5.2 平面向量数量积与应用(试题部分)

2009届高考一轮复习5.2平面向量的数量积基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于向量c b a 、、和实数λ，下列命题中真命题是（ ） （A ）若0b ·a = ，则0a =或0b = （B ）若0a =λ，则0=λ或0a = （C ）若22b a =，则b a =或b a -= （D ）若c ·a b ·a =，则c b = 2.（2008·皖南八校联考）已知向量)y ,3(c ),2,x (b ),1,2(a =-=-= ，若b //a ，)c b ()b a ( -⊥+，则y x +为（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）4- 3. 若向量b a 与的夹角为72)b 3a (·)b 2a (,4|b |,60-=-+=︒ ，则向量a 的模是（ ） （A ）2 （B ）4（C ）6 （D ）12 4.（2007·辽宁高考）若向量b a 与不共线，0b ·a ≠ ，且b b·a )a ·a (a c -=，则向量c a 与的夹角为（ ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 5. 若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|OA 2OC OB ||OC OB |-+=-，则ABC ∆的形状为（ ）（A ）等腰直角三角形（B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形6.（2007·重庆高考）如图，在四边形ABCD 中，4|DC ||BD ||AB |=++，4||·||||·||=+，0··==，则·)(+的值为（ ）（A ）2（B ）22 （C ）4 （D ）24第Ⅱ卷（非选择题部分共64分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

总复习： 平面向量的数量积及应用一、选择题1.已知向量1331(,),(,)2222BA BC →→== , 则()ABC ∠=.(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12002.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA OB ⋅，I 2=OB OC ⋅，I 3=OC OD ⋅，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a =（2，0），1=b ，则2+=a b （ ）A ．3B ．23C ．4D ．124. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．45. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（ ）A ．6B ．―6C ．12D ．―126. 对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*sin θ=⋅⋅m n m n ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．若**=a b a c ，则=b cB ．*()*=-a b a bC ．(*)(*)=a b c a b cD ．()***+=+a b c a c b c7.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 二、填空题8.已知向量a ，b 的夹角为60°，a =2，b =1，则2a b += ．9．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA 的取值范围是 .10.已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||= ．11. 若平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于________三、解答题12. 已知向量()()sin ,cos ,3cos ,cos a x x b x x ==且0b ≠,若a b ⊥，求x 的最小正值.13. 已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ，若0⋅=a b ，求实数k 的值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sin x ，cos x ），x ∈（0，）． （1）若⊥，求tan x 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值． 15．设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c .（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒.故答案为300.2.【答案】C【解析】∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA OB ⋅＞OC OD ⋅，OB OC ⋅＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选：C ． 3.【答案】B【解析】∵2=a ，∴22222+=+⋅+a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223+=a b .4.【答案】C【解析】2(3,n)-a b =，若2-a b 与b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅=a b b =-，即2n 3=，2n 12=+a5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221()62OB OA =-=-. 故选B. 6.【答案】B 【解析】根据定义，由**=a b a c 得12sin sin θθ⋅⋅=⋅⋅a b a c ，显然得不到=b c ；对于B ，()*sin ,sin()sin *πθθ-=-⋅⋅<->=⋅⋅-=⋅⋅=a b a b a b a b a b a b ，B 正确，容易验证C 、D 不正确. 故选B.7.【答案】A【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ）， ∵，∴P （1，4）， ∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t ﹣4）， ∴=﹣（﹣1）﹣4（t ﹣4）=17﹣（+4t ）， 由基本不等式可得+4t ≥2=4， ∴17﹣（+4t ）≤17﹣4=13， 当且仅当=4t 即t=时取等号， ∴的最大值为13，故选：A ．8.【答案】23 【解析】∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()2222=+4+4a b a a b b +⋅=22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴2=23a b +．故答案为：23．9. 【答案】[1,2]-【解析】由题意，设(cos ,sin ),[0,]P αααπ∈,，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上， 即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++=可得2()0AB BC CA ++=，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-12.【解析】03sin 21cos20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++=12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒= 13. 【解析】由题意0⋅=a b 即有1212(2)()0k -⋅+=e e e e ， ∴221122(12)20k k +-⋅-=e e e e ，又121==e e ，122,3π〈〉=e e ， ∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =. 14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ， ∴若与的夹角为， 则•=||•||cos =， 即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）． 则x ﹣=即x =+=． 15. 【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ， 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=. （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ， 22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为42（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .。

