平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 (1)

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。

于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。

这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。

物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。

现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：1、掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算。

2、经历观察、操作、交流等活动，增强学生观察能力，培养学生从一般到特殊的认知规律和数形结合的思想。

3、通过平面向量坐标的学习，让学生感受平面向量的正交分解与现实生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学之美。

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：平面向量坐标表示的理解及坐标运算的准确性。

教学过程：一、复习回顾1.平面向量基本定理的内容？2.分别用给定的一组基底表示向量思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？二、新知探究思考:1.光滑斜面上木块受到重力作用的分解特点？把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解思考:2.平面直角坐标系中点A可以用坐标来表示；平面向量是否也有类似的表示呢？课堂探究一：平面向量的坐标表示如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设→→==jOBiOA,填空：（1）|i |_____,|j |______,|OC |______;=== （2）若用 →→j i , 来表示OD OC ,，则： （3）向量 CD 能否由 →→j i , 表示出来？知识点1：平面向量的坐标表示概念如图， →→j i ,分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，若以 →→j i ,为基底，则对于该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数x,y,使得→→→+=j y i x a这样，平面内的任一向量→a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对（x,y ）叫做向量 →a 的坐标，记作()y x a ,=→显然，()()()0,00,1,0,0,1===→→→j i 。

知识点2：OA 的坐标就是点A 的坐标设 →→+=j y i x OA ，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标.例1.如图，分别用基底→→j i ,表示向量→→→→d c b a ,,,，并求出它们的坐标。

环节二 平面向量的正交分解及坐标表示【引入新课】情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量1e ，2e （如下图所示），分别作出向量a 在1e ，2e 方向上的分解．【课堂探究】情境：动画演示，重力G 分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．1．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（2）如图6.3-8，重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F ，垂直于斜面的压力2F ．（重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）2．坐标表示情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？答案： i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0)．情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？答案：（1）设=+OA xi yj ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；（2）反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标；（3）因为=OA a ，所以终点A 的坐标(,)x y 就是向量a 的坐标．（4）若向量的起点不是原点，则终点A 的坐标（x ，y ）就不是向量a 的坐标． 注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．【知识应用】情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．例3：如图6.3-11，分别用基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，你能求出它们的坐标吗？解：由图6.3-11可知，a ＝12AA AA +＝2i ＋3j ，所以a ＝（2，3）．同理，b ＝－2i ＋3j ＝（－2，3），c ＝－2i －3j ＝（－2，－3），d ＝2i －3j ＝（2，－3）．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．总结要点如下：（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．➢类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．➢对给定的向量，写出其坐标表示．➢向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．。

《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。

本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。

这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。

2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。

②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。

(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。

②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。

1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。

(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。

2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。

(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。

3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。

三、教学重点难点教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示：教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.四、学习者分析学生已经掌握的平面向量的基本定理为本节课的学习提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成与分解，坐标中点的表示方式已经熟练掌握，同时作图习惯已经养成这些都为本节课的学习提供认知准备；同时学生具备了一定的归纳推理能力以及分析问题、解决问题的能力，但要学生从向量坐标的方法解决几何问题依然具有一定的难度。

平面向量的正交分解及坐标表示【教学目标】1. 知识目标:①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标, 会作出已知坐标表示的向量;②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2. 能力目标:①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识;②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3. 德育目标:在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解教学过程:（i）•课题引入（采用多媒体）①自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题课件展示“向量化”的方块字：笔画顺序---方向线段长度一大小②提问：是否存在相等的向量？存在，有哪些?学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置无关.③引入直角坐标系---X 轴、y 轴、原点、单位长度平面内每一个点都可以用一对实数 （即它的坐标）来 表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也 可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何? 板书课题：平面向量的坐标表示及运算设计意图：利用向量化的方块字引入， 比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感,为新课的自然引入提供契机. 另外，教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。

（ii ） •新课讲解I.平面向量的坐标表示④与X 轴正方向相同的单位向量----i量，如：AB, PQ 还能用i 、j 表示吗？怎么表示?学生：思考，并讲出自己的想法。

