- 1 - 数值分析 pdf
简介：数值分析(Numerical analytical analysis)是通过计算机求解数学模型或计算机辅助设计的数值方法，是采用有限元法分析流体、电磁场、固体、声场和热场等物理量以及求解优化设计的数值方法。从而得到相应的结果，或者输出这些结果的过程。数值分析有许多种不同的类别，但主要可以归纳为两大类： 1.数值方法(Numerical method)研究如何将数字表示转换成数学模型的一般规则。它由三个不同的领域组成，即代数方法(Functoral methods)，微分方程(differential equations)，以及积分方法(integral
methods)。
内容介绍：基本概念和理论、微积分及其数值方法。数值分析(数值方法)是数学中重要的分支之一，它与计算机科学密切相关，它被广泛地应用于许多领域，如金属力学性能、岩土力学性能、化学反应动力学、有限元法、流体力学、电磁场、声学、热传导等。对于流体的力学性能的研究，一般都是将已知函数(对象)看成在时间上离散，然后利用分析手段处理成的数学模型来研究对象的各种物理性质，这就是数值方法的基本思想。
发展趋势：随着计算机技术、网络技术和控制工程等相关学科的迅速发展，国内外学者对数值分析进行了深入的研究，并取得了丰硕的成果，有关数值方法的新的研究成果层出不穷。目前，数值方法正朝着有限差分法和有限元法两个方向发展。 1.有限差分法(有限元法)2.有限元法的几个基本原理3.有限差分法的分类4.边界条件的 - 2 - 选取5.有限元法在实际工程中的应用6.有限差分法在边界元法中的应用7.边界元法简介
8.数值分析方法的共同点
8.1基本思想和计算原理(1)网格剖分; (2)节点位移、速度和加速度的分布;(3)自由度的确定(4)约束条件和约束反力;(5)载荷和约束的矩阵表示;(6)载荷、约束和单元刚度矩阵;(7)结构的内力分析。
1《数值分析》课程教学大纲
课程编号：07054111
课程名称：数值分析
英文名称：Numerical Analysis
课程类型：公共基础
课程要求：必修
学时/学分：32/2（讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0）
适用专业：材料成型及控制工程
一、课程性质与任务
数值分析是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其
理论与软件实现。随着计算机以及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来
越多地应用于科学技术的各个领域，数值分析也因此成为高等学校理工科专业的一门重要课程。
与其他数学课程一样，数值分析也是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，
既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性等特
点，是一门与计算机密切结合，实用性很强的数学课程。
通过本课程的教学，使学生掌握在计算机上解决常见数学问题的常用的数值算法，熟悉各
种算法的基本原理和适用范围，了解误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。培养学生运用计
算机解决实际问题的基本技能和基本素质，为学生学习后续专业课程和将来运用数值分析的知
识与技能解决本专业实际问题打下坚实的基础。
二、 课程与其他课程的联系
学生在学习本课程之前，应学习过高等数学、线性代数等课程，并了解一门编程语言或一
种科学计算软件。高等数学和线性代数课程的学习，为本课程提供必需的数学基础知识；具备
编程能力则可以使学生在计算机上编制程序，通过典型算例验证所学算法的有效性并应用到实
际问题中。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，为学习后续课程
如计算流体力学、有限元分析等奠定知识基础。
三、课程教学目标
1.通过本课程的学习，使学生掌握现代科学计算中所常用的一些数值计算方法，熟悉这些算法
的思想与基本原理，了解其适用范围。（支撑毕业能力要求1.1，1.3，2.1）
2.通过本课程的学习，使学生了解误差分析，收敛性及稳定性等基本理论。（支撑毕业能力要
第一章 绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有
已知x*的相对误差满足，而，故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
有5位有效数字，其误差限，相对误差限
有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1）
（2）
4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用 ： 式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
1. 给定的数值表
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限，因，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限，故
2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8），
令
因
得
3. 若，求和.
解：由均差与导数关系
于是 4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.
解：，由均差对称性可知当有
而当P＝n＋1时
于是得
5. 求证.
解：解：只要按差分定义直接展开得
6. 已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)
数 值 分 析 作 业
姓名：王森
学号：Z14030271
学院：化学工程学院
班级：化工8班
实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验
实验目的：
理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不稳定性
实验题：
求解线性方程组
实验要求
1 计算矩阵的条件数判断系数矩阵是良态的还是病态的
2 用高斯列主元消去法求得L和U及解向量
3 用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量
4 观察小主元并分析对计算结果的影响
解1
1.1判断矩阵A1 是否病态
程序如下:
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];
cond(A1 =,1)
结果如下:
ans =
136.2945
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];
cond(A1 ,inf) 结果如下
ans =
84.3115
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];
cond(A 1,2)
结果如下
ans =
68.4296
因为cond(A1 ,1) =136.2945》1；cond(A1 ,2) = 68.4296》1；cond(A1 ,inf)
=84.3115》1所以该矩阵A1 是病态矩阵。
1.2判断矩阵A2是否病态
程序如下:
>> A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]; cond(A2,1)
ans =
19.2832
>> A2 =[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]; cond(A2,2)
