坐标． 【解答】解：根据题意得D(2,2p)，E(2,−2p)，因为OD ⊥OE ，可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以4−4p =0，故p =1， 所以抛物线C ：y 2=2x ，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题．根据平面向量的夹角定义可知cos⟨a⃗,a⃗+b⃗ ⟩=a⃗ ·(a⃗ +b⃗)|a⃗|·|a⃗ +b⃗|，由|a⃗|=5,a⃗·b⃗ =−6可得a⃗·(a⃗+b⃗ )的值，由|a⃗|=5,|b⃗ |,a⃗·b⃗ =−6可得|a⃗+b⃗ |的值，从而可得答案．【解答】解：因为a⃗·(a⃗+b⃗ )=|a⃗|2+a⃗·b⃗ ，|a⃗|=5,a⃗·b⃗ =−6，所以a⃗·(a⃗+b⃗ )=19，∵|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2，|a⃗|=5,a⃗·b⃗ =−6，|b⃗ |=6，所以|a⃗+b⃗ |=7，因为cos⟨a⃗,a⃗+b⃗ ⟩=a⃗ ·(a⃗ +b⃗)|a⃗|·|a⃗ +b⃗|，所以cos⟨a⃗,a⃗+b⃗ ⟩=195×7=1935，故选D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查运算求解能力，难度一般．先由已知条件应用余弦定理求出AB，再利用余弦定理即可求出cos B．【解答】解：由余弦定理可得cosC=AC2+BC2−AB22×AC×BC =16+9−AB22×4×3=23，解得AB=3．在△ABC中，AC=4,BC=3,AB=3，由余弦定理可得cosB=AB2+BC2−AC22×AB×BC=9+9−162×3×3=19.故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般．先由三视图还原几何体，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如图故其表面积为3×12×2×2+12×2√2×2√2×sin60∘=6+2√3.故选C．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．【解答】解：∵2tan θ−tan (θ+π4)=2tan θ−tan θ+11−tan θ=7，∴2tan θ(1−tan θ)−(tan θ+1)=7−7tan θ，整理得(tan θ−2)2=0，∴tan θ=2，故选D．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数几何意义的应用以及直线和圆相切问题，考查了运算能力，属于中档题．【解答】解：根据条件，设直线l与曲线y=√x相切于点(x1,√x1)(x1⩾0)，因为y=√x的导函数y′=2√x ，所以切线l斜率k=2√x，所以可得直线l 的方程为y −√x 1=2√x x −x 1)，即2√x −y +√x12=0，又因为直线l 与圆x 2+y 2=15，而圆的圆心(0,0)，半径r =√55，则圆心到直线l 的距离d =√x 12√14x 1+1=r =√55， 因为x 1⩾0，解得x 1=1， 把x 1=1带入y −√x 1=2√x x −x 1)，化简可得直线l 的方程为y =12x +12． 故选：D ．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的定义，简单几何性质，考查运算求解能力，难度一般． 根据双曲线的性质及已知条件，列出相应的式子即可解出a ． 【解答】解：设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，则|m −n|=2a 由题意知▵F 1PF 2为直角三角形，则m 2+n 2=(2c)2， 即(m −n)2+2mn =4c 2(∗)，又▵F 1PF 2的面积为4，则12mn =4,mn =8，① 由已知，双曲线的离心率e =c a =√5，② 将①、②分别代入(∗)可得4a 2+2×8=4×5a 2， 又a >0，故a =1. 故选A ．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数，借助中间值比较大小．【解答】解：a=log53=ln 3ln 5，b=log85=ln 5ln 8，c=log138=ln 8ln 13，a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0；c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0；b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述，a<b<45<c,即a<b<c,故选A．13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组{x+y≥02x−y≥0x≤1所表示的平面区域，如图所示由{x =12x −y =0得点A 坐标为(1,2)，由{x =1x +y =0得点B 坐标为(1,2)， 即不等式所表示的平面区域为包括边界)，再将z =3x +2y 化为y =−32x +z ，可看作斜率为−32，截距为z 的一族平行直线， 由图可知，当直线y =−32x +z 经过点A 时，截距z 最大， 因此，当{x =1y =2时，z max =3×1+2×2=7，故答案为7．14.【答案】240【解析】 【分析】本题考查二项式定理的特定项的系数，属于基础题．由题意，可得原式的二项展开式的通项为T k+1=2k C 6k x12−3k ，令k =4，即可求解常数项．