人教版九年级数学上册 第24章 圆小结与复习 精品导学案 新人教版

学习目标：1、系统熟悉圆的有关概念。

2、巩固有关圆的一些性质和定理。

3、进一步掌握用圆的有关知识解决某些数学问题。

教学重点：有关圆的计算；教学难点：应用圆的有关知识分析问题。

教学方法：采取学生小组合作为主的教学方法，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用。

教学过程：一、本章知识结构图二、新课讲解以4人小组为单位，完成以下练习题的讲解:1．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )A．2cm B．14cmC．2cm或14cm D．10cm或20cm2．如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．3．如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是( )A．CE＝DE B． C．∠BAC＝∠BAD D．AC>AD4.如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )A． 2 B．3 C．4 D．55.在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．6.如图23-17，点A是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P为直径AMN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为( )A．1 B． C．D．7．如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．35° B．90° C．110°D．120°8.如图23-19，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是________．9.如图23-20，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD．请根据图中所给出的已知条件(不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论_________________．10.圆内接四边形ABCD中，∠A︰∠C＝1︰3，则∠C＝_________．11．如图23-22，⊙O、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结5个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和为( )A．1πB．1.5πC．2πD．2.5π12.如图23-23，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放地一起，则其最高点到地面的距离是___________．13.如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( )A． B． C． D．14．一个扇形的弧长为20πcm，面积为，则该扇形的圆心角为__________．15．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为_________．二、课堂小结三、教学反思今天的这节圆的复习课我的预设目标是让学生在月考前，对圆的知识有了一个系统的认识和巩固练习，通过小组合作交流学习，让较好的学生带动中差的学生完成习题的讲解,让中差的学生在这节课上有所收获。

第24章圆单元复习一、知识梳理1、圆的有关概念：2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。

(2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心.3、垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

推论：（1）平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

5、圆周角：(1）定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

(2）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（3）推论:①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

③直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。

④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。

圆内接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形.圆内接梯形是等腰梯形.定义、性质、推论及应用。

求角度、用四点共圆解决问题（到某点等远的四点共圆对角互补的四边形四个顶点共圆线段所对的两个张角相等的四点共圆）另外:三角形的垂心恰好是它的垂足三角形的内心、三角形一个顶点到其垂心的距离是外心到对边中点距离的2倍、三角形的外接圆；圆内接三角形.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

注意：（１)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆,任何一个圆有无数个内接三角形；（２）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点,外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。

第二十四章圆一、复习导入1.导入课题：本节课对全章的知识作一回顾,梳理其知识脉络,熟悉其知识构架,进一步澄清那些易混点,易错点,同时对本章中的一些常用辅助线和常见分类作一整理.2.复习目标：（1）梳理全章知识点,能画出它的知识结构框图.（2）总结解题方法,提升解题能力.3.复习重、难点：重点：圆的有关性质和直线与圆的位置关系.难点：综合应用知识解决问题的能力.二、分层复习1.复习指导：（1）复习内容：教材第78页到第122页的内容.(2)复习时间：10分钟.（3）复习方法：翻阅教材,分类归纳、整理.（4）复习参考提纲：②常规辅助线.a.与弦有关：垂直于弦的直径.b.已知直径：垂直于直径的弦.c.证切线：有明确公共点,连接圆心与公共点；无明确公共点,过圆心作切线的垂线段.d.已知切线：垂直于切线且过切点的半径.③圆中的分类讨论（各举一例和同桌交流）.a.点和圆的位置关系：点到圆的最近距离和最远距离问题.b.圆的轴对称性：求圆的两平行弦的距离;求有公共端点的两弦夹角.c.弦所对的圆周角.d.与三角形的外心有关的计算.2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：关注学生提纲中三个方面的整理情况.②差异指导：根据学情进行分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正.4.强化：小组展示复习成果,教师总结归纳.1.复习指导：（1）复习内容：典例剖析,考点跟踪.(2)复习时间：10分钟.（3）复习方法：相互交流研讨.（4）复习参考提纲：①如图,⊙O 的直径CD ＝10cm,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD,垂足为M,OM ∶OC ＝3∶5,则AB 的长为（A ）A.8cmB. 91 cmC.6cmD.2cm②如图,AB 与⊙O 相切于点C,OA ＝OB,⊙O 的直径为8cm,AB ＝10cm,求OA 的长.连接OC. ∵AB 与⊙O 相切于点C,∴∠ACO=90°.又∵OA=OB,∴AC=CB=12AB=5cm. 在Rt △AOC 中,OA OC AC =+=+=22162541（cm ）.③如图,在足球比赛中,甲带球向对方球门PQ 进攻,当他带球冲到A 点时,同伴乙已经助攻冲到B 点,此时甲是直接射门好,还是将球传给乙,让乙射门好？（仅从射门角度考虑）∵A 在圆外,B 在圆上,∴∠PAQ<∠PBQ.∴让乙射门好.④如图,⊙O 的直径AB ＝12cm,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点E,交AM 于点D,交BN 于点C.设AD ＝x ,BC ＝y,求y 与x 的函数关系式.∵AD 、BC 与⊙O 相切.∴AD ⊥AB,BC ⊥AB.∴AD ∥BC.过D 作DF ⊥BC 于点F,则四边形ABFD 为矩形.∴DF=AB=12cm.FC=BC-AD=y-x .又∵DC 与⊙O 相切,∴AD=DE,BC=CE.∴CD=DE+CE=AD+BC=y+x .在Rt △DFC 中,DF FC DC +=222.即()()y x y x +-=+22212. 得x y=36. ∴y .x =36 2.自主复习：学生结合复习提纲进行复习.3.互助复习:（1）师助生：①明了学情：观察学生如何分析找思路.②差异指导：根据学情适时点拨、引导.（2）生助生：相互交流沟通.4.强化：单元典型例题与对应练习题.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有何新的感知？掌握了哪些解题技能和方法？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组协作状况,学习的方法及效果等.(2)纸笔评价：课题评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本节课通过学习归纳本章内容,以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑,力求以点带面,查漏补缺,让学生对本章知识了然于胸,此外,又通过两个有关切线的例题,加强对重点知识的训练,使学生能在全面掌握知识点前提下,又能抓住重点.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A＝40°,∠APD＝75°,则∠B等于（D）A.15°B.40°C.75°D.35°2.(10分)如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,∠P＝70°,则∠C＝（B）A.70°B.55°C.110°D.140°3.(10分)以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则（C）A. 不能构成三角形B. 这个三角形是等腰三角形C. 这个三角形是直角三角形D. 这个三角形是钝角三角形4.(10分)一个圆锥的侧面积是底面积的32倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（C）A.120°B.180°C.240°D.300°5.（10分）如图所示,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于点A、B,点C是AB上任意一点,过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E,若△PDE的周长为12,则PA的长为 6 .=,D,E分别是半径OA,OB的中点.求6.(10分) 如图,AC CB证:CD＝CE.=,∴∠COD=∠COE.证明：连接OC.∵AC CB∵D、E分别是半径OA、OB的中点,∴OD=OE=12OA=12OB.又OC=OC,∴△COD≌△COE.∴CD=CE.7.(10分)在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面宽AB＝600mm,求油的最大深度.解：过O作OD⊥AB,交AB于点C,交⊙O于点D,则AC＝12AB＝300mm.连接OA.设CD＝x mm,则OC＝（325-x）mm.在Rt△AOC中,OC2+AC2=OA2,即(325-x)2+3002=3252.解得x=200.即CD=200mm.答：油的最大深度为125mm.二、综合应用（20分）8.(10分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,求证：AC平分∠DAB.证明：连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.又∵DC是⊙O的切线,∴OC⊥CD.又AD⊥CD,∴AD∥CO.∴∠DAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAB.9.(10分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O,与BC交于点E,过点E 作ED⊥AB,垂足为D.求证：DE为⊙O的切线.证明：连接OE,AE.∵AC是⊙O的直径,∴∠AEC=90°.又∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=90°-∠DAE=∠DEA.∴∠DEA=∠C,又∵OE=OA,∴∠EAO=∠AEO∴∠DEO=∠DEA+∠AEO=∠C+∠EAO=90°.又DE过点E,∴DE为⊙O的切线.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 如图,大半圆O与小半圆O1相切于点C,大半圆的弦AB与小半圆相切于点F,且AB∥CD,AB＝4 cm,求阴影部分的面积.解：连接FO 1、FO.过O 作OM ⊥AB 于点M. ∴AB 与⊙O 相切,∴O 1F ⊥CD. 又AB ∥CD,∴O 1F ⊥CD.∴四边形FO 1OM 是矩形.∴O 1F=OM.又∵OM ⊥AB,∴MB=12AB=2cm.连接OB,在Rt △BMO 中,OM 2+MB 2=OB 2, 即O 1F 2+MB 2=OB 2.∴()()阴影S OB O F OB O F MB cm ππππππ=-=-==⨯=22221122111222114222.。

