2019届北师大版(文科数学) 不等式 单元测试

课时作业 A 组——基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]． 答案：B3．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－x －6＜0}，则集合A 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：不等式x 2－x －6＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}，又x ∈N ，所以A ＝{0,1,2}，故集合A 的子集的个数为23＝8，故选D. 答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .故C 项不成立． 答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D7．不等式(1＋x )( 1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ． (1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a ， b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是__________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集． 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为 (－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B. a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎨⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m－1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0<b <a <1，则下列结论不一定成立的是( ) A.1a <1b B.a >b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<b <a <1时，1a <1b 恒成立；对于B ，函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<b <a <1时，a >b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a <b <0得a －b <0，∴a (a －b )>0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B.答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c解析：∵f (x )是定义在 (－∞，＋∞)上的偶函数，∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)．∵log 23＝log 49>log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B.⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.。

1．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C .边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *) D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *) 解析：选B .因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *)．3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项． 答案：2k4．(2018·绍兴模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________．解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.答案：f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)5．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝1a n ＋1－12. (1)求证：23≤a n ≤1；(2)求证：|a n ＋1－a n |≤13.证明：(1)由已知得a n ＋1＝1a n ＋12，计算a 2＝23，a 3＝67，a 4＝1419，猜想23≤a n ≤1.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，命题显然成立；②假设n ＝k 时，有23≤a n ≤1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1a k ＋12≤123＋12＜1，a k ＋1＝1a k ＋12≥11＋12＝23，即当n ＝k ＋1时也成立，所以对任意n ∈N *，都有23≤a n ≤1.(2)当n ＝1时，|a 1－a 2|＝13，当n ≥2时，因为(a n ＋12)(a n －1＋12)＝(a n ＋12)·1a n ＝1＋12a n ≥1＋12＝32，所以|a n ＋1－a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ＋12－1a n －1＋12＝|a n －a n －1|（a n ＋12）（a n －1＋12）≤23|a n －a n －1|≤…≤⎝⎛⎭⎫23n －1|a 2－a 1|＝13·⎝⎛⎭⎫23n －1. 6．(2018·温州高考模拟节选)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4；(2)猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，且a 1＝2，b 1＝4.令n ＝1，得到⎩⎪⎨⎪⎧8＝2＋a 2，a 22＝4b 2解得a 2＝6，b 2＝9；同理令n ＝2，3分别解得a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.(2)证明：猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．7．(2018·台州市高三期末考试)在正项数列{a n }中，已知a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ≥(32)n －1.解：(1)因为在正项数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)，所以a 2＝2×1－11＋1＝32，a 3＝2×32－132＋1＝135.(2)证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝1≥(32)1－1＝1，不等式成立；②假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥(32)k －1，因为f (x )＝2x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，所以a k ＋1＝2a k －1a k ＋1≥2(32)k －1－1（32）k －1＋1＝(32)k ＋13(32)k －1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋13（32）2k －1＋13（32）k－1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋19[（32）k ＋3][2×（32）k －3]（32）k －1＋1， 因为k ≥1，所以2×(32)k －3≥2×32－3＝0，所以a k ＋1≥(32)k ，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②知不等式对任何n ∈N *都成立．8．(2018·台州市书生中学月考)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ≠0，S n 为该数列的前n 项和，且S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 3n >a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：(1)因为S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *， 所以S n ＋1－S n ＝a n (1－a n ＋1)， 所以a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＝a n －a n a n ＋1， 所以a n －a n ＋1＝a n a n ＋1.又a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1，n ∈N *.(2)当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是最大的正整数， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，则当n ＝k ＋1时， 有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）.因为13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>6（k ＋1）9k 2＋18k ＋9＝23（k ＋1），即13k ＋2＋13k ＋4>23（k ＋1）， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）>0.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.1．(2018·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，n ∈N *，设b n ＝log 2(a n ＋1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1b n －1＜n (n ≥2)；(3)若2c n ＝b n ，求证：2≤(c n ＋1c n)n＜3.解：(1)由a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，则a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，由a 1＝3，则a n ＞0，两边取对数得到log 2(a n ＋1＋1)＝log 2(a n ＋1)2＝2 log 2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n . 又b 1＝log 2(a 1＋1)＝2≠0，所以{b n }是以2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .又因为b n ＝log 2(a n ＋1)， 所以a n ＝22n －1.(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝2时，左边为1＋12＋13＝116＜2＝右边，此时不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋＜k ＋1＝右边，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上可得：对一切n ∈N *，n ≥2，命题成立． (3)证明：由2c n ＝b n 得c n ＝n ， 所以(c n ＋1c n )n ＝(1＋n n )n ＝(1＋1n)n ，首先(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1n k ＋… ＋C n n 1nn ≥2， 其次因为C k n 1n k＝n （n －1）…（n －k ＋1）k ！n k ＜1k ！≤1k （k －1）＝1k －1－1k(k ≥2)， 所以(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1n k ＋…＋C n n 1n n ＜1＋1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝3－1n＜3， 当n ＝1时显然成立．所以得证．2．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n na n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n 的公式，并给出证明．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝⎛⎭⎫1＋1n n <e . (2)b 1a 1＝1·⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .(*)下面用数学归纳法证明(*)成立． ①当n ＝1时，左边＝右边＝2，(*)成立. ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)成立， 即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k . 当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k ·(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，(*)也成立.根据①②，可知(*)对一切正整数n 都成立.。

