ch5留数

1 2 ( z 1)( z 2) 1 1 1 ( z 2) ( z 2) 2 (0 z 2 1) ( z 2) 2 z 2
故 z 1为f ( z)的一级极点， z 2为f ( z)的二级极点. 故
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解：1)
z ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z7 1 1 7 f ( z) z 2 2 3 ( z 1)(1 z ) ( z 1) ( z 1)2
z 1 是三级极点；z 1是二级极点；
1 1 令 z , 得 (t ) f ( z ) t t 2 (1 t )3 (1 t ) 2
1 z2 3! 5!
0 z
z 0 是可去奇点；
z 是本性奇点.
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§2 留数
1. 留数定义 2. 留数定理 3. 留数计算 4. 无穷远点的留数
1. 留数定义
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2). 极点 定义： 如果洛朗级数中只有有限多个( z z0 )的负幂项，
且其中关于( z z0 ) 的最高幂为( z z0 ) ,即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 )
m
c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
Ch5留数
§1 孤立奇点
1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点
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1. 孤立奇点
定义： 如果函数 f ( z )在z0点不解析，而在z0的某个去心
邻域0 z z0 内解析，那么z0称为f ( z)的孤立奇点.
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2) z (e 1)
2 z2
令 f ( z ) z (e 1)， 则
2 z2
f (0) 0,
z2
f ( z) 2 z 2( z z )e ，
3
f (0) 0, f (0) 0, f (0) 0,
t 0 是 (t ) 的二级极点，
故 z 是 f ( z ) 的二级极点.
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z 1 2) 2 2 z ( z 1)
6
z4 z2 1 f ( z) z ( z i)( z i)
z 0, z i, z i 都是一级极点；
z 0是一级极点；
z i 是二级极点；
zk (2k 1)i (k 0,1,)是一级极点；
1 z (k ) (k 0,1,)是二级极点. 2
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定理： f ( z )的孤立奇点z0为极点的充要条件是
z2
f ( z) (4 z 10 z 2)e 2，
4 2 z2
f ( z ) (8z 36 z 24 z)e ，
5 3 z2
f
( 4)
f (4) (0) 24 0, ( z) (16 z 112 z 156 z 24)e ，
6 4 2
故 z 0是函数的4级零点.
1) 6 sin z z ( z 6)
3 3 6
2) z (e 1)
2 z2
解：1) 6 sin z 3 z 3 ( z 6 6)
1 9 1 15 6( z z z ) z 9 6z 3 z15 ( z ) 3! 5!
3
1 1 6 其中 ( z ) 6( z ) 在 z 内解析， 5! 7! 6 且 (0) 0， 故 z 0是函数的 级零点. 15 5!
z i 是本性奇点； z 0 是本性奇点；
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2. 函数的零点与极点的关系
定义 若 f ( z ) ( z z0 ) m ( z ), m Z , ( z )在z0解析，
且 ( z0 ) 0, 则称z0为f ( z )的m级零点.
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1 如果 (t )在0 t 内的洛朗级数为 R
(t ) cnt n c0 cnt n
n 1 n 1


那么 f ( z )在R z 内，
f ( z ) c n z n c0 cn z n
1 f ( z) g ( z) m ( z z0 )
(m 1, cm 0)
其中 g ( z )在z0的邻域内解析，且 g ( z0 ) 0.
1 (3) g ( z ) 以z0为m级零点. f ( z)
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例如
z 1 z ( z 2 1) 2 1 ez 1 ez sin 2 z tan 2 z cos 2 z
z
lim f ( z ) ;
z
lim f ( z )不存在.
z
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例2. 指出下列函数在扩充复平面上的奇点， 并说明类型.
z 1) ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z6 1 2) z ( z 2 1)
1 1 3) 2 3 z z
sin z z 4) 3 z
定理 如果f ( z )在z0点解析，那么z0为f ( z )的m级零点
的充要条件是
i) f ( n ) ( z0 ) 0, (n 0,1,, m 1) ii ) f
( m)
( z0 ) 0
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例1. 指出下列函数在零点z 0的级.
n 1 n 1
cn z n c0 cn z n
n 1 n 1
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定理 如果f ( z)在R z 洛朗级数中，
i) 不含z的正幂项;
ii ) 只有有限多个z的正幂项，且 z (m 0)为最高正幂;
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定理 设 是 f ( z )的孤立奇点，那么
(1) 为可去奇点 (2) 为极点 (3) 为本性奇点
注： 的性态分析法
(1) 洛朗级数法 (2) 极限法
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lim f ( z ) c( )
如 z 0, 是函数 e 的孤立奇点.
1 z
z 0, 是函数
1 1 sin z
的非孤立奇点.

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分类
如果z0 是f ( z )的孤立奇点，那么f ( z )可在z0的某邻域
0 z z0 内展开为洛朗级数 :
f ( z)
当 z 时，
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1 z (1 6 ) 2 z f ( z) z (1 2 ) 2 1 z 5 z (1 2 4 ) z z z 是一级极点.
6
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sin z z 4) 3 z sin z z f ( z) 3 z 1 z3 z5 3 [( z ) z ] z 3! 5!
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1). 可去奇点
定义： 如果洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项， 即
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2
那么孤立奇点z0称为f ( z )的可去奇点.
sin z sin z z2 z4 的可去奇点. 例如： 1 , z 0为 z z 3! 5!
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定理： 如果z0为f ( z )的孤立奇点，那么下列三条件等价.
(1) 洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项;
(2) lim f ( z ) c( ); 有限数
z z0
(3)
f ( z )在z0的某去心邻域内有界.
1 cos z 又因为 的孤立奇点， 例如：z 0为 2 z 1 cos z 1 lim , 2 z 0 z 2 1 cos z 故 z 0为 的可去奇点. 2 z 工程数学---------复变函数
2
1
c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2 (m 1, cm 0)
那么孤立奇点z0称为f ( z )的m级极点.
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例如：
1 ( z 1)( z 2) 2
1 ( z 1) 2( z 1) 2 3( z 1)3 (0 z 1 1) z 1
lim f ( z )
c
有限数 无限数

即 lim f ( z )不存在.
z z0
A, {zn } : zn z0 , 使 lim f ( zn ) A 任意数 n
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