【解答】解：(x 2+2x)6的二项展开式的通项为T k+1=C 6k (x 2)6−k (2x)k=2k C 6k x 12−3k ， 当12−3k =0，k =4时，该项为常数，故常数项为T 5=24C 64=240．故答案为240．15.【答案】√23π【解析】【分析】本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，AO=√32−12=2√2，圆锥内半径最大的球O′满足与底面相切于O，与侧面相切于点B，设球O′的半径为r，则AO′=2√2−r，且2√2−r3=r1，解得r=√22，故V=4πr33=√23π．故答案为：√23π．16.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题．根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值． 【解答】解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称， f (−x )=sin (−x )+1sin (−x )=−(sinx +1sinx)=−f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确；若函数f (x )关于直线x =π2对称，则有f (π2−x)=f (π2+x)， 即sin (π2−x)+1sin(π2−x)=sin (π2+x)+1sin(π2+x)，通过化简可得等式成立.故③正确； 当x =−π2时，f(−π2)=−2<2，故④错误． 故答案为②③．17.【答案】解：(1)a 2=3a 1−4=5 ，a 3=3a 2−8=7，猜想a n =2n +1．方法一：证明：∵a n+1=3a n −4n ，∴a n+1−2(n +1)−1=3a n −4n −2(n +1)−1∴a n+1−2(n +1)−1=3(a n −2n −1)又因为a 1−2−1=0，∴a n+1−2(n +1)−1=a n −2n −1=0， 所以a n =2n +1(n ∈N ∗) ； 方法二：证明：当n =1时，a 1=2+1=3成立；①当n ≥2时，假设n =k 时成立，即a k =2k +1(k ∈N ∗) ， a k+1=3a k −4k =6k +3−4k =2(k +1)+1，② 故假设成立，综合①②可知猜想成立，即a n =2n +1(n ∈N ∗)； (2)2n a n =(2n +1)⋅2n ，S n=3×2+5×22+⋯+(2n+1)2n③，两边同乘2可得：2S n=3×22+5×23+⋯+(2n−1)2n+(2n+1)2n+1④，③−④得：−S n=3×2+2×22+⋯+2⋅2n−(2n+1)2n+1=6+8×(1−2n−1)1−2−(2n+1)2n+1=−2−(2n−1)⋅2n+1，所以S n=(2n−1)⋅2n+1+2．【解析】本题考查数列的递推公式与错位相减法求和，属于中档题．(1)先由递推公式求出a2,a3，猜想a n=2n+1，方法一：利用待定系数法可得到数列{a n−2n−1}为每项都是0的常数列，即可求出数列{a n}的通项公式，方法二：利用数学归纳法可证明；(2)由(1)可得2n a n=(2n+1)⋅2n，利用错位相减法即可求出S n．18.【答案】解：(1)空气质量等级为1的概率为P=2+16+25100=43100;空气质量等级为2的概率为P=5+10+12100=27100;空气质量等级为3的概率为P=6+7+8100=21100;空气质量等级为4的概率为P=7+2100=9100;(2)一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为100×2+5+6+7100+300×16+10+7+2100+500×25+12+8100=350；人次≤400人次空气质量好3337空气质量不好228K2=(33+22)(33+37)(22+8)(37+8)≈5.82>3.841有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题．19.【答案】解：(1)连接C1E,C1F，要证点C1在平面AEF内，可证明A、E、F、C1四点共面；∵AB//C1D1,BF//ED1,AB∩BF=B,C1D1∩ED1=D1;C1D1,ED1⊂平面C1D1E,AB,BF⊂平面ABF，∴平面ABF//平面C 1D 1E,AF//EC 1，可得点C 1在平面AEF 内(2)以C 1为坐标原点，C 1D 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴建立空间直角坐标系， 则A(2,1，3)，E(2,0，2)，F(0,1，1)，A 1(2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−1)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1) 设平面AEF 的法向量为n⃗ (x,y ，z)， 则{−y −z =0−2x −2z =0可得x =1，y =1，z =−1.则n⃗ (1,1，−1)， 设平面A 1EF 的法向量为m⃗⃗⃗ (a,b ，c)， 则{−2a +c =0−2a +b −c =0令a =1，可得b =4，c =2，则m⃗⃗⃗ (1,4，2) cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√21√3=√7，二面角A −EF −A 1的正弦值为√427．【解析】本题考查点与面的位置关系以及利用空间向量求二面角，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵e =ca =√154，c 2a =1516 ，∴b 2=a 2−c 2=116a 2=2516 ， ∴C 的方程为x 225+y 22516=1 ．