2021-2022学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

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2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

1. 已知∠𝐴为锐角，且sin𝐴=12，那么∠𝐴等于( )

A.

15∘

B.

30∘ C. 45∘ D. 60∘

2. 已知3𝑎=4𝑏(𝑎𝑏≠0)，则下列各式正确的是( )

A. 𝑎𝑏=43 B. 𝑎𝑏=34 C. 𝑎3=𝑏4 D. 𝑎3=4𝑏

3. 抛物线𝑦=𝑥2−2的顶点坐标为( )

A. (0,−2) B. (−2,0) C. (0,2) D. (2,0)

4. 已知反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐴(2,3)，则k的值为( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. 如图，AD是△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂的直径，若∠𝐵𝐶𝐴=50∘，则∠𝐵𝐴𝐷=( )

A. 30∘

B. 40∘

C. 50∘

D. 60∘

6. 如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙𝑂，则⊙𝑂的半径为( )

A. 32

B. 32√2

C. 3

D. 3√2

7. 关于二次函数𝑦=−(𝑥−2)2+3，以下说法正确的是( )

A. 当𝑥>−2时，y随x增大而减小 B. 当𝑥>−2时，y随x增大而增大

C. 当𝑥>2时，y随x增大而减小 D. 当𝑥>2时，y随x增大而增大

8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙𝑂的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点𝐶(1,𝑐)，𝐷(√2,𝑑)，𝐸(𝑒,1)，𝑃(𝑚,𝑛)均为𝐴𝐵⏜上的点(点P不与点A，B重合)，若𝑚<𝑛<√3𝑚，则点P的位置为( )

A. 在𝐵𝐶⏜上

B. 在𝐶𝐷⏜上

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C. 在𝐷𝐸⏜上

D. 在𝐸𝐴⏜上

9. 写出一个开口向下，与y轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______.

10. 已知⊙𝑂的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙𝑂的位置关系是______.

11. 若扇形的圆心角为60∘，半径为2，则该扇形的弧长是______(结果保留𝜋).

12. 点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(4,𝑦2)是二次函数𝑦=(𝑥−1)2图象上的两个点，则𝑦1______𝑦2(填“>”，“<”或“=”).

13. 如图，AB为⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点H，若𝐴𝐵=10，𝐶𝐷=8，则OH的长度为______.

14. 已知反比例函数𝑦=𝑚−1𝑥的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是______.

15. 如图，PA，PB分别与⊙𝑂相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠𝑃=50∘，则∠𝐴𝐶𝐵=______∘.

16. 点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑥1⋅𝑥2≥0)是𝑦=𝑎𝑥2(𝑎≠0)图象上的点，存在|𝑥1−𝑥2|=1时，|𝑦1−𝑦2|=1成立，写出一个满足条件a的值______.

17. 计算：2sin60∘+tan45∘−cos30∘tan60∘.

18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=4，𝐴𝐵=5，点D在AC上且𝐴𝐷=3，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，求AE的长．

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19. 已知：二次函数𝑦=𝑥2−4𝑥+3.

(1)求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；

(2)在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出𝑦<0时，自变量x的取值范围．

20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=30∘，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D且tan∠𝐶𝐴𝐷=12，求BC的长．

21. 已知：如图，△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶.

求作：一点P，使得∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐵𝐴𝐶.

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙𝐴于点C，D两点；

③连接DA并延长交⊙𝐴于点𝑃.

点P即为所求．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明：

证明：连接PC，𝐵𝐷.

∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴点C在⊙𝐴上．

∵𝐵𝐶=𝐵𝐷，

∴∠______=∠______.

∴∠𝐵𝐴𝐶=12∠𝐶𝐴𝐷.

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∵点D，P在⊙𝐴上，

∴∠𝐶𝑃𝐷=12∠𝐶𝐴𝐷.(______)(填推理的依据)

∴∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐵𝐴𝐶.

22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，𝐴(𝑎,2)是一次函数𝑦=𝑥−1的图象与反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象的交点．

(1)求反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的表达式；

(2)过点𝑃(𝑛,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当𝑆△𝑂𝑃𝑀>𝑆△𝑂𝑃𝑁时，直接写出n的取值范围．

23. 居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉．某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度𝐴𝐷.(结果精确到0.1𝑚，sin35∘≈0.574，cos35∘≈0.819，tan35∘≈0.700)

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题目 测量城楼顶端到地面的高度

测量目标

示意图

相关数据 𝐵𝑀=1.6𝑚，𝐵𝐶=13𝑚，∠𝐴𝐵𝐶=35∘，∠𝐴𝐶𝐸=45∘

24. 如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，AB是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点E，P是AB延长线上一点，且∠𝐵𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝐷.

(1)求证：CP是⊙𝑂的切线；

(2)连接DO并延长，交AC于点F，交⊙𝑂于点G，连接𝐺𝐶.若⊙𝑂的半径为5，𝑂𝐸=3，求GC和OF的长．

25. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量𝑦(袋)与销售单价𝑥(元)之间的关系可近似地看作一次函数：𝑦=−2𝑥+80(20≤𝑥≤40)，设每天获得的利润为𝑤(元).

(1)求出w与x的关系式；

(2)当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

26. 在平面直角坐标系xOy中，点(1,𝑚)和点(3,𝑛)在二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥的图象上．

(1)当𝑚=−3时．

①求这个二次函数的顶点坐标；

②若点(−1,𝑦1)，(𝑎,𝑦2)在二次函数的图象上，且𝑦2>𝑦1，则a的取值范围是______；

(2)当𝑚𝑛<0时，求b的取值范围．

27. 已知∠𝑃𝑂𝑄=120∘，点A，B分别在OP，OQ上，𝑂𝐴<𝑂𝐵，连接AB，在AB上方作等边△𝐴𝐵𝐶，点D是BO延长线上一点，且𝐴𝐵=𝐴𝐷，连接𝐴𝐷.

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(1)补全图形；

(2)连接OC，求证：∠𝐶𝑂𝑃=∠𝐶𝑂𝑄；

(3)连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠𝐷𝐴𝐵的值，使𝐶𝐷=𝑂𝐵+𝑂𝐶一定成立，并证明．

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若𝑂𝑄<𝑃𝑂<𝑃𝑄且𝑃𝑂≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点𝑂(0,0)，𝑄(1,0).

(1)在𝑃1(0,−1)，𝑃2(12,32)，𝑃3(−1,1)中是线段OQ的“潜力点”是______；

(2)若点P在直线𝑦=𝑥上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；

(3)直线𝑦=2𝑥+𝑏与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵sin𝐴=12，∠𝐴为锐角，

∴∠𝐴=30∘.

故选：𝐵.

根据特殊角的三角函数值求解．

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2.【答案】A

【解析】解：A、由𝑎𝑏=43可得3𝑎=4𝑏，故此选项正确；

B、由𝑎𝑏=34可得4𝑎=3𝑏，故此选项错误；

C、由𝑎3=𝑏4可得4𝑎=3𝑏，故此选项错误；

D、由𝑎3=4𝑏可得𝑎𝑏=3×4=12，故此选项错误．

故选：𝐴.

利用比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

3.【答案】A

【解析】解：抛物线𝑦=𝑥2−2是顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，

顶点坐标为(0,−2)，

故选：𝐴.

根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．

此题考查了二次函数的性质，二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的顶点坐标为(ℎ,𝑘)，对称轴为直线𝑥=ℎ.

4.【答案】D

【解析】解：∵反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐴(2,3)，

∴3=𝑘2，

∴𝑘=6，

故选：𝐷.