《6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。

因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。

【教学目标与核心素养】A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；【教学重点】：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；【教学难点】：平面向量的坐标表示。

【教学过程】二、探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？【解析】在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。

【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。

平面向量的正交分解及坐标表示（教案）陈育林教学目标掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算，让学生体验由一般到特殊的认知规律以及数形结合的思想，培养学生的应用意识，让学生感受平面向量的正交分解与现实的联系， 教学重难点重点：平面向量的坐标运算；难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。

教学过程复习：平面向量基本定理及定理的理解(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量新课引入：火箭的速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。

（情景介绍） 新课概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解探究1分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底?探究2任一向量a ，用这组基底能不能表示?探究3在直角坐标系中点可以用坐标来表示，对于直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？ 1.平面向量的坐标表示 a =x i +y j把（x ，y ）叫做a 的坐标记作a =（x ，y ），x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，（x ，y ）叫做向量a 的坐标表示特别的， i =（1,0） j =（0,1）0=（0，0) 思考：在直角坐标平面内以原点O 为起点作向量OA =a 则点A 的位置由向量a 唯一确定吗？设OA=x i +y j ，则OA 的坐标(x,y)就是点A 的坐标，也是对应向量的坐标 评注:向量OA=(x ， A(x,y)相等的向量坐标也对应相等.即a =（x 1，y 1），b =（x 2，，y 2） 若a =b x1=x 2,y 1=y 2示例巩固例1、 如图分别用基底i ，j 表示a 、b 、c 、d ，并求出他们的坐标。

平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计-(1)突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】 一、知识再现、学习准备 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。

(1)我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。

二、教学过程设计.（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?设计说明：引出课题。

回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究提出问题1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课)师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？生：该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．师：物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe 2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．⒋平面向量的坐标表示师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如21λλ、21e e 、=a ρa ρ21e e 、21e e 、21e e 、何表示呢？如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝xi ＋yj ．这样，平面内的任一向量a 都可以x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫作向量a 的坐标，记作a ＝(,)x y ，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y轴上的坐标，式子a ＝(,)x y 叫作向量的坐标表示.根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i 、j 以及零向量的坐标表示是怎样的？生：i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=．（三）向量与坐标的对应关系师：如图，在直角坐标平面中，以原点O 为起点作OA =u u u v a ，则点A 的位置由向量a 唯一确定． 设OA =u u u v xi ＋yj ，则向量OA uuu v 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 就是向量OA uuu v 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．有人说：直角坐标平面内向量a 的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？生：这种说法不正确．只有当向量a 的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标．师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．（四）例题讲解:例1 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a=1AA +2AA =xi+yj,∴a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 拓展训练： 【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，又∵|OA →|＝|a |＝2，|OB →|＝|b |＝3，|OC →|＝|c |＝4.∴A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，C (23，－2)， ∴a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2) 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．例2.（五）本节课时小结:⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．（六）课后作业：⒈课本102页习题2.3 B 组 ⒊⒉预习课本106P ～108P ，思考下列问题：⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点回顾⒈向量的正交分解 ⒈向量的若干概念⒉向量的坐标表示⒉向量的夹角3.向量与坐标的对应关系 3.平面向量基本定理小结教学后记:《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计武山一中令启元。

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点1．平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2．对平面向量的坐标表示的理解。

三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理 如果21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数21λλ，，使2211e e a λλ+=。

我们把不共线向量21e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a 在给出基底21e e ，的条件下进行分解； (3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量a OA =，设j y i x OA +=，所以),(y x OA a ==。

说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；（3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。

a j o i xy a jo xy i x y a a例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ， 并求出它们的坐标。

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例一.案例要解决的教学困惑：在高中数学教材中，很多知识，若是学生记住结论，学生就能够解决一系列的数学题目。