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

平面向量的数量积及应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为( )A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos<a,b>=4,|b|=3,所以a·b=|a||b|·cos<a,b>=3×4=12.2.如图,在圆C中,点A,B在圆上,则·的值()A.只与圆C的半径有关B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】选C.如图,过圆心C作CD⊥AB,垂足为D,则·=||||·cos∠CAB=||2.所以·的值只与弦AB的长度有关.3.在△ABC中,若||2=·+·+·,则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选 D.依题意得||2=·(+)+·=||2+·,所以·=0,⊥,△ABC是直角三角形.【变式备选】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k= ( )A.-3B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-3.4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ= ( )A. B.C. D.【解析】选A.因为·=-,所以-=·=·=-||2-λ||2+·=-4-4λ+2=-2λ2+2λ-2,解得λ=.【一题多解】选A.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),于是=(-λ-1,(1-λ)),=(2λ-1,-),由·=-得:(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)=-,解得λ=.【变式备选】已知非零向量a,b的夹角为,且|b|=1,|b-2a|=1,则|a|= ( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4a·b=1,1+4|a|2-2|a|=1, 4|a|2-2|a|=0(|a|≠0),因此|a|=.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-≥-,当P时,·(+)取得最小值,最小值为-.【变式备选】已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为( ) A. B. C. D.1【解析】选 A.由题意可知-1=a·b=|a|·|b|cos 120°,所以2=|a|·|b|≤,即|a|2+|b|2≥4,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以|a-b|≥,所以|a-b|的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为________.【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0,即(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos<m,n>==.答案:7.(2019·济南模拟)已知A(-1,cos θ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角θ=________.【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OA⊥OB.因此·=0,所以锐角θ=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sin θ-1,cos θ+1),-=(-sin θ-1,cos θ-1),由|+|=|-|可得(sin θ-1)2+(cos θ+1)2=(-sin θ-1)2+(cos θ-1)2,整理得sin θ=cos θ,于是锐角θ=.答案:8.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为________.【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,·等于||与在方向上的投影之积,所以(·)m a x=·=·(+)=||2+||2+·=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量a=,b=(cos x,-1).(1)当a∥b时,求2cos2x-sin 2x的值.(2)求f(x)=(a+b)·b在上的值域.【解析】(1)因为a∥b,所以cos x+sin x=0,所以tan x=-,2cos2x-sin 2x===.(2)因为a+b=.f(x)=(a+b)·b=sin.因为-≤x≤0,所以-≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤,所以函数f(x)的值域为.10.已知向量a1=(1,-7),d=(1,1),对任意n∈N*都有a n+1=a n+d.(1)求|a n|的最小值.(2)求正整数m,n,使a m⊥a n.【解析】(1)设a n=(x n,y n),由a n+1=a n+d得所以{x n},{y n}都是公差为1的等差数列.因为a1=(1,-7),所以x n=n,y n=n-8,a n=(n,n-8),|a n|==≥4,|a n|的最小值为4.(2)由(1)可知a n=(n,n-8),a m=(m,m-8),由已知a m⊥a n得:a m·a n=0,mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16因为m,n∈N+,所以或或或【变式备选】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:当船逆流行驶,与水流成钝角时;当船顺流行驶,与水流成锐角时;当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间最短【解析】设v1与v2的夹角为θ,合速度为v,v2与v的夹角为α,行驶距离为d,则sin α=所以当θ=90°,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.(20分钟40分)1.(5分)已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.依题意得=+=-,=+,因此·=·=-+·,于是有×62+×62×cos 60°=-9,由此解得λ=3.2.(5分)(2018·宜春模拟)已知向量与的夹角为θ,||=2,||=1,=t,=(1-t),||在t0时取最小值,当0<t0<时,cos θ的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A(2,0),B(cos θ,si n θ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=((1-t)cos θ,(1-t)sin θ), 则:||=|-|=,整理可得:||=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0<-<,解得:-<cos θ<,即cos θ的取值范围是.3.