[4.3]从一道练习题谈起分析

由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。

这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。

”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。

我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。

一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。

如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。

实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。

教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。

我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。

我想这也是给学生减负的好方法。

笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。

原题是这样的。

“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。

而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。

后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。

教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。

这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。

现在我换一个角思维问题。

第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。

对一道练习题的思考武汉市新洲区辛冲镇河东中心小学王庆明邮430402一次听课，教学内容是六年级数学“圆的面积”练习课，教师向学生出示了这样一道练习题：“有一张长64分米、宽42分米的长方形马粪纸，把它剪成直径是4分米的圆片，一共能剪多少个？”这是一道开放性的习题。

通过课中巡视交流反馈的情况来看，绝大多数学生是按照“长方形片的面积÷每个圆片的面积=圆片的个数”进行计算解答的。

教师在评价矫正学生板演的过程中，边按上述思路评讲，边在黑板上画示意图（如图1），并说明长方形面积中包含着几个圆形的面积就可以剪出几个圆片。

学生对教师的讲评和图示一致赞同，列式计算如下：64×42÷〔3.14×〈4/2〉〕=214（个）.下课后, 笔者问这位教师, 按照图1所示, 这张长方形的马粪纸能够剪成214个圆片吗？该教师经过观察测算后回答: “按算理计算是够剪的, 但实际上是剪不出214个圆片的, 因为在剪圆片的过程中有一部分材料丢掉了, 不能全部使用上. ”那么到底能剪多少个圆片呢？笔者建议换一种思维方式, 即按照“长是是径的几个整倍数×宽是直径的几个整倍数=圆片个数”去思考. 这位教师恍然大悟并很快想出一种新的解法: 就长边来说可谫直径是4分米的圆片个数为64÷4=16（个）, 就宽边来说可剪直径是4分米的圆片个数是:42÷4=10.5〈个〉, 半个去掉, 只能算10个, 这样一共可以剪成的圆片个数约是16×10=160（个）.这样思考问题既符合算理叉符合实际. 其实这并不是最优的解法. 仔细深入分析便知这样的计算边角余料仍较大, 若要最大限度地利用材料, 此题尚有改进的余地. 站在教师的角度来考虑, 我们还可以这样思考〈如图2〉, 将第二排的圆错这开半个与上一列三圆相切, 这样弃去的曲边三边形面积，就较曲边四边形面积小。

设n为所排列数, 运用勾股定理有:2+2（n-1）3+≤42dm, 可得n=11，稍加推理可得可剪16×6+15×5=96+75=171〈个〉，这是如图2所示横着错开。

高三数学教学中的习题解析技巧在高三数学教学中，习题解析是培养学生数学思维和解题能力的重要环节。

通过对习题的解析，教师不仅可以引导学生掌握知识点，还可以提高他们的问题分析和解决能力。

本文将介绍一些在高三数学教学中常用的习题解析技巧，帮助教师更好地进行教学。

一、强调思维过程在解题过程中，教师首先应该引导学生思考问题。

通过提问、讨论等方式，激发学生思考的动力，让他们自己提出解题思路。

然后，教师可以给出一些解题方法和步骤的提示，帮助学生解决问题。

在解题的过程中，还可以使用思维导图、流程图等工具，将解题思路可视化，帮助学生更好地理清思路。

最后，教师要引导学生总结出解题的规律和方法，培养他们归纳、总结的能力。

二、注重学生的实际应用解题过程中，教师应该注重引导学生将所学的知识应用到实际生活中。

通过选取有实际意义的题目，例如日常生活中的测量、财务管理等问题，让学生把数学知识运用到解决实际问题中。

这样不仅可以增加学生对数学的兴趣，还可以让他们更深入地理解和掌握数学知识。

三、关注解题过程中的思维方法在解题过程中，教师应该关注学生的思维方法，引导他们掌握一些常用的解题技巧。

例如，对于复杂的问题，可以教导学生采用分步骤解决的方法；对于难以理解的题目，可以教导学生先进行具体实例的分析，再进行一般性的推理；对于需要抽象思维的题目，可以教导学生通过绘制图形或列举特例来解决。

