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高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.4 简单的三角恒等变换 考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )(2)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )教材改编题1．sin 15°cos 15°等于( )A ．－14 B.14 C ．－12 D.12答案 B解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 2．化简1＋cos 4的结果是( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.2cos 2D ．－2cos 2 答案 D解析 因为1＋cos 4＝2cos 22，又cos 2<0，所以可得选项D 正确．3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( ) A ．－22 B ．2C ．－13D ．－12 答案 D解析 由tan(π＋2α)＝－43， 得tan 2α＝－43， 又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， 解得tan α＝－12或tan α＝2， 又α是第二象限角，所以tan α＝－12.题型一 三角函数式的化简例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α， 解得sin α＝14.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝ . 答案 12cos 2x 解析 原式＝2cos 2x cos 2x －1＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝12cos 22x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x 1＋sin x cos x ·1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12cos 22x cos 2x －sin 2x＝12cos 2x . 教师备选 1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．已知0<θ<π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝ . 答案 －cos θ解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2·⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2 ＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2. 因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0， 所以原式＝－cos θ.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )A ．2cos 2B ．2sin 2C ．4sin 2＋2cos 2D ．2sin 2＋4cos 2 答案 B解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋22cos 22－1＝2sin 2＋cos 22＋4cos 22＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵π2<2<π， ∴cos 2<0，∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4<π， ∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.(2)化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( ) A.33 B.233C. 3D ．2 答案 B解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝1cos 30°＝233. 题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (1)sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3 ＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°cos 10°＝sin 40°·2sin 10°－60°cos 10° ＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1. (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.命题点2 给值求值例3 (1)若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A.29 B ．－29C.79 D ．－79答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79.(2)(2022·长春质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于()A.23B.29 C ．－19 D ．－79答案 D解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13， ∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13， ∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13， ∴12sin α＋32cos α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－79. 命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3解析 因为cos α＝277， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.教师备选1.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.2．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于() A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.7π6答案 C解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510， 即12－32sin A ＝5－1510， 解得sin A ＝55， 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552 ＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角， 得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α， 所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α， 解得sin α＝55.(2)(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12， 所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32. (3)已知sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝13，则sin 2x ＝ . 答案 －13解析 ∵sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2＝13， ∴sin 2x ＝－13. 题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2022·河南中原名校联考)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且f (α)＝65，求cos 2α. 解 (1)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－ 3 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x － 3 ＝23cos 2x －2sin x cos x － 3＝3(1＋cos 2x )－sin 2x － 3＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )． (2)由于α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 且f (α)＝65， 而f (α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝65， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝35， 因为0≤α≤π2， 所以π6≤2α＋π6≤7π6， 则π6≤2α＋π6≤π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45， 则cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6sin π6 ＝35×32＋45×12＝33＋410. 教师备选已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64， 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4 ＝－12(sin 2θ－cos 2θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ) ＝12×⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3 (2022·云南曲靖一中质检)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 2，2sin x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 2，3cos x 2，函数f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最大值，并指出f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin 2x 2＋23sin x 2cos x 2＝cos x ＋3sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 得x ＝π3＋2k π，k ∈Z ， ∴f (x )的最大值为2，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z . (2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝513， ∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3， 又f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22， ∴π6<β＋π6<π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β＋π6 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6 ＝6365， ∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12665. 课时精练1．已知tan α＝3，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2等于( ) A ．－32 B.35 C ．－35 D.15答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×31＋32＝－35.2．(2022·遂宁模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan θ＝2，则cos 2θ等于( )A ．－23 B.23C ．