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则 ( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3【解析】选C.根据题意,I1-I2=·-·=·(-)=·=||·||·cos∠AOB<0,所以I1<I2,同理得,I2>I3,作AG⊥BD于G,又因为AB=AD,所以OB<BG=GD<OD,同理作BF⊥AC于F,而OA<AF=FC<OC,所以||·||<||·||,而cos∠AOB=cos∠COD<0,所以·>·,即I1>I3,所以I3<I1<I2.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法选C.如图,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得从而有n-m=>0,所以n>m.从而∠DBC>45°,又因为∠BCO=45°,所以∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又因为OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又因为λ1λ2>1,I1<0,I3<0,所以I3<I1,所以I3<I1<I2.【变式备选】已知圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且∠AOB=,MN是圆O的任意一条直径,若点C满足=λ+(1-λ)(λ∈R),则·的最小值为________.【解析】由题意可得·=(+)·(+)=+·(+)+ ·,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,·=-1,所以·=+0-1=-1.要求·的最小值问题就是求的最小值,因为=λ+(1-λ)(λ∈R), 所以点C在直线AB上,则当C在AB中点时,OC⊥AB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故·的最小值为-1=-.答案:-4.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x∈,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求m·n的最小值及对应的x值. 【解析】(1)设D(t,0)(0≤t≤1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0≤t≤1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m==(cos x+1,sin x),则m·n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x∈,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,m·n=1-sin取得最小值1-,所以m·n的最小值为1-,此时x=.5.(13分)已知向量a=(cos α,sinα),b=(cos β,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值.(2)设α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.【解析】(1)b+c=(cos β-1,sin β),则|b+c|2=(cos β-1)2+sin2β=2(1-cos β).因为-1≤cos β≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若α=,则a=.又由b=(cos β,sin β),c=(-1,0)得a·(b+c)=·(cos β-1,sin β)=cos β+sin β-.因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,即cos β+sin β=1,所以sin β=1-cos β,平方后化简得cos β(cos β-1)=0,解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.【方法技巧】涉及三角问题求解方法:去除向量的包装外衣,转化为形如:y=Asin(ωx+φ)+k,但一定要关注自变量x的取值范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果之一就是转化为形如:y=Asin(ωx+φ),这一点很重要.。

5.2 平面向量的数量积及其应用五年高考考点1 长度与角度问题1．（2013湖南．6,5分）已知a ，b 是单位向量，.0=⋅b a 若向量C 满足,1||=--b a c 则｜C ｜的取值范围是( )]12,12.[+-A ]22,12[+-⋅B ]12,1[+⋅c ]22,1[+⋅D2．（2013湖北．6，5分）已知点,2()2,1()1,1(--C B A 、、),4,3()1D 、-则向量⋅在方向上的投影为 ( )223.A 2153.B 223.-C 2153.-D 3．（2011课标．10.5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题)32,0[1|:|1πθ∈⇔>+b a p ],32(1|:|2ππθ∈⇔>+b a p )3,0[1|:|3πθ∈⇔>-b a p ),3(1|:|4ππθ∈⇔>-b a p 其中的真命题是( )41,p p A ⋅ 31,p p B ⋅ 32,p p c ⋅ 42,p p D ⋅4．（2011全国，12.5分）设向量a ，b ，c 满足b a b a ⋅==,1||||,21-=>--<c b c a ,,60 =则C 的最大值等于 ( )2.A3.B 2.C 1.D5．（2011辽宁，10，5分）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )12.-A 1.B 2.C 2-D6．（2011卓越联盟自主招生．1）向量a ，b 均为非零向量，-a (,)2a b ⊥,)2(b a b ⊥-则a ，b 的夹角为( )6π⋅A 3π⋅B 32.πC 65.πD7．（2010卓越联盟自主招生，2）设向量a ，b 满足a b a ,1||||==∙,m b =则)(||R t tb a ∈+的最小值为 ( )2.A m B +1. 1.C 21.m D -8．（2013浙江．17.4分）设21,e e 为单位向量，非零向量1xe b =R y x ye ∈+,,2若21,e e 的夹角为,6π则||||b x 的最大值等于 9．（2011浙江．14,4分）若平面向量βα,满足,1||,1||≤=βα且以向量βα,为邻边的平行四边形的面积为,21则α与β的夹角θ的取值范围是 10．（2011安徽．13，5分）已知向量a ，b 满足)()2(b a b a -⋅+,6-=且,2||,1||==b a 则a 与b 的夹角为11.（2010浙江．16,4分）已知平面向量),0(,βααβα=/=/满足,1||=β且αβα-与的夹角为,120o 则||α的取值范围是12.（2010江西．13，4分）已知向量a ，b 满足a b a ,2||,1||==b 与的夹角为,60则=-||b a智力背景牵牛花的螺旋 到了夏季，人们随处可以看到缠绕在大树上生长的牵牛花，而树为圆桶状，是为了 最大限度减少从各个方向吹来的风的影响。