2019-2020学年九年级数学上册第24章圆复习教案（新版）新人教版教学目标(一)教学知识点1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．(二)能力训练要求1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点：探索各种位置关系及切线的性质．教学方法：学生自己交流总结法．教具准备投影片五张：第一张：(记作A) 第二张：(记作B) 第三张：(记作C) 第四张：(记作D) 第五张：(记作E)教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ．∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ．∴A 、B 、C 、D 四点到定点O 的距离都等于矩形对角线的一半．∴A 、B 、C 、D 四点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的 距离d ＝OD ＝3 m ．在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt △OPD 中，∵OD ＝3，PD ＝4，∴OP ＝222234OD PD +-+＝5＝r ．所以点P 在圆上．同理可知OR ＝22OD DR +＜5，OQ ＝22OD DQ +＞5． 所以点R 在圆内，点Q 在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝12AB，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．2．如图(2)，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE ＝∠B ，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？分析：1．由⊙O 与AC 相切可知OE ⊥AC ，又∠C ＝90°，所以△AOE ∽△ABC ，则对应边成比例，OA OE BA BC=．求出半径和OA 后，由OA －OD ＝AD ，就求出了AD ． 2．根据切线的判定，要求AE 与⊙O 相切，需求∠BAE ＝90°，由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，则∠BAC ＋∠B ＝90°，所以∠CAE ＋∠BAC ＝90°，即∠BAE ＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，∴由勾股定理得AB ＝15．∵⊙O 切AC 于点E ，连接OE ，∴OE ⊥AC ．∴OE ∥BC ．∴△OAE ∽△BAC ．∴OA OE AB BC=，即AB OE OE AB BC -=．∴15159OE OE -=．∴OE ＝458 ∴AD ＝AB －2OD ＝AB －2OE ＝15－458×2＝154． 2．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠CAB ＋∠B ＝90°．∴∠CAE ＝∠B ，∴∠CAB ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ．∵BA 为⊙O 的直径，∴AE 与⊙O 相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切． 两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d 和两圆的半径R 、r 之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d ＝R ＋r 时是外切，当d ＝R －r (R ＞r )时是内切．[师]下面我们还可以用d 与R ，r 的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d ＞R ＋r 时，两圆外离；当R －r ＜d ＜R ＋r 时，两圆相交；当d ＜R －r (R ＞r )时，两圆内含．(投影片E)设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，在下列情况下，⊙O 1和⊙O 2的位置关系怎样？ ①R ＝6cm ，r ＝3cm ，d ＝4cm ；②R ＝6cm ，r ＝3cm ，d ＝0；③R ＝3cm ，r ＝7cm ，d ＝4cm ；④R ＝1cm ，r ＝6cm ，d ＝7cm ；⑤R ＝6cm ，r ＝3cm ，d ＝10cm ；⑥R ＝5cm ，r ＝3cm ，d ＝3cm ；⑦R ＝3cm ，r ＝5cm ，d ＝1cm ．[生](1)∵R －r ＝3cm ＜4cm ＜R ＋r ＝9cm ，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交；(2)∵d ＜R －r ，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d ＝r －R ，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d ＝R ＋r ，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d ＞R ＋r ，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R －r ＜d ＜R ＋r ，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d ＜r －R ，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆． 和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm 、2.5cm 、4cm 的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB 和AC 分别和小圆相切于点D 和E ，则DE 与BC 的位置关系怎样？DE 与BC 之间有怎样的数量关系？(DE 12BC ) Ⅳ．课时小结本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业复习题 B 组Ⅵ．活动与探究如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，求图中阴影部分的面积．分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积与⊙O 的面积差，由勾股定理可求出直角边BC 的长度，则能求出S △ABC ，要求圆的面积，则需求⊙O 的半径OD 或OE 、OF ．连接OA 、OB 、OC ，则把△ABC 分成三个三角形，即△OAB ，△OBC 、△OCA ，则有S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ，从中可求出半径．解：如图连接OA 、OB 、OC ，则△ABC 分成三个三角形，△OAB 、△OBC 、△OCA ，OE 、OF 、OD 分别是三角形各边上过切点的半径．∴S △OAB ＝12AB ·OF ，S △OBC ＝12BC ·OD ，S △OCA ＝12CA ·OE ． ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ，∴12AC·BC＝12AB·OF＋12BC·OD＋12CA·OE．∵OD＝OE＝OF，∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．∴OD＝2．∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝12×12×5－π·22＝30－4π．。