－13 D.13答案 C解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－13.3．(2022·成都双流中学模拟)tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2.4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝13，则sin(30°－2α)等于() A.13 B ．－13 C.79 D ．－79答案 D解析 由cos(30°－α)－sin α＝13，得32cos α－12sin α＝13，即cos(30°＋α)＝13，所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)＝2cos 2(30°＋α)－1＝2×19－1 ＝－79.5．已知f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下列结论不正确的是() A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小值为18答案 D解析 ∵f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x ) ＝14(1－cos 22x ) ＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x )，∴f (－x )＝18[1－cos 4(－x )] ＝18(1－cos 4x )＝f (x )，T ＝2π4＝π2，f (x )的最大值为18×2＝14，最小值为18×0＝0， 故A ，B ，C 正确，D 错误． 6．下列各式中，值为12的是( ) A ．cos 2π12－sin 2π12B.tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 210°cos 210°D.1＋cos π62 答案 B解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32，故A 错误； tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12，故B 正确； 2sin 210°cos 210°＝2sin(180°＋30°)cos(180°＋30°) ＝2sin 30°cos 30°＝sin 60°＝32，故C 错误； 1＋cos π62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 7．(2022·成都七中月考)求值：3－tan 12°2cos 212°－1sin 12°＝ . 答案 8解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12° ＝2sin 60°－12°14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8. 8．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ . 答案 －725解析 方法一 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1 ＝2×925－1＝－725. 方法二 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35， ∴12(1＋sin 2α)＝925， ∴sin 2α＝2×925－1＝－725. 9．(2022·杭州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，求cos α的值． 解 (1)因为f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6 ＝1＋2sin 5π6＝1＋1＝2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝43＋310. 10.如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连接BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？解 设∠P AB ＝α，连接PB ，如图．∵AB 是圆的直径，∴∠APB ＝90°.又AB ＝1，∴P A ＝cos α，PB ＝sin α.∵PC 是圆的切线，∴∠BPC ＝α.又PC ＝1，∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC＝12P A ·PB ＋12PB ·PC ·sin α＝12cos αsin α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14， 由已知，得24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， ∴2α－π4＝π4， ∴α＝π4，故当点P 位于AB 的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12.11．(2022·昆明一中模拟)已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( ) A ．－14B ．－12 C.14D.12 答案 B解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此1－2cos 2153°m n＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12. 12．(2022·杭州模拟)“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由3cos 2θ－12sin 2θ＝32cos 2θ－ 12sin 2θ＋32≥1＋32， 得cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6≥12， 所以－π4＋k π≤θ≤π12＋k π(k ∈Z )， 因此“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin 2θ≥1＋32”的充分不必要条件． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a . 又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925，即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425. 14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0， 且α∈(0，π)，∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2. ∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)， ∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1， ∴2α－β＝－3π4.15．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为 ． 答案 2解析 因为f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1， 所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x (x >－1)与y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 如图，连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400 m 2. 此时AO ＝DO ＝10 2 m.故当点A ，D 到圆心O 的距离为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.。
把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1 1 21. 弧长公式：l I |r. 扇形面积公式：s扇形尹| r22. 三角函数的定义域：4. 同角三角函数的基本关系式：si^ tan sin2cos21cosk5. 诱导公式：把亍的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：cos（） cos cos sin sin6•三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）三点二线作图法（正切曲线）【注意！！！】本专题主要思想方法1. 等价变换。
熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2. 数形结合。
充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。
【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。
〖例1〗（10全国卷I文）cos300A.31-C1n .3B.— D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】cos300cos36601cos602〖例2〗（10全国卷n文）已知sin2，则cos(x 2 )3A. JB.1C.1D V5D.3993【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式，•••SINA=2/3 , cos( 2 )cos2(12sin 2) -9〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5的结果等于（）A.-B.豆C.D.迈2232【答案】B2故选B.【解原式=cos 45 - 51例4〗（10浙江文）函数f（x） sin2（2x -）的最小正周期是 ___________4最小正周期为2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。
题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。
是（）D解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x】cos 4x —1，可知其2 2 21例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在［壬，？］上为减函数的是A. y sin(2x -)B. y cos(2x )C. y sin(x 【答案】AD.cos(x —)1例2〗（09浙江文）已知 a 是实数，则函数 f （x ） 1 a sin ax 的图象不可能1例3〗为得到y sin2x 的图象A.向左平移丸个长度单位12C.向左平移4个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.B .向右平移个长度单位12D.向右平移士个长度单位6n解析：函数 y cos 2x sin 2x — —33 2sin 2xsin2 x512故要将函数y sin2x的图象向左平移丸个长度单位，选择答案A.121例4〗(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )各自作出三个函数y sin2x,63的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质•【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 Co2最小正周期为 -.3(I)求 的最小正周期.〖例6〗(11浙江文)已知函数 f(x) As in (§x ) , x R , A 0 ,0 -. y f (x)的部分图像，如图所示， P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1, A).(I)求f (x)的最小正周期及 (n)若点R 的坐标为(1,0),1例5〗(09重庆文)设函数f(x )2 2(sin x cos x) 2cos x( 0)的(n)若函数y g(x)的图像是由y f(x)的图像向右平移三个单位长度得到，求y g(x)的单调增区间.解：(I)2 2依题意得————，故2 3的最小正周期为由2k 2 解得三k3依题意得：5w 3x w 2k24 2 w x w k 4 3-(kZ) 寻(kZ)\故y g(x)的单调增区间为:拿的值；PRQ —，求A 的值.题型三：三角函数的最值： 最值是三角函数最为重要的内容之一， 其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。