【平面向量的数量积、正余弦定理测试题】1．下列各式中正确的是（ C ）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |=|a |·|b |,（3）(a ·b )· c =a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3）B ．（2）（4） C ．（1）（4）D ．以上都不对.2．O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=，则ABC ∆一定为（ C ）三角形A ．正B ．等腰直角C ．直角D ．斜 3．设|a |= 4,|b |= 3, 夹角为60°, 则|a+b |=（ C ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 5．在△ABC 中“a>b ”是“sin A <sin B ”的（ C ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．已知A(2,1),B(3,2),C(－1,4),则ΔABC 是（ B ） A ．锐角ΔB ．Rt ΔC ．钝角ΔD ．任意Δ7．已知|a |=1,|b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为（ D ）A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°8．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距（A ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km) 9．在ABCD 中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,则AD BC ⋅==__9__ ,AB DA ⋅=__-6___.10．已知a=(2,3) ,b =(－4,7) ,则a ·b= 13 ；a 在b 方向上的投影为511．已知a =(2,1) , b =(3,x), 若(2a －b )⊥b ,则x= －1或3 ，(2a －b )∥b ，则x= 3212．已知a =(2,－1), b =(λ,3).若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__32λ<，且6-≠λ. 13．设a =(m+1)i －3j, b =i +(m －1)j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=___-2___.14．把y=log 3(x+3)－6的图象,按向量a 平移,得到函数y=log 3x 的图象,则a = ____.（3，6）215．ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 60°或120°16．若A(4,2)、B(－6,－4)、C(x,－254)三点共线,则C 点分AB 的比λ=_4_ _, x= _ __-4_ 17．A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是___钝角___三角形.18．在∆ABC 中，已知sin A :sin B :sin C =3:5:7，则∆ABC 最大角的值是_ 120︒； 19．在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.4π20．ABC ∆中，(2,AB =，(3,1)AC =，则∠A=30° ，ABC ∆的面积为221．在ΔABC 中, B=60°,b 2=ac ，则△ABC 为等边 三角形ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ， c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形.22．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第11题，文科数学第12题]．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =31+ 23．若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, ΔABC 的形状是 等边三角形 24． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.54cos =A （I ）求A CB 2cos 2sin 2++的值; （Ⅱ）若b =2，△ABC 的面积S=3，求a .解：（I ）A C B A C B 2cos 2)cos(12cos 2sin 2++-=++……2分=1cos 22cos 12-++A A……………………4分=5059…………………………………6分 （Ⅱ）∵,53sin ,54cos =∴=A A …………………7分由.5,532213:sin 21=⨯⨯=⨯=∆c c A bc S ABC 解得得………9分由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bccosA 可得： 13545222542=⨯⨯⨯-+=a ………………11分 13=∴a .…………………………………12分25．（2004年江苏高考数学第16题）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.)53,54(- 26．（2004年福建高考数学·理工第8题，文史第8题）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（B）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 27．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ C ）A ．－3B ．－1C ．1D ．328．（2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则=A A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-29．（2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 -1 。

6.2 平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是( ) A.若λa +μb=0,则λ=μ=0 B.若a ·b=a ·c,则b=c C.若(a ·b)c=(a ·c)b,则b=c D.a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角答案 D 对于选项A,当a 与b 共线时,也可以满足已知条件,所以A 错;对于选项B,a 可能为0,所以B 错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C 错;对于选项D,a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120°,所以D 正确,故选D.2.(2022届云南质检(一),3)在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,D 点是AB 边的中点,BC=8,CA=12,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-40B.52C.92D.-18答案 A 在△ABC 中,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(82-122)=-40,故选A.3.(2022届贵阳摸底,6)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,若点D,E 分别是斜边BC 的三等分点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.2B.√5C.4D.5答案 C ∵∠BAC=90°,AB=AC=3,∴以A 为坐标原点,AB 、AC 所在直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E 分别是BC 的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2+2×1=4.故选C.4.(2022届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD 的边长为4,点M 是线段CD 的中点,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-409B.409C.-209D.209答案 A 由已知得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×23×16-12×16=329-8=-409,故选A.5.(2021郑州一模,4)设a,b 为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=( ) A.√3 B.