数学建模：统计模型

数学建模之统计模型主讲：张伟内容概要•统计模型概要•参数检验•非参数检验•方差分析一、统计模型（Statistical Model）1. 概念有些过程无法用理论分析方法导出其模型，但可通过试验或直接由工业过程测定数据，经过数理统计求得各变变量之间的函数关系，称为统计模型数学建模就是利用数学方法来解决实际问题。

常用模型：最大似然估计、回归分析、聚类分析、非参数估计等软件：SPSS统计软件2.建模背景案例1：眼科病床的合理安排（2009年B题）该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

案例2：葡萄酒的评价问题（2012年A题）二、参数检验（Parametric Tests）当总体分布已知（如总体为正态分布），根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。

主要目的（1）估计参数的取值，（2）对参数进行某种统计检验。

这类问题往往用参数检验来进行统计推断。

（单个或多个参数）.某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?案例3：重是一个随机变量X ,且),(~2σμN X 其均值为μ=0.5公斤,标准差σ=0.015公斤.随机地抽取它所（α=0.05）提出假设寻求统计量写出拒绝域进行检验解题思路：求解:SPSS软件或是Excel三、非参数检验（Nonparametric Tests）当总体分布未知，根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。

主要目的（1）估计参数的取值；（2）对参数进行某种统计检验。

这类问题往往用参数检验来进行统计推断。

（单个或多个参数）.1.单样本检验（拟合性检验）样本观测值总体分布（1）卡方检验寻求方法拟合（2）二项分布检验（3）K-S检验注：主要服从分布：离散型分布，正态分布，指数分布等案例1中：病床的合理安排需要做数据分析，拟合以下两个重要的指标：（1）病人到达人数服从Poisson分布，分布检验，分布参数提取；（2）术后住院时间分布：正态分布or Г分布or 经验分布；案例2中问题1：首先，通过单样本K-S检验确定葡萄酒评分数据的概率分布；然后再做显著性检验。

x1 2，F1统计量和与χ y1 对应的概率p。 相关系数 R 回归系数 a ， b 以及它们的置信区间 0 残差向量e=Y-Y 及它们的置信区间 X , Y 1 xn yn
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。

年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
若y与x之间有线性相关关系,某人年个人消费支出总额为2.6万元,据此估
计其恩格尔系数为
.
5
5
=1
i=1
参考数据: ∑ xiyi=4, ∑ 2 =22.5.
^
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其经验回归直线 =
现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了
初步处理,得到下面的一些统计量的值.
x/万元
y/t
2
2.5
4
4
5
4.5
3
3
6
6
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答
5
=
则样本点的中心坐标为
19.65+m
,
5
19.65+m
4,
5
,
19.65+
代入y=1.03x+1.13,得 5 =1.03×4+1.13,
^
解得 m=6.6.故选 B.
答案:B
2.(多选题)下列说法正确的是(
)
附:χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α
xα
0.1
2.706
0.05
3.841
直线附近,并且在逐步上升,
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学选修23第二章第四节“回归分析”和第三章第三节“独立性检验”。

具体内容包括：1. 回归直线方程的求法及应用；2. 相关系数的概念及其应用；3. 独立性检验的方法及其应用。

二、教学目标1. 理解回归直线方程、相关系数的概念，学会求回归直线方程和计算相关系数；2. 掌握独立性检验的方法，并能运用独立性检验解决实际问题；3. 培养学生的数据分析能力、数学建模能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法及应用；2. 教学重点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、笔记本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以“调查某班级学生的身高和体重关系”为例，引导学生思考如何利用数学模型描述身高和体重之间的关系；2. 讲解回归直线方程的求法：通过示例，讲解最小二乘法求回归直线方程的步骤，让学生掌握求回归直线方程的方法；3. 讲解相关系数的概念及计算方法：解释相关系数的概念，演示如何利用计算器计算相关系数，让学生理解相关系数的作用；4. 应用练习：让学生运用回归直线方程和相关系数解决实际问题，如预测某学生的体重；5. 讲解独立性检验的方法：通过示例，讲解独立性检验的步骤，让学生掌握独立性检验的方法；6. 应用练习：让学生运用独立性检验解决实际问题，如判断“性别与购买意愿是否独立”；六、板书设计1. 回归直线方程的求法；2. 相关系数的概念及其计算方法；3. 独立性检验的方法。

七、作业设计1. 求下列数据的回归直线方程：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 682. 计算下列数据的相关系数：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 683. 某班级有男生20人，女生15人，男生中有12人购买了某商品，女生中有8人购买了该商品。

