2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
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第1页（共7页）2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣bD．a＜﹣b
2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cosA等于（）
A
．B
．C
．D
．
3．（2分）将二次函数y＝﹣x2
+2x+3化为y＝a（x﹣h）2
+k的形式，则所得表达式为（）
A．y＝（x+1）2
﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2
+4
C．y＝﹣（x+1）2
+2D．y＝﹣（x﹣1）2
+2
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠
APD的度数为（）
A．30°B．40°C．60°D．70°
5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD
∽△ABC，则这个条件不可以是（）
A．∠ADC＝∠ACBB．∠ACD＝∠BC
．D
．
6．（2
分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）
A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大第2页（共7页）7．（2
分）已知．
如图，
（1）连接AB；
（2）作弦AB的垂直平分线l
1
，分别交，弦AB于C，D两点；
（3）作线段AD，DB的垂直平分线l
2，l
3
，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H
两点；
（4）连接EF．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A．AG＝GD＝DH＝HBB
．
C．l
1∥l
2∥l
3D．EF＝GH
8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；
②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；
③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；
④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误
的是（）
A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
10．（2分）若将抛物线y＝2x2
向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式第3页（共7页）为．
11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．
12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB
与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为
_______cm．
13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若
∠P＝76°，则∠ACB＝°．
14．（2分）已知二次函数y＝ax2
+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2
+bx+c
＜﹣1的x的值，这个值可以是．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b
）在双曲线上，点B（﹣b，a）在
双曲线上，则m+n的值为．
16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；第4页（共7页）③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第
22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)
17．（5
分）解不等式组：．
18．（5
分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．
19．（6分）已知x2
﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2
的值．
20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2
+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．
22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如
图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E
的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高
度（精确到0.1m）．（
参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°
≈0.414）第5页（共7
页）23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E
，．
（1）求证：∠COB＝∠DOB；
（2）若⊙O的半径为2，求OE
，的长．
24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后
的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着
地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数
关系y＝a（x﹣h）2
+k（a＜0）．
小明进行了三次训练．第6页（共7页）（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m0123456789
竖直高度y/m22.73.23.53.63.53.23.721.1
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2
+k（a＜0），并求出实心球着地点的
水平距离d
1；
（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如
图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时
实心球着地点的水平距离分别为d
2，d
3，则d
1，d
2，d
3的大小关系为．
25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接
AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2
﹣2ax+a2
﹣4与x轴交于A，B两点（点
A在点B左侧）．
（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）已知点（3﹣a，y
1），（a+1，y
2），（﹣a，y
3）在该抛物线上，若y
1，y
2，y
3中有且
仅有一个大于0，求a的取值范围．
27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点
E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长
线交于点M，N．
（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；
（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．
①依题意补全图2；第7页（共7页）②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G
1、G
2，若存在常数d，使
得图形G
1上的任意一点P，在图形G
2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形
G
2是图形G
1的“映图”，d是G
1关于G
2的“映距”．
（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，
4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是．
（2）⊙O的半径为1．
①求⊙O
关于直线的映距d的最小值；
②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．第1页（共23页）2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣bD．a＜﹣b
【分析】由点在数轴上的位置分析选项可得答案．
【解答】解：A选项：由数轴的定义得左大右小，即a＜﹣3，该选项错误．
B选项：a点在﹣4的左侧，即a＞﹣4，该选项错误．
C选项：2＜b＜3，﹣3＜﹣b＜﹣2，故a在﹣b的左侧，即a＜﹣b，该选项错误．
D选项：正确．
故答案选D．
【点评】该题考查对数轴的理解，实数的相关概念及分类．
2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cosA等于（）
A
．B
．C
．D
．
【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则cosA
＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
3．（2分）将二次函数y＝﹣x2
+2x+3化为y＝a（x﹣h）2
+k的形式，则所得表达式为（）
A．y＝（x+1）2
﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2
+4
C．y＝﹣（x+1）2
+2D．y＝﹣（x﹣1）2
+2
【分析】将所给二次函数表达式转化为顶点式即可．
【解答】解：由题知，
y＝﹣x2
+2x+3＝﹣（x2
﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2
﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2
+4．
即二次函数的表达式可写成：y＝﹣（x﹣1）2
+4．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数解析式中的顶点式是解题的关键．