这些思维方法的运用，可以帮助学生更快、更准确地解决问题。

四、倡导合作学习在习题解析中，教师可以鼓励学生进行合作学习。

通过小组讨论、合作解题等方式，让学生在互相交流、互相启发的过程中解决问题。

这不仅可以加深学生对知识的理解，还可以培养他们的合作精神和团队意识。

五、引导学习中的错误分析在解题过程中，学生可能会出现各种错误。

教师应该引导学生对错误进行分析，并找出错误的原因。

通过分析错误，不仅可以帮助学生纠正错误，还可以帮助他们加深对知识的理解。

教师可以针对学生常犯的错误进行讲解，给出正确的解题方法和步骤，帮助学生避免同类错误的发生。

一道测试题的分析与反思成安县第二中学赵丽花在《实数》单元检测中，有这样一道题：已知三角形的两边a、b满足｜a-6｜+2)8=b=0，求最长边c的取值范围。

学生(5-在答题时出现了各种各样的错误。

1、a、b的值不会求。

原因：对于两个非负数的概念及性质不清楚。

2、a、b的值求正确了，但第三边C求成了10。

原因：（1）审题不清，没看见是求取值范围，犯经验错误，看见6、8就想到了10；（2）认真审题了，但对于三角形三边关系忘了；3、c的取值范围求成了2〈c〈14 或8〈c〈14。

原因：没有仔细推敲“最长边”的含义。

在讲评这道题时，我运用了以下方式：1、点拨讲解法。

根据学生的答题情况我对非负数的概念和性质，三角形三边关系，最长边的含义进行了讲解。

2、讨论提问法。

将班级中一名学生的正确答案展示在黑板上让学生讨论为什么这样做是正确的，在讨论和交流中，弄清错因中几个问题的答案。

3、分解问题法。

我将此题设计成了以下几个基础题的练习：（1）若｜a｜=0，则a= ；（2）若2a=0，则a= ；（3）若三角形的两边长分别为4和7，则第三边的取值范围是；若第三边为最长边，则第三边的取值范围是。

(4)现在你能解决考试中的问题吗？小结与反思：1、每道综合题都是由若干个基础小问题组成的，学生对于任何一个知识点出现了障碍，都不能准确的解决这道题，所以要重视学生每一个基础知识点的学习与积累。

2、让学生深刻体会审题的重要性。

3、讲评的方式一定要以学生为主体，通过上面方式的对比，我觉得讨论提问法和分解问题法比点拨讲解的效果要好。

4、不高估学生解决问题的能力。

2018年第1期福建中学数学13由上得直线/:# 〇)过定点5(-"2,0) •即’=-吾，则X G•表明直线O M与的交点G在定直线x= f上；反之，若直线O M与的交点G在定直线x=寻上，即xc=寻.则-/ =寻，即/=-寻.2G222这表明直线/:y= A(x- 〇(h0)过定点5(-|，0).一般地，若直线Z:y= M x- 〇(左# 0)过定点B(-w，0)(w> 0)，即/= -w，则 xG = w .表明直线O M与的交点G在定直线x=m上；反之，若直线O M与的交点G在定直线x= w上，即xG = w .则-/ = w,即/= -w .表明直线Z:y= A(x- 矣0)过定点风-w，0).由此可把上述关于椭圆的性质推广到抛物线的 情形：命题5已知抛物线C:y2 = 2，(p> 0)的顶点为 〇，斜率不为0的直线Z与抛物线C交于M，#两点 (位于x轴同侧），直线O M与过点#且平行于x轴的直线相交于点G，则点G在定直线x= f上的充要条件是直线Z过定点與-|，0).命题6已知抛物线C:y2 = 2f x(f> 0)的顶点为 〇，斜率不为0的直线Z与抛物线C交于M，#两点 (位于x轴同侧），直线O M与过点#且平行于x轴 的直线相交于点G，则点G在定直线x= w(w>0)上 的充要条件是直线Z过定点巩-w，0).以上是引导学生对一道模拟考试题进行的探究.引导学生对一些典型问题进行分析，提出新的 问题，探究新的结论，让学生经历在教师引导下的“问题一探究一发现”的自主学习过程，探索隐藏在试题 背后奥秘，领会试题的深刻背景，感悟数学的本质，深化对数学的理解，这对提高养学生的数学核心素 养无疑是有益的.正如著名数学教育家G波利亚所 说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义 的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各 个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”参考文献[1] 张金生.二次曲线系视角下对2017年全国I卷理数20题的反思[J].中学数学研究(江西师大)，2017 (8): 31-32[2] 黄明英.一道自主招生试题的探究性学习[J].福建中学数学，2015 (4): 29-31[3] 卫德彬.一道习题的潜在价值的开发[J].中学数学杂志，2009 (4): 34-36也谈对课本一道习题的思考吴方武 海南省儋州市洋浦中学（578101)文[1]作者利用对函数的求导研究函数的单调性 方法，对课本一道习题展开探究，本文从三角函数 有界性和均值不等式的角度也谈谈对此题的思考.先证 /(x^s i^W+ co sY xX w e N，/?之2 的最大 值是1，当〃是奇数时/(x)的最小值是-1.证明易知/(x)= s i^W+ cos^x)，;?e N，/?之2 在R上的最大值也是在[0,2]最大值.设0s x s^，由三角函数有界性知sin2(x)2 sin3(x)2…2 sin?(x), cos2(x)> cos3(x)> —> cos?(x),两式相加得sin2(x)+ cos2(x)2 sin3(x)+ cos3(x)2 …2 sin?(x) + cos?(x),所以当x= 0或x= ^时，/(x)的最大值是1.同理易知若"是奇数当x= 2An+ n或x= 2An+ y，A e Z时/(x)的最小值是-1 .再证/(x)= sin?(x)+ cos?(x)，？e N，z?2 2，当？是偶数时的最小值是2(¥)B.证明由？是偶数时/(x)周期为^知道/(x)在R上的最小值即为在[0,2]上最小值.显然当？= 2 时，sin2(x)+ cos2(x)= 1 .想到均值不等式：一般地，设4，^，…，义为？个14福建中学数学2018年第1期非负实数，他们的算术平均值A 〇i + +''' + an几何平均值记为G n = (a a …〇n)n •算术平均值与几何平均值之间有如下的关系:a + a + …，+ a --~2------^>(a -a 2...fln )n ，即 a - + a 2 +--\~a n >n(a -a 2...a n )n •e 当 n > 4，sin (x ) +1 +1 + ^…+1i> (1 + m ) • [sinn (x ) • t • t ...t]1+m ①，①式左边共m 个t ，nm①式右边可化为(1 + m ).sin1+m (x )t 1+m，人 n ~ /E 3 n i 令---=2，得 m = ?-1，1 + m 2当sinn (x ) = t ①式时取等号•m于是①式可变为 sinn (x ) + mt > (1 + m )sin2(x )t 1+m，m同理。