(2)由题：A(−5,0)，B(5,0)，设Q(6,t)，显然t ≠0， 则k BQ =t ，∵BP ⊥BQ ，则k BP =−1t ， 则直线BP 方程为：y =−1t (x −5)，联立x 225+y 22516=1，化简得(t 2+16)y 2−10ty =0，解得y P =10tt 2+16，x P =5−ty P ，∵|BP |=|BQ |，∴t 2y P 2+y P 2=1+t 2，即y P 2=1，代入y P =10tt 2+16，解得t =±2,±8， 当t =2时，Q(6,2)，P(3,1)，|PQ |=√10， PQ 方程为：x −3y =0，点A 到直线PQ 的距离为10=√102， 则S ▵APQ =12×√10×√102=52；当t =8时，Q(6,8)，P(−3,1)，|PQ |=√130， PQ 方程为：7x −9y +30=0，点A 到直线PQ 的距离为√130=√130，则S ▵APQ =12×√130×√130=52，根据对称性，t =−2,t =−8时面积均为52， 综上：▵APQ 的面积为52．【解析】本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2+b ， 由题意知：f′(12)=34+b =0， b =−34．(2)f(x)=x 3−34x +c ，由题意知y =c 与y =34x −x 3在[−1,1]上至少有一交点， 设g(x)=34x −x 3， g′(x)=34−3x 2，当x ∈(−∞,−12)∪(12,+∞)时，g′(x)<0 ， 当x ∈(−12,12)时，g′(x)>0，故g(x)在(−∞,−12)和(12,+∞)上单调递减，在(−12,12)上单调递增， 又g(−1)=14，g(−12)=−14，g(12)=14，g(1)=−14， 故−14≤c ≤14，显然此时y =c 与y =34x −x 3在(−∞,−1)∪(1,+∞)上无交点， 原命题得证．【解析】本题考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、零点问题，属于较难题．(1)根据导数的几何意义列方程求解即可．(2)先把f(x)有一个绝对值不大于1的零点等价转化为y =c 与y =34x −x 3在[−1,1]上至少有一交点，求出c 的取值范围，进而根据g(x)=34x −x 3的单调性即可证明原命题成立．22.【答案】解：(1)令x =0，即2−t −t 2=0，解得t =−2(t ≠1)，将t =−2代入参数方程得x =0,y =12令y =0，即2−3t +t 2=0，解得t =2(t ≠1)， 将t =2代入参数方程得，x =−4,y =0 不妨设A (−4,0),B (0,12)， 则|AB |=√(−4)2+122=4√10．(2)直线AB 的直角坐标方程为x−4+y12=1，化简得3x −y +12=0，由{x =ρcosθy =ρsinθ,化为极坐标方程为3ρcosθ−ρsinθ+12=0．【解析】本题考查参数方程的概念，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题分别令x=0,y=0，即可求出A、B两点的坐标，即可求解．23.【答案】证明(1)∵abc=1，∴a≠0,b≠0,c≠0，∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，∴2(ab+bc+ca)=−(a2+b2+c2)<0，即ab+bc+ca<0．(2)∵abc=1>0，∴a，b，c同正或两负一正，∵a+b+c=0，∴a，b，c不可能同正，即a，b，c两负一正，不妨设a<0,b<0,c>0，则max{a,b,c}=c，由题意得{a+b=−cab=1c,a，b可看成是一元二次方程x2+cx+1c=0的两根，因两根存在，则{−c<01c>0Δ=c2−4c≥0，解得c≥√43，即max{a,b,c}≥√43【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题．运用恒等变换和一元二次方程根与系数的关系即可证明．。

，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
甲分厂产品等级的频数分布表

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 2 14．已知a ∈（2π，π），sin α=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 （I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷三)第Ⅰ卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确作案填在答题卡上。

每小题5分，共60分。

1. 已知集合1{=A ，2，3，5，7，}11，}153|{<<=x x B ,则B A 中元素的个数为( ) A.2 B.3C. 4D. 5【答案】B【解析】}11,7,5{=B A ，故选B 2. i i z -=+1)1(，则=z ( )A.i -1B.i +1C.i -D.i【答案】D 【解析】i iiz -=+-=11，i z =故选D 3. 设一组样本数据1x ，2x ，n x 的方差为01.0，则数据110x ，210x ，n x 10 的方差为( ) A.01.0 B. 1.0C. 1D. 10【答案】C【解析】n x x x ,...,,21由公式的公差为01.02=s ，n x x x 10,...,10,1021知的公差为11022=s ，故选C4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:)53(23.01)(--+=t e K t I ,其中K 为最大确诊病例数,当K t I 95.0)(*=时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为(319ln ≈)( )A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】由K e K t I t95.01)()53(23.0**=+=--，19)53(23.0*=-te ，19ln )53(23.0*=-t ，1323.0353*≈=-t ，66*≈t ，故选C.5. 