第八章 反常积分

∫ ∫ b
t =1/(b− x) +∞
1) 设函数 f (x) 连续, b 为奇点, 有 f (x)dx =
f (b − 1) dt .
a
1 /( b − a )
t t2
∫ ∫ 2) 设 a > 0 , 有
+∞
t =1/ x
f (x)dx =
1/ a f (1) dt 把无穷区间反常积分化成了无界函数的反常积分.
定义 1 假设函数 f (x) 定义在无限区间 [a,+∞) 上并且在任意有限区间 [a,b] ⊂ [a,+∞) 上可积. 如果极限
b
+∞
b
∫ ∫ ∫ lim f (x)dx = I 存在, 则称 I 为函数 f (x) 在 [a,+∞) 上的反常积分,记作 f (x)dx = lim f (x)dx. 同时,
b
∫ ∫ ∫ 显然, 无界函数的反常积分 f (x)dx 收敛的充分必要条件是无界函数的反常积分 f (x)dx 和 f (x)dx 同
a
a
c
时收敛.
∫ 例 3 计算无界函数的反常积分
1
1/
1 − x 2 dx .
−1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
解
1
0
dx =
1
1
dx +
1
0
dx = lim
1
1− β
dx + lim
h
桶里水面降低的高度为 ∆x ，则有下面关系：π R2∆x = vπ r2∆t ,由此得
∆t =
R2
∆x , x ∈[0, h]
r2 2g(h − x)
1
《数学分析》教案 ---- 反常积分
华中科技大学数学系汤燕斌
∫ 所以,
流完一桶水所需的时间应为 t f
=
h 0
2
g
R2 (h −
x)r
2
dx
.
但是，被积函数在 (0, h] 上是无界函数，我们取
−∞
−∞
∫ ∫ 证明(1) +∞ xe−x2 2dx = lim b (− x2 2)′e−x2 2dx = − lim e−x2 2 b =1, 于是
0
b→+∞ 0
b→+∞
0
∫ ∫ ∫ +∞ xe−x2 2dx = 0 xe−x2 2dx + +∞ xe−x2 2dx = −1+1 = 0 .
−∞
b+
b
e−x2 2dx] =
00
+∞
e− x 2
0
2dx
=
1 2
2π .
∫ ∫ ∫ +∞ x2e−x2 2dx = +∞ x2e−x2 2dx + 0 x2e−x2 2dx = ( 1 + 1 ) 2π = 2π .
−∞
0
−∞
22
例 3 将曲线 y = 1 x 在[1,+∞) 上绕 x-轴旋转一周, 证明(1)所得旋转体体积有限(2) 所得旋转体的侧面积无限.
1
dx
−1 1 − x 2
−1 1 − x 2
0 1− x2
α →0+ −1+α 1 − x 2
β →0+ 0
1− x2
= lim [− arcsin(−1 + α )] + lim arcsin(1 − β ) = π .
α →0+
β →0+
∫ ∫ ∫ b
c
b
注: 如果 x = c ∈ (a,b) 是函数 f (x) 的奇点,则定义无界函数的反常积分 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .
1.引言
b
∫ 定积分 f (x)dx 有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b] 必须是有限区间；其二，若 f ∈ R[a, b] ， a
则它在区间[a,b] 上一定有界, 即 ∃M > 0 ，使得对于任意的 x ∈[a, b] ， | f (x) |≤ M （即有界是可积的必要
条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或
∫ t f
= lim u→h−
u
R2
dx = lim
0 2g(h − x)r 2
u→h−
2 R2 ( h − g r2
h−u) =
2h R2 . g r2
相对于前面学习的有界函数在有限区间上的定积分，我们把这里的积分叫做反常积分或广义积分。于是,我
们希望通过极限工具，把常规积分向两个方向推广：1、无穷区间；2、无界函数。 2. 无穷区间反常积分(无穷积分)的定义
R x2
x r →∞
2
R
度
v0
至少应使
1 2
mv02
=
mgR
⇒
v0 =
2gR ≈ 11.2(km / s) .
