七年级数学上册专题复习第五章一元一次方程北师大版

《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.行程问题：路程＝速度×时间4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数7.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1．（2014•郸城县校级模拟）如果方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是 ．【思路点拨】根据一元一次方程的定义知|k|=1且未知数是系数k ﹣1≠0，据此可以求得k 的值．【答案】 ﹣1． 【解析】解：∵方程（k ﹣1）x |k|+3=0是关于x 的一元一次方程， ∴|k|=1，且k ﹣1≠0， 解得，k=﹣1； 故答案是：﹣1．【总结升华】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．举一反三：【变式】下列说法中正确的是( ).A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程 C．方程是等式 D．等式是方程【答案】C2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程253x k x+-=的解相同，求k的值．【答案与解析】解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．将x＝-2代入方程253x k x+-=中，得22253k-++=．解这个关于k的方程，得263k=．所以，263k=．【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．举一反三：【变式】（2015春•泉州期中）当x= 时，代数式2x+1与5x﹣8的值相等．【答案】3．解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，∴2x﹣5x=﹣8﹣1，∴﹣3x=﹣9，∴x=3.类型二、一元一次方程的解法3．解方程2351 46y y+--=【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．【答案与解析】解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12去括号，得3y+6-6+10y＝12合并同类项，得13y＝12未知数的系数化为1，得1213 y=【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．举一反三：【变式】解方程：解方程：0.10.050.20.0550.20.54x x+--+=【答案】解：把方程可化为：0.520.550 254x x+--+=再去分母得：232x=-解得：16x=-4．解方程：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．【答案与解析】解：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+++=-+-75(1)(1)22x x+=-7(1)5(1)x x+=-7755x x+=-212x=-x＝-6【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．类型三、一元一次方程的应用5．甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶， h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．【答案与解析】解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得60×+60x＝80x，解得 x＝．答：乙车出发后小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm（圆柱的体积=底面积×高）【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．【答案与解析】解：解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：π•102×12+π•22（12+x）=π•102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=．答：容器内的水将升高．【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量关系进行求解.7.某商品的进价为1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品是按几折销售的（结果精确到）【答案与解析】解：设按x折销售，根据题意得出：1500×（1+40%）×x10=1500×（1+20%），解得x≈，答：此商品是按折销售的．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是弄清“售价=进价+利润”和打几折即现价就是原价的百分之几十．举一反三：【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？【答案】解：设甲种商品原价x元，则乙种商品原价为（500-x）元，则：70%x+90%（500-x）=386， +=386， =64，x=320；乙种商品原价为500-320=180（元）；答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元．【巩固练习】一、选择题 1．（2015春•宜阳县期中）下列方程中，是一元一次方程的为（ ） A ．3x+2y=6 B ．x 2+2x ﹣1=0C ．=xD ．﹣3=2. 下列变形错误的是( ).A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7B.由3x －2 =2x + 1得x= 3C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3xD.由－2x= 3得x= －32 3. 某书中一道方程题：213xx ++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )．A ．B ．C ．5D ．74. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ).A 3x ＋2－2x ＋1B 3x ＋2－4x ＋1C 3x ＋2－4x －2D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ）. A.－8 B.－4 C.－2 6．解方程121153x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x-1) B ．3x+3＝15-10x-5C ．3(x+1)＝15-5(2x-1)D ．3x+1＝15-10x+57．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )．A ．18元B ．元C ．元D ．20元 二、填空题9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x .11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 .13．“代数式9－x 的值比代数式x 32－1的值小6”用方程表示为 . 14．当x ＝ 时，代数式223x -与32x-互为相反数.15．（2015•哈尔滨模拟）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班的学生有 人．16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 . 三、解答题17．（1）310.10.3542x x -=+； （2）122(1)(3)23x x x --=+．18．已知代数式11213y y ---+的值为0，求代数式312143y y ---的值． 19．（2015•南丹县一模）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13（1）这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?【答案与解析】 一、选择题1.【答案】C ．2.【答案】D【解析】由23x -=，得32x =-3.【答案】C【解析】把x ＝代入方程，再把□当作未知数解方程即可． 4.【答案】D【解析】(32)2(21)32222(1)3242x x x x x x +--=+-⋅-⋅-=+-+5．【答案】B 【解析】将2x =代入得：244a -=，得28a =；将2x =-代入得：24844a -+=-+=- 6．【答案】C【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号． 7．【答案】C【解析】设该队获胜x 场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x ＝6．故选C ． 8．【答案】B 【解析】可设这种杂拌糖平均每千克的售价是x 元．依题意，得(3+2+5)x ＝28×3+20×2+12×5，解得x ＝，故选B ． 二、填空题 9. 【答案】3；【解析】代入验证即可． 10. 【答案】35，-2；【解析】35215a a -=⇒=，362x x =-⇒=- 11. 【答案】112-； 【解析】将2x =-代入得：118232a a --=⇒=- 12. 【答案】-2x ； 13. 【答案】29)613x x -+=-（； 14. 【答案】138； 【解析】322023x x --+=，解得：138x =15.【答案】45．【解析】设有x 名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x ﹣25，解得：x=45．答：这个班有45名学生． 16. 【答案】3000.【解析】设标价为x 元，则0.82000(120%)x =+,解得：3000x = 三、解答题 17．【解析】解：(1)去分母，得＝2x+．移项，得3x-2x ＝+． 合并同类项，得x ＝．(2)去分母，得12x-3(x-1)＝4(x+3)．去括号，得12x-3x+3＝4x+12． 移项，得12x-3x-4x ＝12-3． 合并同类项．得5x ＝9．系数化为1，得95x =． 18．【解析】 解：由题意，得112103y y ---+=．去分母，得61130y y --++=． 移项合并同类项，得714y -=-．系数化为1，得y ＝2．当y ＝2时，3121321221143434y y --⨯-⨯--=-=， 即若代数式11213y y ---+的值为0，则代数式312143y y ---的值为14． 19.【解析】解：（1）设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果（140﹣x ）千克，根据题意得： 5x+9（140﹣x ）=1000， 解得：x=65，∴140﹣x=75．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）3×65+4×75=495（元） 答：利润为495元． 20．【解析】解：设两人一起做x 天，据题意，得：11(1)164x x ++=，解得x ＝2． 师傅应得报酬为14×2×450＝225(元)．徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．。

