第２１卷第４期 ２００９年１２月 塔里木大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔａｒｉｍ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．２１ ＮＯ ４ Ｄｅｅ．２００９
①文章编号：１００９—０５６８（２００９）０４—００３５—０３
上楼问题的数学模型建立及其求解
严志丹王伟
（塔里木大学信息工程学院，新疆阿拉尔８４３３００）
摘要上楼梯问题是一个经典名题，经常出现在各类数学竞赛中。本文利用组合数学及线性代数的方法对上楼梯问题进行 了深入的讨论，得到了上楼梯问题中三种情况的通项公式。 关键词 楼梯问题；斐波那契数列；范得蒙行列式；特征方程 中图分类号：Ｏ１５１．２ 文献标识码：Ａ
Ａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｇｏ Ｕｐｓｔａｉｒｓ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｓｏｌｖｉｎｇ
Ｙａｎ Ｚｈｉｄａｎ Ｗａｎｇ Ｗｅｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔａｒｉｍ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｌａｒ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ ８４３３００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｇｏｉｎｇ ｕｐｓｔａｉｒｓ ｉｓ ａ ｃｌａｓｓｉｃ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｈｉｃｈ ｏｆｔｅｎ ａｐｐｅａｒｅｄ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｏｎｔｅｓｔ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｋｉｎｄｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｇｏｉｎｇ ｕｐｓｔａｉｒｓ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｄｅｐｔｈ ｂｙ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｅａｓｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｇｏｉｎｇ ｕｐｓｔａｉｒｓ；Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ；Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ
２０１３年第３期 （总第１ ３ ９期） 牡丹江教育学院学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＵＤＡＮＪＩＡＮＧ ＣＯＬＬＥＧＥ ０Ｆ ＥＤＵＣＡＴ１０Ｎ Ｎｏ．３。２Ｏ１３ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．１３９
空气污染数学模型的建立与求解
刘 海 燕
（牡丹江市教育教学研究院，黑龙江牡丹江１５７０１３）
［摘要］ 用马氏链模型讨论空气污染问题。通过分析城市自身排放污染物及各城市污染物相互扩散的 规律，建立马氏链模型，并按照环境管理条例规定，确定各城市排放污染物浓度的范围。 ［关键词］马氏链；吸收链；吸收状态 ［中图分类号］０１ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００９—２３２３（２０１３）０３—００８７—０２
一、问题的提出 每个时刻各城市的污染源都排出一定浓度的污染物， 并且各城市之间污染物按一定比例相互扩散。按照环境管 理条例要求，各个城市污染物的浓度都必须在一定浓度的 限制下，为了不超过这个标准，就需要我们确定各城市污染 物排放量的范围。 二、问题的分析 这个问题虽然是确定性的，但过程的演变具有无后效 性。下面选取适当的状态，将污染物在各城市视为系统的 状态，各城市污染物的浓度视为处于这种状态的概率（将全 部含量作为一个整体），把它的变化比例视为转移概率，这 可以应用能处理随机转移的马氏链模型来解决这个问题。 按照过程的发展，时间可以离散化为ｔ一０，１，２，…，对一每 个ｔ，描述过程的状态也可以离散化为１，２，…， ．下面给出 具体题目：有 个城市口 ， ，…， ，每一时刻ｔ一０，１，２， …， 的空气中污染物的浓度为Ｃ （￡），从ｔ到ｔ＋１， 空气 ＾ 中污染物扩散到 ，去的比例是Ｐ （图一），有∑Ｐ ≤１．在每 Ｊ—１ 个时刻各城市的污染源排出一定浓度的污染物，记 排出 的为ｄ ，按照环境管理条例要求，对充分大的ｔ必须有ｃ （ ） ｃ ，建立马氏链模型。
