数值分析第一次作业
信计2 20121314044 王峥虹
一、实验内容：
1、已知函数在下列各点的值为：
38.064.081.092.098.0|0.18.06.04.02.0|
yx
试用4次牛顿插值多项式)(4xP及三次样条函数)(xS（自然边界条件）对数据进行插值，用图给出10,11,1,008.02.0,iixyxiii，，，)(4xP及)(xS。
分析：
先求4次插值多项式:
根据差分形式的牛顿差值公式： ))...(](,...,,[...))(](,,[)](,[)()(1010102100100nnnxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP
x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];
y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];
n=length(y);
z=zeros(n,n);
for i=1:n
z(i,1)=y(i);
end
for k=2:n
for l=k:n
z(l,k)=(z(l,k-1)-z(l-1,k-1))/(x(l)-x(l-k+1));
end
end
z
结果：
4次牛顿插值多项式为： )6.0)(4.0)(2.0(2083.0)4.0)(2.0(625.0)2.0(3.098.04xxxxxxP )8.0)(6.0)(4.0)(2.0(5208.0xxxx
再求三次样条插值函数：
由上面及已知的：
075.65.475.30
200005.025.00005.025.00005.025.000002
43210
MMMMM
程序如下：
A=[2,0,0,0,0;0.5,2,0.5,0,0;0,0.5,2,0.5,0;0,0,0.5,2,0.5;0,0,0,0,2];
利用数值计算分析数据 教 案
第 1 页 3.2.3利用数值计算分析数据
——表格信息的加工与表达
一、教材分析
1、本节课内容的地位和作用
本节课是广东教育出版社《信息技术基础》（必修）第三章“信息的加工与表达”中第二节“表格信息的加工与表达”中的内容。该节内容既是对之前“建立表格”这一节内容的提升，也是为后续“利用图表呈现分析结果”作铺垫，是完整认识使用图表处理工具加工处理信息过程的重要一环。本节课侧重于引导学生如何运用图表处理工具的数值计算功能来分析数据，掌握这项基本技能，对学生日后的工作、学习和生活非常有益。
2、教材处理
教材内容不再拘泥于软件功能的详解，而是侧重于方法和思路的提炼，目的是引导学生掌握使用图表处理工具软件加工表格信息，表达意图的基本方法。但教材原有的“文明班集体评比得分统计表”教学案例略显简单，容易让学生机械地照搬操作，不利于对方法的掌握。为此，本节课将围绕难度相对较大的“学生演讲比赛成绩统计表”来展开教学。
二、学情分析
教学对象为高一学生，他们已具备一定的逻辑思维能力，能自主完成较高要求的学习任务。通过义务教育阶段和之前章节的学习，学生对图表处理工具的功能和特点有所了解，掌握了建立表格和简单利用数值计算分析数据的基本方法。但多数对数值计算功能的使用只停留在一个机械模仿而不知其所以然的阶段，对公式的使用没有系统的认识。
三、教学目标 利用数值计算分析数据 教 案
第 2 页 知识与技能：理解几个常用函数和单元格地址引用的含义，能根据需求运用图表处理工具的数值计算功能来分析数据。
过程与方法：在任务驱动、自主探究与教师点拨中掌握使用数值计算分析数据的基本方法。
1.5 分段线性插值
从已知的一些离散数据点及其函数值，即函数的列表法表示，推求出未知点上的函数值的所谓插值方法，在科技工作中应用十分广泛，如查对数表、三解函数表中都会遇到这类插值问题。MATLAB中设有许多插值指令，这里仅介绍最常用的一元函数插值指令，它可以使前面讲过的理论得以计算机实现。
1.5.1 一元函数插值（查表）的MATLAB实现
该命令的调用格式为：
method'',xy,interp1(x,ykk
① 输入参数x和y为已知的两个同维向量n1i}{xx和n1i}{yy，满足函数)(xyiif关系，它们是进行“造表”的根据，把iiy,x称为样本点即插值节点。
② 输出量ky是与kx对应的函数值。插值点],[n1kxxx可以是数值、向量或矩阵，ky与kx维数相同，其元素一一对应。
③ 用单引号界定的method有4种参数可供选择：
nearest最近插值——用直角折线连接各样本点。
linear线性插值——用直线依次连接各样本点，形成折线。省略'method'时，即默认为此项。
pchip(或cubic)分段三次插值——用分段三次多项式Hermite插值曲线，依次连接相邻样本点，整体上具有函数及其一阶导数连续性。
spline三次样条插值——用分段三次多项式曲线光滑地连接相邻样本点，整体上具有函数、一阶和二阶导数连续性，插值点kx可以在区间[n1,xx]外的附近取值，可以是数值、向量或矩阵，ky与kx同维。 这个命令并不输出插值多项式函数，只输出插值点上的函数值。这就相当于根据数据对),(yx“造表”，然后查出对应用于kx的函数值ky，所以又称为查表指令。
【例1-8】在区间[0，10]画出)sin(xy的曲线，取插值节点10,,1,0,kkxk和节点处的函数值)sin(kkxy，作分段线性插值，并画出相应的折线图，将两图形绘在一张图上。
解：编辑窗口输入下列命令：
1 第一章 绪论
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？（有效数字的计算）
4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）
8 设101dxexeIxnn，求证：
（1）)2,1,0(11nnIInn
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若),...1,0(njxj为互异节点，且有
)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl
试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）
