模糊数学模型

1 第四讲 模糊数学模型（Fuzzy）

过份的精确反而模糊；适当的模糊反而精确。

起源：1965年 L.A.Zadeh 在杂志“ Information and Control”上发表著名论文，首先提出模糊集合的概念，标志着模糊理论的产生。

一、模糊综合评判法

（一）模糊集合：

1、X上的模糊集合A，由()AUx表示的隶属函数的集合。

()AUx表示X隶属集合A的程度，()AUx越接近1 ，表示X属于A的程度越大。

当()AUx=1时，X肯定属于A；

当()AUx=0时，X肯定不属于A；

2、若X为离散空间，则X可以表示为：12,,,nXxxx,则模糊集合A可以表示为：1122(,()),(,()),,(,())AAnAnAxUxxUxxUx。

:1,2,,9EgX,A=“大体上与5接近的数”，模糊集合A可以表示为A ={（1，0），（2，0），（3，0.4），（4，0.8）,(5,1),(6,0.8),(7,0.4),(8,0),(9,0)}。

3、若X为连续空间，则X可以表示为：,,XxxRR为某连续区域，模糊集合(,()),AAxUxxR。

Eg:若建立年轻人的隶属函数，可以根据统计资料，作出年轻人的隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近。

21

()()1 1()11(30)0.3 13.51(3025)10AAxaUxPxxaxaU1取a=25,=2,＝10不合理 2 11()0.8125100AUx进行反推，

A2U)1 x251 x>25()()25110AxUxPxx从而得到（

例：为解决某一地区的交通运输问题，有两个方案可供选择：

评价准则有如下四个：

①费用效益

②对区域发展的贡献

③对社会安全的贡献，

④对环境保护的贡献，

评价的结果为： 满意，较满意，不太满意，不满意

因素集合（准则）U ={ 费用效益， 区域发展， 社会安全， 环境保护 }

评语集（结论集）V ={ 满意， 较满意， 不太满意， 不满意 }

第Ⅰ 个方案：

满意 较满意 不太满意 不满意

费用效益 0.7 0.2 0.1 0

区域发展 0.2 0.7 0.1 0

社会安定 0 0.2 0.7 0.1

环境保护 0.1 0.3 0.5

0.1

各评价准则的权重为 A =（0.4, 0.3, 0.2, 0.1）,权重确定采用AHP法。

借用矩阵乘法的运算法则，进行指标权重与模糊判断矩阵R的乘法。

模糊矩阵的乘法运算法则：“两两相乘取小者，两两相加取大者。

0.70.20.100.20.70.100.40.30.20.100.20.70.10.10.20.50.10.40.70.30.20.200.10.10.40.20.30.70.20.20.10.3 0.40.10.30.10.20.70.10.50.400.300.20.10.10.1ART 3 10.40.200.10.40.20.30.20.10.3 0.10.10.20.10.2000.10.10.1TTTV

第Ⅱ个方案

满意 较满意 不太满意 不满意

费用效益 0.1 0.3 0.5 0.1

区域发展 0.2 0.7 0.1 0

社会安定 0.2 0.7 0.1 0

环境保护 0 0.2 0.7 0.1

0.10.30.50.10.20.70.10(0.4,0.3,0.2,0.1)0.20.70.1000.20.70.10.40.10.30.20.20.20.100.40.30.30.70.20.70.10.2 0.40.50.30.10.20.10.10.70.40.10.300.200.10AR212.10.10.20.200.20.30.30.20.10.3 0.40.10.10.10.40.1000.10.1TTTTTTVVV选择方案I

（二）常见的模糊分布

（1）矩形分布型

1 0≤x≤a

U（x）=

0 其他

a x 0U(x)

1 4 0 a b x U(x)

1

（2）Γ分布型

()()

()1 ,0

kxakxbexaUxaxbkexb

（3）正态分布

中间型：2()xabUxe

偏小型：

21,

() xabxaUxexa

偏大型

2

()1 xabexaUxxa

20,

()1 xabxaUxexa

(4)k次曲线分布型 0 a x 5 0 a b c d x 1 U(x)

0

()=1

0 kkxaxaaxbbaUxbxcdxcxddcxd

(5)柯西分布型

1() (0,0)1()Uxxa为正偶数

i） 戒上型：

1

()1 1() xaUxxaxa

ii) 戒下型： U(x)

1

0 a x

U(x)

1

0 a x 6 1 1()() 1 xaxaUxxa

（6）梯形分布（k次曲线分布型中k等于1时）

0

()1

0 xaxaaxbbaUxbxcdxcxddcxd

(7)岭型分布型

0 a x U(x)

1

U(x)

1

0 a b c d x 7 1121212233434430

11sin() 222 1 ()11sin() 2220 xaaaxaxaaaaxaUxaaxaxaaa4

xa

二、（某品牌）衣服的评价

因素集 12345,,,,Ufffff

f：花色, 2f：式样, 3f：耐穿性, 4f：价格, 5f：舒适度

② 评价集 1234,,,VCCCC

1C：很受欢迎，2C：欢迎，3C：不太受欢迎，4C：不欢迎

○3对U中每一个元素进行评判，评判结果构成模糊矩阵： 0 a1 a2 a3 a4 x U(x)

1 8 0.20.50.300.10.30.50.100.40.50.100.10.60.30.50.30.200.10.10.30.150.350.30.30.10.100.200.20.50.300.10.30.50.10.10.10.30.150.3500.40.50.100.10.60.30.50.30.20RAAAR男女男 0.350.30.30.1510.350.30.30.151.1 0.320.270.270.140.20.50.300.10.30.50.10.30.30.10.10.200.40.50.100.10.60.30.50.30.20 0.20.30.30.1AR女标准化处理：标准化10.20.30.30.10.9 0.220.330.330.12处理：

三、橡胶的种植

由地区的气候条件作为原始资料，来综合评判橡胶在何地种植的适宜程度。

①因素集123,,Ufff

1f：年平均气温≥23℃,

2f：年极端气温≥8℃, 气温在5℃以下，橡胶就会遭受冻害。

3f：年平均风速＜1米/秒 9 ② 评价集 1234,,,VCCCC

1C：很适宜， 2C：较适宜，3C：适宜， 4C：不适宜

根据选定的南方六个地区{ 南宁，万宁，景洪，广州，海口，龙州 }，通过1960-1978年的实践总结，选定类似戒下型柯西分布的隶属函数。

○a 用 T表示平均气温，则：（戒下型）

22310231(23)0.0625()TTTTCUTCT1

其中 多年经验、或回归所得

○b 用mT表示年极端最低气温（戒下型）

28181(8)0.0833mmmTmmmTTCUCTCT1

-4 其中

○c 用F表示风速（戒上型）

21111(1)0.009756FFFFUFF1 0

其中

③ 根据隶属度的大小规定

U≥0.9 很适宜

0.8≤U<0.9 较适宜