24.2.1 点和圆的位置关系一、学习目标：①知道点与圆的三种位置关系及其相关性质；②知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其三角形外接圆的相关概念。

重点：理解并掌握点与圆的位置关系；难点：能熟练地作三角形的外接圆。

爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。

如图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？这一现象体现了平面内______与______的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。

二、自主学习：1、探究点与圆的位置关系阅读课本第90页至第91页的内容，完成下表：圆的的2、确定圆的条件，根据以下要求作图：（1）如图，经过点A画出4个圆；（2）如图，经过点A、B两点画出4个圆。

（先作线段AB的垂直平分线）·A·B·O ·C·A（3）如上图所示，在平面内经过点A 能否作出第5个、6个、7个……圆吗？得出结论：经过平面内一点，可作出 个圆。

（4）如上图所示，在平面内经过A 、B 两点，可作出 个圆；这些圆的圆心都在线段AB 的 上。

（5）如图1所示，经过在同一直线上三点时，是否能作出圆？为什么？（6）如图2所示，经过不在同一直线上三点时，是否能作出圆？能作出几个圆呢？为什么？（7）如图2所示，圆与△ABC 有什么关系？此时的圆心是三角形的什么？归纳： ①确定圆的条件：___________________________________________________________②三角形的外接圆： ___________________________________________________________③三角形的外心：_______________________________________________________3、阅读课本92页，自学、了解“反证法”的证明思路，一般步骤为：假设，归谬，结论。

前言：
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第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
（一）圆的有关概念
1、圆（两种定义）、圆心、半径；
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、弦、直径；
4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；
5、等圆、等弧，同心圆；
6、圆心角、圆周角；
7、圆内接多边形、多边形的外接圆；
- 1 -。

⎪ 点与圆的位置关系——三角形外接圆 ⎨与圆有关的位置关系 直线与圆的位置关系——切线——三角形内切圆 ⎪ ⎪⎩扇形的面积 圆【学习目标】1．正确理解圆的定义、 弧、弦、圆心角、圆周角概念、三角形的外接圆和三角形外心的概念、切线、切线长的 概念、三角形的内切圆和三角形的内心的概念，圆内接多边形、多边形的外接圆等概念、正多边形的中心、半 径、中心角 、边心距的概念及有关计算．2．通过对圆的有关性质定理与判定定理的复习，熟练掌握圆的有关性质定理与判定定理的综合运用．【学习重点】垂径定理、圆周角定理、切 线的判定及性质的有关运用．【学习难点】圆的有关性质与判定的综合运用．教学建议：建议本课时分成 2 个课时，第一课时复习情景导入(一)～(三)内容，自学互研并交流展示知识模块 一～三，当堂演练中相应的题目；第 2 课时复习情景导入(四)～(七)内容，自学互研并交流展示知识模决三～ 四，当堂演练中相应的题目．情景导入 生成问题1．知识结构我能建：圆 ⎧ ⎧⎪圆的对称性 ⎪圆的基本性质⎨弧、弦、圆心角之间的关系 ⎩同弧上的圆周角与圆心角的关系 ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎪ 正多边形与圆——等分圆周⎪ ⎧⎪弧长 ⎩有关圆的计算⎨圆锥的侧面积和全面积2．知识梳理我能行：(略)自学互研 生成能力知识模块一 垂径定理的运用【合作探究】典例 1：如图所示，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠QON ＝30°，在点 A 处有一栋居民楼，AO ＝200m .如果火 车行驶时，周围 200 m 以内会受到噪音影响，那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向行驶时，居民楼是否会受到影响？ 如果火车行驶的速度是每小时 72km ，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒？(精确到 0.1 秒)解：设⊙A 与 MN 相交于点 D ，连接 AD ，过点 A 作 AB⊥MN，垂足为 B.在 △R t OAB 中，∵∠AOB ＝30°，OA ＝200m ，22∵火车行驶的速度为72km/h＝20m/s，∴200311∴AB＝OA＝200×＝100<200.∴居民楼会受到噪音的影响．∵AB⊥OD，∴OB＝BD.在△R t OAB中，OB＝OA2－AB2＝2002－1002＝1003(m)，∴OD＝2OB＝2003m.20＝103≈17.3s.答：居民楼受噪音影响的时间约为17.3秒．知识模块二弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角定理的运用【合作探究】典例△2：如图，ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.证明：连接BM，∵AM为⊙O的直径，∴∠ABM＝90°.∴∠M＋∠BAM＝90°.∵AP⊥BC，∴∠APC＝90°.∴∠C＋∠CAP＝90°.∵∠C＝∠M，∴∠BAM＝∠CAP.知识模块三弧长及扇形面积综合运用【合作探究】典例3：已知，如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm.(1)求扇形AOB的弧长和扇形面积；(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH.解：(1)扇形AOB的弧长＝4π(cm)，扇形AOB的扇形面积＝12π(cm2)．(2)设圆锥底面圆的半径为r，所以2πr＝4π，解得r＝2.A . πB ．πC ．2πD ．4π在 △R t OHC 中，HC ＝2，OC ＝6，所以 OH ＝ OC 2－HC 2＝4 2(cm )．交流展示 生成新知1．各小组共同探讨“自学互研”部分，将疑难问题板演到黑板上．小组间就上述疑难问题相互释疑．2．组长带领组员参照展示方案，分配好展示 任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行板书 规划．知识模块一 垂径定理的运用知识模块二 弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角定理的运用知识模块三 弧长及扇形面积综合运用当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，CD 是⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，若∠ADC＝70°，则∠B 的度数为(A )A ．20°B ．40°C ．70°D ．90°(第 1 题图)(第 2 题图) (第 3 题图)2．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为 5cm ，弧长是 6π cm ，那么围成的圆锥 的高度是( B )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3．如图， 圆心角都是 90°的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连接 A C 、BD ，则图中 阴影部 分的面积为( C )1 2【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑： ________________________________________________________________________。

