2020年上海市青浦区高考数学一模试卷

高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数 学 试 卷（时间 120 分钟，满分 150 分） 2020.12学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}0,2,4,6,8B =，则A B = ．2．函数2xy =的反函数是 ．3．行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．已知复数z 满足40z z+=，则||z = . 5．圆锥底面半径为cm 1，母线长为cm 2，则其侧面展开图扇形的圆心角=θ ．6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()limn n na S →∞= ． 7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(),,,a b c d ∈*N ，则b d a c ++是x 的更为精确的近似值．己知15722π507<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次．．“调日法”后可得π的近似分数为____________． 8．在二项式()521)0a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是__ __．9．点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为 ．10．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11．记m a 为数列{}3n在区间(]()*0,m n ∈N 中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S=_________．12．已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“a b =”是“2a b+=”的………………………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是……………………………………………………………………………（ ）． （A ）①②（B ）①④（C ）②③（D ）③④15．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为………………………………………………………………………………………（ ）．（A ）223- （B ）223+ （C ）261- （D ）261+ 16．设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若P M ≠R ，则()()A P A M ≠R ；（3）一定有PM =∅；（4）若PM =R ，则()()A P A M =R ．其中正确的个数是………………………………………………………………………（ ）． （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点． （1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若)(x f 为偶函数，求a 的值； （2）设0>a ，xx f x g )()(=，],0(a x ∈为减函数，求实数a 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的n ∈*N ，均有n n a b A -≤，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且2n a n =，()2n b n n =+∈*N ，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系()1P ？说明理由； （2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，并求A 的最小值；（3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()q q ∈*N 的等比数列，试求数列{}na 与{}nb 具有关系()P A 的充要条件．青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案 2020.12一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}2,4； 2．2log y x =； 3．3-； 4．2； 5．π；6．4； 7．20164；8．2；9. 21；10.1318； 11．284；12. []1,8-.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. B ；14. C ； 15．D ；16. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. （1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，故1//PO BD 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC（2）由（1）知，1//PO BD ，所以异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，故APO ∠即为所求； 因为2PA PC ==，212AO AC ==且PO AO ⊥所以1sin 2AO APO AP ∠===.30APO ∴∠=︒ 即异面直线1BD 与AP 所成角的大小为π6（30︒）． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）因为)(x f 为偶函数，且x ∈R ，所以()()f x f x -= 即()22||||x x a x x a -+--=+- 即22||||||||x a x a x a x a --=-⇔--=- 所以40ax =对一切x ∈R 成立，所以0=a （2）因为0>a ，且],0(a x ∈所以22()()1x x a f x x a x ag x x x x x x+-+-====+-， 任取120x x a <<≤，121212()()a ag x g x x x x x -=+-- 211212121212()()()()a x x x x a x x x x x x x x --=-+=-因为120x x a <<≤，所以120x x -<且2120x x a <<又()g x 在区间(0,]a 上为减函数，所以120x x a -< 即12a x x >，所以2a a ≥又0>a ，所以10≤<a ．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos sin()4PE PEM PM PME θθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-； （2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的方程为24y x =（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：222(1)44804y k x ky y k y x-=-⎧⇒--+=⎨=⎩或()()222224420k x k k x k --++-= 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭同理得222(1)44804y k x ky y k y x-=--⎧⇒+--=⎨=⎩或()()222224420k x k k x k -++++= 即()()2420ky k+y +-=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭()()22224242122ABk kk k k k k k k ----∴==-+-- 即直线AB 的斜率为定值1-；（3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：222(1)44804y k x ky y k y x-=-⎧⇒--+=⎨=⎩ 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，所以可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭同理得 ()()2222(1)24404y k x k y y k y x⎧-=--⎪⇒--+=⎨=⎪⎩ 即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，所以可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k kk k ----∴==-+--- ()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫-∴-=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭：，()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为2n a n =，()*2N n b n n =+∈，若数列{}n a 与{}n b 具有关系()1P ，则对任意的*N n ∈，均有1n n a b -≤，即()221n n -+≤，亦即21n -≤，但4n =时，221n -=>， 所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系()1P ．（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为121n n b +=+，所以113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112111333n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫-=--=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．设A 的最小值为0A ，0n n a b A -≤，因为1n n a b -<，所以01A ≤． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*N n ∈，均有0n n a b A -≤”矛盾， 所有01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈为等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()*N q q ∈的等比数列， 所以()111n a a n d dn d =+-=+-，112n n n b b q q q-==⋅， 设1d a -=，20b q=>，则n a dn a =+，n n b bq =，*N n ∈． 数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，即存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤．（Ⅰ）当0d =，1q =时，1211n n a b -=-=≤，取1A =， 则n n a b A -≤，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ；（Ⅱ）当0d =，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ， 则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤，即1n bq A ≤+，1n A q b +≤，所以1log q A n b+≤， 这与“对任意的*N n ∈，均有n n b a A -≤”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质()P A ，则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n a b a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n a b A -≤， 即2n a A ≤+，2dn a A +≤+，所以2dn a A -≤+，2a A n d++≤， 这与“对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质()P A ，则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤， 所以n bq dn a A d n a A ≤++≤++，所以n d a A q n b b+≤+， 设0d b λ=>，0a A bμ+=>，则对任意的*N n ∈，n q n λμ≤+． 因为，2n n q ≥，所以，对任意的*N n ∈，2n n λμ≤+，可以证明：存在1N >，当n N >时，22n n >．（利用()22n f n n =-单调性）又2n n λμ≤+，所以2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n << 这与对任意的*N n ∈，2nn λμ≤+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A 的充要条件为0d =，1q =．。