√7 C.3 D.7答案 B 由a,b 为单位向量,且|a-b|=1,可得a 2-2a ·b+b 2=1,可得a ·b=12,则|a+2b|=√a 2+4a ·b +4b 2=√1+2+4=√7.故选B.6.(2022届皖南八校联考(一),11)设单位向量a 与非零向量b 的夹角是2π3,且|a-b|=√3|a|,则|a-tb|的最小值为( ) A.√33B.√32 C.12D.1 答案 B 由|a-b|=√3|a|可得a 2-2a ·b+b 2=3a 2,又a ·b=|a||b|cos 2π3=-12|a||b|,|a|=1,从而|a|=|b|=1,∴|a -tb|=√|a -tb|2=√a 2-2ta ·b +t 2b 2=√t 2+t +1=√(t +12)2+34,当且仅当t=-12时,|a-tb|取最小值√32,故选B.7.(2019课标Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B 解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a ·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos<a,b>-|b|2=0,即cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,故选B.解法二:如图,令OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以∠AOB=π3,即<a,b>=π3.故选B.思路分析 由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.8.(2020河南十所名校联考,7)已知非零向量a,b 满足|a |=λ|b|,若a,b 夹角的余弦值为1930,且(a-2b)⊥(3a+b),则实数λ的值为( ) A.-49 B.23 C.32或-49 D.32答案 D 由(a-2b)⊥(3a+b)得(a-2b)·(3a+b)=0,即3a 2-5a ·b-2b 2=0,∵|a |=λ|b|,cos<a,b>=1930,∴a ·b=|a||b|cos<a,b >=λ|b|2·1930=19λ30|b|2. ∴3λ2|b|2-5×19λ30|b|2-2|b|2=0,又知|b|≠0,∴3λ2-196λ-2=0,即18λ2-19λ-12=0,解得λ=32或-49,又∵λ>0,∴λ=32,故选D.思路分析 由|a |=λ|b|以及垂直关系建立关于λ的方程,解方程求得λ的值,此处要注意λ的取值范围. 9.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,√x ),|b|=5,a ·b=10,a 与b 的夹角为60°,则x=( )A.16B.4C.7D.√7答案 C 由题意得a ·b=|a||b|cos 60°=52|a|=10⇒|a|=4,故|a|=√32+x =4,解得x=7.故选C.10.(2022届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(-53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34),可以作为平面内所有向量的一组基底C.非零向量a 和b,满足|a|>|b|,且两个向量同向,则a>bD.非零向量a 和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30° 答案 D 对于A,a +λb =(1+λ,2+λ),因为a 与a +λb 的夹角为锐角,所以cos<a,a +λb>=a ·(a+λb)|a|·|a+λb|=√1+2·√(1+λ)+(2+λ)∈(0,1),解得λ>-53且λ≠0,故A 中说法错误;对于B,e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B 中说法错误;对于C,两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小,故C 中说法错误;对于D,不妨令|a|=|b|=|a-b|=1,则|a-b|2=(a-b)2=a 2-2a ·b+b 2=2-2a ·b=1,所以a ·b=12,则|a+b|2=(a+b)2=a 2+2a ·b+b 2=3,所以|a+b|=√3,所以cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=1+121×√3=√32,因为<a,a+b>∈[0,π],所以<a,a+b>=π6,故D 中说法正确.故选D.11. (2022届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x,y>为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =<x,y>.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a=<1,2>,b=<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 C 由题意得|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=12,因为a=<1,2>,b=<5,-4>,即a=e 1+2e 2,b=5e 1-4e 2,所以a ·b=(e 1+2e 2)·(5e 1-4e 2)=5e 12+6e 1·e 2-8e 22=-3+6e 1·e 2=0,即a ⊥b,所以<a,b>=π2,故选C.二、填空题12.(2022届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN 分别为圆O 1:(x+1)2+y 2=1与O 2:(x-2)2+y 2=4的直径,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 . 答案 [0,8] 解析 如图.AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]·[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9-|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.而|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2-1,2+1]=[1,3],∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,8].13.(2022届吉林通化梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m>-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心. 以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④解析 对于①,BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m),因为∠ABC 为锐角,所以cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10·√(1+m)+m 2>0,即m>-34,又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以3m-(1+m)≠0,所以m>-34且m ≠12,故①中命题是假命题.对于②,因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点O 为△ABC 的垂心,故②中命题是真命题. 对于③,若E,F 分别是边BC,AC 的中点,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即E,O,F 三点共线且OE=2OF,如图a.过E,O,B 作AC 边的垂线段,长度分别为h 1,h 2,h 3,易知ℎ2ℎ1=13,ℎ1ℎ3=12,则ℎ2ℎ3=16,所以S △AOC ∶S △ABC =1∶6,故③中命题是真命题.对于④,如图b,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E,OF ⊥BC 于F,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,易知O 为△ABC 的内心,故④中命题是假命题.