新人教版九年级数学上册24.1圆导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）【重点难点】1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）知识概览图弦：连接圆上任意两点的线段弧：圆上任意两点之间的部分圆的有关概念圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆旋转不变性：绕圆心旋转任意角度，都与自身重合圆的有关性质轴对称性：对称轴有无数条，是直径所在的直线圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧新课导引2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会将在伦敦隆重开幕，世界各国人民都将目光聚焦在伦敦，下面是几个参加奥运会的国家的国旗，你能观察出它们有什么共同的特征吗?【问题探究】这几面国旗的共同特征不能仅从一个角度去考虑，角度不同，得到的答案也不同，但从几何图形这一角度考虑，易于得出结论．【解析】这几面国旗的共同特征中，最明显的是都有圆形图案．教材精华知识点1 圆的有关概念圆：如图24—l所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”．拓展(1)圆上各点到圆心的距离都等于半径．(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上．(3)圆可以看做是到定点的距离等于定长的点的集合．(4)圆是一条封闭的曲线，是指圆周而不是指圆面，圆由圆心确定位置，由半径确定大小．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图24—2所示，线段AB，AC，BC都是O的弦，且线段AB是O的直径．拓展(1)弦是一条线段，它的两个端点都在圆上．(2)直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．如图24—3所示，像AB，BC，这样小于半圆的圆弧叫做劣弧，像BAC这样大于半圆的圆弧叫做优弧，一般用弧的两个端点及弧上的任一点(放在中间)表示，有时在优弧的中间标一个小写字母m，记为优弧BmC.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．实质上，等弧是全等的，不仅弧长相等，形状大小也一样．知识点2圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在O中，将圆周绕圆心O旋转180 ，能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O．将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合．经过圆心O画任意一条直线，并沿此直线将O对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．拓展因为圆是轴对称图形，所以在圆内任意作一条直径就可以把圆2等分，作两条互相垂直的直径就可以把圆4等分，再作两条互相垂直的直径的两组对角的平分线，可以把圆8等分，进而进行16等分、32等分……如图24—4所示．知识点3 垂直于弦的直径（垂径）定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.拓展（1）由垂径定理可以得到以下结论：①若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧.③垂直且平分一条弦的线段是直径．④连接弦所对的两弧的中点的线段是直径．(2)利用垂径定理及其推论可以证明平分弧，平分弦，证垂直，证一条线段是直径．(3)利用垂径定理的推论，可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．(4)由于垂直于弦的直径平分弦，所以可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦长(或半径)．知识点4 圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．在同圆或等圆中：(1)如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等，(2)如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，(3)如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等.拓展(1)圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立．(2)利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等．知识点5圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.2、半圆（直径）所对的圆周是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.拓展此性质介绍了一种常见的引辅助线的方法：有直径，通常构造直径所对的圆周角；反过来，有90 的圆周角，通常构造直径.3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等.拓展“同弧或等弧所对的圆周角相等”常用来证明两角相等或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到解题的目的.知识点6 圆内接多边形（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.探究交流1、下列说法正确吗?为什么?①直径是弦，弦也是直径．②半圆是弧，弧也是半圆．③两条等弧的长度相等，长度相等的弧是等弧．解析①②③都不正确．直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，半圆是一条特殊的弧，但弧不一定是半圆，等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，它们的长度相等，形状大小一样，但长度相等的弧，只确定了长度相等，形状表必相同，所以不一定是等弧．2、下列说法正确吗?为什么?①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．解析①②③都不对，过弦的中点且垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．①中缺少垂直于弦的条件；②中缺少平分弦的条件；③中“过弦的中点”中的弦一定要强调“不是直径”，否则不对．只有④正确．课堂检测基本概念题1、下列命题正确的有（）①顶点在圆周上的角为圆周角；②顶点在圆心的角为圆心角；③弦是直径；④直径是弦；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑥圆的对称轴是它的直径.A.2个B.3个C.4个D.5个基础知识应用题=，那么AB与CD的关系是（）2、在同圆或等圆中，如果AB CDA.AB＞C DB.AB CD=C.AB CD=AB CD＜ D.23、如图所示，已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点⊥.（填写一个你认为适当的条件）E，当时，CD AB4、如图所示，AB为O的直径，从圆上一点C作弦CD AB∠的平分线⊥，OCD=.交O于点P，求证AP BP综合应用题5、如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥，垂足为C ，若5AO =，3OC =，则弦AB 的长为 ( )A ．10B ．8C ．6D ．46、如图所示，一圆弧形门拱的拱高AB 为1 m ，跨度CD 为4m ，这个门拱的半径为 m ．探索创新题7、如图所示，AD BC ⊥于点D ，且5,3,42,AC CD AB ===则O 的直径等于____.体验中考1、若O 的半径为4cm,点A 到圆心O 的距离为3cm ，则点A 与O 的位置关系是 （ ）A.点A 在圆内B.点A 在圆上C.点A 在圆外D. 不能确定2、如图所示，在ABC 中，AB 为O 的直径，60,70B C ∠=︒∠=︒，则BOD ∠的度数是 度.3、如图所示，AB 是O 的直径，,C D 是O 上的两点，且.AC CD = （1）求证//OC BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状.学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、B 本题主要考查圆的有关概念.根据圆周角的定义，顶点在圆周上，两边与圆相交的角为圆周角，两个条件缺一不可，故①错误；由圆心角的定义可知②正确；由弦、弧、直径及半圆的定义易知③错误，④⑤均是正确的；圆的对称轴为其直径所在的直线，故⑥错误.故选B.2、 B 本题主要考查的是同圆或等圆中弧与弦的关系.