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【北师大版】高三数学一轮课时作业【23】(含答案)

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匠心教育文档系列 1 课时作业23 解三角形的实际应用举例

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．(2014·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A．1 B．2sin10°

C．2cos10° D．cos20°

解析：如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.

在△ABD中，由正弦定理得

ADsin160°＝ABsin10°，

∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.

答案：C

2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示则塔高CB为( )

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匠心教育文档系列 2 A.4003m

B.40033m

C.20033m D.2003m

解析：由已知：在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，

则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝20033.

在Rt△ABD中，AD＝20033，∠BAD＝30°，

BD＝AD·tan∠BAD＝20033tan30°＝2003，

又∵DC＝OA＝200

∴CB＝DC－BD＝200－2003＝4003.

答案：A

3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )

A．5海里 B．53海里

C．10海里 D．103海里

解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，

在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)， 匠心文档，专属精品。

匠心教育文档系列 3 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．

答案：C

4．如果在测量中，某渠道斜坡坡度为34，设α为坡角，那么cosα等于( )

A.35 B.45

C.34 D.43

解析：因为tanα＝34，则sinα＝34cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得：cosα＝45.

答案：B

5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )

A.16 B.17

C.18 D.19

解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC

＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.

∴BC＝19.

答案：D

6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶

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匠心教育文档系列 4 端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A．50 m B．100 m

C．120 m

D．150 m

解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，

根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，

即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

答案：A

7．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是3 km，那么x的值为( )

A.3 B．23

C．23或3 D．3

解析：

如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.

答案：C

8．(2014·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为( )

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匠心教育文档系列 5

A．30° B．45°

C．60° D．75°

解析：依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

答案：B

二、填空题(每小题5分，共15分)

9.

(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82 n mile.此船的航速是________n mile/h.

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匠心教育文档系列 6 解析：设航速为v n mile/h，

在△ABS中，AB＝12v，BS＝82 n mile，

∠BSA＝45°，

由正弦定理得：82sin30°＝12vsin45°，

∴v＝32 n mile/h.

答案：32

10．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.

解析：如图所示，由余弦定理可得：

AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，

∴AC＝107(km)．

答案：107

11．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．

解析：由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，即2sin45°＝ACsin60°，解得AC＝6(千米)．

答案：6

三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的

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匠心教育文档系列 7 文字说明，证明过程或演算步骤)

12．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．

解：在△ABC中，由余弦定理得

cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，

在△ABD中，由余弦定理得

cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.

由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D，

解得AB＝7，所以AB长度为7米．

13．(2014·黄岗模拟)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进4 km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角．

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匠心教育文档系列 8

已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁，现该船继续东行．

(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？

(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

解：(1)作MC⊥AB，垂足为C，由已知α＝60°，β＝30°，

所以∠ABM＝120°，

∠AMB＝30°，

所以BM＝AB＝4，

∠MBC＝60°，

所以MC＝BM·sin60°＝23<3.5，

所以该船有触礁的危险．

设该船自B处向东航行至点D有触礁危险，

则MD＝3.5，CD＝MD2－MC2

＝3.52－232 匠心文档，专属精品。

匠心教育文档系列 9 ＝0.5(km)，

所以，BD＝BC－DC＝1.5(km)，所以，该船自B处向东航行1.5 km会有触礁危险．

(2)设CM＝x，在△MAB中，由正弦定理得，

ABsin∠AMB＝BMsin∠MAB，

即4sinα－β＝BMcosα，BM＝4cosαsinα－β，

而x＝BM·sin∠MBC

＝BM·cosβ＝4cosαcosβsinα－β，

所以，当x>3.5，

即4cosαcosβsinα－β>72，即cosαcosβsinα－β>78时，该船没有触礁危险．

14．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．

解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°

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匠心教育文档系列 10 ＝900t2－600t＋400

＝900t－132＋300.