2020届上海市青浦高级中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的两倍，则m =（ ）A ．14 B ．12 C ．4D ．22．如图所示的程序框图所实现的功能是（ ）A ．输入a 的值，计算()2021131a -⨯+ B ．输入a 的值，计算()2020131a -⨯+ C ．输入a 的值，计算()2019131a -⨯+ D ．输入a 的值，计算()2018131a -⨯+3．用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（ ） A ．479 B ．480 C ．455 D ．4564．已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且0n a >，2*634()n n n S a a n N =+-∈,()()1111n n n b a a +=--，若对任意的n *∈N ,n k T >恒成立，则的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．112D ．1155．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．A．32 B．2 C．23D．36．5y A sin x x R66ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦如图是函数（）（）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R=∈（）的图象上所有的点A．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．下列命题中：①若命题:p x R∃∈，200x x-≤，则:p x R⌝∀∈，20x x->；②将sin2y x=的图象沿x轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③“0x>”是“12xx+≥”的充分必要条件；④已知()0,0M x y为圆222x y R+=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R+=与该圆相交.其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A．1044 B．1024 C．1045 D．10259．已知双曲线()2222100x ya ba b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c-，，，，若直线2y x=与双曲线的一个交点P的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率为（）A5B．2 C21D2110．设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值集合是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 11．在ABC ∆中，3AB =，4BC =，5AC =，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将ABD ∆折起使点A 到达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P BDC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．16πC ．48πD ．48125π12．已知0x y >>，则( ) A ．11x y > B ．11()()22x y> C ．cos cos x y > D ．ln(+1)ln(1)x y >+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高三】上海市青浦区届高三一模数学试卷（word版，含解析）试卷说明：青浦区高考第一次数学模拟考试（150分，120分钟），学生注：1。

本文由试卷和答题两部分组成。

2如果试卷上的答案无效，你必须按照答题纸上指定位置的要求回答问题。

你可以用一个合格的计算器来回答问题1、填空（56分）这个问题有14个问题。

考生应直接在答题纸上相应编号的空格中填写结果。

如果每个空间填充正确，将给出4个点，否则将在直角坐标系中给出零点，与点（1,0）和直线距离相同的点的轨迹方程为。

[analytic]（水平理解/），其轨迹为抛物线，其中轨迹方程给出完整的集合u=R，set，和R，实数a的值范围为。

【分析】（探索性理解水平/集合的并补运算、集合的描述方法）如果所有项都是实数，则很容易获得【分析】（探究性理解水平/等比序列的中间项）：如果点已知，向量在方向上的投影为。

【分析】（对水平/平面向量的探索性理解）根据问题的意思，让和之间的角度为，，并知道方向上的投影，然后。

【分析】（探索性理解水平/归纳公式），然后，，因此已知圆锥体底部圆的周长为4π，侧边与底部之间的角度为，则圆锥体的体积为。

[分析]（探索性地理解水平/圆锥体的体积）让底圆的半径为r，高度为h，侧边和底边之间的角度为，然后，和。

如果函数的逆区间是一个实数，那么函数的逆区间是一个单调的区间。

[分析]（解释性理解水平/极限的计算），因为，因此，其值范围是已知的，定义域R上的偶数函数f（x）是减法函数，不等式的解集为。

【分析】（探索性理解函数的级别/奇偶性和性质）是一个递增函数，因此不等式的解集是。

10（1月青浦）对于已知集合，从a的非空子集中取任意一个，集合中所有元素之和为奇数的概率为。

[分析]（探索性理解水平/）a中有5个元素，子集的数量为① 集合中有1个元素种类；② 种③ 元素种类；④ 元素种类；⑤ 一个因素，所以概率是：如果P点是开着的，那么[分析]（探索性理解水平/双曲线）从问题的意义上是已知的。