在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以AB CD =.故选B.3、分析 本题考查垂径定理的应用，根据圆的对称性，若AB CD ⊥，则将O 沿AB 对折，可知点C 与点D 重合，所以有CE DE =，AC AD =，BC BD =，反之也对，填上一个即可.4、分析 本题考查垂径定理的应用，连接OP ，证弧相等，只需证明OP 垂直平分AB即可.证明： 连接OP ，,.OC OP OCP OPC =∴∠=∠CP 是OCD ∠的平分线，.DCP OCP ∴∠=∠.//.OPC DCP OP CD ∴∠=∠∴ 又,.CD AB OP AB ⊥∴⊥ 又,OA OB OP =∴垂直平分ABAP BP ∴=.【解题策略】 本题是利用垂径定理证明弧相等，垂径定理是证弧相等的常用方法之一.5、分析 本题主要考查垂径定理的应用．解答此题的关键是对“OC AB ⊥”的理解．OC 经过圆心且垂直于弦AB ，由垂径定理可知12AC BC AB ==，由勾股定理，得2222-5-34AC OA OC ===所以28AB AC ==．故选B ．规律·方法 (1)在关于“垂直于弦的直径”的题目中，很多情况下不直接给出直径，而只给出直径的一部分，如半径或圆心到弦的距离等，此时要注意灵活运用．(2)圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距是圆中联系直径(半径)和弦的重要纽带，同时也是一条十分重要的辅助线．6、分析 本题主要考查的是垂径定理在实际问题中的应用．解答本题的关键是理解题中的“拱高”和“跨度”，拱高是指弧的中点到弦的中点的线段长，跨度是指弦长，根据垂径定理及其相关结论“平分弦且平分弦所对的一条弧的直线垂直于弦并且过圆心”，需利用圆的半径及弦心距，故设CD 所在的圆的圆心为O ，连接,OC OB ，则OBC 为直角三角形，,,A B O 三点共线，且12BC CD =＝2m ，设半径为x m ，那么(1)OB x =-m ，利用勾股定理，得222OC OB BC =+，即222(1)2x x =-+，解得 2.5x =，即门拱的半径为2.5 m ．故填2.5．【解题策略】（1）图中由CD 及弦CD 围成的图形叫弓形，AB 是弓形的高.（2）在解答有关弓形的问题时，常利用解直角三角形的方法求解，所以首先应找到弓形的弧所在的圆的圆心，然后利用垂径定理与勾股定理等求半径、弦长的一半和圆心到弦的距离.7、52分析 由AD BC ⊥可知ADC 为直角三角形，又知5,3,AC CD ==所以4,AD =又由42AB =4BD =，从而得出ABD 是等腰直角三角形，所以45B ∠=︒，所以AC 所对的圆心角为90︒，若连接,OA OC ，则OAC 是等腰直角三角形，且斜边5AC =，通过勾股定理可求出半径522OA OC ==，所以O 的直径为52故填52体验中考1、A 分析 本题考查点和圆的位置关系，由于点A 到圆心的距离小于半径，所以点A 在O 内.故选A .2、100分析 本题综合考查三角形内角和定理及同圆中同弧所对的圆心角、圆周角的关系，由60,70B C ∠=︒∠=︒，可知50A ∠=︒，由同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可知2250100BOD A ∠=∠=⨯︒=︒.故填100.3、分析 本题考查弦、弧以及圆周角、圆心角之间的关系.证明：（1）,AC CD =∴弧AC 与弧CD 相等，.ABC CBD ∴∠=∠又,,OC OB OCB OBC =∴∠=∠,//.OCB CBD OC BD ∴∠=∠∴解：（2）由（1）知//,OC BD 不防设平行线OC 与BD 间的距离为h ， 又O 11,22BCDBCSOC h S BD h =⨯=⨯, BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形， 即OBCDBCSS=，,OC BD ∴=∴四边形OBDC 为平行四边形.又,OC OB =∴四边形OBDC 为菱形.【解题策略】本题利用了相等的弦所对应的劣弧相等，相等的弧所对的圆周角相等这一性质，还利用了“面积相等的两个三角形，若它们的高相等，则它们的底边长相等”这一性质证线段相等.24.2 点、直线的位置关系学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握点与圆的位置关系（点P在圆外、圆上、圆内）及形成条件；2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；；【重点难点】1、掌握点与圆的位置关系（点P在圆外、圆上、圆内）及形成条件；2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；知识概览图①点P 在圆外 d ＞r点与圆的位置关系 ②点P 在圆上 d ＝r③点P 在圆内 d ＜r①相离 d ＞r切线的判定和性质：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径直线与圆的位置关系 ②相切 d ＝r 切线长定理：从圆外一点外圆的两与圆有关的 条切线，它们的切线位置关系 长相等，这一点与 圆心的连线平分两切线的夹角③相交 d ＜r外离 d ＞12r r + ①相离 内含 d ＜12r r +（2r ＞1r ） 外切 d ＝12r r +圆与圆的位置关系（附加） ②相切 内切 d ＝21r r -（2r ＞1r ）③相交 21r r -＜d ＜12r r +（2r ≥1r ）新课导引奥运五环中的五个圆之间有怎样的位置关系呢？在射击靶上，射击弹着点与靶上各圆上之间存在几种位置关系呢？还有哪些图形与圆之间存在一定的位置关系？【解析】 奥运五环中的五个圆有相交，也有相离，射击弹着点可能在某个圆内，也可能在圆周上，还可能在圆外，我们常研究的有点与圆、直线与圆及圆与圆之间的位置关系.教材精华知识点1 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O 的距离为d ，圆的半径为r ，如图24-55所示.点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径，1OP d =＞r ； 点在圆上：点到圆心的距离等于半径，2OP d =＝r ； 点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径，3OP d =＜r . 在图24-55中，点1P 在圆外，点2P 在圆上，点3P 在圆内.拓展（1）圆心是圆内的特殊点，它到圆上各点的距离都相等.（2）除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值，如图24-59所示，过点P 作直径,DE PD 的长是点P 到圆上各点的最长距离，PE 的长是点P 到圆上各点的最短距离.（3）圆外各点到圆上各点的距离也有最大值和最小值.如图24-60所示，连接PO并延长，交于O于D，,E PD的长是点P到圆上各点的最短距离，PE的长是点P到圆上各点的最长距离.（4）过圆内一点作最长弦与最短弦，如图24-61所示，过圆内一点P的最长弦是直径AB，过P点的最短弦是上述直径垂直的弦DE.不在同一直线上的三个点确定一个圆.拓展（1）过同一直线上的三点不能作圆，要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同一直线上，故“三点确定一个圆”这种说法是不对的.（2）“确定”一词指不仅能作出圆，而且只能作出一个圆，即“有且只有”的意思.知识点2三角形的外接圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.圆的内接三角形：在圆上任取三点首尾顺次连接组成的三角形叫做圆的内接三角形.拓展(1)任意三角形都有且只有一个外接圆.（2）三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心，它还是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.（3）圆的内接三角形有无数个，它可以是任意的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.知识点3 反证法探究交流中证明“过同一直线上的三点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.知识点4 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，如图（1）（2）（3）所示.相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，两个公共点是直线与圆的交点.如图（1）所示，直线l与O有两个公共点,A B，此时d＜r.相切：直线和圆有一个公共点，这时我们说条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图（2）所示，直线l与O有唯一的公共点A，此时d＝r.相离：直线和圆设没有公共点，这时我们说条直线和圆相离.如图（3）所示，直线l与O没有公共点，此时d＞r.拓展（1）已知一条直线到圆心O的距离为d，O的半径为r.