统计建模技术统计建模技术是一种应用于数据分析和预测的方法。

它基于统计学原理，并利用数学模型来描述和解释数据。

统计建模技术在各个领域中都得到了广泛的应用，如商业、金融、医疗等。

统计建模技术的核心是建立一个适当的数学模型，以对数据进行分析和预测。

这个模型可以是线性模型、非线性模型、时间序列模型等等。

在建立模型之前，我们首先需要对数据进行收集和整理。

这个过程包括数据的清洗、转换和筛选。

清洗数据是为了去除错误和缺失的数据，使得数据集更加可靠和准确。

数据转换是为了使数据符合模型的假设，例如对数据进行标准化或变换。

数据筛选是为了选择与问题相关的数据，以减少模型的复杂性和提高模型的解释能力。

在建立模型之后，我们需要对模型进行验证和评估。

模型验证是为了确定模型是否能够很好地解释数据，并对新数据进行准确的预测。

常用的模型验证方法包括交叉验证、留一法和自助法等。

模型评估是为了比较不同模型的性能，并选择最优的模型。

常用的模型评估指标包括均方误差、对数似然比和准确率等。

统计建模技术有很多种类，其中包括线性回归、逻辑回归、决策树、支持向量机和神经网络等。

线性回归是一种用于建立线性关系的模型，逻辑回归是一种用于建立分类模型的方法，决策树是一种用于建立决策规则的方法，支持向量机是一种用于建立分类边界的方法，神经网络是一种用于建立非线性模型的方法。

这些方法都有各自的优缺点，适用于不同类型的问题。

统计建模技术的应用非常广泛。

在商业领域，统计建模技术可以用于市场分析、销售预测和客户关系管理等。

在金融领域，统计建模技术可以用于风险评估、投资组合优化和信用评分等。

在医疗领域，统计建模技术可以用于疾病预测、药物研发和医疗资源分配等。

在工业领域，统计建模技术可以用于质量控制、故障诊断和生产优化等。

统计建模技术是一种强大的工具，可以帮助我们对数据进行分析和预测。

它在各个领域中都得到了广泛的应用，并取得了显著的成果。

随着数据的不断增长和技术的不断进步，统计建模技术将发挥越来越重要的作用，为我们提供更准确、更可靠的决策支持。

对因变量的影响是否显著.
• 模型改进, 如增添二次项、交互项等. • 对因变量进行预测.
2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系 . 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 薪金 13876 11608 18701 11283 资 历 1 1 1 1 管 理 1 0 1 0 教 育 1 3 3 2 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55
7.93 9.26
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
e 与资历x1的关系
2000 1000
2000 1000 0 -1000
0
-1000
-2000
0
5
10
15
20
-2000
1
2
3
4
5
6
残差大概分成3个水平, 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映.
残差全为正,或全为负,管 理—教育组合处理不当. 应在模型中增加管理x2与 教育x3, x4的交互项 .
1 牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量. 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .

数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。

我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。

数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与统计》第十章，具体内容为第一节的统计模型。

详细内容包括描述统计和推断统计的基础知识，重点探讨如何构建线性回归模型，以及如何运用该模型进行数据的预测和分析。

二、教学目标1. 理解并掌握描述统计和推断统计的基本概念和方法；2. 学会构建线性回归模型，并运用模型对实际问题进行预测和分析；3. 培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：线性回归模型的构建和应用。

教学重点：描述统计和推断统计的基本概念，以及线性回归模型的构建和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、计算器。

五、教学过程1. 引入：通过展示一组实际数据，引出描述统计和推断统计的概念，激发学生的兴趣。

2. 知识讲解：a. 简要介绍描述统计和推断统计的基本概念；b. 详细讲解线性回归模型的构建方法和应用。

3. 例题讲解：a. 演示如何构建线性回归模型；b. 结合实际案例，展示如何运用线性回归模型进行预测和分析。

4. 随堂练习：a. 让学生独立完成一组实际数据的描述统计分析；b. 引导学生构建线性回归模型，并对数据进行预测和分析。

六、板书设计1. 描述统计和推断统计的概念；2. 线性回归模型的构建方法；3. 线性回归模型的应用案例；4. 随堂练习的解答。

七、作业设计1. 作业题目：a. 对一组实际数据进行描述统计分析；b. 根据给定的数据，构建线性回归模型，并进行预测和分析。

2. 答案：见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对描述统计和推断统计的概念掌握情况，以及对线性回归模型构建和应用的理解程度。