2020年上海市青浦区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð ．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 ．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= ．6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为 ． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则xy的最大值为 ． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞= ． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( ) A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交 B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n β C ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n D ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð {5} ．解：集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1AB ∴=，3，9} (){5}U AB ∴=ð，故答案为{5}．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z解：复数(32)32z i i i =-=+，则||z ==．．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 6．解：直线1:10l x -=的倾斜角为2π，直线20l y -=3π，故直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小为236πππ-=，故答案为：6π．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = 1()2n ．解：依题意，第1天“日取其半”后112a =； 第2天“日取其半”后22111()222a =⨯=； 第3天“日取其半”后331111()2222a =⨯⨯=；、⋯⋯∴第n 天“日取其半”后1111()2222n n n a =⨯⨯⋯⋯⨯=个， 故答案为：1()2n ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= 25．解：角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，所以3cos 5α=-，4sin 5α=，所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-．故答案为：2425-6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为16+ ． 解：设正四棱柱的高为h，由底面边长为a =，体积为32V =， 则2V a h =，即4h ==；所以此四棱柱的表面积为：2S S S =+侧面积底面积442=⨯⨯+⨯16=+．故答案为：16+． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则x y 的最大值为 16． 解：141x y+=，x ，y R +∈， ∴24x x x y +=，即2211144()81616x x x x y =-+=--+…，当且仅当“1,28x y ==”时取等号， 故答案为：116． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞ 4．解：数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈， 可得21312a a -=，32412a a -=，43512a a -=，1112n n n a a -+⋯-=， 累加可得：3451111112222n n a +=++++⋯+， 则3152lim 11412n n a →∞=+=-． 故答案为：54． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 81 种． 解：根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有133C =种情况， ②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有33327⨯⨯=种不同的选法， 则有32781⨯=种不同的分配方法； 故答案为：8110．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212m log k = ．解：由题意可知，0k >，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形， 则()f m x +为偶函数，关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， ()()2222m x m x m x m x k k ---+-+∴+=+，对于任意x R ∈成立，故220m m k --=， 212m log k ∴=故答案为：212log k11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是4．解：由211()112x y f x x x x ====++…，当且仅当1x =时取等号， 得11x x y+=； 又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为1(x ，)y ，B 点的坐标为2(x ，)y ， 则圆柱的底面圆半径为y ，高为21h x x =-， 且1121()1x f x x =+，2222()1x f x x =+， 所以12221211x x x x =++， 即2121()(1)0x x x x --=， 所以211x x =，所以222212112111()4()44h x x x x x x y=+-=+-=-，所以h ==所以212V y h πππ=⋅==圆柱2214(14)1()224y y ππ+-=…，当且仅当y =时取等号， 故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为4π．故答案为：4π．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 8 ．解：(1)PA t OP tOP OP =-=-，∴OA OP tOP OP -=-，则OA tOP =，∴||||||OA t OP =， 设(A A x ，)A y ，(P P x ，)P y ， (A x ∴，)(A P y t x =，)P y ，则A P A P x tx y ty =⎧⎨=⎩，即A P AP x x ty y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将点(,)A A x y t t 代入双曲线中得：22221916A A x y t t -=，∴2229916A A y x t =+⋯①， 60OA OP =，222||||||||||()P P OA OP t OP t x y ∴==+2222||()60A A x y t t t=+=⋯②，由①②得2222222925251560||(9)||(9)9||||161616||2A A A A A y y y y t t t y t t t t =++=+=+…， ||8A y ∴…，||||8A OB OA y ∴=…．则||OB OA 的最大值为8． 故答案为：8．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：(3nx +的展开式的通项公式为：521(3)()3n r rn rr n rr r nnT C x C xx x---+==，令502r n -=，可得52r n =， ∴当2r =时，n 取得最小值为5，故选：B ．14．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n βC ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m nD ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线解：若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，由//n α，则//n β或n β⊂，故B 错误； 若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n ，故C 正确；若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误． 故选：C ．15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p解：抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p，所以设经过焦点直线AB 的方程为()2py k x =-， 所以2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2122(22)||k p AB x x p k +=++=，所以221||(22)k AB k p =+， 同理设经过焦点直线CD 的方程为1()2py x k =--，所以21()22p y x k y px⎧=--⎪⎨⎪=⎩，整理得222(2)04p x p k p x -++=， 所以：2||(2)CD p p k p =++，所以21||22CD p k p=+，则则2211(1)1||||2(1)2k AB CD p k p++==+． 故选：D ．16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④解：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，20191a ∴>，20201a <．01q ∴<<，故①正确；22019202120201a a a =<，2019202110a a ∴-<，故②不正确；20201a <，2019T ∴是数列{}n T 中的最大项，故③正确；40394039124038403920201T a a a a a =⋯=<， 20194038124037403820192020()1T a a a a a a =⋯=>，∴使1n T >成立的最大自然数等于4038，故④不正确． ∴正确结论的序号是①③．故选：B ．三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：（1）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，CD PA ∴⊥．矩形ABCD 中，CD AD ⊥，而PA 、AD 是平面PAD 的交线． CD ∴⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，CD PD ∴⊥，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．Rt PAD ∆中，AD =，2PA =，PD ∴==．∴三角形PCD 的面积12S PD DC =⨯⨯=． （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2B ，0，0)，(2C ，0)，(1E ，1)．∴(1AE =，1)，(0BC =，0)，设AE 与BC 夹角为θ，则cos ||||2AE BC AE BC θ===⨯， 4πθ∴=，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ， PBC ∆中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，//EF BC ∴，AEF ∠或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．Rt PAC ∆中，4PC ==．122AE PC ∴==，在AEF ∆中，12EF BC ==，12AF PB ==222AF EF AE ∴+=，AEF ∆是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，4AEF π∴∠=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．解：（1）23(cos 2sin 23sin cos sin(2)23x a b cos x x x x ωωπωωωω=+=+=++，∴()sin(2)3f x x πω=++()f x 的最小正周期为π，且0ω>， ∴22ππω=，解得1ω=；（2）由（1）得()sin(2)3f x x π=+，()2Af =，∴sin()3A π+=0A π<<得，4333A πππ<+<，∴233A ππ+=，解得3A π=， 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即22216()3b c bc b c bc =+-=+-，且5b c +=， 16253bc ∴=-，3bc ∴=，∴11sin 322ABC S bc A ∆==⨯=． 19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 解：（1）依题意得f （1）f =（2）f =（3）f =⋯=（9）(10)10f ==， 当1n =时，g （1）101505==，当110n <…，*n N ∈时，f （1）f =（2）(1)10f n =⋯=-=， 则()10()14950((1)(2)(1))10f ng n n f f f n ==++++⋯+-， 1n =也符合上式，故当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+，当1160n 剟，*n N ∈时， 2()20()1(11)(10)50(1)(2)(10)(11)(1)109050(100(11)(1))601020f n n n ng n n n f f f f f n n n f f n ====-++++⋯+++⋯+--++++⋯+-+，所以第n 个月的当月利润率为210,11049()20,11601090n n g n n n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪-+⎩剟剟；（2）当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+是减函数，此时()g n 的最大值为g （1）15=，当1160n 剟，*n N ∈时，22020()109010901n g n n n n n==-++-…，()g n 在1133n 剟，*n N ∈单调递增，()g n 在3460n 剟，*n N ∈单调递减， 当且仅当1090n n=，即n =时，()g n 有最大值，又*n N ∈， 22033330(33)333310901073g ⨯==-+，22034170(34)34341090553g ⨯==-+， 因为330170110735535>>，所以当33n =时，()g n 有最大值3301073， 即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为3301073． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标． 解：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以210a =，5a =， 又椭圆C 经过点16(3,)5，代入椭圆方程，求得4b =， 所以椭圆的方程为：2212516x y +=； （2）设(3,)M M y ，(3,)N N y ，(3,0)F ， 由OM ON ⊥，所以90M N OM ON y y =+=， 1393||||922MON M N M MS y y y y ∆=-=+…，故OMN ∆面积的最小值为9； （3）设直线l 的方程为：y kx m =+，则点(,0)mM k-， 联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(2516)50254000k x kmx m +++-=，122502516kmx x k +=-+，2122254002516m x x k -=+，所以24025||k AB -=则AB 的中点P 的坐标为2222525(,)25162516km k m m k k --+++，又PN AB ⊥，得1PNk k =-， 则直线PN 的方程为：22225125()25162516k m kmy m x k k k +-=-+++， 令0y =，得N 点的坐标为222525(,0)2516k m km mk k +-++，则29||||2516km mMN k k =-++，所以22222||5251659||||25||2121AB kk m k m MN mk m k -++==-++， 当且仅当2291m k =时，比值为定值，此时点(,0)mM k -，为(3,0)M ±，故(3,0)M -或(3,0)．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围． 解：（1）()f x 具有性质1()2P ，设0[0x ∈，3]2，令001()()2f x f x =+，则22001(1)()2x x -=-，解得034x =，又3[04∈，3]2，所以()f x 具有性质1()2P ； （2）任取0[0x ∈，2]m -，令00()()f x f x m =+，则2200(1)(1)x x m -=+-， 因为0m ≠，解得012m x =-+，又02m <<，所以0112m<-+<， 当02m <<，012m x =-+时，0(2)(2)(1)11022m mm x m --=---+=-=-+>， 即0122mm <-+<-，即任取实数(0,2)m ∈，()f x 都具有性质()P m ； （3）若(0m ∈，1]，取012m x -=，则102m -…且132022m mm ----=>，故0[0x ∈，2]m -， 又0()sin()22m f x ππ=-，00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=，所以()f x 具有性质()P m ；假设存在(1,2)m ∈使得()f x 具有性质()P m ，即存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+， 若00x =，则0(1,2)x m +∈，0()0f x =，0()0f x m +<，00()()f x f x m ≠+，若0(0x ∈，2]m -，则0(x m m +∈，2]，进而0(0,1)x ∈，0(1x m +∈，2]，0()0f x >，0()0f x m +…， 00()()f x f x m =+，所以假设不成立，所以(0m ∈，1]．。