阶段复习检测(六) 不等式、推理与证明教师用书独具时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝⎛⎭⎫－3， －32 B ．⎝⎛⎭⎫－3， 32 C ．⎝⎛⎭⎫1， 32 D ．⎝⎛⎭⎫32， 3解析：选D A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x >32.所以A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32， 3. 2．(2018·洛阳模拟)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选C ∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C ．3．(2018·济南模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：选B “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B ． 4．(2018·唐山模拟)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．5．(2018·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．6．观察下式： 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …据此你可归纳猜想出一般结论为( ) A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋) B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N ＋) C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N ＋) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N ＋)解析：选D 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2. 7．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－12x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．322B ．92C ．5D ．5解析：选B 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－12x －y ≤3，作出可行域如图，x 2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92.故选B ．8．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.9．(2018·晋中模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≤0x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≤0x 2＋y 2≤4作出可行域如图，z ＝y －2x ＋3的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3,2)连线的斜率．设过P 的圆的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0.由|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝－125.∴z ＝y －2x ＋3的最小值为－125.故选C ．10．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期是( ) A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日D ．2日和11日解析：选C 这12天的日期之和S 12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．11．若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选D ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t－1)2＋12≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D ．12．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选A (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3，f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7，f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8，f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·双鸭山模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y ≤x ， z ＝x ＋ay (a ＞1)的最大值为3，则实数a ＝________.解析：画出满足条件的平面区域，如图示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＝x，解得A (1,1)，∵a ＞1，∴－1＜－1a ＜0，∴z ＝x ＋ay 看化为：y ＝－1a x ＋za ，结合图像直线过A (1,1)时，z 最大，z 的最大值是z ＝a ＋1＝3，解得a ＝2.答案：214．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是________．解析：若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确．答案：丁15．(2017·上饶模拟)甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元.解析：3－x ，二等奖奖品为6－y ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤43－x ≥06－y ≥0x ，y ≥0，设费用为z ，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000， 作出不等式组对应的平面区域如图：平移z ＝－300x －200y ＋6 000，由图像知当直线经过点A 时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ＋y ＝4，解得A (3,1)，组委会定做该工艺品的费用总和最低为z ＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故生产一等奖奖品3个，二等奖奖品1个，其余都由乙生产，所用费用最低．答案：4 90016．(2018·广元诊断)在条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0下，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值是________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0x －y ＋2＝0，解得A (8,10)，由z ＝ax ＋by ，得y ＝－a b x ＋zb ，由图可知，当直线y ＝－a b x ＋z b 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为8a ＋10b ＝40，即a 5＋b 4＝1.∴5a ＋1b ＝⎝⎛⎫5a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 5＋b 4＝54＋⎝⎛⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋25b 4a ·a 5b ＝54＋2×12＝94. 当且仅当5b 4a ＝a5b 时上式等号成立．答案：94三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：由f (x )>0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0， 即3x 2－a (6－a )x －b <0. 因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.18．(12分)已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．19．(12分)已知数列{a n }的前 n 项和 S n ＝3n 2－n 2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N ＋ ，使得 a 1，a n ，a m 成等比数列． (1)解：由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合． 所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2. (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列， 只需要a 2n ＝a 1·a m ， 即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N ＋，且m >n .所以对任意的n >1，都存在m ∈N ＋，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 20．(12分)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b≥21ab，所以ab ≥2， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因为a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6， 故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立． 21．(12分)(2018·池州模拟)已知函数f (x )＝ ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12. ∴x 2－x －⎝⎛⎭⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 22．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.(1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0， 知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图像的对称轴方程为 x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。

2011年—2018年新课标全国卷理 数学试题分类汇编15．不等式选讲（2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.（2018·新课标Ⅱ，23）设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．（2018·新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：不等式选讲 （10分）设函数()211f x x x =++-．(1)出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）33()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +…的解集非空，求m 的取值范围．（2016·新课标Ⅰ，24）已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+.（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围。