①当d＜r时，直线l 与O相交，l是O的割线；②当d＝r时，直线l与O相切，l是O的切线；③当d＞r时，直线l与O相离.（2）判定直线和圆的位置关系有两个途径：一是通过直线与圆的交点的个数来判定.二是通过圆心到直线的距离与半径的大小来判定.方法一是直观的，方法二是通过计算、推理才能得出结论的.证明时往往用方法二.（3）点（圆心）到直线的距离是指从这点（圆心）向直线所作的垂线段的长度.知识点5 切线切线的判定定理.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图24-65所示，直线l与O相切，切点为点A.拓展（1）判定一条直线是圆的切线的方法：①定义：直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线.②圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线.③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）利用切线的判定定理需满足两个条件：①经过的外端.②和半径垂直.两个条件缺一不可，否则不一定是切线，如图24-66所示，这里的直线l都不是圆的切线.（3）由切线的判定定理可以得出画切线的准确方法：已知圆心和圆上一点，先画出半径，然后过圆上的点作半径的垂线，即为圆的切线.（4）如果知道圆的切点和切线，可以确定直径，进而确定圆心，只需过切点作切线的垂线，则垂线和圆相交所成的线段即为直径，直径的中点即为圆心.切线的性质定理.圆的切线垂直于过切点的半径.此性质可能用反证法证明如下：如图24-67所示，假设OA 与l 不垂直，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，根据垂线段最短的性质有OM ＜OA ，这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ,于是直线l 就要与圆相交，而这与直线l 是O 的切线矛盾.因此，假设不成立，OA 与直线l 垂直.规律方法小结 “有切线，连半径，得垂直”，这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法.切线长的定义及切线长定理.（1） 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图24-68所示，P 是O 外一点，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点，线段,PA PB 的长为线长.（2） 切线长定理.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角.如图24-68所示，从圆外一点P 可以引圆的两条切线,,,PA PB A B 是切点，根据切线长定理，我们知道P ,OA A OB PB ⊥⊥，而,,OA OB OP OP ==所以Rt OAP Rt OBP ≅，所以,PA PB APO BPO =∠=∠.拓展 （1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线.（2）由,PA PB 是O 的切线，得出,PA PB APO BPO =∠=∠的结论可以直接运用，不必再证明. （3）在图24-68中，若连接AB ，则不难得出1180,,2AOB APB AOP BOP AOB OP ∠+∠=︒∠=∠=∠垂直平分AB ，这三个结论也可以直接运用.（4）此定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，应重点掌握.知识点6 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.规律方法小结(1)数形结合思想是数学中常用的思想方法，在很多题目中都配有相应的图形，结合图形探索数量关系是解答许多问题的重要手段，在没有给出图形的问题中，很多情况下要根据题中条件画出尽可能精确的图形，借图形加深对问题的理解，从而加快解决问题的速度.（2）①直线和圆的位置关系和相应概念.②三角形内心、外心的比较名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三条边的垂直平分线的交点（1）到三个顶点的距离相等；OA OB OC==（2）外心不一定在三角形的内部内心：三角形（1）到三边的距离相等；OE OF OD==（2）,,BO CO AO分别平分直线和圆的位置关系公共点个数2个1个0个d与r的关系d＜r d＝r d＞r 公共点名称交点切点直线名称割线切线内切圆的 圆心三角形三条平分线 的交点,,ABC ACB BAC ∠∠∠（3）内心一定在三角形的内部探究交流1、经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？解析 假设过同一直线l 上,,A B C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，如图24-63所示，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线1l 上，又在线段BC 的垂直平分线2l 上，即点P 为1l ，2l 的交点，而122,l l l l ⊥⊥，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一直线上的三点不能作圆.2、钝角三角形的内切圆心一定在三角形的外部吗？解析 三角形的内心一定在三角形的内部，此题易受钝角三角形的外心在三角形的外部的影响.拓展（1）设直角三角形两直角边为,a b ，斜边为c ，内切圆半径为r ，则1()2r a b c =+-.（2）三角形的内心一定在三角形的内部，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.（3）一个三角形只有一个内切圆.课堂检测基本概念题1、已知O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 与O 的位置关系.（1）OP ＝6cm ； （2）OP ＝10cm ； （3）OP ＝14cm.基础知识应用题2、在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心、1为半径的圆必与 （ ） A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切3、如图27-24所示，两个同心圆中，大圆的弦,AB CD 相等，且AB 与小圆相切于点E .试判断CD 与小圆的位置关系，并说明理由.4、如图所示，ABC 的内切圆O 与BC ，,CA AB 分别相切于点D ，,E F ，且AB =9cm ，14BC =cm ，13CA =cm ，求,BD,AF CE 的长.综合应用题5、如图所示，A 是O 上一点，半径OC 的延长与过点A的直线交于B 点1,.2OC BC AC OB ==（1）求证AB 是O 的切线；（2）若45,2ACD OC ∠=︒=，求弦CD 的长.探索创新题6、（1）如图24-79（1）所示，,OA OB是O的两条半径，且OA AB⊥，点C是OB 延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E，试说明CD CE=;（2）若将图24-79（1）中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F，交O于'B，其他条件不变，如图24-792（2）所示，那么CD CE=还成立吗？为什么？（3）若将图24-79（1）中的半径OB所在的直线向上平移到O外的CF，点E是DA 的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图24-79（3）所示，那么上述结论还成立吗？为什么？体验中考1、如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是 （ ）A.相离B.相交C.相切D.不能确定2、已知1O 和2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ）A.外切B.外离C.相交D.内切3、已知圆1O ，圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为3，若圆2O 上的点A 满足13AO ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是 （ ）A.相交或相切B.相切或相离C. 相交或内含D.相切或内含4、如图所示，王在爷家屋后有一块长12m 、宽8m 的矩形空地，他在以BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A 处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用 （ ）A.3mB. 5mC. 7mD. 9m5、如图所示，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（,0a ），半径为5.如果两圆内含，那么a 的取值范围是 .学后反思。