上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P ∩C U M ．2．（4分）已知复数（i 为虚数单位），则= ．3．（4分）不等式2＞（）3（x ﹣1）的解集为 ．4．（4分）函数f （x ）=sinxcosx +cos 2x 的最大值为 ．5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，以直线y=±2x 为渐近线，且经过椭圆x 2+=1右顶点的双曲线的方程是 ．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 ．7．（5分）设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1=9d ．若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k= ．8．（5分）已知（1+2x ）6展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则= ．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 ．10．（5分）已知函数f （x ）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．11．（5分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=a 2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n ﹣1+a n +1）+（1﹣a n ），n ≥2，n ∈N *，若A ，B ，C 在同一直线上，则S 2018= ．12．（5分）已知函数f （x ）=m （x ﹣m ）（x +m +2）和g （x ）=3x ﹣3同时满足以祝您高考马到成功！下两个条件：①对任意实数x 都有f （x ）＜0或g （x ）＜0；②总存在x 0∈（﹣∞，﹣2），使f （x 0）g （x 0）＜0成立． 则m 的取值范围是 ．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a ＞b”是“（）2＞ab”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．（5分）已知函数f （x ）=2sin （x +），若对任意实数x ，都有f （x 1）≤f（x ）≤f （x 2），则|x 2﹣x 1|的最小值是（ ） A ．πB ．2πC ．2D ．415．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n ∈N *，设θn 为和的夹角，则（ ）A ．θn 随着n 的增大而增大B ．θn 随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，θn 先增大后减小D ．随着n 的增大，θn 先减小后增大16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2=12和C 2：x 2+y 2=14，又点A 坐标为（3，﹣1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，祝您高考马到成功！PA=AD=2AB=2，E 是PB 的中点． （1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）．过点（0，）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A 、B 、C ．值班室A 在值班室B 的正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室出发行至点P 处，此时PC=1，求PB 的距离； （2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？20．（16分）设集合A ，B 均为实数集R 的子集，记A +B={a +b |a ∈A ，b ∈B }． （1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A +B ； （2）设a 1=，当n ∈N *且n ≥2时，曲线+=的焦距为a n ，如果A={a 1，祝您高考马到成功！a 2，…，a n }，B={﹣，﹣，﹣}，设A +B 中的所有元素之和为S n ，求S n 的值； （3）在（2）的条件下，对于满足m +n=3k ，且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +S n ﹣λS k ＞0恒成立，求实数λ的最大值．21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y=f （x ）﹣（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”． （1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=x 不是函数f （x ）=（）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．祝您高考马到成功！上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P ∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P ∩C U M={﹣2，﹣1，0} 故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i 为虚数单位），则= ．【解答】解：复数==，∴=， ∴=•==，故答案为 ．3．（4分）不等式2＞（）3（x ﹣1）的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） ．【解答】解：不等式2＞（）3（x ﹣1）化为2＞23﹣3x ，即x 2﹣4x ﹣3＞3﹣3x ， ∴x 2﹣x ﹣6＞0， 解得x ＜﹣2或x ＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．祝您高考马到成功！故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f （x ）=sinxcosx +cos 2x 的最大值为 ．【解答】解：函数f （x ）=sinxcosx +cos 2x=sin2x +cos2x +=sin （2x +）+，当2x +=2kπ+，k ∈Z ，即x=kπ+，k ∈Z ，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，以直线y=±2x 为渐近线，且经过椭圆x 2+=1右顶点的双曲线的方程是 x 2﹣=1 ．【解答】解：设以直线y=±2x 为渐近线的双曲线的方程为x 2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x 2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x 2﹣=1．故答案为：x 2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则2πr=2π，∴r=1．祝您高考马到成功！∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1=9d ．若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k= 4 ．【解答】解：因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则a k 2=a 1a 2k ，[9d +（k ﹣1）d ]2=9d•[9d +（2k ﹣1）d ]， 又d ≠0，则k 2﹣2k ﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）． 故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x ）6展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则= 12 ．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r ≤，∴r=4，此时b=×24=240；祝您高考马到成功！∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 ．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a ，b ）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个， ∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f （x ）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 [1，+∞） ．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分， 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x 轴相交， 由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a ≥1， 还需保证抛物线与x 轴由两个交点，故最低点＜0，祝您高考马到成功！解得a ＜0或a ＞，综合可得：a ≥1， 故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=a 2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n ﹣1+a n +1）+（1﹣a n ），n ≥2，n ∈N *，若A ，B ，C 在同一直线上，则S 2018= 2 ．【解答】解：若A ，B ，C 三点共线，则=x+（1﹣x ），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n ﹣1+a n +1）+（1﹣a n ），n ≥2，n ∈N *，A ，B ，C 在同一直线上，”得出a n ﹣1+a n +1+1﹣a n =1，∴a n ﹣1+a n +1=a n ， ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=a 2=1，∴数列{a n }为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，… 即数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0， ∵2018=6×336+2，∴S 2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2． 故答案为：2．12．（5分）已知函数f （x ）=m （x ﹣m ）（x +m +2）和g （x ）=3x ﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x 都有f （x ）＜0或g （x ）＜0；②总存在x 0∈（﹣∞，﹣2），使f （x 0）g （x 0）＜0成立． 则m 的取值范围是 （﹣3，﹣2） ．【解答】解：对于①∵g （x ）=3x ﹣3，当x ＜1时，g （x ）＜0， 又∵①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0∴f （x ）=m （x ﹣m ）（x +m +2）＜0在x ≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面，祝您高考马到成功！即，可得﹣3＜m ＜0又∵②x ∈（﹣∞，﹣2），f （x ）g （x ）＜0 ∴此时g （x ）=3x ﹣3＜0恒成立∴f （x ）=m （x ﹣m ）（x +m +2）＞0在x ∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x 1，x 2中的较小的根大即可，（i ）当﹣1＜m ＜0时，较小的根为﹣m ﹣2，﹣m ﹣2＞﹣2不成立， （ii ）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii ）当﹣3＜m ＜﹣1时，较小的根为m ，即m ＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m ＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a ＞b”是“（）2＞ab”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab 得＞ab ，即a 2+2ab +b 2＞4ab ， 则a 2﹣2ab +b 2＞0，即（a ﹣b ）2＞0，则a ≠b ， 则“a ＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，祝您高考马到成功！故选：A ．14．（5分）已知函数f （x ）=2sin （x +），若对任意实数x ，都有f （x 1）≤f（x ）≤f （x 2），则|x 2﹣x 1|的最小值是（ ） A ．πB ．2πC ．2D ．4【解答】解：对于函数f （x ）=2sin （x +），若对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 2﹣x 1|的最小值为函数f （x ）的半个周期， 即===2，故选：C ．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n ∈N *，设θn 为和的夹角，则（ ）A ．θn 随着n 的增大而增大B ．θn 随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，θn 先增大后减小D ．随着n 的增大，θn 先减小后增大【解答】解：分别以 和所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1）， 设=（x n ，y n ），∵，，n ∈N *，∴x n =n ，y n =2n +1，n ∈N *，∴=（n ，2n +1），n ∈N *，∵θn 为和的夹角，祝您高考马到成功！∴tanθn ===2+∴y=tanθn 为减函数， ∴θn 随着n 的增大而减小． 故选：B ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2=12和C 2：x 2+y 2=14，又点A 坐标为（3，﹣1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C 2上一点Q ， 以AQ 为直径画圆， 交圆C 1与M 、N 两点， 则四边形AMQN 能构成矩形，由作图知，四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个．故选：D ．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2AB=2，E 是PB 的中点． （1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；祝您高考马到成功！（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1， ∴S △ABC ==1．故V P ﹣ABC ==．（2）∵BC ∥AD ，∴∠ECB 或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ， 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ， 于是在Rt △CEB 中，BC=2，BE=PB=， tanθ==，∴异面直线EC 和AD 所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）．过点（0，）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）∵y 2=2px 过点P （1，1）， ∴1=2p ， 解得p=， ∴y 2=x ，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx +，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴直线OP 为y=x ，直线ON 为：y=x ，由题意知A （x 1，x 1），B （x 1，），由，可得k 2x 2+（k ﹣1）x +=0，∴x 1+x 2=，x 1x 2=∴y 1+=kx 1++=2kx 1+=2kx 1+=2kx 1+（1﹣k ）•2x 1=2x 1，∴A 为线段BM 的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A 、B 、C ．值班室A 在值班室B 的祝您高考马到成功！正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室出发行至点P 处，此时PC=1，求PB 的距离； （2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC 中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP 2=BC 2+PC 2﹣2BC•PCcos30° =（2）2+1﹣2×2×1×=7， 即BP=；（2）在Rt △ABC 中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知0≤t ≤4， 设甲在线段CA 上的位置为点M ，则AM=4﹣t ，①当0≤t ≤1时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则AQ=2t ， 如图所示，在△AMQ 中，由余弦定理得MQ 2=（4﹣t ）2+（2t ）2﹣2•2t•（4﹣t ）cos60°=7t2﹣16t +7＞9，解得t ＜或t ＞，所以0≤t ≤；②当1≤t ≤4时，乙在值班室B 处，在△ABM 中，由余弦定理得MB 2=（4﹣t ）2+4﹣2•2t•（4﹣t ）cos60°=t 2﹣6t +12＞9，祝您高考马到成功！解得t ＜3﹣或t ＞3+，又1≤t ≤4，不合题意舍去． 综上所述0≤t ≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A ，B 均为实数集R 的子集，记A +B={a +b |a ∈A ，b ∈B }．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A +B ； （2）设a 1=，当n ∈N *且n ≥2时，曲线+=的焦距为a n ，如果A={a 1，a 2，…，a n }，B={﹣，﹣，﹣}，设A +B 中的所有元素之和为S n ，求S n 的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m +n=3k ，且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +S n ﹣λS k ＞0恒成立，求实数λ的最大值． 【解答】解：（1）∵A +B={a +b |a ∈A ，b ∈B }； 当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A +B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n ≥2时表示双曲线，故a n =2=n ，∴a 1+a 2+a 3+…+a n =∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A +B 中的所有元素之和为S n =3（a 1+a 2+a 3+…+a n ）+n （﹣﹣﹣）=3•+n（﹣﹣﹣）=n 2，祝您高考马到成功！（3）∵∴S m +S n ﹣λS k ＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m +n=3k ，且m ≠n ， ∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y=f （x ）﹣（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=x 不是函数f （x ）=（）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．【解答】解：（1）f （x ）﹣g （x ）=﹣（2x +5）=，可得y=f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2， 0＜≤，可得存在p=，函数y 的值域为（0，]，则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f （x ）﹣g （x ）=（）x ﹣x ， 由y=（）x ，y=﹣x 在[0，+∞）递减， 则函数y=f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y=f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；祝您高考马到成功！由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g （x ）=x 不是函数f （x ）=（）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x +﹣ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a +≤0在[0，+∞）恒成立，可得a ﹣1≥， 由x ＞0时，=≤1，则a ﹣1≥1，即a ≥2； 又y=x +﹣ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]， 则＞（a ﹣1）x ，x=0时，显然成立； x ＞0时，a ﹣1＜，可得a ﹣1≤1，即a ≤2．则a=2．祝您高考马到成功！。

