模糊数学基础知识

模糊数学

数学不是需要精确吗？怎么会需要模糊呢？你先别着急，这里给大家讲几个例子。

第一个例子：１粒种子肯定不能叫一堆，２粒也不是，３粒也不是„„那么多少粒种子叫一堆呢？适当的界限在哪里呢？我们能否说１２３４５６粒种子不叫一堆，而１２３４５７粒种子叫一堆呢？

再举一个例子，我们现在要从一片西瓜地里找出一个最大的西瓜，那是件很麻烦的事。必须把西瓜地里所有的西瓜都找出来，再比较一下，才知道哪个西瓜最大。西瓜越多，工作量就越大。如果按通常说的，到西瓜地里去找一个较大的西瓜，这时精确的问题就转化成模糊的问题，反而容易多了。由此可见，适当的模糊能使问题得到简化。

确实，像上面的“一粒”与“一堆”，“最大的”与“较大的”都是有区别的两个概念。但是它们的区别都是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限，换句话说，这些概念带有某种程度的模糊性。类的，我们说一个人很高或很胖，但是究竟多少厘米才算高，多少千克才算胖呢？像这里的高和胖都是很模糊了。

饭什么时候才算熟了？衣服什么样才能算洗干净？这些都是需要一门新的数学分支——模糊数学来帮助解决的问题。为此，１９６５年美国的祖德教授开创了对“模糊数学”的研究。现在，模糊数学在各行各业中得到了广泛的应用。

模 糊 数 学

模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。

模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。

模糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。

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模糊数学作业

模糊综合评判

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模糊综合评判的提出：

20世纪80年代初，汪培庄提出了综合评判模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。与此同时，还吸引了一些理论工作者对此模型进行深化和扩展研究，出现了一批诱人的成果，诸如：多级模型、算子调整、范畴统观等等。而且，针对实际应用中模糊综合评判模型常遇到的一些问题，对其进行了改进，可采用多层次模糊综合评判模型和广义合成运算的模糊综合评判模型。

模糊综合评判法:

对一个事物的评价，常常要涉及多个因素或者多个指标。词条与模糊综合评判法和模糊综合评判决策词条，归根结底都是模糊综合评价法词条。具体地说，该方法是应用模糊关系合成的原理，从多个因素对被评判事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法。模糊评价法不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级。这就客服了传统数学方法结果单一性的缺陷，结果包含的信息量丰富。由于模糊的方法更接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适应与对社会经济系统问题进行评价。比如，要判定某项产品设计是否有价值，每个人都可从不同角度考虑：有人看是否易于投产，有人看是否有市场潜力，有人看是否有技术创新，这时就要根据这多个因素对事物作综合评价。具体过程是：将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合（称为因素集U），再设定这些因素所能选取的评审等级，组成评语的模糊集合（称为评判集V），分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度（称为模糊矩阵），然后根据各个因素在评价目标中的权重分配，通过计算（称为模糊矩阵合成），求出评价的定量解值。上述过程即为模糊综合评判。

模糊综合评判法的原理：

模糊综合评价是借助模糊数学的一些概念，对实际的综合评价问题提供一些评价的方法。具体地说，模糊综合评价就是以模糊数学位基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。

第四章：模糊数学理论基础。主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介绍。首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、目的和意义进行了论述；接着给模糊集的定义及其表示方法；紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。对这些知识的了解，将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。

第四章 模糊数学理论基础

传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设(Probality Assumption＆Binary—State Assumption)的基础上。概率假设使传统的数学应用范围从确定性现象扩展到随机现象，二态假设对应了人类的精确思维方式。但自然界客观存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人”、“高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻”，多高个子为“高个子”，这是人们观念中的模糊的概念，模糊(Fuzzy)概念由此产生。模糊性也就是生活中的不确定性。实际上客观事物的不确定性除了随机性外，模糊性也是一种不确定性。所谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性，其根源是事物之间存在过渡性的事物或状态，使它们之间没有明确的分界线。

在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。但对于人的大脑而言，它具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力，而且人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能多的信息。但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法达到人脑的境界，所以，用计算机来处理模糊信息，就需要一种能够将模糊语言形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。

L．A．Zade提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集。为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。模糊集理论的出现引起了数学界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究，理论成果和应用成果不断出现，从而创建了一门新的科学——模糊数学。模糊集理论是对一类客观事物和性质更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。模糊数学的一个重要特点，就是让数学反过来吸收人脑的模糊识别和判决特点，并将之运用于计算机，使部分自然浯言能够作为算法语言直接进入程序，使人们能够以简易的程序来调动机器完成复杂的任务，从而大大提高机器的灵活性。

模糊系统理论

一、主要内容

(1)模糊数学，它用模糊集合取代经典集合从而扩展了经典数学中的概念；

(2)模糊逻辑与人工智能，它引入了经典逻辑学中的近似推理，且在模

糊信息和近似推理的基础上开发了专家系统； (3)模糊系统，它包含了信号处理和通信中的模糊控制和模糊方法；

(4)不确定性和信息，它用于分析各种不确定性； (5)模糊决策，它用软约束来考虑优化问题。

当然，这五个分支并不是完全独立的，他们之间有紧密的联系。例如，

模糊控制就会用到模糊数学和模糊逻辑中的概念。 从实际应用的观点来看，模糊理论的应用大部分集中在模糊系统上，

尤其集中在模糊控制上。也有一些模糊专家系统应用于医疗诊断和决策支持。由于模糊理论从理论和实践的角度看仍然是新生事物，所以我们期望，

随着模糊领域的成熟，将会出现更多可靠的实际应用。

早在20世纪20年代，就有学者开始思考和研究如何描述客观世界中普遍存在的模糊现象。1923年，著名的哲学家和数学家B．Russell在其有

关“含模糊性”的论文中就认为所有的自然语言均是模糊的，如“年轻的”和“年老的”都不是很清晰的或准确的概念。它们没有明确的内涵和外延，

实际上是模糊的概念。然而，在一个特定的环境中，人们用这些概念来描

述某个具体对象时却又能让人们心领神会，很少引起误解和歧义。 与B．Russell同时代的逻辑学家和哲学家人Kasiewicz发现经典的：值

逻辑只是理想世界的模型，而不是现实世界的模型，因为它在对待诸如“某人个子比较高”这一客观命题时不知所措。他在1920年创立了多值逻辑，

为建立正式的模糊模型走出了关键的第一步。但是，多值逻辑本质不仍是精确逻辑，它只是二值逻辑的简单推广[9]。

1966年，P．N．Marinos发表了有关模糊逻辑的研究报告。这一报告

真正标志着模糊逻辑的诞生。模糊逻辑和经典的二值逻辑的不同之处在于：模糊逻辑是一种连续逻辑。一个模糊命题是一个可以确定隶属度的句子，