苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 推理案例赏析 学案

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2.1.3 推理案例赏析

学习目标 重点难点

1．了解和体会推理案例的启示．

2．了解推理在数学命题发展中的作用. 重点：理解合情推理与演绎推理的含义．

难点：合情推理与演绎推理的应用.

1．推理案例的启示

(1)数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地________________的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．

(2)________是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．

(3)________是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．

2．数学命题推理

数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和________是常用的合情推理．从推理形式上看，________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

预习交流1

做一做：在数列{an}中，a1＝1，Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(不必证明)(Sn表示{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________.

预习交流2

做一做：从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出的结论是__________．

预习交流3

做一做：已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)．求证：P＞Q.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！

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答案：

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校对完成版本 2.1.3 推理案例赏析

[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.

知识点一 数学活动与探索

数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.

知识点二 合情推理和演绎推理的联系

在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据.

思考 合情推理与演绎推理有何异同之处？

答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理.演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理.

合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程.

题型一 运用归纳推理探求结论

例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式.

解 把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n项为an，则有a1＝2×1＋112＋1，a2＝2×2＋122＋1，a3＝2×3＋132＋1，

a4＝2×4＋142＋1，….

据此猜测an＝2n＋1n2＋1.

反思与感悟 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以高中数学打印版

校对完成版本 对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.

跟踪训练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________.

答案 n2

解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.

猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.

题型二 运用类比推理探求结论

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高中数学 2.1.1 合情推理—归纳推理 教案（1）

学习目标

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点

教学重点 了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点 用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程

一、课堂引入

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理

二、问题情境

案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540

由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n

案例3、221222221,,,331332333，由此我们猜想：aambbm（,,abm均为正实数）

二、学生活动

案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想：

案例2、三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540

由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n 打印版本

高中数学 由此猜想：

案例3、221222221,,,331332333，由此我们猜想：aambbm（,,abm均为正由此猜想：

三、建构数学

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。(简称：归纳)

2

3江苏省泰兴中学高二数学讲义（46）

演绎推理

【学习目标】

1.结合以及学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性

2.掌握演绎推理的基本模式，并能用它进行一些简单的推理

3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

【重点难点】

重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理

难点：演绎推理的含义及一般模式：“三段论”

【预习导引】

1.推理“①矩形是平行四边形 ②三角形不是平行四边形 ③所以三角形不是矩形”中

的小前提是_________________

2.“因对数函数y=是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以log

axxy

31log

是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）xy

31log

A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错

【典型例题】

例1. 用三段论的形式写出下列演绎推理

（1）若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等

（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等

（3）把下列推理恢复成完全的三段论：2

3 ①不能被2整除； ②函数的图像是一条直线.102152xy

例2.已知a.b.m均为正实数，，求证：.babbm

aam



例3.求证：函数是奇函数，且在定义域上是增函数.

1212





xx

y2

3[学习反思

]

1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义.公理.定理等），按照严格的逻辑法

则得到新结论的推理过程

2.演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前

提. 小前提都是真实的，那么结论必是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论

3.演绎推理的特点：（1）_________________ ______________________________

（2）_____________________ __________________________

（3）_____________________ ________________________