上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 已知集合U ={1,3,5,9}，A ={1,3,9}，B ={1,9}，则U (A B)⋃=ð______2. 若复数z =i(3-2i)（i 是虚数单位），则z 的模为______3. 直线1l ：10x -=和直线2l ：30x y -=的夹角大小是______4. 我国古代庄周所著的《庄子.天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a =______5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是(34,55-)，则sin2α=______ 6. 已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为______7. 设x ，y ∈R +，若141x y +=，则x y的最大值为______ 8. 已知数列{n a }中，11a =，(n ∈N *)，则lim n x a →∞=______ 9. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有______10. 已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图像都关于直线x m =成轴对称图形，则m =______11. 如图，一矩形ABCD 的一边AB在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21x f x x =+，0x >的图像上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是______12. 已知点P 在双曲线2221916x y -=上，点A 满足()1PA t OP =-u u u r u u u r （t ∈R ），且60OA OP ⋅=u u u r u u u r ，OB =u u u r (0,1)，则|OB OA ⋅u u u r u u u r |的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.使得3(n x (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A . 4B . 5C . 6D . 714. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是( )A . 若m Øα，n //β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B . 若m ⊥α，m ⊥β，n //α，则n //βC . 若m Øα，n //a ，m 、n 共面于β，则m //nD . 若m ⊥α，n ⊥β，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15. 过抛物线22y px =(0p >)的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11AB CD+的值为( ) A . 2p B . 2p C . 2p D. 12p 16. 设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202010a a ->；③2019T 是数列{n T }中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为( )A . ①②B . ①③C . ①③④D . ①②③④三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB =2，AD =22，P A =2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.18. 已知向量a =r (3cos sin x x ωω，)，b =r (cos sin x x ωω，)，其中0ω>，记()f x a b =⋅r r .(1)若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若3(x)f =，且4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是()10110,N*1160,N*n n f n n n n ≤≤∈⎧=⎨≤≤∈⎩，(单位：万元)，记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的当月利润率截止到第个月投入的资金总和；例()()()()()33501210%f g f f =++⨯.(1)求第n 个月的当月利润率；(2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.20. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点(1635，). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ⊥ON ，求△OMN 面积的最小值；(3)若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB的垂直平分线交x 轴于点N ，且AB MN为定值，求点M 的坐标.21. 已知函数f (x )的定义域为[0,2]，且()f x 的图像连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<，存在0x ∈[0,2-m ]，使得()()00f x f x m =+，则称()f x 具有性质P (m ).(1)已知函数()f x =()f x 是否具有性质P (12)，并说明理由；(2)求证：任取m ∈(0,2)，函数()()21f x x =-，x ∈[0,2]具有性质P (m )；(3)已知函数()sin f x x π=，x ∈[0,2]，若()f x 具有性质P (m )，求m 的取值范围.上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

