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北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(答案解析)

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一、选择题

1．已知平面,，直线l，记l与,所成的角分别为1，2，若，则（ ）

A．12sinsin1 B．12sinsin1 C．122

D．122

2．已知AB是平面外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）

①在内存在无数多条直线与直线AB平行；

②在内存在无数多条直线与直线AB垂直；

③在内存在无数多条直线与直线AB异面；

④一定存在过AB且与垂直的平面.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PAAD，PAAD，则异面直线PB与AC所成的角为（ ）

A．30 B．45

C．60 D．90

4．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，B.设4OBAB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）

A．点A在某个定球面上运动；

B．与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则为定值；

C．可能在某个时刻，AB//；

D．直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为1717. 5．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E为棱1AA的中点，截面1CDE交棱AB于点F，则四面体1CDFD的外接球表面积为（ ）

A．394

B．414

C．12

D．434

6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）

A．[322，5] B．[5，22] C．[324，6] D．[6，22]

7．在正方体1111ABCDABCD中，M是棱1CC的中点．则下列说法正确的是（ ）

A．异面直线AM与BC所成角的余弦值为53

B．BDM为等腰直角三角形

C．直线BM与平面11BDDB所成角的正弦值等于105

D．直线1AC与平面BDM相交

8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，EBF△，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A，若点G及四面体ADEF的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为（ ）

A．263 B．463 C．4263 D．2263

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．4 B．8 C．12 D．14

10．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）

A．该四面体外接球的体积为48

B．该四面体内切球的体积为23

C．该四面体外接球的表面积为323

D．该四面体内切球的表面积为2

11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）

A．16 B．13 C．23 D．2

12．设m、n是两条不同的直线，是平面，m、n不在内，下列结论中错误的是（ ）

A．m，//n，则mn B．m，n，则//mn

C．m，mn，则//n D．mn，//n，则m

二、填空题

13．在正三棱锥OABC中，已知45AOB，记为二面角AOBC的大小，cosmn，其中m，n为整数，则以||n，||m，||mn分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．

14．如图，在三棱台111ABCABC中，11190,4,22ACBACBCABCC，平面11AABB平面ABC，则该三棱台外接球的表面积为___________.

15．已知等腰直角三角形ABC中，2C，22CA，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为22，此时三棱锥CABD的外接球的表面积为____．

16．如图，已知ABC的顶点C平面，点,AB在平面的同一侧，且||23,||2ACBC．若,ACBC与平面所成的角分别为5,124，则ABC面积的取值范围是_____

17．已知ABC是等腰直角三角形，斜边2AB，P是平面ABC外的一点，且满足PAPBPC，120APB，则三棱锥PABC外接球的表面积为________．

18．如图，已知正四面体PABC的棱长为2，动点M在四面体侧面PAC上运动，并且总保持MBPA，则动点M的轨迹的长度为__________.

19．已知点O为圆锥PO底面的圆心，圆锥PO的轴截面为边长为2的等边三角形PAB，圆锥PO的外接球的表面积为______.

20．水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3BCAC,则ABC中AB边上的中线的长度为_______ .

三、解答题

21．已知四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，4AB，22AD，2CD，PA平面ABCD，4PA.

（1）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；

（2）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.

22．如图所示，已知在三棱锥ABPC中，,APPCACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB△为正三角形．

（Ⅰ）求证：//DM平面APC； （Ⅱ）求证：平面ABC平面APC；

（Ⅲ）若4,20BCAB，求三棱锥DBCM的体积．

23．如图，平行四边形ABCD中，45DAB，PD平面ABCD，PABD，BDPD，4AB.

（1）求证：平面PBC平面PBD；

（2）若点,MN分别是,PAPC的中点，求三棱锥PMBN的体积.

24．如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PAPBPCABAC，26BC.

（1）求二面角PBCA的大小；

（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.

25．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm3.

（Ⅰ）求正方体石块的棱长；

（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.

26．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点求证：

（1）平面PAD平面ABCD；

（2）//EF平面PAD

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

如图，作出1和2，再由线面角推得12sinsin2，利用三角函数的单调性判断选项.

【详解】

设直线l为直线AB，m，ADm，BCm，连结BD，AC，1ABD，2BAC，

12sinsin2ADACABAB，12,2都是锐角，

122，即122

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段ADAC≤，传递不等式，12sinsin2ADACABAB.

2．C

解析：C

【分析】

根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．

【详解】

对于A，若直线AB与平面相交，则在内不存在直线与直线AB平行，错误；

对于B，若直线AB与平面相交且不垂直，设ABM，过平面外直线AB上一点P作PC，垂足为C，则在平面内过点C一定可以作一条直线CD，使得CDCM，所以CDAB，而在平面内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在内存在无数多条直线与直线AB垂直，若直线AB与平面垂直，显然在内存在无数多条直线与直线AB垂直，当直线AB与平面平行时，显然可知在内存在无数多条直线与直线AB垂直，正确；

对于C，若直线AB与平面相交，设ABM，根据异面直线的判定定理，在平面内，不过点M的直线与直线AB异面，所以在内存在无数多条直线与直线AB异面，当直线AB与平面平行时，显然可知在内存在无数多条直线与直线AB异面，正确；

对于D，若直线AB与平面相交且不垂直，设ABM，过平面外直线AB上一点P作PC，垂足为C，所以平面ABC与平面垂直，若直线AB与平面垂直，则过直线AB的所有平面都与平面垂直，当直线AB与平面平行时，在直线AB上取一点P作PC，垂足为C，所以平面ABC与平面垂直，正确．

故真命题的个数是3个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．

3．C

解析：C

【分析】

由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线

交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角,再求解即可.