第二十四章圆小结与复习【学习目标】1.理解垂径定理，认识圆心角、弧、弦之间的关系定理，理解圆周角和圆心角的关系定理。

2.掌握切线的概念及切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线。

3.进一步认识和理解正多边形和圆的关系以及正多边形的有关计算。

4.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算。

（一）基础知识回顾：1、圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内,线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ所形成的图形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做 .线段ＯＡ叫做 . （b）圆是所有点到定点Ｏ的距离定长ｒ的点的集合.(2) 圆的内部：是到圆心的距离半径的点的集合.(3) 圆的外部：到圆心的距离半径的点的集合.(4) 弦：连接圆上任意两点的叫做弦. （弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）(5) 直径：经过圆心的叫直径.(6) 弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）.(7) 半圆：圆的一条把圆分成两段弧，每一段弧叫做半圆.(8) 优弧：半圆的弧叫优弧.(9) 劣弧：半圆的弧叫劣弧.(10) 等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧.(11) 同心圆：圆心相同，半径的两个圆叫做同心圆.(12) 等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆.(13) 弦心距：从圆心到的距离 .2．圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 .（2）圆是中心对称图形，对称中心为 .3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径 .推论：平分弦（不是直径）的直径 .4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别 .5、圆周角：（1）定义：顶点在圆上，并且两边叫圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 .都等于这条弧所对的圆心角的 .（3）推论：半圆或直径所对的圆周角是；900的圆周角所对的弦是 . （二）基础知识回顾：1、点与圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d. 则(1)点P在⊙O内⇔d r (2)点P在⊙O上⇔d r(3)点P在⊙O外⇔d r2、直线和圆的位置关系：设⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为rOl（l1⇔⇔d r；）直线和圆没有公共点直线和圆Ol2⇔⇔d r；（l和圆）直线有唯一公共点直线和圆（l）直线l3⇔⇔d r.O和圆和圆直线有两个公共点3、圆的切线（1）定义：和圆有的直线叫圆的切线.（2）判定：（1）到圆心的距离等于这个圆的的直线是圆的切线；（2）经过半径并且这条半径的直线是圆的切线.（3）性质：（1）圆的切线过的半径。

第二十四章 圆一、教材分析学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程。

本单元数学的主要内容：（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积。

二、知识清单 （一）圆的概念1、集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合2、轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

（二）点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；A（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；（四）圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1（五）垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