2. 拓展延伸：a. 探讨其他统计模型（如非线性回归、时间序列分析等）在实际问题中的应用；b. 引导学生参加数学建模竞赛，提高解决实际问题的能力。

重点和难点解析1. 线性回归模型的构建方法；2. 线性回归模型在实际问题中的应用；3. 课后作业的设计与答案。

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。

建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。

然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。

整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。

整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。

多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。

目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。

目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。

设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。

设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。

在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。

数学建模统计模型
数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行抽象和建立数学模型，从而求解或预测问题的过程。

数学建模可以应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学等，在解决实际问题中具有重要的作用。

统计模型是指利用统计学的理论和方法对数据进行分析和建模的过程。

统计模型可以描述和预测数据的变化和规律，从而提供对实际问题的认识和解决方案。

统计模型包括描述性统计模型和推断性统计模型，前者用于对数据进行总结和描述，后者用于对数据进行推断和预测。

数学建模和统计模型在解决实际问题时常常相互结合。

数学建模可以通过建立数学模型抽象和简化实际问题，而统计模型可以通过对数据的分析和建模验证和改进数学模型。

通过数学建模和统计模型的应用，可以提高问题的分析和解决的准确性和可靠性。

聚类分析
聚类分析是一种数值分类方法。所研究的样 本或者变量之间存在程度不同的相似性，要 求设法找出一些能够度量它们之间相似程度 的统计量作为分类的依据，将相似程度大的 样本聚合为一类，把另外一些彼此之间相似 程度大的样本聚合为另外一类⋯⋯关系密切 的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚 合到一个大的分类单位，直到把所有样品都 聚合完毕，把不同的类型一个个划分出来， 形成一个由小到大的分类系统。
判别分析
判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或 组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观 测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式， 然后对未知类型的样品进行判别分类。对于聚 类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先 并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类 型的。正因为如此，判别分析和聚类分析往往 联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各 类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分 类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样 品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以 对新样品进行判别。
第三部分
往年试题分析
历年来的CUMCM题
1992年A题：施肥效果分析 B题：实验数据分解 1993年A题：非线性交调的频率设计 B题：足球队排名次 1994年A题：逢山开路 B题：锁具装箱 1995年A题：一个飞行管理问题 B题：天车与冶炼炉的作业调度
第二部分
统计学基础知识简介
统计学基础知识简介
统计是“认识社会的最有力的武器之 一”——列宁 什么是统计学？
一封统计学博士的情书
亲爱的莲： 我们的感情，在组织的亲切关怀下、 在领导的亲自过问下，一年来正沿着健康 的道路蓬勃发展。这主要表现在： （一）我们共通信121封，平均3.01天一 封。其中你给我的信51封，占42.1%； 我给你的信70封，占57.9%。每封信平 均1502字，最长的达5215字，最短的也 有624字。

数学建模统计模型教学优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与数学探究》第四章“统计模型”部分，具体内容包括：4.1节“数据的收集与整理”，4.2节“频率分布直方图”，4.3节“统计量及其计算”，4.4节“概率分布的估计”。

二、教学目标1. 理解并掌握数据的收集、整理和描述方法，能运用频率分布直方图对数据进行可视化展示。

2. 掌握常用的统计量（如平均数、中位数、众数、方差等）的计算方法，并能够根据实际问题选择合适的统计量进行分析。

3. 了解概率分布的估计方法，能够利用样本数据对总体分布进行推断。

三、教学难点与重点难点：频率分布直方图的绘制，概率分布的估计。

重点：数据的收集与整理，统计量的计算，概率分布的理解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件，黑板，粉笔。

2. 学具：直尺，圆规，计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一组关于学生身高、体重等数据的调查报告，引导学生思考如何对这些数据进行合理的整理和分析。

2. 数据的收集与整理（15分钟）（1）介绍数据的收集方法，如问卷调查、实验测量等。

（2）讲解数据的整理方法，如排序、分类、编码等。

3. 频率分布直方图（20分钟）（1）讲解频率分布直方图的绘制方法。

（2）通过例题讲解，引导学生动手绘制频率分布直方图。

4. 统计量及其计算（15分钟）（1）介绍常用的统计量：平均数、中位数、众数、方差等。

（2）讲解统计量的计算方法，并通过例题进行巩固。

5. 概率分布的估计（20分钟）（1）讲解概率分布的估计方法，如极大似然估计、矩估计等。

（2）通过例题讲解，引导学生利用样本数据对总体分布进行推断。

6. 随堂练习（15分钟）布置几道与教学内容相关的练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。

六、板书设计1. 数据的收集与整理2. 频率分布直方图3. 常用统计量及其计算方法4. 概率分布的估计方法七、作业设计1. 作业题目：（1）收集并整理一组数据，绘制频率分布直方图。