2020年上海青浦区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，共54分）1.已知集合，，，则 ．2.若复数（是虚数单位），则的模为 ．3.直线和直线的夹角大小是 ．4.我国古代庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去．若把“一尺之棰”的长度记为个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 .5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ．6.已知正四棱柱底面边长为，体积为，则此四棱柱的表面积为 ．7.设，，若，则的最大值为 ．8.已知数列中，，，则 ．9.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种 ．10.已知对于任意给定的正实数，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则．11.如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12.已知点在双曲线上，点满足，且，，则的最大值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 ．A.B.C.D.14.对于两条不同的直线，和两个不同的平面，，以下结论正确的是（ ）．A.若，，，是异面直线，则，相交B.若，，，则C.若，，，共面于，则D.若，，，不平行，则，为异面直线15.过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（ ）．A.B.C.D.16.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于．其中正确结论的序号为（ ）．A.①②B.①③C.①③④D.①②③④三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，．求：三角形的面积；异面直线与所成的角的大小．（1）（2）18.已知向量，其中，记．若函数的最小正周期为，求的值．在（）的条件下，已知的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求的面积．（1）（2）19.某企业生产的产品具有个月的时效性，在时效期内，企业投入万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例．求第个月的当月利润率．求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．第个月的利润截止到第个月投入的资金总和【答案】解析:集合，，全集，∵∴．解析:∵复数．∴．∴的模为．解析:（1）（2）（3）20.已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为，椭圆经过点．求椭圆的标准方程．过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．（1）（2）（3）21.已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．已知函数，判断是否具有性质，并说明理由．求证：任取，函数，具有性质．已知函数，，若具有性质，求的取值范围．1.2.3.∵直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，∵直线的斜率为，故它的倾斜角为，故这两条直线的夹角为，故答案为．解析:根据题意，木棒剩下部分的长度组成数列为首项为，公比为的等比数列，则其通项公式：．解析:设点坐标为，∴，∴点在单位圆上，∴，，∴，故答案为．解析:∵正四棱柱底面边长为，由正四棱柱底面为正方形，则底面积，∵正四棱柱体积为，∴正四棱柱高，则正四棱柱侧面面积为，所以四棱柱的表面积为．解析:，，4.5.6.底底底7.∵，由基本不等式，当，时等号成立，则，所以，则的最大值为．8.解析:∵数列中，，，∴，，，．累加得：，∴，，．9.解析:根据题意，分步进行分析：①，在三个中学中任选个，安排甲乙两人，有种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在、、三个不同的乡镇中学中任意个，则剩下三人有种不同的选法，则有种不同的分配方法．故答案为：．10.解析:由题意可知，，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则为偶函数，关于轴对称，故恒成立，∴，∵对于任意成立，故，∴，故答案为：．11.解析:设、、、．∴，即，∴，，，，∵ ，即，∴．12.解析:，∴设，∴，∴，∴，∵，∴，∴．解析:由于（）的展开式的通项公式为，令，可得，其中，，，…．故的最小值为，故答案为：．解析:方法一：不妨设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为．弦，均过抛物线的焦点，则，，则．故选．方法二：设、、、，则由抛物线的定义可得，．设︰（存在且），联立，消得，∴．B 13.C 14.D 15.（1）（2）同理可求，∴．解析:由题意，，∴，①正确；，∴②错误；由结论①，可知，∴是数列中的最大项，③正确；∵，，∴使成立的最大自然数等于，④错误．故选．解析:因为底面，所以，又，所以平面，从而．因为，，所以三角形的面积为．方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，B 16.（1）．（2）17.（1）则，，，，．设与的夹角为，则，．由此可知，异面直线与所成的角的大小是.方法二：取中点，连接、，则，从而（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由、、知是等腰直角三角形，所以．因此异面直线与所成的角的大小是解析:向量，，（1）．（2）．18.（2）（1）．∵，函数的最小正周期为，∴，．函数．∵，∴，由为内角，，则，∵，，．则，．所以．解析:依题意得，当时，，当，时，，（1）．（2）第个月的当月利润率最大，其当月利润率为．19.（2）（1）则，也符合上式，故当，，，当，时，所以第个月的当月利润率为．当，，是减函数，此时的最大值为，当，时，，在，单调递增，在，单调递减，当且仅当，即时，有最大值，又，，，因为，所以当时，有最大值，即该企业经销此产品期间，第个月利润最大，其当月利润率为．解析:设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为，所以，，又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，所以椭圆的方程为：．，（1）．（2）．（3）或．20.（2）（3）（1）设，，，由，所以，，故面积的最小值为．设直线的方程为：，则点，联立，消去得，，，所以，则的中点的坐标为，又，得，则直线的方程为：，令，得点的坐标为，则，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点，为，故或．解析:具有性质，设，（1）具有性质，证明见解析．（2）证明见解析．（3）．21.（2）（3）令，则，解得，又，所以具有性质．任取，令，则，因为，解得，又，所以，当，时，，即，即任取实数，都具有性质．若，取，则且，故，又，，所以具有性质；假设存在使得具有性质，即存在，使得，若，则，，，，若，则，进而，，，，，所以假设不成立，所以．。

