数学《函数单调性与导数》教案

函数的单调性与导数教案

一、引入：

1.很多初学者对于函数的单调性以及导数的概念有些混淆和不清楚，导致在学习相关知识时存在一定的困惑。

2.本教案旨在通过简明扼要地介绍函数的单调性和导数的概念，结合实际例子和练习，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

二、函数的单调性：

1.单调函数的定义：设函数f(x)在区间I上有定义，若对于任意的x1、x2∈I，若x1

2.一般而言，单调函数在其定义域内满足下面两个条件之一：

a.在定义域上恒大于零或恒小于零，即f'(x)≥0或f'(x)≤0；

b.在定义域上的导函数的符号不变，即f'(x)单调递增或单调递减。

3.通过实例说明和分析函数的特点，加深学生对单调性的理解。

三、导数的概念：

1.导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为：

f'(a)=lim┬(x→a)⁡(f(x)-f(a))/(x-a)

2.导数的几何意义：函数在一点处的导数等于函数曲线在该点的切线斜率。

3.导数的物理意义：函数在一点处的导数等于在该点的瞬时变化率，表示函数在其中一点的瞬时速率。 4.通过上述两个导数的概念和意义，学生可以从不同视角理解导数，并且感受到导数在不同学科中的应用。

四、如何判断函数的单调性：

1.根据导数的定义和性质，可以通过求导来判断函数的单调性。

2.若函数f(x)在(a,b)上连续，在(a,b)内可导，且当x∈(a,b)时，f'(a)>0，则f(x)在(a,b)上是严格单调递增的。

3.同时，可以通过求导数的符号表并分析函数的增减情况，判断函数的单调性。

五、导数的计算方法：

1.根据导数的定义和性质，介绍常见函数的导数计算方法，如：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

2.导数的四则运算法则：和、差、积、商的导数计算方法。

3.注意一阶导数和n阶导数的概念。

六、例题分析与讲解：

1.运用上述概念和方法，结合典型的例题进行分析和讲解，加深学生对函数单调性和导数的理解和运用能力。

3.3.1函数的单调性与导数

【教学目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导的关系。

【教学过程】

一．回顾与思考

1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

2、如果遇到函数：y=x3-3x判断单调性呢？还有其他方法吗？

二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函

数．相应地，'()()0vtht．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

高中数学教学课例《函数的单调性与导数》教学设计及总结反思

学科 高中数学

教学课例名称 《函数的单调性与导数》

教材分析 本节课是人教版《数学（选修2-2）》第一章导数及其应用，§1.3.1函数的单调性与导数的第二课时解题课．

导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用，导数更是研究函数性质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法”，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性作用．在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵．

教学目标 1．知识与技能目标

理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函

数的单调性和单调区间．

2．过程与方法目标

经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程．通过分析、归纳、推理、

对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数在函数单调性问题解决过程中的应用．

3．情感、态度与价值观目标

感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望．

2．教学的重点与难点

本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题．难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想方法的运用．

学生学习能力分析 在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念．学生能理解导数的数学意义、物理意义及几何意义．掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数．掌握了导数的运算法则．已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问题．本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的能力掌握本节知识．学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体差异．需要在教学过程中加以个别指导．

一、教材分析

１．教材背景

“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。

２．本课的地位和作用

本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

二、重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

探求含参数函数的单调性的问题。

三、目标分析

（一） 知识与技能目标：

1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；

2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。

（二） 过程与方法目标：

1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

（三） 情感、态度与价值观目标：

1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，

第1页 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

四、学情分析

学生经过复习对基本初等函数掌握较扎实，前面复习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。