故当t＝13时，Smin＝103(海里)，

此时v＝10313＝303(海里/时)．

即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，

故v2＝900－600t＋400t2，∵0

又t＝23时，v＝30海里/时．

故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于23.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

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《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业39 Word版含解析

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课时作业39 平面的基本性质与推论

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

解析：若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．

答案：A

2．已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，则l( )

A．与m、n都相交

B．与m、n中至少一条相交

C．与m、n都不相交

D．与m、n中的一条直线相交

解析：若m、n都不与l相交，

∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，

∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线冲突，

故l与m、n中至少一条相交．

答案：B

3．(2021·安徽，3)下列说法中，不是公理的是( )

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内

D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析：由空间几何中的公理可知，仅有A不是定理，其余皆为公理．

答案：A

4．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )

A.105 B.155

C.45 D.23

解析：取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．

在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝OG2＋OE2－EG22OG·OE

＝5＋3－22×5×3＝155. 答案：B

5．以下四个命题中，正确命题的个数是( )

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．

高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业25

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1 课时作业(二十五) 平面向量的基本原理及坐标表示

A 级

1．设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )

A．－1 B．1

C．－2 D．2

2．(2011·广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )

A.14 B.12

C．1 D．2

3．(2012·德州模拟)设OB→＝xOA→＋yOC→，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x＋y＝( )

A．－1 B．1

C．0 D．2

4．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；②AB→＋BC→＝CA→；

③OA→＋OC→＝OB→；④AC→＝OB→－2OA→.

其中正确结论的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )

A.AC→＝AB→＋AD→ B.BD→＝AD→－AB→

C.AO→＝12AB→＋12AD→ D.AE→＝53AB→＋AD→

6．(2012·聊城模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.

8．已知向量a＝(3，1)，b＝(sin α－m，cos α)，且a∥b，则实数m的最小值为________．

9．(2012·广州模拟)在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业4 Word版含解析

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课时作业4 函数及其表示

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )

A．y＝1sinx B．y＝lnxx

C．y＝xex D．y＝sinxx

解析：本题考查函数的定义域，由于y＝13x的定义域为{x|x≠0}，满足条件的函数只有D，故选D.

答案：D

2．(2022·北京海淀)假如f(1x)＝x1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________.( )

A.1x B.1x－1

C.11－x D.1x－1

解析：令1x＝t，得x＝1t.

∴f(t)＝1t1－1t＝1t－1

∴f(x)＝1x－1.

答案：B 3．设函数f(x)＝ －x，x≤0x2，x>0，若f(α)＝4，则实数α＝( )

A. －4或－2 B. －4或2

C．－2或4 D．－2或2

解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问．

当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；

当α>0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2.

综之：α＝－4或2，选B.

答案：B

4．下列对应法则f为A上的函数的个数是( )

①A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2

②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x

③A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：对于①，当0∈A时，y＝0∉B，故①所给的对应法则不是A到B的映射，当然它不是A上的函数关系；对于②，当2∈A时，y＝2∉B，故②所给的对应法则不是A到B的映射，当然它不是A上的函数关系；对于③，对于A中的任一个数，依据对应法则，在B中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A到B的映射，这两个数集之间的关系是集合A上的函数关系．

答案：B

5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f(x)＝ 3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈2，5]，则方程f(x)

高三数学第一轮复习课时作业(20)两角和与差的正弦、余弦、正切

高三数学第一轮复习课时作业(20)两角和与差的正弦、余弦、正切

课时作业(二十) 第20讲 两角和与差的正弦、余弦、正切

时间：35分钟 分值：80分

基础热身

1．2010·课标全国卷 若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝( )

A．－7210 B.7210

C．－210 D.210

2．2011·上饶一模 已知sinπ2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )

A．－79 B.29

C.79 D．－23

3．sinα＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为( )

A．－25 B．－210

C．－7210 D.7210

4．若sin3π2－2x＝35，则tan2x等于________．

能力提升

5．2011·揭阳一模 已知α为锐角，且cosα＋π6＝45，则cosα的值为( )

A.4－3310 B.4＋3310

C.43－310 D.43＋310

6．2011·北京石景山区一模 已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )

A.45 B．－237

C．－247 D．－83

7．2011·武汉四调 在斜△ABC中，sinA＝－cosBcosC且tanBtanC＝1－3，则A的值为( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

8．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是( )

A．a

C．b

9．2011·琼海一模 已知cos(2π－x)＝35，x∈－π2，0，则tan2x＝________.

10．已知sinα＋π6＝13，则cos2π3－2α的值为________．

11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________________________________________________________________________.(用数字作答)