已知1)3sin(sin =++πθθ,则=+)6sin(πθ( )A.21 B.33 C.32 D.22 【答案】B【解析】由1)3sin(sin =++πθθ，得，1cos 23sin 21sin =++θθθ，1cos 23sin 23=+θθ，1)21cos 23(sin 3=⨯+⨯θθ， 1)6sin cos 6cos (sin 3=+πθπθ，1)6sin(3=+πθ，33)6sin(=+πθ，故选B. 6. 在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1=⋅BC AC ，则点C 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.抛物线D. 直线【答案】A【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x C ，则),(y a x AC +=，),(y a x BC -=，),(),(y a x y a x BC AC -⋅+=⋅ 1222=-+=a y x ，2221a y x +=+，故选A.7. 设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:>=p px y C 交于D ，E 两点，若OE OD ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A.)0,41(B. )0,21(C.)0,1(D.)0,2(【答案】B【解析】根据题意，设点)2,2(p D ，)2,2(p E -，p DE 4=，p OE OD 44+==，由222DE OE OD =+，可得1=p ，故抛物线方程为x y 22=，选B.8. 点)1,0(-到直线)1(+=x k y 距离的最大值为( )A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】直线)1(+=x k y 过点)0,1(-，故点)1,0(-到直线)1(+=x k y 距离的最大值为两点)0,1(-与)1,0(-的距离2，故选B.9. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. 246+B. 244+C. 326+D. 324+ 【答案】C【解析】该几何图形的直观图如上：其表面积为326+，故选C. 10. 设2log 3=a ，3log 5=b ，32=c ，则 ( )A.b c a <<B.c b a <<C.a c b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】18log 2log 2log 23322log 933332<===，322log 3<， 127log 3log 3log 23323log 2535552>===，所以323log 5>，故选A. 11. 在ABC ∆中，32cos =C ，4=AC ，3=BC ，则=B tan ( )A.5B.52C. 54D. 58【答案】C【解析】由条件知916916cos 2222=-+=⋅⋅-+=C BC AC BC AC AB ，3=AB ，913321699cos =⨯⨯-+=B ，954sin =B ，54tan =B ，故选C.22212. 已知函数xx x f sin 1sin )(+=，则 ( )A.)(x f 的最小值为2B. )(x f 的的图象关于y 轴对称C. )(x f 的的图象关于直线π=x 对称D. )(x f 的的图象关于直线2π=x 对称【答案】D【解析】当0<x 时，0)(<x f ，故A 错；)(x f 是奇函数，故B 错；xx x x x f sin 1sin )sin(1)sin()(--=+++=+πππ， xx x x x f sin 1sin )sin(1)sin()(+=-+-=-πππ，)()(x f x f -≠+ππ，故C 错，所以选D.第Ⅱ卷二．选择题：本大题共4分，每小题5分,共20分，把答案填在答题卡上。

2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ）A ．12z z ⋅是实数B ．12z z 是纯虚数 C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】 先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确；当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（ ）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足222)S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵)222a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到12cos sin 2ac B ac B =，B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==OP =所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。