圆章末小结※教学目标※【知识与技能】掌握本章重要知识.能灵活运用有关的定理、公式解决问题..【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用圆的相关知识定理解决问题.※教学过程※一、整体把握二、加深理解1.垂径定理及推论的应用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.拓展：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.2.三角形内切圆的半径r，周长l与面积S之间的关系与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.3.两圆相交作公共弦的问题两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧.三、复习新知例1 如图,已知AB是☉O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE,AB=10cm，求△ACD的周长.解:连接OC.∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD.∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm.∵BE=OE，∴BE=OE=cm，AE=cm.在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2.∴CE=cm.∴CD=5cm.同理可得AC=5cm，AD=5cm，∴△ACD的周长为15cm.例2 如图，CD平分∠ACB，DE∥AC，求证:DE=BC.证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.∴=.∵DE∥AC，∴∠ACD=∠CDE，∴=.∴=.∴=.∴DE=BC.方法归纳在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也相等.例3 如图,在平面直角坐标系中，以A(5,1)为圆心，以2个单位长度为半径的☉A交x轴于点B，C.解答下列问题：（1）将☉A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，得到☉A'.此时点A'的坐标为(2,1)，阴影部分的面积S=6；（2）求BC的长.解:连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC=2DC.由A点的坐标为(5，1)，可得AD=1.又AC=2，∴在Rt△ADC中,DC=.∴BC=2.方法归纳判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转为两点间的距离、点到直线的距离与半径比较大小解决.例4 如图,已知☉O的半径为1，DE是☉O的直径，过D点作☉O的切线，C点是AD的中点，AE交☉O于B点，四边形BCOE是平行四边形.（1）求AD的长；（2）BC是☉O的切线吗?若是，给出证明；若不是，说明理由.解：（1）连接BD，则∠DBE=90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，∴AD=2.（2）是.理由如下：连接OB.由（1）得BC∥OD,且BC=OD，∴四边形BCDO是平行四边形.又AD 是☉O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形.∴OB⊥BC.∴BC是☉O的切线.方法归纳题目条件中有圆的切线时，常连接过切点的半径，证明圆的切线时，切点已知，则连半径，证垂直；切点未知，则作垂直，证半径.例5 如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，水位线CD平行于直径AB，OE⊥CD 于点E.（1）若水面距离洞顶最高处仅1m，已测得水位线CD长为10m，求半径OD；（2）根据设计要求,通常情况下，水位线CD与桥洞圆心O的夹角∠COD=120°，此时桥洞截面充水面积是多少？ (精确到0.1m2，参考数据：π≈3.14，≈1.73，≈1.41)解：（1）在Rt△ODE中，DE=5m，OE=OD-1，∵OD2=OE2+DE2，∴OD2=(OD-1)2+DE2，∴OD=13m.（2）∵∠COD=120°,∴∠DOE=60°,由r=13得OE=r=,DE=OE=,CD=2DE=13.∴S=π×132-(-×)=π -π+=π+≈161.5(m2).故此时桥洞截面充水面积是161.5m2.方法归纳圆中求阴影部分的面积,常转化为求扇形、三角形、平行四边形等的面积解决.四、巩固练习1.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点A为圆心，4cm为半径作圆，则A，B，C，D四点中,在圆内的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为dm.3.已知⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB和CD的距离.4.如图，AB是☉O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你找出与的数量关系，并给予证明.5.如图，AB是☉O的直径，C为圆周上一点，BD是☉O的切线，B为切点.（1）在图①中，∠BAC=30°，求∠DBC的度数.（2）在图②中，∠BA1C=40°，求∠DBC的度数.（3）在图③中，∠BA1C=α，求∠DBC的大小.（4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现了什么？用自己的语言叙述你的发现.答案：1.B 2.13.解：（1）当AB，CD在圆心的同侧时，如图1，过点O作OM⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD，得Rt△OMB，Rt△OND，然后由勾股定理，求得OM=4cm，ON=3cm.故AB和CD的距离为1cm.（2）当AB，CD在圆心的异侧时，如图2，仍可求得OM=4cm，ON=3cm.故AB和CD的距离为7cm.所以AB和CD的距离为1cm或7cm.4.解：与相等.证明如下：连接OA，OB，则∠OAB=∠ABO.∵OA=OB，AE=BF，∴△OAE≌△OBF，即∠AOC=∠BOD，即=.5.解:（1）30°.（2）连接AC，由（1）可得∠DBC=40°.（3）连接AC，由（1）可得∠DBC=α.（4）在图①中，∠BAC=∠DBC，在图②、图③中，∠CBD=∠BA'C，由此可得：圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角.五、归纳小结你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆有关的证明方法？你还有什么疑问？※布置作业※从教材复习题24中选取．※教学反思※本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点的前提下，又能抓住重点.。

第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论． 难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __． 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个． 3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __． 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米) 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形． 2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE⊥AB， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是__53__cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE. ∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm . ∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm . ∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理． 难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题． 探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB＝∠COD __； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB＝∠COD； (3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO _≌_△ABO __； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数． 解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等． 解：∠AMN＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴∠OMA ＝∠ONC，∠OMN ＝∠ONM， ∴∠OMA －∠OMN＝∠ONC－∠ONM. 即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数． 解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形． 理由：过点O 作OG⊥CD 于点G ， 则CG ＝DG.∵CE＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG⊥CD，∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF，∠DFB ＝∠OFE， ∴∠CEA ＝∠DFB. 在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM⊥AB，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ， ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题． 归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数． 解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数． 解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD ＝∠BCD， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD⊥BD， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC .求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB ＝2∠BOC，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P 在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O 的半径r ＝10，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6，在直线l 上有A ，B ，C 三点，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝9，问A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O 的半径为4，OP ＝，则P 在⊙O 的__内部__．2．已知点P 在⊙O 的外部，OP ＝5，那么⊙O 的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙O 的半径为5，M 为ON 的中点，当OM ＝3时，N 点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的__外部__．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，求△ABC 的外接圆半径．解：连接AO 并延长交BC 于点D ，再连接OB ，OC.∵AB ＝AC ，∴∠AOB ＝∠AOC.∵AO ＝BO ＝CO ，∴∠OAB ＝∠OAC.又∵△ABC 为等腰三角形，∴AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， ∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254. 即△ABC 的外接圆半径为254. 点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD⊥BC，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm .(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？(2)若以A 点为圆心作⊙A，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为__332__cm . 3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是直线l 到O 的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r ＝125或3＜r≤4. 点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作圆，试确定⊙A 和x 轴、y 轴的位置关系．解：⊙A 与x 轴相交，与y 轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，r 为半径作圆．①当r 满足__0＜r ＜125__时，⊙C 与直线AB 相离． ②当r 满足__r ＝125__时，⊙C 与直线AB 相切． ③当r 满足__r ＞125__时，⊙C 与直线AB 相交． 2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相离．4．已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且|d －3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O 的位置关系．解：相切．5．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，d ，r 是一元二次方程(m ＋9)x 2－(m＋6)x ＋1＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，求m 的值．解：m ＝0或m ＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA＝∠B；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是__10__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB.∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴PE ＝12BC ＝BE. ∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P 98的练习．2．如图，∠ACB ＝60°，半径为1 cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__3__cm .,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P 与直线CD 相切．4．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为__16__cm .,第4题图),第5题图)5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A＝25°，则∠D＝ __40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠A EB ＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC (∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c 2. 点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝__65°__．。