模糊数学基础

模糊数学基础

第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1传统数学与模糊数学

6.1.2不相容原理

6.2 模糊集合与⾪属度函数

6.2.1 模糊集合及其运算

6.2.2 ⾪属度函数

6.3 模糊逻辑与模糊推理

6.3.1模糊逻辑

6.3.2模糊语⾔

6.3.3 模糊推理

第六章

模糊数学基础6.1

概述6.1.1 传统数学与模糊数学

6.1.2 不相容原理

1965年，美国⾃动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授⾸先提出⽤⾪属度函数

(membership function)来描述模糊概念，创⽴了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。

不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确⽽有意义的描述的能⼒会随之降低，直到达到⼀个阈值，⼀旦超过它，精确和有意义⼆者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，⼈们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产⽣和发展的必然性，也为三⼗多年来模糊数学的发展历史所证实。6.2 模糊集合与⾪属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算

⼀、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义

传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是⼀个精确集合C ，C ={实数r |8≤r≤12}，⽤特征函数µC (r )表⽰其成员，如图6.1(a)所⽰。

≤≤=其它

，

，012

81)(r r C µ

在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，⽽是介于0和1之间的⼀个实数。例如，“接近10的实数”是⼀个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，⽤“⾪属度(Membership)”µF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。1

812

1

107.2911

0.750.275

12.8

r

r

µC （r ）

µF （r ）

(a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对⽐

模糊集合的定义如下：论域U 上的⼀个模糊集合F 是指，对于论域U 中的任⼀元素u ∈U ,都指定了[0,1]闭区间中的⼀个数F µ(u)∈[0,1]与之对应，F µ(u )称为u 对模糊集合F 的⾪属度。也可以表⽰成映射关系：

F µ：U →[0,1] u →F µ(u )

这个映射称为模糊集合F 的⾪属度函数（membership function ）。 模糊集合有时也称为模糊⼦集。U 中的模糊集合F 可以⽤元素u 及其⾪属度F µ(u )来表⽰：

()(){}

F u u u U F =∈,µ

仍以前⾯提到的“年轻”、“中年”、“⽼年”为例，这三个年龄特征分别⽤模糊集合A 、B 、C 表⽰，它们的论域都是U ＝[0，100]，论域中的元素都是年龄u ，我们可以规定模糊集合A 、B 、C 的⾪属度函数分别为µA (u )、µB (u )、µC (u )，如图6.2所⽰。

1u µ

20

304050607080

A B C

0.750.250.5

图6.2 “年轻”、“中年”、“⽼年”的⾪属度函数

⼆、模糊集合的表⽰ 1、离散论域

如果论域Ｕ中只包含有限个元素，该论域称为离散论域。设离散论域Ｕ＝{u 1,u 2,…，u n }，Ｕ上的模糊集合Ｆ可表⽰为∑==n

i i i F u F 1)(µ (6.2.1)

n n F F F u u u u u )()()(2211µµµ+++=

这只是⼀种表⽰法，表明对每个元素u i 所定义的⾪属度为µF (u i )，并不是通常的求和运算。2、连续论域

如果论域Ｕ是实数域，即Ｕ∈Ｒ，论域中有⽆穷多个连续的点，该论域称为连续论域。连续论域上的模糊集合可表⽰为∈=

Uu F

u u F )(µ

(6.2.2)

这⾥的积分号也不是通常的含义，该式只是表⽰对论域中的每个元素u 都定义了相应的⾪属度函数µF (u )。

三、模糊集合的基本运算 1、 基本运算的定义

设A ，B 是同⼀论域U 上的两个模糊集合，它们之间包含、相等关系定义如下： ● A 包含B ，记作A ?B ，有),()(u u B A µµ≥ U u ∈? (6.2.3) ● A 等于B ，记作A ＝B ，有

),()(u u B A µµ= U u ∈? (6.2.4) 显然，B A B A ??=且B A ?。

设A 、B 是同⼀论域U 上的两个模糊集合，⾪属度函数分别为A µ(u )和B µ(u )，它们的并、交、补运算定义如下：

●

A 与

B 的交，记作A ∩B ，有

)()()(u u u B A B A µµµ∧=?

{})(),(m in u u B A µµ=， U u ∈? (6.2.5)

●

A 与

B 的并，记作A ∪B ，有

)()()(u u u B A B A µµµ∨=?

{})(),(m ax u u B A µµ=， U u ∈? (6.2.6) ● A 的补，记作A ，有

U u u u A A

∈?-=),

(1)(_

µµ (6.2.7)

其中，min 和∧表⽰取⼩运算，max 和∨表⽰取⼤运算。图6.3显⽰了这三种运算对应的⾪属度函数。01

r

r µ

A

B

A

B

µ

r

µ

A _A

1

1

A ∩B

A ∪B

(a)A 和B 的交； (b)A 和B 的并； (c)A 的补

图6.3 模糊集合的三种运算2. 基本运算定律

论域Ｕ上的模糊全集Ｅ和模糊空集φ定义如下：1)(=u E µ， U u ∈? (6.2.8) 0)(=u φµ， U u ∈? (6.2.9）

设Ａ，Ｂ，Ｃ是论域Ｕ上的三个模糊集合，它们的交、并、补运算有下列定律： ①恒等律：A A A A A A =?=?, ②交换律：A BB A A B B A ?=??=?,

③结合律：)

()()

()(C B A C B A C B A C B A ??==??

