函数单调性与导数教案

一、教材分析

１．教材背景

“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。

２．本课的地位和作用

本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

二、重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

探求含参数函数的单调性的问题。

三、目标分析

（一） 知识与技能目标：

1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；

2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。

（二） 过程与方法目标：

1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

（三） 情感、态度与价值观目标：

1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，

第1页 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

四、学情分析

学生经过复习对基本初等函数掌握较扎实，前面复习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

五、教法学法

针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成良好的思维品质。启发诱导、研究探讨、类比联想、总结反思、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。同时给予存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。

六、教学过程设计

复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业

七、教学过程

１．复习旧知

函数单调性：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递增函数。

当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递减函数。

在区间D内 在区间D内

第2页 图象

图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降

数量特征 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

２．新课引入

问题1：刻画函数的变化趋势是否还有其他的方法？

问题2：导数与函数的单调性有什么关系？

３．探索新知

〈一〉问题探究

讨论函数342xxy的单调性。

① 图像法：观察函数342xxy的图像。

② 定义法：

解：取,21Rxx)34()34()()(22212121xxxxxfxf

)4)(()(4))((2121212121xxxxxxxxxx

则当221xx时，0421xx，)()(21xfxf，那么，)(xfy单调递减；

当212xx时，0421xx，)()(21xfxf，那么，)(xfy单调递增。

综上可知，)(xfy单调递增区间为),2(；单调递减区间为)2,(

③导数法：

总结：函数在区间),2(上单调递减，切线斜率小于0，即其 y

2()fx

1()fx

0

1x 2x x y

x 2()fx 1()fx

0

1x 2x

变量变化的快慢

曲线的陡峭程度 函数的变化率

函数的变化趋势 导数 形 数

y

x

0 2

第3页 导数为负；在区间)2,(上单调递增，切线斜率大于0，即其

导数为正。

这种情况是否具有一般性呢？

一般地，对于给定区间上的函数)(xf，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，若)()(21xfxf，那么，)(xfy是增函数，即21xx与)()(21xfxf同号，即0)()(2121xxxfxf也即0xy。

增函数时有：0)()(2121xxxfxf也即0xy；减函数时有：0)()(2121xxxfxf也即0xy。

结论：一般地，设函数)(xfy在某个区间内可导，则函数在该区间：

如果0)('xf，则)(xf为增函数；如果0)('xf，则)(xf为减函数。

注意：如果在某个区间内恒有0)('xf，则)(xf为常数函数。

忆一忆：基本初等函数求导公式：

第4页

例1：应用导数讨论函数342xxy的单调性。

变式1：求函数76223xxy的单调区间。

解：函数的定义域为R， xxxf126)(2'

令01262xx，解得0x或0x，则)(xf单调递增区间为)0,(和),2(。

令01262xx，解得20x，则)(xf单调递减区间为)2,0(。

注：当0x或2时，0)('xf，即函数在该点单调性发生改变。

练习：判断下列函数的单调性

①； ②xexfx)(。

例2 应用导数信息确定函数大致图像

已知导函数的下列信息：

当32x时，0)('xf；

当2x或3x时，0)('xf；

当2x或3x时，0)('xf。 函数 导数

yc '0y

*()()nyfxxnQ '1nynx

sinyx 'cosyx

cosyx 'sinyx

()xyfxa 'ln(0)xyaaa

()xyfxe 'xye

()logafxx '1()log()(01)lnafxxfxaaxa且

()lnfxx '1()fxx

32()23121fxxxx

第5页 试画出函数)(xf图像的大致图像。

变式1 设)('xf是函数)(xf的导函数，)('xfy的图像如图所示，则)(xfy的图像最有可能的是（ ）

变式2 设)('xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图像如图所示，则)('xfy的图像最有可能的是（ ）

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同注入下面四种底面积相同x y

o 1 2 ()yfxx y

o 1 2 ()yfxo x y

1 2 ()yfxo x y

1 2 ()yfxA

C B

D o x y

2 )('xfyo x y )(xfyo x y

A y

B x o

C o x y

x y

o

D

第6页 的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

总结：根据导数确定函数的单调性

1.确定函数f(x)的定义域.

2.求出函数的导数.

3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.

例4例：函数32()1fxxxmx在R上是单调递增函数，求m取值范围。

4.课堂巩固

1. 求下列函数的单调区间

（1）32()39fxxxx

（2）21()ln2fxxx

2. 函数()yfx的图象如图所示，试画出导函数()fx图象的大致形状。

o o t h

A o t h

B t

h

C o t h

D

a b c y

x 0