2.1.3 推理案例赏析 课件(苏教版选修1-2) 2017-2018学年高中数学

2.1.3推理案例赏析双基达标(限时15分钟)1．下面几种推理是合情推理的是__________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)×180°.解析①是类比推理，②④是归纳推理．答案①②④2．观察以下不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，由以上各式归纳可得出的一般结论为________．答案1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n(n≥2，n∈N*)3．已知圆的方程为x2＋y2＝a2，则圆的面积为πa2.类比上述结论，可得椭圆的类似结论为________________．答案椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆的面积为πab4．已知{b n}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．解析b25＝b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6，在等差数列中2a5＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，所以有a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案 a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×95．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________．解析 f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62即f (2n )≥n ＋22.答案 f (2n )>n ＋226．如图所示，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解 在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F .于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立． 综合提高 (限时30分钟)7．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.解析 由题意，得b 2＋c 2＋c 2＝(c ＋a )2，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，又e >1，解得e ＝5＋12.答案 5＋12 8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为__________．解析 第1个图只有一条线段，则第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图增加2×8＝24条线段，则第6个图中线段数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝125.答案 1259．设题中字母均为正数，由下列恒等式： ①a ·1a ＝1；②(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4； ③(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9. 可以归纳出的一般结论是______________．答案 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2(a i ∈R ＋，i ＝1,2，…n ) 10．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________________________②， ②式可以用语言叙述为：_____________.解析 半径为R 的球，体积V (R )＝43πR 3，表面积S ＝4πR 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 11．观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝1tan γ.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， 所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1tan γ·(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立．12．观察下列算式，猜测此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示，并加以证明．1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，……解 数表中每行的每一项构成的数列为{a n },1,3,7,13,21，…，其构成规律是a1＝1，a n－a n－1＝2(n－1)(n≥2，n∈N)∴a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1＋2[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋n(n－1)＝n2－n＋1.因此，此表反应的一般规律可表示为：(n2－n＋1)＋[(n2－n＋1)＋2]＋[(n2－n＋1)＋4]＋…＋[(n2－n＋1)＋2(n－1)]＝n3.13．(创新拓展)设N＝，通过对n＝1,2,3等的研究，你能得到什么结果？归纳出一般结论，并加以证明．证明n＝2时，N＝ 1 111－22＝11×102＋11－22＝11×102－11＝11×(102－1)＝33×102－13＝33×33＝33n＝3时，N＝111 111－222 ＝111×103＋111－222＝111×(103－1)＝333×103－13＝333×333＝333.。

记忆中，学员队管理较之部队基层营连还要严格、正规、有序。队里十分注重从内务卫生抓起，从点滴培养我们团结、紧张、自律、过硬的工作作风。
我感触最深的是，教导员每周都要采取不打招呼的方式对内务卫生进行全面检查，并将检查最好与最差的班和个人都公布在小黑板上。每次下课回到宿舍，同学们的眼睛不约而同地扫向小黑板，怕 自己的名字出现在最差栏目上。可以说，内务好与差，黑板见分晓。当时我的压力很大。因为我是新被子，棉絮较厚难以定型，体现不出棱角。因为怕上小黑板，我采取凳子加书本压的方式，甚至还采 取极端方式，把水洒在被子上，被子明显地“消瘦”了，容易马上折出梭角。经过一段时间的折腾，叠被子经历了由“馒头”到“豆腐块”的转变。后来，我也上过几次小黑板，当然是最好的内务呢。
第三件事是，我未能参加大队组织实兵连拉动综合演练，令我终生抱憾。当年大队组织防化连实兵拉动综合演练时，我因喷火训练时不慎受伤，行动不便，留守在家，错过了一次很好的锻炼机会。 后来我分到部队后，接着又调入机关，从此防化实兵综合拉动演练与我无缘，永远在梦中。足球论坛
当然，我还记得，学校组织过一次防化兵专业训练大比武，同学们积极备战，刻苦训练，不辞辛劳。比武那天，我们班长王世军不畏强手，超常发挥，夺得了观测比武第一名，消息传来，犹如自己 夺冠一样高兴。
最后，我还要衷心感谢军事地形学的教员们，把两次军事地形学野外训练地点，分别安排在八达岭和十三陵水库附近，让我们在训练之余，能够游览八达岭长城和十三陵水库。教员们的良苦用心， 让ห้องสมุดไป่ตู้强烈感受到严的要求，爱的深沉。可以说，这是一种无言的大爱！