11.某服饰有限公司准备加工一披演出服。在加工60套后， 采用了新技术，使每天的工作效率从原来每天加工20套 变为原来的2倍，结果共用9天完成任务。求该公司加工 的这披演出服共多少套？
等量关系３：新技术时间×新技术效率＝新技术工作量
解:设该公司加工的这披演出服共X套 （9 －60÷20） ×２ × ２０ = X－６０
方程两边同 除以-1，得：
x 17
3. 1 2x 5 3 x
6
4
解、去分母，得： 12 2( 2x 5 ) 3( 3 x )
去括号，得： 12 4 x 10 9 3 x
移项，得： 4 x 3 x 9 12 10
合并同类项，得： x 13
方程两边同 除以-1，得：
6、一件衬衫进货价60元,提高50%后标价,则标 价为 9_0_元___, 八折优惠价为__7_2_元__,利润
为_1_2_元___；
7、鸡兔同笼共9只，腿26条, 则鸡___5__只， 兔__4___只；
8、小明每秒钟跑4米，则他15秒钟跑_6_0_米, 2分钟跑__4_8_0__米,1小时跑_1_4_._4_公里.
解得， X=300 答：设该公司加工的这披演出服共300套。
等量关系４：新技术效率＝２原技术效率
解:设该公司加工的这披演出服共X套
解得， X=300 答：设该公司加工的这披演出服共300套。
12.一队学生去校外进行军车野营训练， 他们以5千米／时的速度前进， 走了18分钟的时候， 学校要将一个紧急通知传给队长， 通讯员从学校出发， 骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去， 通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
移项 法则
合并同 类项
把方程变为ax=b （a≠0 ) 的最简形式

夯实基础
3x 2 x 2 8、 解 方 程 ： . 5 3
解：去分母，得
3(3x 2) 5( x 2)
去括号，得
9 x 6 5 x 10
移项，合并同类项，得 4 x 系数化为1，得
16 x4
1、若两个多项式5 x 2与 2 x 10的值 互为相反数，则x 2的值是 －6 .
归纳反思
解一元一次方程的一般步骤及注意的问题： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项
①不能漏乘不含分母的项。 ②分子是多项式时应添括号。 ①不要漏乘括号内的任何项。 ②如果括号前面是“－”号， 去括号后括号内各项变号。 ①从方程的一边移到另一边 注意变号。
①把方程一定化为ax = b (a≠0)的形式 （4）合并同类项 ②系数相加，字母及其指数不变。 ①方程两边除以未知数的系数。 （5）系数化为1 ②系数只能做分母，注意不要颠倒。
例：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利 12.5 ％，若货品进价为380元，则标价为多少元？
商品标价×折扣率—商品进价=进价×利润率 解：设标价为x元，由题意，得：
0.9x —380 = 380×12.5%
九.储蓄问题 问题中常出现的量有： 本金、利息、本 息和、期数、利率、利息税
常用等量关系： 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
例. 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车 的长是200米，货车的长是280米，客车的速度与货车的速 度比是5 ：3，(1)若客车赶上货车的交叉时间是1分钟,求 两车的速度；(2)若两车相向行驶,它们的交叉时间是多少 分钟？ 解:(1)设客车的速度是5x米/分，货车的速度是
3x米/分,由题意,得: 5x – 3x = 280 + 200

思路点拨：首先确定相等关系：该校七年级(1)(2)(3)三个班共 128 人参加了活动，由此列一元一次方程求解．
自主解答：解：设七(2)班有 x 人参加“光盘行动”，则七(1) 班有(x＋10)人参加“光盘行动”，根据题意得(x＋10)＋x＋48＝ 128，解得 x＝35，则 x＋10＝45. 答：七(1)班有 45 人参加“光盘行动”，七(2)班有 35 人参加 “光盘行动”．
D
)
D． 2
x＝－7
1 5．方程 x＋5＝ (x＋3)的解是 2
.
6．设 a，b，c，d
a 为实数，现规定一种新的运算 c
b ＝ad d
x x＋1 3 ＝1 的 x 的值为 －bc，则满足等式2 1 2
－10
.
x x＋1 x＋1 x 2 3 解析：由题意 ＝1 可化为2×1－ 3 ×2＝1，去分 1 2 母，得 3x－4(x＋1)＝6，去括号，得 3x－4x－4＝6，移项，得 3x －4x＝4＋6，合并同类项，得－x＝10，系数化为 1，得 x＝－10.
8． 某市出租车起步价是 5 元(3 公里及 3 公里以内为起步价)， 以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公里按 1 公里收费，小明乘出 租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元，则此出租车行驶的路程 可能为(
B
) B．6.9 公里 D．8.1 公里
A．5.5 公里 C．7.5 公里
9． 某商场购进一批服装， 每件进价为 200 元， 由于换季滞销， 商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能 获利 20%，则该服装标价是( A．350 元 C．450 元 B．400 元 D．500 元
【例 2】解方程：3(x＋4)＝x.