2020届年上海市青浦区高三上学期期末学业质量调研(一模)数学试题一、单选题1．“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】二项式1n x x+（）的通项为2110r rn r r r nr n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（） 1nx x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数4n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1nx x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．2．长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B.2216428x y += C.2212516x y += D.221167x y += 【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b ，即可得到椭圆方程． 【详解】抛物线212y x =的焦点30（，），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b ==所以所求的椭圆的方程为：221167x y +=故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面，，以下结论正确的是（ ） A ．若，，m ，n 是异面直线，则，相交B ．若，，，则C ．若，，m ，n 共面于，则D ．若，，，，不平行，则m ，n 为异面直线【答案】C【解析】解：正方体 中，取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误； 取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误； 取为棱，平面为，满足选项 中的条件，但是，选项 错误；本题选择C 选项.4．记号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若2()30x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1232930f f f f f +++⋯++的值为（ ）A.899B.900C.901D.902【答案】C【解析】令2(),()30x g x h x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，分别求出1,2,3,,30x =⋯时，两个函数的值，相加可得答案． 【详解】解：令2(),()30x g x h x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则123450g g g g g =====（）（）（）（）（） 671892g g g g ====（）（），（）（）， 10311124g g g ===（），（）（）， 135146157g g g ===（），（），（） 1681791810g g g ===（），（），（） 191220132114g g g ===（），（），（） 221623172419g g g ===（），（），（） 252026222724g g g ===（），（），（） 282629283030g g g ===（），（），（）152739410h h h h ====（），（），（），（）， 512613714815h h h h ====（），（），（），（）， 9161017111218h h h h ====（），（），（）（）， 13191420151621h h h h ====（），（），（）（），1722181923h h h ===（），（）（）2024212225h h h ===（），（）（）， 232426252627h h h h ====（）（），（）（）， 272828h h ==（）（）， 2929h =（）， 3030h =（），1232930901f f f f f ∴+++⋯++=（）（）（）（）（），故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．二、填空题5．已知集合()1012{0}A B =-=-∞，，，，，，则A B =______．【答案】{}1-【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】{}1A B ⋂=-故答案为：{}1- 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．写出命题“若22 a m bm <，则a b <”的逆命题______． 【答案】“若a b <，则22am bm <” 【解析】直接写出逆命题即可． 【详解】“若22 a m bm <，则a b <”的逆命题是“若a b <，则22 a m bm <”， 故答案为：“若a b <，则22 a m bm <”． 【点睛】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．7．不等式()23143122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(2,3)-【解析】两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得． 【详解】原不等式可化为：2433322xx x ---<根据指数函数2xy =的增函数性质得：24333x x x --<-， 解得：23x -<<故答案为：2,3-（） 【点睛】本题考查了指数不等式的解法，属基础题．8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则()tan πθ+的值为______．【答案】43【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用诱导公式，求得tan()πθ+的值．【详解】∵平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭， 445tan =335θ∴=，4tan tan 3πθθ∴+==（）故答案为：43【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．9．已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为_____ 【答案】12π【解析】ABC △绕直线AC 旋转一周 ，所得几何体是底面是以AB 为半径的圆，高为AC 的圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积. 【详解】因为在直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，所以△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体是底面是以AB 为半径的圆，高为AC 的圆锥，示意图如下图所示：所以ABC △绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为2211341233V AB AC πππ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：12π．【点睛】本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法.考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，属于基础题.10．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =______．【解析】由已知求得12z z ，，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解． 【详解】由表格可知，122z i z i ==-，则2212(2)()12z i i i i z i i---===---，21|12|z i z ∴=--=【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．11．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 【答案】(0,4)(4,8)⋃【解析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ，且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为:(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.12．设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ． 【答案】32【解析】试题分析：因为将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以+2,23T n n Z π⋅=∈，由周期公式得：+22=,3n n Z ππω⋅∈，所以3=2n ω，又因为02ω<<，所以3=2ω。

