(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－2对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－2表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4.3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴ T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y y′＝x .因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y.5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011 对应的变换作用下得到的图形．解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011的作用下点变换成(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝0y′＝x ＋y .因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)．1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (a 、b 、c 、d∈R )的矩阵形式，反之亦然．2. 几种常见的平面变换(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换． (3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3) 矩阵的乘法不满足消去律． [备课札记]题型1 求变换前后的曲线方程例1 设椭圆F ：x 22＋y24＝1在(x ，y )→(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．解：变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，任取椭圆上一点(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋2y 0y 0，令⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x 0＋2y 0，y ′＝y 0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′－2y′，y 0＝y′. 又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，故（x′－2y′）22＋y′24＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 变式训练设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程． 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y ′)． 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sinx 得12y ′＝sin2x ′，即y′＝2sin2x ′.即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x. 备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝12y.又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝12sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.题型2 根据变换前后的曲线方程求矩阵例2 二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．解：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20. (2) 取直线l 上的任一点(x ，y)，其在M 作用下变换成对应点(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －7y －13x －20y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ，代入11x －3y －68＝0，得x －y －4＝0，即l 的方程为x －y －4＝0.变式训练在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a 、b 的值．解：(解法1)在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A′的坐标为(－2，－2b)； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以B′的坐标为(－2a ，－8)．由题意A′、B′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.(解法2)设直线l ：x ＋y ＋2＝0上任意一点(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下对应于点(x′，y ′)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以x′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋4y.因为(x′，y ′)在直线m 上，所以(x ＋ay)－(bx ＋4y)－4＝0，即(1－b)x ＋(a －4)y －4＝0.又点(x ，y)在直线x ＋y ＋2＝0上，所以1－b 1＝a －41＝－42，解得a ＝2，b ＝3.题型3 平面变换的综合应用例3 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34. (1) 验证：(MN )α＝M (N α)；(2) 验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .解：(1) 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，所以(MN )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M (N α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以(MN )α＝M (N α)．(2) 因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012， 所以这两个矩阵不满足MN ＝NM . 备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3.求△ABC在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110作用下变换所得到的图形的面积．解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′()0，0，B ′()－2，－1，C ′()－3，0.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′|y B ′|＝32.1. 在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12222. 解：由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1220－22，∴ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝－y′.因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.3. (2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1) 设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝y. 又点M′(x′，y ′)在l′上， 所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. (2) 由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，故点P 的坐标为(1，0)． 4. 在线性变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋y ，y ′＝2x ＋2y ，而x ＋y ＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝k ，y ′＝2k (k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ，2k)．1. 如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .解：该变换为切变变换．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1，由图知，C ――→MC ′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以3k －2＝3，解得k ＝53.所以，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10531.2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2－34，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68.(1) 求向量3α＋12β在T M 作用下的象；(2) 求向量4M α－5M β.解：(1) 因为3α＋12β＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤68＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1521＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1825，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋12β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2－34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1825＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6846.(2) 4M α－5M β＝M (4α－5β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2－34⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－18. 3. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝－1， 且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3d ＝4 ，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， ∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x′－y′＝4， ∴ 2(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋4 ＝0，∴ 直线l 的方程为x ＋4 ＝0.4. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1) 求矩阵M ；(2) 设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1， 且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. (2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x′－y′＝4，所以(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋y ＋2＝0，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.几种特殊的变换：反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y )→(x，－y)，变换前后关于x 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为(x ，y )→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为(x ，y )→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y )→(y，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y )→(x，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y )→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(x，x)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(y，y)；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.。