关于这种知识的教学一直困扰我好久。

究竟是简单地让学生记住一个公式，一个结论，或是纯粹地仿照技术，仍是要让学生通过不断的试探、探讨、实践，试探总结出公式和结论呢？新的《一般数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不该只限于对概念、结论和技术的经历、仿照和同意，独立试探、自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。

”“教师不仅是知识的教授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者。

”本案例确实是为了针对解决如此的困惑而展开的教学试探。

二.教材分析：【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。

中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。

而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。

（强调向量应用意识）【课时安排】：节平面向量的大体定理及坐标表示要紧四部份内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

考虑到学生的同意能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。

【教学目标】1.知识目标：①使学生明白得平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的进程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；②把握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法那么，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现进程，激发学生的探讨精神，增强学生知识的应用意识；②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一样到特殊的归纳能力。

第 周 本章节计划 课时 共 课时的第 课时 备课时间 年 月 日 上课时间 月 日星期 第 节 教学目标 1． 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示2． 会用坐标表示平面向量重 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示难 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示课 型 新授课 主要教法 合作探究 教学用具 班班通教 学 过 程环节一 创设情境，引出问题给定平面内两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a ，均可分解为两个向量11e λ，22e λ，即a +=11e λ22e λ，其中向量11e λ与1e 共线，向量22e λ与2e 共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．环节二 抽象概括，形成概念1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示（1）基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．（2）坐标对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得j y i x a +=，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．（3）坐标表示：a =(x ，y )．（4）特殊向量的坐标：i =1(，)0，j =0(，)1，0=0(，)0环节三 例题练习，巩固概念【例1】如图，分别用基底{i ，j }表示意向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知，j i AA AA a 3221+=+=，所以2(=a ，)3因为j i b 32+-=，所以2(-=b ，)3，因为j i c 32--=，所以2(-=c ，)3-，因为j i d 32-=，所以2(=d ，)3-．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且2||=a ，3||=b ，4||=c ，分别计算出它们的坐标．【解析】设1(a a =，)2a ，1(b b =，)2b ，1(c c =，)2c ，则222245cos ||1=⨯=︒=a a ， 222245sin ||2=⨯=︒=a a ， 23)21(3120cos ||1-=-⨯=︒=b b ，233233120sin ||2=⨯=︒=b b ， 32234)30cos(||1=⨯=︒-=c c ，2)21(4)30sin(||2-=-⨯=︒-=c c ， 所以2(=a ，)2，23(-=b ，)233，32(=c ，)2-环节四 小结提升，形成结构求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．环节五 目标检测，检验效果【练1】如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成︒30角．求点B 和点D 的坐标以及AB 与AD 的坐标．【解析】由题意知B ，D 分别是︒30，︒120角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点．设1(x B ，)1y ，2(x D ，)2y ．由三角函数的定义，得2330cos 11=︒⨯=x ，2130sin 11=︒⨯=y ， 所以23(B ，)21． 21120cos 12-=︒⨯=x ，23120sin 12=︒⨯=y ， 所以21(-D ，)23． 所以23(=AB ，)21，21(-=AD ，)23．环节六 分层作业，应用迁移《课时作业》第195页；预习教材第29~30页；完成《学法大视野》第22~23页题型二、三．课后记：。

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教案 东宁县绥阳中学 教学目的：（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .2．探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量3．讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e 例2本题实质是 4．练习1：1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D )A.e 1、e 2一定平行B.e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1+μe 2(λ、μ∈R)D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+ue 2(λ、u ∈R)2.已知向量a ＝ e 1-2e 2，b ＝2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a+b 与c ＝6e 1-2e 2的关系（Ｂ ）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定３.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2不共线．. ),R ( , t AB t OB OA 表示用且不共线、如图，∈=.1 ,=++=n m n m AB P B A O 且上，则在直线若点三点不共线，、、已知(填共线或不共线).5．向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a、b 的夹角，当θ=0°，a 、b 同向，当θ=180°，a 、b 反向，当θ=90°，a 与b 垂直，记作a ⊥b 。