2.1.3 推理案例赏析1．推理案例的启示(1)数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地________________的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．(2)________是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．(3)________是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．2．数学命题推理数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和________是常用的合情推理．从推理形式上看，________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．预习交流1做一做：在数列{a n}中，a1＝1，S n，S n＋1,2S1成等差数列(不必证明)(S n表示{a n}的前n 项和)，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想S n＝________.预习交流2做一做：从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出的结论是__________．预习交流3做一做：已知a＞0且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)．求证：P＞Q.预习导引1．(1)提出猜想、验证猜想 (2)合情推理 (3)演绎推理2．归纳推理 类比推理 归纳推理 类比推理 合情推理 演绎推理预习交流1：提示：∵S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列，∴2S n ＋1＝S n ＋2S 1.∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.∴当n ＝1,2,3时，依次得S 2＝32，S 3＝74，S 4＝158.猜想S n ＝2n －12n －1. 预习交流2：提示：从大、小正方形的数量关系上，容易发现1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.预习交流3：证明：当a ＞1时，a 3＋1＞a 2＋1，∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)．当0＜a ＜1时，a 3＋1＜a 2＋1，∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)．综上，P ＞Q .一、利用合情推理提出猜想设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 思路分析：注意几何图形参数在由k 变到k ＋1时，发生了哪些变化，增加了多少．1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为__________．2．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________ ________________________________________________________________________.合情推理和演绎推理的关系是：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．二、利用演绎推理证明已知{a n }为等差数列，首项a 1＞1，公差d ＞0，n ＞1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1＜(lga n )2.思路分析：对数之积不能直接运算，必须由均值不等式转化为对数之和进行运算．如图所示，在梯形ABCD 中AB =DC =DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错．再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除，此推理错误的原因是小前提错．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．1．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_________，f(n)=_________.(答案用数字或含n的解析式表示)2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na＋b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________，c＝________.3．根据下列给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 1114．__________，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．请将此三段论补充完整．5．已知a，b，m均为正实数，且b＜a，用三段论证明ba＜b＋ma＋m.答案：活动与探究1：k－1 解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.迁移与应用：1．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4.2．表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．活动与探究2：证明：∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d ＞0，∴a n －1·a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a n 2－d 2＜a n 2.∵a 1＞1，d ＞0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＞1.∴lg a n ＞0.∴lg a n ＋1lg a n －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a n ＋1＋lg a n －122 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12lg(a n －1a n ＋1)2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg a n 22＝(lg a n )2， 即lg an ＋1lg an －1＜(lg an )2.迁移与应用：证明：①等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA ，DC 是两腰，(小前提)∠1＝∠2.(结论)②两条平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)③等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)所以∠2＝∠3，(结论)即AC 平分∠BCD .④同理DB 平分∠CBA .当堂检测1．n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)2解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n 2. f (4)＝4×2＋4×12×2＝12， f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 2．12 －14 14解析：错位相减法，求左边的和． 设S n ＝1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1，①则3S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，②①－②得－2S n ＝1＋3＋32＋33＋…＋3n －1－n ×3n＝1－3n 1－3－n ×3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n ×3n －12.∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －14×3n ＋14＝3n (na ＋b )＋c . ∴a ＝12，b ＝－14，c ＝14. 3．1 111 1114．奇数不能被2整除5．证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以m b ＜m a .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提) m b ＜m a ，(小前提)所以m b ＋ab ＜m a ＋ab ，即b (a ＋m)＜a (b ＋m)．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b (a ＋m)＜a (b ＋m)，a (a ＋m)＞0，(小前提)所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )， 即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)。

我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
↓
转化条件 组织过程
→
把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是 文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要 有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路
↓
适当调整 回顾反思
→
解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整， 并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取
2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2)a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
阶
阶
段
段
一
三
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重 点)
2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点) 3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 直接证明 阅读教材 P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题. 直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.