费用统计表
1个月工资 2个月工资 3个月工资
全职工资
/人
/人
/人
2 000
4 800
7 500
15 840
7
3
13
10
14 000 14 400 97 500 158 400
313 175
培训费用
875 33 28 875
从计算结果可以看出，总费用会比全部雇用临时工少350 RMB，因为培训费用虽然 可以减少 8 750 RMB，但是工资却增加 8 400 RMB，所以在培训费用较高的情况下， 多雇用全职员工可减少总费用；在培训费用较低的情况下，就尽量少雇用全职员 工．例如：当培训费用减少至700 RMB时，若雇用10名全职工，总费用将增加 5 000 RMB.
雇用一个月人数为7人，雇用二个月的人数为3人，雇用三个月人数为33人．
当培训降低至700 RMB/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份 雇佣一个月人数 雇佣二个月人数 雇佣三个月人数 总雇佣人数
1月份
10
0
2月份
23
0
3月份
19
0
4月份
26
0
5月份
20
0
6月份
14
0
合计
112
0
0
10
0
23
5
19
14
15
5月份
0
0
0
0
6月份
0
0
0
0
合计
7
3
33
43
项目
费用 人数 合计 总费用
费用统计表
2个月工资/
1个月工资/人

岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
02
03
模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系，通常形式为y=ax+b， 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计，使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验，包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等，以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析，包括残 差的分布、异方差性检验等，以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标，评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验，如果不显著则将其从模型中 剔除。
02
4. 重复步骤2和3，直到没有新的 自变量可以进入模型，也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。

数学建模常用模型与算法一、常用模型☐（一）、评价模型：☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等☐（二）、预测模型：☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程☐（三）、统计模型：☐方差分析、均值比较的假设检验☐（四）、方程模型：☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解）☐（五）运筹优化类：☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法☐(六)其他模型：☐随机模拟模型、等二、十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。

数学建模大作业摘要某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。

通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。

我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。

在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。

但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。

在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。

通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。

在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。

并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。

通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。

关键词：销售额、回归模型、自相关性一、问题提出某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.（1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。

（2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。

二、基本假设假设一：模型中ε（对时间t ）相互独立。

三、符号说明公司销售额：y （百万）行业销售额：x （百万） 概念介绍：1.自相关：自相关（auto correlation ），又称序列相关（serial correlation ）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。

历年数模竞赛试题的统计分析摘要全国大学生数学建模竞赛作为大学生热门赛事，其试题难度趋势及建模方法是直接关系到比赛好坏。

本文也是围绕该问题，利用主成分统计方法及历年赛题相关文献建立一系列数学模型对历年赛题进行综合评价预测和重要性建模方法排序，最后由模型的求解结果提出建设性意见。

对于问题一：本文利用主成分分析方法建立了综合评价预测模型，在实际基础上对影响赛题难易度的因素设置合理的值，再利用第一主成分对历年赛题进行综合评价，评价结果为，2010年的赛题最难，其次是2015年，在此基础上建立主成分回归方程，对2016年赛题难易程度的预测，结果为该年的获奖率较高，难度不大。

对于问题二：本文在综合评价预测模型基础上建立了重要性排序模型。

通过对历年的赛题解题方法进行统计分析，建立评价函数，最后得到建模方法的重要性排序。

建模中所用方法最多、最重要的是运筹规划，次之是网络优化和数值运算。

对于问题三，我们在问题一和问题二的求解结果的基础上提出短期建议应提高运筹规划，网络优化和数值运算的掌握与应用，并在长期建议中提出提高阅读能力，拓宽知识面和学习计算机新型算法等建议。

该模型思路方法清晰，适合对数模竞赛题进行统计分析。

关键字：主成分分析；评价；预测；排序1介绍1.1背景自80年代开始，我国的数学建模教学和数学建模竞赛日益蓬勃地发展起来。

到如今，全国数学建模竞赛已成为全国大学生及研究生的重要赛事，且竞赛成绩也成为了衡量一个高等学府实力的一个标准。

数学建模竞赛有利于推进高校学生的综合素质教育，还有利于建立高校学生把实际问题和数学方法联立的思想方法。

正因为如此，提前的科学性教学以及对历年赛题的分析也变得尤为重要。

1.2问题重述全国大学生数学建模竞赛题型众多，对于建模竞赛试题题型及难度趋势的把握，关系到赛前准备工作的落实及比赛成绩的好坏。

但是将每个题目都做一遍显然不可能，一种思路是对题目的特点进行分析，作出判断，用于指导赛前的各项准备工作。