翔２ ｌ取 图一 三、模型假设 假设一：设至少有一个城市 满足∑Ｐ ＜１，表示这 Ｊ；１ 个城市有一部分污染物消失或扩散到这 个城市之外，且 永远不再回来。 假设二：不考虑风力等其它因素的影响。 四、模型建立与求解 由以上说明，令ｘ 表示污染物在各城市的状态，Ｃ （￡） 表示状态概率，即污染物的浓度，Ｐ 表示Ｘ 一ｉ到ｘ ＋ 一 的转移概率，即变化的比例。由于Ｐ 满足∑Ｐ １（ 一１，２，
解模型问题的思路与关键步骤
在现实生活中，我们常常会遇到各种问题需要解决。其中，解决模型问题是一种常见的思考方式。模型问题是指将实际问题转化为数学模型，通过分析模型来得出问题的解决方法。本文将介绍解决模型问题的思路与关键步骤。
一、明确问题
解决任何问题的第一步都是明确问题。在解决模型问题时，我们需要仔细分析问题的背景和要求，确保对问题有准确的理解。同时，还需要确定问题的限制条件和可变因素，以便在建立模型时能够考虑到所有相关因素。
二、建立数学模型
建立数学模型是解决模型问题的核心步骤。模型是对实际问题的抽象和简化，通过建立合适的数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决方法。
在建立数学模型时，我们需要确定问题的变量、参数和约束条件。变量是问题中需要求解的未知数，参数是问题中已知的常量，约束条件是问题中的限制条件。通过对这些要素的分析和归纳，我们可以建立出符合问题要求的数学方程或不等式组。
三、求解模型
在建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，找到问题的解决方法。求解模型的方法有很多种，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
常见的求解方法包括数值计算、解析求解和优化算法等。数值计算方法适用于模型比较复杂、难以直接求解的情况，通过数值计算可以得到问题的近似解。解析求解方法适用于模型比较简单、可以通过代数运算得到解析解的情况。优化算法则适用于需要寻找最优解的问题，通过迭代计算可以找到问题的最优解。 四、验证与分析
在求解模型后，我们需要对结果进行验证与分析，确保结果的准确性和合理性。验证方法可以通过将求解得到的解代入原始问题中进行比较，或者通过对模型的灵敏度分析来检验结果的可靠性。
同时，我们还需要对结果进行分析，探究结果背后的规律和原因。通过对结果的分析，我们可以进一步深入理解问题，并为问题的解决提供更多的思路和方法。
五、优化与改进
在验证与分析结果后，我们可以进一步优化和改进模型，以提高解决问题的效果。优化和改进模型的方法有很多种，可以通过调整模型中的参数和约束条件，或者引入新的变量和因素来改进模型。
第３ ８卷 第４期
２ ０ １ １年４月 湖南大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏｌ＿３８，Ｎｏ．４
Ａｐｒ．２ ０ ｌ １
文章编号：１６７４—２９７４（２０１１）０４—００６６—０６
污水源热泵用－７＝式壳管式蒸发器
数学模型的建立与求解
沈朝，姜益强 ，姚杨
（哈尔滨工业大学市政环境工程学院，黑龙江哈尔滨 １５００９０）
摘 要：提出了一种具有自动除污功能的干式壳管式污水换热器．从制冷系统热动力学
的理论出发，结合两相流理论，建立了干式壳管式污水蒸发器分布参数数学模型．首次采用
两侧流体相互迭代与单侧流体单向求解相结合的方式对模型进行编程求解．通过污水热泵
实验台的实验数据同模拟计算的结果进行对比，验证了数学模型与求解方法的准确性．模拟
结果表明，蒸发器内制冷荆侧压力降最大为０．３４ ｋ Ｐａ，可以忽略不计．
关键词：污水源热泵；干式蒸发器；除污；分布参数法
中图分类号：ＴＵ８３１．６ 文献标识码：Ａ
Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ａｎｄ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｄｒｙ－ｔｙｐｅ
Ｓｈｅｌｌ——ｔｕｂｅ Ｅｖａｐｏｒａｔｏｒ Ｕｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｗａｇｅ Ｓｏｕｒｃｅ Ｈｅａｔ Ｐｕｍｐ
ＳＨＥＮ Ｃｈａｏ，ＪＩＡＮＧ Ｙｉ—ｑｉａｎｇｔ，ＹＡＯ Ｙａｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｕｎｉｃｉｐａｌ ａｎｄ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎ￣，Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ－Ｈａｒｂｉｎ。Ｈｅｉｌｏｎｇｉｉａｎｇ １５００９０。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｈｅｌｌ—ｔｕｂｅ ｓｅｗａｇｅ ｈｅａｔ ｅｘｃｈａｎｇｅｒ ｗｉｔｈ ａｕｔｏ－ｄｅ—ｆｏｕｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，ｆｏｌ—