图a图b14.(2022届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若a ⊥b,则|a|= . 答案 2√13解析 因为a ⊥b,所以-4×3+2x=0,得x=6,故|a|=√(-4)2+62=2√13.15.(2022届贵阳月考,14)已知平面向量a,b 的夹角为π3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|= .答案√13解析 由a=(2,0)得|a|=2,又a,b 的夹角为π3,|b|=1,故(2a-b)2=4a 2-4a ·b+b 2=4|a|2-4|a||b|cos π3+|b|2=13,所以|2a-b|=√(2a -b)2=√13.16.(2022届安徽蚌埠调研,14)已知|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则向量a 、b 的夹角为 . 答案π3解析 设向量a 、b 的夹角为θ,因为|a-2b|=√13,所以|a-2b|2=13,即1+16-8cos θ=13,得cos θ=12,因为0≤θ≤π,所以θ=π3.17.(2022届山西运城期中,13)在△ABC 中,若AB=2,AC=√3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 150°解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC=4-2√3cos ∠BAC=7,解得cos ∠BAC=-√32,又知0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=150°,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°.18.(2022届合肥10月联考,13)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是 . 答案(-34,12)∪(12,+∞)解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-m,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m).若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有3(1-m)-(2-m)=0,解得m=12;若∠ABC 为锐角,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m>0,解得m>-34.由上分析知,当m=12时,AB →与AC →同向共线,所以当∠ABC 为锐角时,m ≠12,故实数m 的取值范围为(-34,12)∪(12,+∞).。

专题七平面向量【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及根本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以根底题为主,主要考三局部内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个条件的形式出现.1.注意根底知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,根底与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择适宜的基底或坐标系,把未知向量用向量表示.2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可无视.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量根本定理及其意义.【真题探秘】§7.1 平面向量的概念、线性运算及根本定理根底篇固本夯基【根底集训】考点一 平面向量的概念及线性运算1.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,那么( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,那么EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+1,k-3),假设A,B,C 三点不能构成三角形,那么实数k 满足的条件是( ) A.k=-16 B.k=16 C.k=-11 D.k=1 答案 D5.点A(1,3),B(4,-1),那么与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.(35,-45) B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35) 答案 A6.向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,那么cos 2α=( )A.13B.-13C.79D.-79答案 C7.向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,那么点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)8.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图.假设c =λa +μb (λ,μ∈R),那么λμ= .答案 4综合篇知能转换【综合集训】考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2021辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案 A2.(2021安徽安庆调研,6)如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线AC 于K,其中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A3.(2021福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设m=38,那么n=( )A.34 B.23 C.45 D.58答案 A考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略4.(2021东北三省三校二模,3)平面向量a=(1,1),b=(1,-1),那么向量12a-32b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 答案 D5.(2021甘肃、青海、宁夏联考,3)在平行四边形ABCD 中,A(1,2),B(-2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),那么点D 的坐标为( ) A.(6,1) B.(-6,-1) C.(0,-3) D.(0,3) 答案 A6.(2021北京西城月考,5)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m,m+1),假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数m 的值为( ) A.-17B.-3C.-35D.35答案 B【五年高考】考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2021课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A2.(2021陕西,7,5分)对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2答案 B3.(2021北京,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .假设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么x= ,y= . 答案12;-16考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.