选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)1. 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y x ＋3y x －y x ＋y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34ab ，若A ＝B ，求ax ＋by 的值．解：∵ A ＝B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，x ＋3y ＝4，x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，∴ x ＝1，y ＝1，a ＝0，b ＝2，则ax ＋by ＝0＋2＝2.2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴ T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x. 因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y.5. (2014·无锡期末)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d .∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．3. 线性变换的基本性质(1) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .(2) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.(3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝A α＋A β.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 4. 二阶矩阵的乘法(1) A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． [备课札记]题型1 二阶矩阵的运算, 1) 已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1，求矩阵B . 解：设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab a ＋2c b ＋2d ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，a ＋2c ＝4，b ＋2d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，c ＝4，d ＝－2.故B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2.备选变式（教师专享）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，试判断(AB )α与A (B α)的关系．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1，∴ (AB )α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，A (B α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012⎣⎢⎡⎦⎥⎤04＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08. ∴ (AB )α＝A (B α)．题型2 求变换前后的曲线方程, 2) (2014·南京、盐城期末)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y. 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2. 备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x ，y 0＝12y.又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝12sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.题型3 根据变换前后的曲线方程求矩阵, 3) 二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．(1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．解：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20. (2) 取直线l 上的任一点(x ，y)，其在M 作用下变换成对应点(x′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －7y －13x －20y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ，代入11x －3y －68＝0，得x －y －4＝0，即l 的方程为x －y －4＝0.变式训练(2014·苏州期末)已知a 、b∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y.∵ 2x ′－y′＝3，∴ 2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3. 即(－2－b)x ＋(2a －3)y ＝3.此直线即为2x －y ＝3， ∴ －2－b ＝2，2a －3＝－1，解得a ＝1，b ＝－4.题型4 平面变换的综合应用, 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.(1) 验证：(MN )α＝M (N α)；(2) 验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .解：(1) 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， 所以(MN )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M (N α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以(MN )α＝M (N α)．(2) 因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012，所以这两个矩阵不满足MN ＝NM . 备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110作用下变换所得到的图形的面积．解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′()0，0，B ′()－2，－1，C ′()－3，0.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′|y B ′|＝32.1. 在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)、B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022. 解：由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22，∴ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝－y′.因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.3. (2014·常州期末)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 2对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．解：设P(x ，y)为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l′上的点P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′ 代入ax －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)x′＋ay′＝0.将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.4. 变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.(1) 求点P(2，1)在变换T 1作用下的点P′的坐标；(2) 求函数y ＝x 2的图象依次在T 1、T 2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2) M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 0，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x.所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.1. 如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .解：该变换为切变变换．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1，由图知，C ――→MC ′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以3k －2＝3，解得k ＝53.所以，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10531. 2. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1，2)变成了点A′(4，5)，点B(3，－1)变成了点B′(5，1)．(1) 求矩阵M ；(2) 若在矩阵M 的变换作用下，点C(x ，0)变成了点C ′(4，y)，求x ，y.解：(1) 设该二阶矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，c ＋2d ＝5，3a －b ＝5，3c －d ＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝2，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2.(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ，解得x ＝2，y ＝2.3. (2014·苏北三市期末)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P(x ，y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝3.4. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1) 求矩阵M ；(2) 设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1， 且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. (2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x′－y′＝4，所以(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋y ＋2＝0，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y )→(x，－y)，变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为(x ，y )→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0－1：点的变换为(x ，y )→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y )→(y，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y )→(x，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y )→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(x，x)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(y，y)；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2. 请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值 与特征向量(对应学生用书(理)188～190页)1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解：∵ AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴ (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即[]－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012－10. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b－2－7a ，求a 、b 的值．解：由题意，知MM －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[16－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .解：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量.题型1 求逆矩阵与逆变换, 1) 若点A(2，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B(－2，2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：由题意知，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.(解法1)由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，解得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0.(解法2)矩阵M 的行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0 －11 0＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量, 2) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. 变式训练(2014·镇江期末)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－2λ－1＝(λ－1)(λ－x)－6.因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x ＝2. 由(λ－1)(λ－2)－6＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，得x ＝－y ，令x ＝1，则y ＝－1，则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.题型3 根据特征值或特征向量求矩阵, 3) 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. (1) 求e 1和e 2对应的特征值；(2) 对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1916，M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20 0－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y .1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及对应的特征向量．解：特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0，x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于特征值λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值． 解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2014·南通期末)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，求B －1. 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝[]ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y. 因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1， 而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－21.1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－8，得a ＋1＝－8，所以a ＝－9.(2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－9 1，则矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21 b 有一个属于特征值1的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1.(1) 求矩阵A ；(2) 矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，点O(0，0)，M(2，－1)，N(0，2)，求△OMN 在矩阵AB 的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．解：(1) 由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝22－b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3. (2) AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2.∴ (AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40，(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04，即点O 、M 、N 变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，△O ′M ′N ′的面积为12×4×4＝8.3. (2014·南京、盐城一模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．解：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4. (2) (解法1)A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. (解法2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －1316 16. 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－1316 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120013. (2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bc a ad －bc.2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y ，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝D y D.请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．。