一道习题引发的思考——如何培养学生提高分析问题的能力颜秀玲，苏建军高三下学期的某次月考中，文科综合试卷地理部分有这样一道综合题：下面两图中的虚线为一月0℃等温线，读图回答下列问题：（1）描述乙图中一月0℃等温线的大致走向，并说明影响的主要因素。

（2）、（3）略。

第（1）题答案如下：①西北段（西部沿海地区）南北走向（与海岸线平行）；影响因素：受海洋（洋流）影响。

②西南段（中部地区）西北—东南走向（与海岸线平行）；影响因素：受地形影响。

③东段（东部地区）为东西走向（与纬线平行）；影响因素：受纬度影响。

而大多数学生的答案如下：①西部沿海地区为南北走向（与海岸线平行）；影响因素：主要是受西部高大的山地地形影响。

②东部地区为东西走向（与纬线平行）；影响因素：主要是受太阳辐射（纬度位置）影响。

为什么大多数学生的答案会遗漏掉海洋的影响，或者是将海洋的影响和地形的影响混为一谈呢？而且学生的出错率是如此之高，所犯错误又是如此雷同，真是令教师们感到惊讶。

为什么会出现这种现象呢？针对这一问题，教师们进行热烈地讨论，备课组会上大家是各抒己见。

现将大家的分析做如下总结：原因：学生对所学知识一知半解，理解不透彻。

做题的过程中生搬硬套，缺少认真细致地分析。

例如本题中涉及到的关于等值线问题，高三上学期我们以专题的形式进行了复习。

对于等温线的影响因素，做了如下总结：“分析等温线的延伸方向，可以看出影响气温的主要因素：若等温线延伸方向与纬线大致平行，说明气温受纬度（即太阳辐射）的影响显著；若等温线延伸方向与纬线斜交（或者说与海岸线大致平行），说明气温受海陆位置影响较大；如果等温线与山地或高原的边缘（或等高线）平行，说明气温受地形的影响较大。

”并且给出了相应的练习题进行训练，用来帮助学生理解并掌握这一知识点。

该题中乙图给出的是北美地区，平时的习题中多次出现过，学生对该地区地形应该是相当熟悉。

北美地区地形分为东、中、西三部分，东部低矮的高原山地，中部大平原，西部高大的山地。