例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解 由物理学知识知道,在不计摩擦情况下，桶里水位高度为 h − x 时，
x
∆x
O
水从小孔里流出的速度为 v = 2g(h − x) . 设在很短一段时间 ∆t 内，
dx= lim a→−∞
01 a 1+ x2
dx+ lim b→+∞
b1 0 1+ x2
dx=π .
∫ 例 3 设标准正态分布的概率密度函数 f (x) = e−x2 2 / 2π 满足 e +∞ −x2 2dx = 2π .证明 −∞
∫ ∫ (1) +∞ xe−x2 2dx = 0 ; (2) +∞ x 2e−x2 2dx = 2π .
例6
+∞
讨论积分 cos xdx 的敛散性
a
.
3. 无界函数的反常积分(瑕积分)的定义
定义 1 对任意 ε > 0 , 假设函数 f (x) 在区间[a,b − ε ] 可积,而在区间 (b − ε , b) 上无界, 这样的点 b 称为函数
b−ε
∫ f (x) 的奇点或瑕点. 如果极限 lim f (x)dx = I 存在, 则称 I 为函数 f (x) 在 [a,b] 上的无界函数的反常 ε →0+ a
1 0
1 xp
dx
收敛.
无界函数的反常积分的几何意义: 类似于定积分, 如果 x = b 是函数 f (x) ( f (x) ≥ 0) 的奇点,则无界函
数的反常积分 ∫ab f (x)dx ( f (x) ≥ 0) 在几何上表示由曲线 y = f (x) , 直线 x = a , x = b 和 x − 轴所围成无界
dx
=
1 2
ln(1 +
x2)
1 = 1 ln 2 . 02
b
c
b
∫ ∫ ∫ 如果 x = a , x = b 都是函数 f (x) 的奇点,则定义无界函数的反常积分 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .
a
a
c
3
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b
c
∫ ∫ 1
被积函数无界等的情形。例如,（1） 0
dx 1− x2
，当 x
= 1时被积函数无界;（2）
+∞ 1
1 x2
dx ，积分区域是无界
区域[1,+∞) 。我们再看下面的实际问题.
例 1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至 少多大？
解 设地球半径为 R ，火箭质量为 m , 地面重力加速度为 g ，有万有引力定理，在距地心 x 处火箭受到的引
,
∫ ∫ p ≤ 1,
p > 1.
因此当 p > 1时
+∞ 1 dx 收敛,而当 p ≤ 时 a xp
+∞ 1 dx 发散. a xp
∫ 例 2
计算无穷区间反常积分
+∞ 1 −∞ 1 + x2
dx .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解
+∞ 1 −∞ 1+ x2
dx =
01 −∞ 1+ x2
dx +
+∞ 1 0 1+ x2
a
ε →0+ a+ε
∫ 例 1 证明无界函数的反常积分 1 1 dx 当 p < 1时收敛,而当 p ≥ 1时发散. 0 xp
∫ ∫ ∫ 证明
由于 lim ε →0+
11 ε xp
dx
=
⎪⎨⎧1
1 −
p
,
⎪⎩ − ∞,
p < 1, 因此, p ≥ 1, p ≥ 1.
11 0 xp
dx 发散;
p <1,
a
直线 x = a 和 x − 轴所围成无界区域的面积.
∫ ∫ 例如,
A1 =
+∞ 1
1 x2
dx
= 1,
A2
=
+∞ 1 dx = +∞ . 1x
∫ 例 1
讨论无穷区间反常积分
+∞ 1 a xp
dx
(a > 0) 的收敛性.
∫ 解
因为 lim b→+∞
b dx a xp
=
⎪⎧ ⎪⎩⎨−
+ ∞, a1− p 1− p
n
ln n!−n ln n
lim
n→∞
n
n k1 lim ln n→∞ k =1 n n