矩阵与变换主标题：矩阵与变换副标题：为学生详细的分析矩阵与变换的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量 难度：3 重要程度：5考点剖析：1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.命题方向：主要考查矩阵与变换，二阶逆矩阵与二元一次方程组及求矩阵的特征值与特征向量。

规律总结：1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．4．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．5．逆矩阵的求法常用待定系数法．6．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB )－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． 7．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －cλ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0.8．求M nα，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M nα＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2求解．知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0－cx ＋λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －cλ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第5部分：矩阵与变换）一、 线性变换与二阶矩阵 （一）矩阵相等的应用 〖例〗已知A=32ad b c ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，B=542b c a d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，若A=B ，求a ，,,b c d 。

思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A ，B 对应元素相等，列出方程组后求解。

解答：由矩阵相等的定义知53422a b c d b c a d=⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪+=+⎩，解得15,10,7, 4.a b c d ===-= （二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用〖例〗在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程。

思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F 上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F 的方程。

解答：设000(,)P x y 是椭圆上任意一点，点P 在矩阵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦的作用下的像为00(,)P x y '''。

∵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴坐标变换公式'0'002,x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴'0'00,2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∵点P 在椭圆上，故220041x y +=， ∴'2'200()()1x y +=，∴曲线F 的方程为221x y +=。

（三）线性变换性质的应用〖例〗二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。

（1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线: 4.m x y -=求直线l 的方程。

思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M ，再通过矩阵M 对应的坐标变换公式确定直线l 与直线m 上点坐标间的关系，即可求直线l 的方程。

解答：1120(1),.1112120,,122120,.1221212,34a b a b a b M c d c d c d a b a b c d c d a b a b c d c d a b M c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩=⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪=⎩设则有，也就是所以且解得所以.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦122(2),,3434(,):4(2)(34)4,20,20.x x y M y x y x y m x y x y x y x y l x y '=+⎡⎤⎧=∴⎨⎢⎥'=+⎣⎦⎩''-=∴+-+=++=∴++=坐标变换公式为是直线上的点.即直线的方程为 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 （一）与矩阵乘法的相关问题〖例〗⊿ABC 的顶点为A （0，0），B （0，0），C （0，1）。

【高中数学】《矩阵与变换》考试知识点一、151．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解； ② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.2．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a a ab a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a kab kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a a ab a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a ka b kb a b a b a b ++=.【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xx xx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.4．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.5．解方程组32321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩.【答案】详见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意可得()()2933D m m m =-=--+，()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()21313x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩；②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，此时，该方程组的解有无数多个，为,()533x t t R t y =⎧⎪∈-⎨=⎪⎩；③当3m =-时，该方程组为331337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6．解关于x ，y 的方程组2122ax y a ax ay a+=+⎧⎨-=-⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()122a D a a a a==-+-，()2211=212x a D a aa+=-+--，221522y a a D a aa+==--.所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题7．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．8．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】 【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x xx x x x x x x xxx =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k +=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==--【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.11．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】先求得1A -u r，以及其特征多项式()fλ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可. 【详解】设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，故得1A -u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.12．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论. 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】由题意，关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩， 所以221111,(1),12x a a D a D a a a a a aa+==-==-=-2121(21)(1)12y a a D a a a a a+==--=+-，（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解； （3）当1a =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多解，,()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.13．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．14．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩的解的情况，并求出相应的解.【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【解析】 【分析】首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2 1 11 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 11 1 11 1 1x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.15．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程. 【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=， 从而22188x y +=，即228x y +=. 因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．16．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==； 矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．17．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值.【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】 （1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值． 【答案】（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（2）1或6 【解析】【分析】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． （2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-，令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩， 故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．已知方程组()()()11 ,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明（3）利用绝对值不等式求最值【详解】（1）22111123230,3,4, 23232234,33y x a aa a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解（2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题。