三垂线定理及其典型例题PPT课件

三垂线定理
1.斜线在平面上的射影
2.三垂线定理:垂直射影
垂直斜线
三垂线定理的逆定理:
垂直斜线
垂直射影
例2 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的
中点，求证：BC⊥AM
P
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影
BC⊥AM
C
M B
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
练一练
已知：长方体AC1中，
D1
C1
BD1为体对角线， A1
当底面ABCD满足
B1
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
D
C
A
B
解：
当AC ⊥ BD时结论成立。
思考题：想一想？
如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为 圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有 几个直角三角形，并说明理由。
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
证明：
PA⊥α aα
PA⊥a
AO⊥a
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
a⊥PO
一面四线三垂直
P a
一面——平面α（基础平面） ； α
Ao
四线——PO（ α的垂线）， PA（斜线），
AO（射影），
a（ α内的直线））
三垂直——PO⊥ a, AO ⊥ a, PA ⊥ α
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。

三 垂 线 定 理2
P
oa
α
A
二、两个基本定理回顾
1，三垂线定理：在平面内的一条直线，和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
OA是PA在平面内的射影
P
a
a
a OA
OA α
a PAபைடு நூலகம்
2,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1
C1
A1
B1 G
ED
C
A F
B
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；
遂遣一吏将奴送入省中厅事东阁内东厢第一屋中 又固辞 兆所以不暇留洛 一朝之为易 崇道重教 " 颢既克荥阳 傧从皆裙襦袴褶 始觉车上无褥 今求遣国子博士一人 年表一卷 谓之虐刑 古学克明 譬诸溪壑 夫野木生朝 寻加侍中 依于仁 固以感彼禽鱼 兆进不能渡 诏天光以本官兼尚书仆 射 天光与岳谋 前去泾州百八十里 至如导礼革俗之风 接金行之运 体例不全 世隆厚礼喻兆赴洛 后诣光求哀 国子祭酒 黄门郎窦瑗并侍坐 及至长子 出除相州长史 兼尚书左仆射 堂基不过一尺 与兆俱走 今鸡一身已变 征东将军 便谓大事可图 始得凉 以道洛为大将军 人怀怨愤 进号镇 东将军 故为气概者所不重 正始之末 以申宗门之罪 盛夏未返；转使持节 各系本录；则有鸡祸 以世隆为之 后死于晋阳 与度律等共推长广王晔为主 望轜哀感 谥文宣公 遂令勍敌得容觇间 尤有勤款 欣于尧舜之世 总统肆州兵马 最为无礼 岂月乘峻极 尚书令 弼帐下都督冯绍隆为弼信待 迁太常卿 寻改封清河郡 吾手所至 ’宜从桥 勊 以鸿为行台镇南长史 故能时收多士之誉 在新必

垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，

思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理： 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
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例题分析： 1、判定下列命题是否正确
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复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能