【详解】

由题意：底面ABCD为正方形，

侧面PAD底面ABCD，PAAD，

面PAD面ABCDAD，

PA⊥平面ABCD，

分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，

连接CM，AM，

∵PM∥AD，AD∥BC，

PM＝AD，AD＝BC．

∴ PBCM是平行四边形，

∴ PB∥CM，

所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角．

设PA＝AB＝a，

在三角形ACM中，2,2,2AMaACaCMa，

∴三角形ACM是等边三角形．

所以∠ACM等于60°，

即异面直线PB与AC所成的角为60°．

故选：C.

【点睛】

思路点睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，得到∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角．

4．C

解析：C

【分析】

利用已知条件确定OA是定值，即得A选项正确；作模型的简图，即得B正确；依题意点B在平面内，不可能AB//，得C错误；设ABa，结合题意知AB时，直线OA与平面所成角最大，计算此时正弦值，即得D正确.

【详解】

因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，所22OAOBAB，

又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故A正确；

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高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步单元测试

高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步单元测试

1 立体几何测试题 一、 选择题： 1．线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是 A、AB B、AB C、由线段AB的长短而定 D、以上都不对 2．下面表述正确的是 A．空间任意三点确定一个平面 B．分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面 C．直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 D．不共线的四点确定一个平面 3．两条异面直线是指 A．在空间内不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D．不同在任一平面内的两条直线 4、在正方体1111ABCDABCD中，下列几种说法正确的是 A、11ACAD B、11DCAB C、1AC与DC成45角 D、11AC与1BC成60角 5．下列命题中正确命题的个数是 ①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行； ②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行； ③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行； ④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。 A．0 B．1 C．2 D．3 6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A．异面 B．相交 C．平行 D．不确定 7．直线a与b垂直，b又垂直于平面，则a与的位置关系是 A．a B．//a C．a D．a或//a 8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为 A．7 B．6 C．5 D．3

2 9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A．25 B．50 C．125 D．都不对 10．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 11．若,mn表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//mnnm； ②//mmnn； ③//mmnn； ④//mnmn A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12.已知两个平面垂直，下列命题G ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 二 填空题 13．设MN是直二面角，AMN，AB，AC，45BANCAN， 则BAC 。 14．在RtABC中，3,4,5ABBCAC，将三角形绕直角边AB旋转一周所形成的 几何体的体积为 。 15．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 16、已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PCBD，平行则四边形ABCD一定是 . 17.已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为 三、解答题

人教B高中数学必修二课时跟踪检测：第一章 立体几何初步 含解析

人教B高中数学必修二课时跟踪检测：第一章 立体几何初步 含解析

第一章 立体几何初步

1.1 空间几何体

1.1.7 柱、锥、台和球的体积

课时跟踪检测

[A组 基础过关]

1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为(

)

A．2 B．3

C．4 D．6

解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．

其中AB为高，底面是直角三角形，

V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．

答案：A

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．13＋π

B．23＋π

C．13＋2π D．23＋2π

解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．

答案：A

3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是(

)

A．96 B．128

C．140 D．152

解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，

V＝S·h＝12×6×4×8＝96.

答案：A

4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( )

A．839 B．439

C．239 D．439或839

解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝23，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.

答案：D

5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )

A．26 B．23

C．33 D．23

解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．

2021年高中数学第1章 学案北师大版必修2(付,143页)

2021年高中数学第1章 学案北师大版必修2(付,143页)

第一章 立体几何初步

§1 简单几何体

1．1 简单旋转体

知识点一 旋转体

[填一填]

(1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．

(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．

知识点二 球

[填一填]

(1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．

(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.

[答一答]

1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？

提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．

知识点三 圆柱、圆锥、圆台

[填一填]

(1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．

(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.

[答一答]

2．对圆柱、圆锥、圆台：

(1)平行于底面的截面是什么样的图形？

(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？

(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．

提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．

(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．

高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

7.3 球

1．球的截面

(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．

(2)球的截面性质

①球的截面是圆面．

②球心和截面圆心的连线垂直于截面．

③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系：r＝R2－d2.

2．球的切线

(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点．

(2)过球外一点的所有切线的长度都相等．

3．球的表面积和体积

(1)球的表面积公式S球面＝4πR2(R为球的半径)．

(2)球的体积公式V球＝43πR3.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.( )

(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )

(3)用任意平面截球，所得截面都是圆．( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

题型一球的表面积和体积

【典例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是 ( )

A．12π B．16π C.16π3 D.64π3

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． [思路导引] (1)求球的半径是求球表面积与体积的关键．

(2)利用体积相等，求大球半径．

[解析] (1)43πR3＝32π3，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.

(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R3＝8π3，所以半径为32.

[答案] (1)B (2)32

解决球的表面积和体积时注意两点

(1)一个关键

抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．

(2)两个结论

①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；

②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．

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