④分配律：

)

()()()

()()(C A B A C B A C A B A C B A =??=??

⑤吸收律：A

A B A A

A B A =??=??)()(

⑥同⼀律：

φ

φφ=?=?=?=?A A A A E A E E A ,,

⑦复原律：A A = ⑧对偶律（摩根律）：

B

A B A B

A B A ?=??=?_______

_______

以上⼋条运算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互补律”对模糊集合却不成⽴，如图6.4所⽰，即E A A ≠?， φ≠?A A

r

µ

A

_A

1

r

µ

A

_

A

1

_

A

A ?_

A

A ?

(a) E A A ≠? (b) φ≠?A A

图6.4 模糊集合的运算不满⾜“互补律”

四、模糊关系

设有两个集合A ，B ，A 和B 的直积A ×B 定义为},|),{(B b A a b a B A ∈∈?＝

它是由序偶(a ,b )的全体所构成的⼆维论域上的集合。⼀般来说A ×B ≠B ×A 。

设A ×B 是集合A 和B 的直积，以A ×B 为论域的模糊集合R 称为A 和B 的模糊关系。也就是说对A ×B 中的任⼀元素(a ,b )，都指定了它对R 的⾪属度),(b a R µ，R 的⾪属度函数R µ可看作是如下的映射：)

,(),(]

1,0[:b a b a B A R R µµ→→?

设R 1是X 和Y 的模糊关系，R 2是Y 和Z 的模糊关系，那么R 1和R 2的合成是X 到Z 的⼀个模糊关系，记作21R R ，其⾪属度函数为)],(),([),(2

12

1

z y y x z x R R Y

y R R µµµ∧∨=∈ ， Z X z x ?∈?),( (6.2.10)

6.2.2 ⾪属度函数

正确地确定⾪属度函数，是运⽤模糊集合解决实际问题的基础，是能否⽤好模糊集合的关键。⽬前⾪属度函数的确定⽅法⼤致有以下⼏种：

①模糊统计⽅法：⽤对样本统计实验的⽅法确定⾪属度函数。 ②例证法：从有限个元素的⾪属度值来估计模糊⼦集⾪属度函数。

③专家经验法：根据专家的经验来确定⾪属度函数。 ④机器学习法：通过神经⽹络的学习训练得到⾪属度函数。 ⽬前常⽤的⾪属度函数有：

① 三⾓形

三⾓形⾪属度函数曲线如图6.5所⽰，⾪属度函数的解析式为><≤<--≤≤--=c x b x c

x a a c x

c a x b b a b

x x F 或，

，，0)(µ (6.2.11) 01

x

b

a c F

µ

01

x

b a

c F

µ

d

图6.5 三⾓形⾪属度函数 图6.6 梯形⾪属度函数

② 梯形

梯形与三⾓形是最简单的两种⾪属度函数，应⽤也⾮常⼴泛。梯形⾪属度函数如图6.6所⽰，解析式表⽰为 ≤<--≤≤<≤--=d x a x d x c c d x d c x b b x a a b a

x x F ＞或＜，

，，

，01)(µ (6.2.12)

③ 正态型

这是⼀种最主要、最常见的分布，表⽰为： ()0> 2b e x b a x ，??

--=µ (6.2.13)

其分布曲线如图6.7所⽰：01

x

F

µa

图6.7 正态型分布曲线

④ Γ型

如图6.8所⽰，解析式表⽰为：≥???? ??<=- 0 x 0 0)(x e x x x

F ，，λννλνµ (6.2.14)

其中λ>0,ν>0 。

⑤ Sigmiod 型

如图6.9所⽰，解析式为： xF e

x -+=11

)(µ (6.2.15)

1

x

F

µ

1

x

F

µ

0.5

图6.8 Γ型⾪属度函数 图6.9 Ｓigmoid 型⾪属度函数6.3 模糊逻辑与模糊推理

6.3.1 模糊逻辑

模糊命题的真值应是⾪属度函数，其取值应在区间[0,1]上连续取值。模糊命题是普通命题在概念上的拓⼴。它对应的逻辑是连续逻辑（或多值逻辑），⼜称为模糊逻辑。显然，

不仅普通命题能反映客观世界，⽽模糊命题更是现实⽣活中常见的。随着模糊逻辑的出现和发展，将对计算机科学、⼈⼯智能、模糊控制等⽅向的研究和发展起推动作⽤。 下⾯对模糊逻辑的运算作⼀简单介绍。

设有模糊命题X 和Y ，对应的真值（⾪属度，也称为模糊变量）x ，y ∈[0,1]，称： ①Y X ∧为模糊逻辑合取（交、与），真值为),min(y x y x =∧ ②Y X ∨为模糊逻辑析取（并、或），真值为),max(y x y x =∨ ③X 为模糊逻辑否定（补、⾮），真值为x x -=1 ④Y X →为模糊逻辑蕴含，真值为y x y x ∨=→

⑤Y X ?为模糊逻辑恒等，真值为)()(x y y x y x ∨∧∨=?

6.3.2 语⾔变量

⼀、模糊数与语⾔变量 模糊数和语⾔变量的定义如下：

连续论域U 中的模糊数F 是⼀个U 上的正规凸模糊集合。这⾥所谓正规集合的含义就是其⾪属度函数的最⼤值是1，即1)(maxU

=∈u F u µ。