(2021课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的最大值为( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A5.(2021课标Ⅲ,13,5分)向量a=(1,2),b=(2,-2),c =(1,λ).假设c ∥(2a+b),那么λ= . 答案126.(2021课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,那么实数λ= . 答案127.(2021江苏,6,5分)向量a=(2,1),b=(1,-2),假设ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),那么m-n 的值为 . 答案 -38.(2021上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 3教师专用题组1.(2021四川,7)设a,b 都是非零向量,以下四个条件中,使a |a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a ∥bC.a=2bD.a ∥b 且|a|=|b| 答案 C2.(2021湖南,8,5分)点A,B,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.假设点P 的坐标为(2,0),那么|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B3.(2021安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点Q 的坐标是( )A.(-7√2,-√2)B.(-7√2,√2)C.(-4√6,-2)D.(-4√6,2)答案 A4.(2021浙江,7)设a,b 是两个非零向量,以下说法正确的选项是( ) A.假设|a+b|=|a|-|b|,那么a ⊥b B.假设a ⊥b,那么|a+b|=|a|-|b|C.假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b =λaD.假设存在实数λ,使得b =λa,那么|a+b|=|a|-|b| 答案 C5.(2021四川理,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 26.(2021浙江,17,6分)正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√57.(2021江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.假设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),那么m+n= .答案 3【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C2.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,6)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,那么EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 B3.(2021届九师联盟9月质量检测,5)向量a=(1,3),b=(2,-12),假设c ∥(a-2b),那么单位向量c=( )A.(-35,-45)或(35,45)B.(-35,45)或(35,-45)C.(-√22,-√22)或(√22,√22) D.(-√22,√22)或(√22,-√22)答案 B4.(2021河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上一点,且AE=4EC,那么DE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2021河北衡水金卷(六),10)点P 为四边形ABCD 所在平面内一点,且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),那么λμ=( ) A.76B.-76C.-13D.13答案 D6.(2021届湖南衡阳八中模拟检测,6)在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD,BC 的交点为M,过M 作动直线l 分别交线段AC,BD 于E,F 两点,假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),那么λ+μ的最小值为( )A.2+√37 B.3+√37C.3+2√37D.4+2√37答案 D7.(2021河南郑州一模,9)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211BC ⃗⃗⃗⃗⃗,那么实数m 的值为( )A.1B.13C.911D.511答案 D8.(2021安徽黄山一模,12)如图,在△ABC 中,∠BAC=π3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为CD 上一点,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设△ABC 的面积为2√3,那么|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A.√2B.√3C.3D.43答案 B9.(2021宁夏银川一中一模,5)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上一点,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.34答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)以下说法中正确的选项是( ) A.假设a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB.假设2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,那么S △AOC ∶S △ABC =1∶6C.两个非零向量a,b,假设|a-b|=|a|+|b|,那么a 与b 共线且反向D.假设a ∥b,那么存在唯一实数λ使得a =λb 答案 BC11.(2021山东济南高一下学期期末学习质量评估)设点M 是△ABC 所在平面内一点,那么以下说法正确的选项是( ) A.假设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是边BC 的中点 B.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 在边BC 的延长线上 C.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是△ABC 的重心D.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,那么△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2021辽宁辽阳一模)设向量a=(-2,3),b=(3,1),c=(-7,m),假设(a+3b)∥c,那么实数m= . 答案 -613.(2021广东七校第二次联考,16)G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么△ABC 与△APQ 面积的比值为 . 答案20914.(2021黑龙江大庆二模,16)W 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,设AW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么2λ1+λ2= . 答案 315.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,15)设O 为△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么S △AOB ∶S △BOC ∶S △COA = . 答案 2∶3∶1。

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。