青浦区2019学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数 学 试 卷（时间 120 分钟，满分 150 分） Q2019.12学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知集合{}1,3,5,9U =，{}1,3,9A =，{}1,9B =，则()U A B =U ð ． 2．若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线1l ：10x -=和直线2l ：0y -=的夹角大小是 ．4．我国古代庄周所著的《庄子g 天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去．若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则sin 2α= ．6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为 ．7．设,x y +∈R ，若141x y+=，则xy 的最大值为 ． 8．已知数列{}n a 中，11a =，1112n n n a a -+-=*()n ∈N ，则lim n n a →∞= ．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学．现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x xf x k -=+⋅的图像都关于直线x m =成轴对称图形，则m = ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C D 、在函数2(),01xf x x x =>+的图像上，则此矩形绕x 轴 旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)PA t OP =-u u u r u u u r ()t ∈R ，且60OA OP ⋅=u u u r u u u r ，(0,1)OB =u u u r ，则OB OA ⋅u u u r u u u r的最大值为 ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．使得3nx x x ⎛+ ⎪⎝⎭（n *∈N ）的展开式中含有常数项的最小的n 为 …………（ ）． （A ）4（B ）5（C ）6（D ）714．对于两条不同的直线,m n 和两个不同的平面，以下结论正确的是………（ ）． （A ）若m α⊂≠，∥，,m n 是异面直线，则相交 （B ）若，，∥，则∥ （C ）若m α⊂≠，∥，,m n 共面于β，则m ∥n （D ）若m α⊥，n β⊥，αβ，不平行，则,m n 为异面直线15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11+AB CD的值为…………………………………………………………………………………………（ ）． （A ）2p（B ）2p（C ）2p （D ）12pαβ，n βαβ，m α⊥m β⊥n αn βn α16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为……………………（ ）． （A ）①②（B ）①③（C ）①③④（D ）①②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，22=AD ，2=PA ．求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.已知向量)3,sin a x x ωω=r，()cos ,cos b x x ωω=r 其中0ω>，记()f x a b =⋅r r． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=Af ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中．市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是**10,110()(),1160()n n f n n n n ⎧≤≤∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩N N （单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n n g n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例(3)50((1)(2))10%(3)f f f g ++⨯=．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点163,5⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M N 、两点满足OM ON ⊥，求△OMN 面积的最小值；（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且ABMN为定值，求点M 的坐标．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知函数()f x 的定义域为[]0,2，且()f x 的图像连续不间断．若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<，存在0[0,2]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由； （2）求证：任取(0,2)m ∈，函数2()(1),[0,2]f x x x =-∈具有性质()P m ； （3）已知函数[]()sin ,0,2f x x x π=∈，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围．青浦区2019学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2019.12说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}5；23．6π；4．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；5．2425-；6．16+7．116；8．54； 9. 133381P ⋅=；10. 21log 2m k =； 11．max 4V π=；12. 8.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. B ；14. C ； 15．D ；16. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ， 所以,DC AD DC PA ⊥⊥，所以DC PD ⊥又22=AD ，2=PA ，所以在Rt APD ∆中3PD =，在Rt PDC ∆中12,23223232PCD CD PD S ∆==⇒=⨯⨯=．即三角形PCD 的面积为23（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)A ,(0,0,2)P ,(2,22,0)C ,(2,0,0)B ,2,1)E ,所以(0,22,0)BC =u u u r ，2,1)AE =u u u r，设BC u u u r 与AE u u u r 所成角为α，则2222cos ||||222AE BC AE BC α⋅⨯===⋅⨯u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以异面直线BC 与AE 所成角的大小为4π． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）2()3cos sin f x a b x x x ωωω=⋅=+⋅r r313cos2)sin 2sin(2)23x x x πωωω=++=++()f x Q 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω= 3()sin(2)3f x x π∴=+（2）Q ()32A f 3sin()3A π∴+= 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = ∴13sin 324ABC S bc A ∆==19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）依题意得(1)(2)(3)(9)(10)10f f f f f ======L 当1n =时，101(1)505g == 当110n <≤，*n ∈N 时，(1)(2)(1)()10f f f n f n ===-==L 则()10()14950((1)(2)(1))10f ng n n f f f n ==+++++-L1n =也符合上式。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π2．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．63．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ） A ．427B ．13C ．127D ．194．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞6．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点7．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．148．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．59．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5 B 5C 2D ．211．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C 2D 212．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 5B 3C ．2D 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件： a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD＝2，PA＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。